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TS Microtechniques Régime sinusoïdal
Circuits linéaires en régime sinuso ï dal
1 Fonction sinusoïdale
1.1 Définitions
• Définition
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t est le temps en secondes (s
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ω est la pulsation en radians par seconde (rad.s-1) ;
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est la phase instantanée en radians (rad) ;
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• Valeur moyenne
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• Valeur efficace
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• Période
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Par définition T est telle que
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ou k = 1, 2, 3, …
ce qui conduit à :
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ou avec la fréquence :
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2 Représentation de Fresnel
La représentation de Fresnel est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales.
2.1 Représentation d’un vecteur
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En coordonnées cartésiennes :
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2.2 Représentation de Fresnel
Pour la tension :
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Si on prend le courant I comme origine des phases la
représentation se simplifie.
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ϕ (phi) représente le déphasage de i par rapport à u.
En représentation de Fresnel, ϕ est l’angle allant de i vers u.
Remarque : le déphasage ϕ dépend du dipôle et de la pulsation ω
2.3 Loi des mailles en représentation de Fresnel
Exemple :
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Loi des mailles instantanée :
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avec
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et
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Remarque : u à la même période que u1 et u2.
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Loi des mailles vectorielle :
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avec
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et
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En aucun cas il ne faut faire la somme algébrique des valeurs efficaces U1 et U2.
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• Remarque : il en va de même pour la loi des noeuds.
3 Puissances en régime sinusoïdal
• Puissance activeLa puissance active est la moyenne de la puissance instantanée.
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U et I : valeurs efficaces ϕ : déphasage entre u et i (rad).
Unité : le watt (W).
• Puissance réactive
La puissance réactive est une invention mathématique pour faciliter les calculs.
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Unité : le voltampère réactif (VAR)
• Puissance apparente
La puissance apparente ne tient pas compte du déphasage entre u(t) et i(t).
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Unité : le voltampère (VA).
Autres relations
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cosϕ = Π
Σ
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Remarque : seule la puissance active à une ré alité physique.
La puissance réactive ne correspond à aucune puissance réelle.
4 Les dipôles passifs linéaires
Résistance R Inductance L Capacité C
Schéma
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Equation
fondamentale
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Impédance Z ( )Ω
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Relation entre les
valeurs efficacesU R = Ρ .Ι U L = Λω .Ι U C =
1
Χω .Ι
Déphasage ϕ (rad) ϕ R = 0 ϕ L =π
2ϕ C = −
π
2
Représentation de
Fresnel
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Puissance active
P (W)
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Puissance réactive
Q (VAR)
0
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• La bobine réelle
Z est l’impédance de la bobine (en Ohms ; ).Ω
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et tgϕ = Λω
ρ
• Le condensateur réel
Le condensateur réel ne s’éloigne du condensateur parfait que pour les très hautes
fréquences (ƒ > 1 MHz) .
Nous considérons ici que le condensateur est parfait.
5 Théorème de Boucherot
5.1 Théorème
Les puissances active et r é active absorbé es par un groupement de dipôles sont
respectivement é gales à la somme des puissances actives et r é actives absorbé es par chaque
é lé ment du groupement.
5.2 Exemple
• Puissance instantanée
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• Puissance active
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• Puissance réactive
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Le théorème de Boucherot n’est pas valable pour S la puissance apparente.
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6 Facteur de puissance
6.1 Définition
• Définition générale
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• Cas particulier du régime sinuso ï dal
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soit
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En régime sinusoïdale le facteur de puissance est
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6.2 Importance du cos
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Problème économique : plus I est faible plus les pertes sont faibles. Pour diminuer I sans
modifier P ou U, il faut augmenter cos ϕ.
On dit qu’il faut relever le facteur de puissance.
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Plus Q se rapproche de 0, plus cos ϕ se rapproche de 1. En rajoutant à l’installation électrique des
condensateurs ou des inductances, on modifie Q sans modifier P.
6.3 Relèvement du facteur de puissance
Si l’installation électrique est inductive (Q > 0), il faut diminuer Q en adjoignant des
condensateurs (QC < 0) de telle sorte que 0 ≤ Q + QC < Q.
6.4 Méthode
L’objectif est de dimensionner le condensateur en fonction du facteur de puissance recherché
pour passer du facteur de puissance cosϕ à cosϕ'
Sans le condensateur Avec le condensateur
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7 Déphasage
7.1 Définition
• Valeurs instantanées
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U et I sont les valeurs efficaces de u et i.
(ωt+θu) et (ωt+θi) sont les phases instantanées de u et i.
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• Diff érence de phase
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ϕ est la diff érence de phase entre u et i ou le déphasage de i par rapport à u.
si ϕ < 0, i est en avance sur u ; la charge est de nature capacitive.
si ϕ > 0, i est en retard sur u ; la charge est de nature inductive.
si ϕ = 0, i et u sont en phase ; la charge est de nature résistive.
on peut alors écrire les grandeurs u et i d’une des façons suivantes :
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ou
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7.2 Déphasage en représentation de Fresnel
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Sur le diagramme de Fresnel, ϕ est l’angle allant de
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vers
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7.3 Mesure du déphasage à l’oscilloscope
• Méthode
A l’oscilloscope on mesure l’intervalle de temps t allant de u vers i et la période T
Sachant qu’une période complète correspond à 2π radians ou 360 degrés, on effectue une
règle de trois pour trouver le déphasage ϕ.
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en radians ou
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en degrés
7.4 Résumé
Soit ϕ, le déphasage de i par rapport à u :
Grandeurs instantanées Représentation de Fresnel Mesure à l’oscilloscope
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Angle allant de i vers u Mesurer ∆t de u vers i
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7.5 Mesure du déphasage en électrotechnique
cosϕ = Π
Σ = Π
Υ .Ι