Reginaldo Alexandre Da Silva
VERSÃO REVISADA
USP – São CarlosMarço de 2017
Ficha catalográ ca elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassie Seção Técnica de Informática, ICMC/ USP,
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
Da Silva, Reginaldo Alexandre
D229c Caleidociclos / Reginaldo Alexandre Da Silva;
orientador Sérgio Luís Zani. – São Carlos – SP,
2017.
113 p.
Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-graduação
em Mestrado Profissional em Matemática em Rede
Nacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de
Computação, Universidade de São Paulo, 2017.
1. Caleidociclo. 2. Simetria axial. 3. Simetria
rotacional. 4. Polígonos. 5. Poliedros. 6. Teorema
de Pitágoras. 7. Aplicação da lei dos cossenos.
8. Aplicação da relação fundamental da trigonometria.
I. Zani, Sérgio Luís, orient. II. Título.
Reginaldo Alexandre Da Silva
FINAL VERSION
USP – São CarlosMarch 2017
Dedico este trabalho à todosos meus professores,
desdeo meu primeiro ano escolar atéos atuais,
semelesmuito do queconquistei não seria possível.
AGRADECIM ENTOS
Agradeço primeiramenteàminha esposaAnaMaria, quemedeu muito apoio, principal-
mentenosdeveresdacasa, medando mais tempo paraosestudos; eminhafilhaSofiaquemuitas
vezes tevequeentender que apouca atenção que teve nesse período foi para queeu pudesseme
empenhar mais nesse trabalho.
Também agradeço aos meusamigos de turmado PROFMAT, afinal foram muitas horas
estudando juntosnas aulas regulares, nas dúvidasvia internet, nassemanas intensivasdeestudo
na USP, nos debatesacalorados, até mesmo sem salas de estudos.
Por fim, agradeçoao ICMC pelapossibilidadedeconcluir estetrabalhodaredePROFMAT
nesta unidade.
“ Viver e não ter a vergonha de ser feliz,
Cantar (e cantar e cantar),
A beleza de ser um eterno aprendiz”
(Gonzaguinha)
RESUM O
DA SILVA, R. A.. Caleidociclos. 2017. 113 f. Dissertação (Mestrado em Ciências– Programade Mestrado Profissional em Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e deComputação(ICMC/USP), São Carlos– SP.
Os caleidociclos têm sido utilizados como formaartísticade apresentação de imagens, pinturas
ou como parte de trabalhos artísticos, principalmente de imagens com simetrias; talvez os
mais conhecidos sejam os trabalhos de M. C. Escher. As poucas publicações encontradas
da teoria matemática envolvida nos caleidociclos dão base para imaginar e criar aplicações
no desenvolvimento de habilidades e competências trabalhadas na escola. Para aumentar as
possibilidadesde aplicaçõesde conceitos, teoremaserelaçõesmatemáticasestudadasno ensino
básico, o presente trabalho apresentaalgumaspropostasdeatividadesutilizando oscaleidociclos.
As propostas foram elaboradas de acordo com o nível de ensino, ou seja, simetrias para o 7o
ano, teorema de Pitágoras para os 8o e 9o anos do Ensino Fundamental, lei dos cossenos e
relação fundamental da trigonometria paraa 1a série e volume e áreade superfície desólidos
geométricospara2a sériedo Ensino Médio; algumas daspropostas apresentam variações parase
adequar ao nível de desenvolvimento em quea turmaseencontra. Todososmoldesutilizados e
outraspossibilidadesdecaleidociclos, incluindo sólidosencaixantesaoscaleidociclos, foram
organizados ao final deste trabalho em um dosapêndices. Há também um apêndice com outros
tipos de sólidos geométricos com movimentos, que podem ser usados no mesmo intuito de
aplicação diferenciadadageometriaespacial.
Palavras-chave: Caleidociclo, Simetria axial, Simetria rotacional, Polígonos, Poliedros, Te-
orema de Pitágoras, Aplicação da lei dos cossenos, Aplicação da relação fundamental da
trigonometria.
ABSTRACT
DA SILVA, R. A.. Caleidociclos. 2017. 113 f. Dissertação (Mestrado em Ciências– Programade Mestrado Profissional em Matemática) – Instituto de CiênciasMatemáticase deComputação(ICMC/USP), São Carlos– SP.
Kaleidocycleshavebeen used asan artistic form of presentation of pictures, paintingsor apart of
artworks, especially imageswith symmetries; perhaps thebest known worksare M. C. Escher’s.
The few finded publications of the mathematical theory related to these three-dimensional rings
give rise to imagine and create applications for developing skills to be worked in classroom.
