Download - Regime Transiente EGQ
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1
Objetivos:• Determinação da Transferência de calor com função do tempo• Regime não estacionário• Determinar o perfil de temperatura• Exemplos:
•Aquecimento ou resfriamento de peças•Tratamento térmico
Modelos de solução:• Análise concentrada• Efeitos espaciais• Sólido semi-infinito
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2
Análise concentrada
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3
Análise Concentrada
acumuladas EE••
=−Balanço de Energia
Substituindo os termos acima
( )dtdTVcTThA erfície ρ=−− ∞sup
Diferença de Temperatura
dtdT
dtdTT =−≡ ∞
θθ logo
Separando as variáveis e integrando desde t = 0 e T(0) = Ti, obtemos
Efetuando as integrações:
(1)
(2)
(3) (4)
(5)
(6)
θθρ −=dtd
hAVc
sup
Obtemos
∞−=−= ∫∫ TTdtdhA
Vci
t
i i0sup
onde θθθρ θ
θ
thA
Vc i =θθρ ln
sup
Ou ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−−=
∞
∞ tVc
hATTTT
ii ρθθ supexp (7)
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4
Transientes de temperatura de sólidos para diferentes constantes de tempo térmica
Constante Térmica
(8)
Calor total transferido (9)
( )
sólido do global térmicaiacapacitânc térmicaaresístênci
1
sup
==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
t
t
tt
CR
CRVchA
ρτ
∫∫ ==tt
dthAqdtQ0sup0θ
( )Substituindo a equação 7 na equação 9 (10)⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
τθρ tVcQ i exp1
Lembrar queacEQ Δ=− (11)
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5
Validade do método da Capacitância GlobalBalanço de energia na superfície
Rearranjando, definimos o número de Biot
(12)
(13)
( ) ( )∞−=− TThATTLkA
2sup,2sup,1sup,
( )( )
( )( ) Bi
khL
RR
hAkAL
TTTT
conv
cond ≡===−
−
∞ 12sup,
2sup,1sup,
Biot fornece uma medida da relação entre a queda de temperatura ao longo do sólido e a diferença das temperaturas de sua superfície e do fluido.
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6
Validade do Método da Capacitância
1,0<=k
hLBi c
Comprimento Característico
supAVLc ≡ (15)(14)
Substituindo a equação 15 na 7
FoBiVc
thALt
khL
Lt
ck
khL
cLht
VcthA
c
c
c
c
c
×====ρ
αρρρ
sup2
sup ou (16)
Sendo Fourrier de número 2 == FoL
tFoC
α (17)
[ ]FoBiTTTT
ii
∗−=−−=
∞
∞ expθθLogo (18)
Destaque
esfera daou cilindro do raio r :esfera e cilindro Para
:placa Para
020
2
==
=
rtFo
LtFo
α
α
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7
Análise Geral Via Capacitância Global
Conservação de Energia (18)( )dtdTVcAqqEAq hcradconvgh ρ=+−+
•
),sup(""
sup,"sup
Ou (19)( ) ( )( )dtdTVcATTTThEAq hcvizgh ρεσ =−+−−+ ∞
•
),sup(44
sup,"sup
Equação diferencial não linear não homogênea
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8
Regime transiente: Efeitos espaciais
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9
Hipóteses:-Condução Unidimensional-Condutividade constante-Sem geração de energia
E equação da difusão de calor para coordenadas cartesianas
(1)
A partir das hipóteses apresentadas a equação da difusão se reduz a
(2)
Condição inicial (3)
Condições de contorno(4)
Dependência da Temperatura (T): (5)
( ) iTxT =0,tT
xT
∂∂=
∂∂
α1
2
2
( )( )∞==
−=∂∂
⇒==∂∂
⇒= TtLThxT
xT
Lxx
, L x para 0 0 x para0
( )hkLTTtxTT i ,,,,,,, α∞=
tTcq
zTk
zyTk
yxTk
x p ∂∂=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ •
ρ
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10
Admensionalização
Temperatura admensional∞
∞∗
−−
==TTTT
iiθθθ (6)
Coordenada espacial admensionalLxx =∗
(7)
Tempo admensional )(2 FourierdenúmeroFoL
tt ≡=∗ α(8)
Levando as definições (6) a (8) nas equações (2) a (5), a equação de condução fica
Fox ∂∂=
∂
∂∗
∗ *
2
2 θθ
1)0,( ** =xθ
(9)
(10)
Condições de contorno (11)
Condição Inicial para resolução da equação (2)
00
=∂∂
=∗
∗
∗xxθ
(12)( )∗∗
=∗
∗
−=∂∂
∗
tBix Lx
,1θθ
