RRÉÉFLEXION ET RFLEXION ET RÉÉFRACTION D’UNE ONDE FRACTION D’UNE ONDE ÉÉLECTROMAGNETIQUE QUELCONQUE SUR LECTROMAGNETIQUE QUELCONQUE SUR
UNE INTERFACE PLANEUNE INTERFACE PLANE
DIFFUSION PAR UNE SPHERE DIFFUSION PAR UNE SPHERE CONDUCTRICE LA THEORIE DE MIECONDUCTRICE LA THEORIE DE MIE
BELICOURT Claire
FORMULATION DU FORMULATION DU PROBLEMEPROBLEME
2 milieux linéaires, homogènes, isotropes2 milieux linéaires, homogènes, isotropes Interface z = z0Interface z = z0 Source dans milieu 1 Source dans milieu 1 champ électromagnétique champ électromagnétique
incident à l’interfaceincident à l’interface Champs réfléchis ? Transmis ?Champs réfléchis ? Transmis ? Formulation des champs à partir de soit le champ Formulation des champs à partir de soit le champ
incident soit sa source.incident soit sa source.x
source z
y
0 z0
Milieu 2Milieu 1
iE
RRÉÉFLEXION ET FLEXION ET RRÉÉFRACTIONFRACTION
Propagation dans les milieux linéaires isotropes Propagation dans les milieux linéaires isotropes sans chargessans charges
Maxwell :Maxwell :
t
DHrot
t
BErot
BD
c
1-
0 div div
AveAvec c BH
ED
1
) .(
0 Re),( wtrkiqq q
eVtrV
yxrkiqqq dkdkekVwrV
q .
-
0 w),(),(ˆ
dwewrVtrV
ia
ia
iwtqq
),(ˆRe),(
avecavec
Superposition d’ondes planes Superposition d’ondes planes Transformée de Fourier Transformée de Fourier
Solutions de type ondes planes progressives en notation complexeSolutions de type ondes planes progressives en notation complexe
ONDES TRANSVERSES (1)ONDES TRANSVERSES (1)
pour le milieu 2 (sans pour le milieu 2 (sans source)source)
Les ondes électromagnétiques sont Les ondes électromagnétiques sont transversestransverses
0 BdivEdiv
0.. 00 qqqq BkEk qE0
qkqB0
On décompose les champs en 2 vecteurs de base On décompose les champs en 2 vecteurs de base orthogonaux dans le plan perpendiculaire àorthogonaux dans le plan perpendiculaire à qk
TEqTMqqq EEwkE 000 ),(
CommCommee
),(),( 00 wkEkw
cwkB qqqqq TEqTMqqq BBwkB 000 ),(
De façon De façon générale :générale :
TEqTMqq VVwrV ˆˆ),(ˆ
ONDES TRANSVERSES (2)ONDES TRANSVERSES (2)
Les champs électromagnétiques E et B sont Les champs électromagnétiques E et B sont ainsi exprimés en fonction de 2 potentiels ainsi exprimés en fonction de 2 potentiels scalaires,scalaires, les les potentiels de potentiels de WhittakerWhittaker ou ou d’Hertz, notésd’Hertz, notés
= superposition d’ondes planes de polarisation = superposition d’ondes planes de polarisation perpendiculaireperpendiculaire au plan contenant k au plan contenant k
TEqE
TMqE
dkydkxewkVwrV rkiqpqpq q
),(),(ˆ .0
Avec
),(ˆ wrqj
= superposition d’ondes planes de = superposition d’ondes planes de polarisation polarisation parallèleparallèle au plan contenant k au plan contenant k
CONDITIONS AUX LIMITESCONDITIONS AUX LIMITES
0 0
0 0
12
T12
1212
1212
njHHBB
EEnDD
sTTNN
TNN
0 ),,( )( yxykxki
yx dkdkewkkV yx
4 équations pour déterminer les coefficients de 4 équations pour déterminer les coefficients de FresnelFresnel