In order to increase the possibility of applications of concepts, theorems and mathematical
relations, thepresent work proposessome activitiesdealing with kaleidocycles. Theproposals
wereprepared in accordancewith the student’s level of education, i.e., symmetries for the7th
grade, thePythagorean theorem for the 8th and 9th grades, law of cosinesand the fundamental
relation of trigonometry, volume and surface areaof geometric solids for high school students;
some of the proposals have variations to suit the level of development in which the class is
at. All the molds used and other possibilities of kaleidocycles, including solids which fit into
kaleidocycles, were organized at the end of this dissertation in one of the appendices. There
is also an appendix with other types of mobile geometric solids that can be used in the same
purpose in different applications of spatial geometry.
Key-words: Kaleidocycles, Symmetry of reflection, Rotational symmetry, Polygon, Polyhedron,
Pythagorean theorem, Application of the law of cosines, Application of the fundamental relation
of trigonometry.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Simetrias na Natureza e nas Construções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 2 – Pontos na reta e fora dela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Figura 3 – Eixo de SimetriaAxial e Espelhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 4 – Rotação θ de P a partir de O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 5 – Simetrias Rotacionais do ponto P a partir de O com ângulo θ . . . . . . . . 30
Figura 6 – Simetria Rotacional de 60∘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 7 – Exemplosde polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 8 – Exemplosde polígonossimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 9 – Região interna eângulo interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 10 – Polígonos Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 11 – Polígono Convexo e Não-Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 12 – Região Poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 13 – Exemplosde Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 14 – Poliedros convexo e não-convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 15 – Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 16 – Caleidociclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 17 – Caleidociclosfechadosvariadoscom imagensaxial erotacionalmentesimétricas 38
Figura 18 – Exemplo de caleidociclo com seis tetraedrosnão-regulares . . . . . . . . . 38
Figura 19 – Caleidociclo regular deoito tetraedros regulares ecaleidociclo não-regular
de oito tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 20 – Caleidociclo regular de dez tetraedros regulares localizado no espaço . . . . 39
Figura 21 – Caleidociclo deoito tetraedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 22 – Oito tetraedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 23 – Secção transversal do caleidociclo de oito tetraedros regulares . . . . . . . . 42
Figura 24 – Tentativa de caleidociclo fechado com tetraedros regulares . . . . . . . . . 42
Figura 25 – Corte transversal da tentativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 26 – Hexágono do Corte Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 27 – Caleidociclo fechado com oito tetraedrosnão-regulares . . . . . . . . . . . 44
Figura 28 – Caleidociclo fechado com dez tetraedros não-regulares . . . . . . . . . . . 45
Figura 29 – Sequência da construção da reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 30 – Trabalhosde Simetria Axial em papel A3 realizados por alunos de 7o ano . 49
Figura 31 – Exemplospara criar simetria rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 32 – Simetria Rotacional com e sem Simetria Axial . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 33 – Exemplo de como montar o caleidociclo - parte 1 . . . . . . . . . . . . . . 53
Figura 34 – Exemplo de como montar o caleidociclo - parte 2 . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 35 – Planificação com oito tetraedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Figura 36 – Triângulo isóscelesdebase a e altura l / 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Figura 37 – Planificação do caleidociclo fechado com 12 tetraedros (base hexagonal) . . 64
Figura 38 – Sequência da construção da malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 39 – Notações para o triângulo isósceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Figura 40 – Metade do triângulo isósceles da Figura 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Figura 41 – Triângulo Isósceles daMalha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Figura 42 – Triângulo Isósceles base para malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Figura 43 – Milagre Shinsei e seuscaleidociclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 44 – Medidas do tetraedro a partir do cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 45 – Planificação de dois tetraedros do Milagre Shinsei . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 46 – Planificação de metade do caleidociclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 47 – Cubo invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 48 – Cubo invertível e suasmedidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Figura 49 – Planificação de metade do Cubo Invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Figura 50 – Os dois caleidociclosdo Milagre Shinsei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Figura 51 – Milagre Shinsei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Figura 52 – Milagre Shinsei Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Figura 53 – Poliedro com “buraco” interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Figura 54 – Quatro posições com forma de triângulo equiláteros . . . . . . . . . . . . . 80