Dependência funcional (13)( )BiFoxf ,,∗∗ =θ
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11
A PAREDE PLANA COM CONVECÇÃOSolução Exata
( ) )cos(exp *
1
2* xFoCn
nnn∑∞
=
−= ζζθ (14)
(15)
Os valores discretos (autovalores) de ζn são raízes positivas da equação transcendental
(16)
onde)2sen(2
sen4
nn
nnC
ζζζ
+=
Bi
cotgou n
nnn Bitgζζζζ ==
Solução Aproximada (válida para Fo > 0,2)
)cos()cos()exp( *1
*0
*1
211
* xxFoC ζθζζθ =−= (17)
(18)
Para a temperatura no plano intermediário (x* = 0)(19)( )
( )∞
∞
−−
=TTTT
i
0*0θ)exp( 2
11*0 FoC ζθ −=
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )∞−=−=⇒−−=−−= ∫ TTcVQsenQQdVTtrTcEtEQ ii ρθ
ςςρ 0
*0
1
1
0
onde 1,0
Transferência Total de Energia
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12
Na tabela ao lado são apresentadas as quatro primeiras Raízes da equação transcedental, para condução térmica em regime transiente em uma parede plana
Ln λζ = onde
Solução gráfica da equação transcedental
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13
Na tabela ao lado são apresentados o Coeficiente C1 e a raíz ξ1 para parede plana, cilindro infinito e esfera
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14
Cartas de Heisler parede Plana (para Fo > 0,2) Temperatura no plano intermediário de uma parede plana de espessura 2L em função do tempo
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15
Distribuição de Temperaturas em uma parede plana com espessura 2L
Cartas de Heisler parede Plana (para Fo > 0,2)
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16
Variação de energia interna, em função do tempo para uma parede plana com espessura 2L
Cartas de Heisler parede Plana (para Fo > 0,2)
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17
CILINDRO INFINITO COM CONVECÇÃOSolução Exata
)()exp( *
10
2* rJFoCn
nnn∑∞
=
−= ζζθ (21)
(22)
Os valores discretos (autovalores) de ζn são raízes positivas da equação transcendental
(23)
onde( )
( ) ( )nn
n
nn JJ
JC
ζζζ
ζ 21
20
12+
=
( )( ) Bi
JJ
n
nn =
ζζζ
0
1 As funções J1 e JO são funções de Bessel de primeira ordem.
Solução Aproximada (válida para Fo > 0,2))()()exp( *
10*0
*10
211
* rJrJFoC ζθζζθ =−=Temperatura no plano intermediário (r* = 0)
)exp( 211
*0 FoC ζθ −=
Transferência Total de Energia
(24)
(25)
( ) ( )∞−=−= TTcVQsenQQ
iρςςθ
011
*0
0
sendo 21 (26)
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18
As funções J1 e JO são funções de Bessel de primeira ordem e seu valores estão listados no apêndice B.4 do livro do Transferência de calor e massa - 4ªed Incropera
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19
Temperatura no eixo central de um cilindro infinito com raio r0 em função do tempoCartas de Heisler – Cilindro Infinito (para Fo > 0,2)
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20
Distribuição de Temperaturas em um cilindro infinito com raio r0
Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)
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21
Variação de energia interna, em função do tempo, em um cilindro infinito com raio r0
Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)
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22
Solução Exata
)sen(1)exp( *
1*2
2* rr
FoCn
nn
nn∑∞
=
−= ζζ
ζθ (27)
( ) ( )[ ]( ) (28)
Os valores discretos (autovalores) de ζn são raízes positivas da equação transcendental
(29)
ondenn
nnnnC
ζζζζζ
2sen2cossen4
−−
=
Binn =− ζζ cot1
ESFERA COM CONVECÇÃO
Solução Aproximada (válida para Fo > 0,2)
)(1)(1)exp( *1*
1
*0
*1*
1
211
* rsenr
rsenr
FoC ζζ
θζζ
ζθ =−=
Temperatura no plano intermediário (r* = 0))exp( 2
11*0 FoC ζθ −=
Transferência Total de Energia
(30)
(31)
( ) ( )[ ] ( )∞−=−−= TTcVQsenQQ
iρςςςςθ
011131
*0
0
sendo cos31 (32)
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23