Milieu 2 sans charges ni courant :Milieu 2 sans charges ni courant :
COEFFICIENTS DE COEFFICIENTS DE FRESNEL(1)FRESNEL(1)
Tkk
k
E
E
Rkk
kk
E
E
zz
z
TEi
TEt
zz
zz
TEi
TEr
21
1
21
21
12
2
0
0
12
12
0
0
2
Onde incidente polarisée perpendiculairement au Onde incidente polarisée perpendiculairement au plan d’incidence : plan d’incidence :
Onde Onde TETE, transverse électrique, transverse électrique
COEFFICIENTS DE COEFFICIENTS DE FRESNEL(2)FRESNEL(2)
//2
211
22
221
1
2
0
0
//2
211
22
2211
22
0
0
21
1
21
21
2T
kk
k
E
E
Rkk
kk
E
E
zz
z
TMi
TMt
zz
zz
TMi
TMr
Onde incidente polarisée parallèlement au plan Onde incidente polarisée parallèlement au plan d’incidence :d’incidence :
Onde Onde TMTM, transverse magnétique, transverse magnétique
SOLUTIONS EXACTESSOLUTIONS EXACTES
),(ˆ),(ˆ
)ˆ(~),(ˆ
)ˆ(~),(ˆ
ˆ~),(ˆ
ˆ~),(ˆ
.1//
2
1
.1//
.2
21
.2
21
wrErotw
ciwrB
dkdkeekkTwrE
dkdkeekkRwrE
dkdkeekTw
cwrE
dkdkeekRw
cwrE
pqpq
yxrik
zttiTMt
yxrik
zrriTMr
yxrik
ztiTEt
yxrik
zriTEr
t
r
t
r
DIFFUSION PAR UNE SPHDIFFUSION PAR UNE SPHÈÈRE : RE :
LA THLA THÉÉORIE DE MIEORIE DE MIE
Onde plane monochromatique, polarisée Onde plane monochromatique, polarisée linéairementlinéairement
Sphère de rayon a dans milieu homogène isotrope Sphère de rayon a dans milieu homogène isotrope non conducteurnon conducteurx
z
IIMilieu Ia
rρE(i)
Әt
ri
EE
EEE
pour milieu Ipour milieu I
pour milieu pour milieu IIII
Il faut résoudre les équations de Maxwell Il faut résoudre les équations de Maxwell en coordonnées sphériques, pour les en coordonnées sphériques, pour les
champs champs EE et et HH
ONDES TE ET TMONDES TE ET TM
Solution des équations = superposition de 2 Solution des équations = superposition de 2 champs linéaires indépendants tels que :champs linéaires indépendants tels que :
magnétique ondeTE onde 0
électrique ondeTM onde 0
rrm
rm
re
rre
HH
E
H
EE
Potentiels de Debye, solutions de l’équation Potentiels de Debye, solutions de l’équation d’onde :d’onde :
022 k
Problème de diffraction = 2 solutions Problème de diffraction = 2 solutions indépendantes de l’équation d’onde en indépendantes de l’équation d’onde en coordonnées sphériquescoordonnées sphériques
SSÉÉPARATION DES PARATION DES VARIABLESVARIABLES
Théorie de Mie = séparer les variables pour Théorie de Mie = séparer les variables pour résoudre l’équation d’onde en sphériquesrésoudre l’équation d’onde en sphériques
3 équations indépendantes :3 équations indépendantes :
)()()( rR
)(1
Bessel deéquation équation 3
)(cos : Legendre de fonctions sphériques sHarmonique
)sin()cos( ordre2 linéaire ED
2
1
)(
ème
krZkr
R
P
mbma
l
ème
ml
mm
Avec Z : fonction cylindrique générale = Avec Z : fonction cylindrique générale = combinaison linéaire de 2 fonctions cylindriques : combinaison linéaire de 2 fonctions cylindriques : fonctions de Bessel J et fonctions de Neumann Nfonctions de Bessel J et fonctions de Neumann N