Figura 55 – O caleidociclo lembrando um cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Figura 56 – Caleidociclo de SeisTetraedroscom Desenhos . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Figura 57 – Caleidociclo de SeisTetraedrossem Desenhos . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Figura 58 – Caleidociclo Fechado com 12 Tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Figura 59 – Caleidociclo Cubo Invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Figura 60 – Raio Do Cubo Invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Figura 61 – Terça Parte do Caleidociclo Cubo Invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Figura 62 – Terça Parte do Raio do Cubo Invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Figura 63 – Caleidociclo Milagrede Shinsei - Metade do Molde . . . . . . . . . . . . . 95
Figura 64 – Caleidociclo Milagrede Shinsei - Molde com dois tetraedros . . . . . . . . 96
Figura 65 – Caleidociclo Milagrede Shinsei - 4 Moldes com dois tetraedros . . . . . . . 97
Figura 66 – Caleidociclo de 8 Tetraedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Figura 67 – Metade do Caleidociclo de 8 TetraedrosRegulares - Parte 1 . . . . . . . . . 99
Figura 68 – Metade do Caleidociclo de 8 TetraedrosRegulares - Parte 2 . . . . . . . . . 100
Figura 69 – Caleidociclo Fechado de 8 Tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Figura 70 – Caleidociclo Fechado de 10 Tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Figura 71 – Cilindro alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Figura 72 – Molde do cilindro alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Figura 73 – Cilindro baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Figura 74 – Modelo do cilindro baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Figura 75 – HyperQBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Figura 76 – Molde pequeno do HyperQBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Figura 77 – Molde grande do HyperQBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
SUM ÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 CONCEITOS INTRODUTÓRIOS: SIM ETRIAS E OBJETOS GEO-
M ÉTRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Simet ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Simet ria Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Simet ria Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 CALEIDOCICLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Caleidociclos com Tet raedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Caleidociclos Fechados (Tet raedros Não-Regulares) . . . . . . . . . . 42
4 ENSINO DE SIM ETRIAS POR M EIO DOS CALEIDOCICLOS . . . 47
4.1 Pré-requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 Simet ria axial: proposta de at ividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.2 Simet ria rotacional: proposta de at ividade . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Proposta de At ividade: simet ria com o caleidociclo . . . . . . . . . . 53
5 TEOREM A DE PITÁGORAS, LEI DOS COSSENOS E RELAÇÃO
FUNDAM ENTAL DA TRIGONOM ETRIA: APLICAÇÕES NA CONS-
TRUÇÃO DO CALEIDOCICLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Caleidociclo com Tet raedro Regular: altura de face . . . . . . . . . . 59
5.2 Caleidociclo fechado e as relações das medidas . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Propostas de At ividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.1 Ensino Fundamental: 8o e 9o anos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.2 Ensino M édio: 1a série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 CALEIDOCICLO: VOLUM E E ÁREA DE SUPERFÍCIE . . . . . . . 71
6.1 O M ilagre Shinsei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2 Cubo Invert ível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 Propostas de At ividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3.1 O M ilagre Shinsei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3.2 Cubo Invert ível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 CONCLUSÃO E CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . 83
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
APÊNDICE A M OLDES DOS CALEIDOCICLOS . . . . . . . . . . . 87
APÊNDICE B SÓLIDOS LOUCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
B.1 Cilindro Alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
B.2 Cilindro Baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
B.3 HyperQBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
21
CAPÍTULO
1INTRODUÇÃO
Nosúltimosanos tem-se falado muito no fracasso do ensino damatemática. No último
relatório divulgado do PISA (Programa para Avaliação Internacional de Estudantes) de 2012, o
Brasil atingiu uma pontuação média de 391,5 em matemática, ficando classificado em nível 1, o
mais baixo da escala de proficiência que vai até nível 6.
Vitti (1999, p. 19) afirma que:
O fracasso do ensino de matemáticae as dificuldades que os alunos apresentamem relação a essa disciplina não são um fato novo, poisvárioseducadores jáelencaram elementos que contribuem para que o ensino da matemática sejaassinalado mais por fracassos do que por sucessos.
Esse fracasso, tem alimentado muitas pesquisas sobre os motivos e também, sobre
possibilidades de mudanças dessa situação. Vitti (1999, p. 32) lembra alguns fatores:
A matemática carrega o estigmadeser consideradauma disciplina chata, difí-cil e abstrata. Muitos pais procuram consolar seus filhos quando revelam quetambém tinham dificuldadesem aprender matemática, ou até mesmo queesco-lheram umaáreaparasua formação profissional quenão utilizassematemática.
É muito comum ouvirmoscotidianamentecomentáriosafirmando queaMatemáticaé
chata, inclusivepor colegas professores de outrasáreas. Nas reuniõesde paise mestres, quando
fala o professor de matemática, sempre surge comentários sobre como a disciplina é difícil e
como os pais sempre tiveram dificuldadesnessaárea, ou ainda, duranteconversasparticulares
com paisealunos, ospaiscomentam queconsolam osfilhos falando dadificuldadedadisciplina,
como se isso fosse uma ajuda para o aluno superar as dificuldades, quando na verdade estão
dando motivos para que se conformem com as dificuldadesque apresentam.
Deacordo com Johnson eRising (1972 apud VITTI, 1999, p. 32) “muitaspessoas têm
orgulho em manifestar ignorância em matemática. Poucos adultos admitem que foram fracos
22 Capítulo 1. Introdução
estudantes dehistória mas muitos pais de alunos enunciam o fato dequeeles nunca entenderam
matemática.”