Temperatura no eixo central de uma esfera com raio r0 em função do tempoCartas de Heisler – Esfera (para Fo > 0,2)
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24
Distribuição de Temperaturas em uma esfera com raio r0
Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)
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25
Variação de energia interna, em função do tempo, em uma esfera com raio r0
Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)
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26
Sólido Semi-infinitoDefinição:
•Sólido semi-infinito: é aquele que se estende em todas as direções menos em uma delas•Devido a uma súbita mudança das condições na superfície desse sólido, condução unidirecional em regime transiente ocorrerá no interior do sólido•Exemplos:
•Transferência de calor no solo•Transferência de calor em uma placa muito espessa
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27
Hipóteses:-Condução Unidimensional-Condutividade constante-Sem geração de energia
E equação da difusão de calor para coordenadas cartesianas
tTcq
zTk
zyTk
yxTk
x p ∂∂=+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂ •
ρ)()()( (1)
A partir das hipóteses apresentadas a equação da difusão se reduz a
tT
xT
∂∂=
∂∂
α1
2
2
iTtxT =∞→ ),(
(2)
Condição inicial (3)
Serão apresentadas 3 formas de condição inicial para resolver um problema de sólido semi-infinito:
a) Temperatura superficial constante Tsup ≠ Tib) Fluxo térmico constante na superfície, q”0
c) Exposição da superfície a um fluido caracterizado por Te ≠ Ti e um coeficiente de transferência de calor h
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28
SÓLIDO SEMI-INFINITO
( ) ( ) is TxTTtT =≠= 0,,0
• Caso 1 - Temperatura Superficial Constante.
( )( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−
txerf
TTTtxT
si
s
α2,
( )tTTk
q iss πα
−="
Destaque: Mudança de Temperatura em forma de degrau e o fluxo térmico diminuíproporcionalmente com t 1/2
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29
SÓLIDO SEMI-INFINITO
"0
"sup qq =
• Caso 2 - Fluxo Térmico constante na superfície.
( )( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=−t
xerfckxq
tx
ktq
TtxT i ααπα
24exp
2,
"0
2"0
Destaque: T(0,t) = Tsup aumenta monotonicamente com t 1/2
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30
SÓLIDO SEMI-INFINITO
( )[ ]tTThxTk
x,0
0−=
∂∂
∞=
( )( )( )
• Caso 3 - Convecção na superfície.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−
∞ kth
tx
kth
khx
txerfc
TTTtxT
i
i αα
αα 2
expexp2
,2
2
Destaque: Tsup e Tint tendem a temperatura externa T∞
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31
Tabela da Função erro de Gauss (Apêndice B - Tabela B2)
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32
Efeitos Multi-dimensionais
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33
Efeitos multidimensionaisSeja um cilindro curto, com Temperatura inicial, Ti, como o apresentado na figura abaixo
tT
xT
rTr
rr ∂∂=
∂∂+
∂∂
∂∂
α1)(1
2
2
Considerando: Condutividade constante e Sem geração de energia, a equação da difusão de calor fica
•Este cilindro é imerso em um fluido, T∞≠ Ti.•Sendo r e L comparáveis, a transferência por condução será significativa em r e L•T=T(r,x,t)
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34
A equação anterior pode ser expressa da seguinte forma:
( ) ( ) ( )infinitocilindro
planaparede
,,,,
∞∞∞ −×
−=
− TTtrT
TTtxT
TTtxrT
iii
•NOTE: Solução bidimensional = produto de soluções unidimensionais
( ) ( )planaparede
,,∞
∞
−−=TT
TtxTtxPi
( ) ( )infinito-semi
sólido
,,∞
∞
−−=TT
TtxTtxSi
( ) ( )infinitocilindro
,,∞
∞
−−=TT
TtrTtrCi
Efeitos multidimensionais (solução de sistemas unidimensionais)
Solução para o caso (h)
( ) ( ) ( ) ( )txPtxPtxPTT
txxxT
i
,,,,,,321
321 ⋅⋅=− ∞
( )Solução para o caso (i)
( ) ( )txPtrCTT
txrT
i
,,,, ⋅=− ∞