Outros fatores que também são citados na literatura a respeito do fracasso na aprendi-
zagem matemática é, em algunscasos, causadospelos professoresqueutilizam amatemática
como algo punitivo. Vitti (1999, p. 19) ilustra com um exemplo:
Muitos alunos trazem consigo lembranças terríveis de fatosocorridos nas aulasde matemática, como o relatado por uma aluna, cujo professor, na tentativa demanter a disciplina nasala de aula, obrigou-a a fazer 50 cópias da tabuada do 2ao 9. Quem poderá sentir algum prazer em aprender algo que é colocado emformade castigo, depunição, por estar conversando em umaaula?
Diante dessa realidade e com a sugestão apresentada pelo PROFMAT, escolhemos
trabalhar com a elaboração depropostasdeatividadesque apresentem curiosidadesaos alunos
ea partir delas, discutam a matemáticaenvolvidadevárias formas, sejacomo arte, descrição,
classificação, construção, adaptação, definição, etc.
D’Ambrosio (2001, p. 31), quando fala sobre a natureza da matemática e seu ensino,
afirma:
É muito difícil motivar com fatosesituaçõesdo mundo atual uma ciência quefoi criada e desenvolvida em outros tempos em virtude dosproblemasde então,deumarealidade, depercepções, necessidadeseurgênciasquenossão estranha.Do ponto de vistade motivação contextualizada, a matemática que se ensinahoje nas escolas é morta. Poderiaser tratada como um fato histórico.
Entendemos que quando D’Ambrósio diz que amatemáticaensinadanas escola émorta,
do ponto devistade motivação contextualizada, ele se refereao tipo deestímulo que osalunos
são expostos para encontrar significação no estudo. Esse fato pode estar relacionado com
metodologias de ensino em que são apresentados apenas os estímulos históricos da época e
nenhum estímulo atual.
Utilizando o caleidociclo, podemos estimular o aluno a utilizar habilidades matemáticas
já interiorizadaspor elese também desenvolver habilidadesecompetências novas. Ao sedeparar
com umacuriosidade, o aluno despertaavontadedeentender o funcionamento danovidade, e
essa vontadeé urgente, não pode ser para depois. Isso abrea janela para interiorizar habilidades
matemáticasnovas.
Deacordocom Moysés(2006, p. 23-24), Vygotsky modificouarelaçãoestímulo-resposta
daépoca dele, introduzindo um novo elemento quechamou de signo – instrumento psicológico
por excelência– que mediatizavaa relação do estímulo com o estímulo associado.
Moysés (2006, p. 25) ainda exemplifica essa relação citando o hábito de culturas primiti-
vas em fazer marcas nos troncos de árvores e pedras para registrar o número de caças. Nessa
situação, ascaçassão osestímulos, aquantidadedecaças éo estímulo associado (respostaao
23
estímulo) e as marcações são os signos, ou seja, o instrumento mediador para se lembrar da
associação entreas caças eaquantidadedecaças.
Nessesentido, ao falarmosqueprecisamosestimular nossosalunosao estudo matemático,
falamosdeapresentar um estímulo, queno caso desse trabalho, éo caleidociclo. Entendemos
a linguagem matemática como o signo que Vygosty nos apresentou, pois é ela o instrumento
demediatização entreosestímulosvivenciadosno cotidiano com o estímulo associado queéa
abstração. Assim, entendemos a importânciadeapresentar um estímulo semprequepossível nas
aulas de matemática, paraqueo signo seja interiorizado e façasentido nasua realidade.
Borin (2007, p. 9) motivaa introdução de jogosnasaulas dematemáticacomo:
[· · · ] apossibilidadedediminuir osbloqueiosapresentadospor muitosdenossosalunos que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la.Dentro dasituação dejogo, ondeéimpossível umaatitudepassivaeamotivaçãoégrande, notamosque, ao mesmo tempo em queestesalunosfalam matemática,apresentam também um melhor desempenho e atitudesmais positivas frente aseus processos deaprendizagem.
Apesar do caleidociclo não se tratar deum jogo, elecontém a ideia do trabalho matemá-
tico de forma lúdicaassim como no jogo. O caleidociclo também tem achancededesbloquear a
relação do aluno com a matemática ede motivar a interação com ela. Algumas das propostas
apresentadas nesse trabalho também levam em consideração opções de trabalho em conjunto,
dando a oportunidadededesenvolvimento coletivo/social matemático.
Duval (1972 apud BRASIL, 1977, p. 2) alertaque:
Muitas vezes, invoca-se Piaget para afirmar que o domínio excelente da lingua-gem éextrínseco àaprendizagem damatemática. O fato éverdadeiro, namedidaem que Piaget mostrou que a lógica se desenvolve a partir da ação e, portanto,que asmanipulações dosobjetosdevem ter aprioridadesobreo manejo verbal(das operações). Não sedevecansar de repetir isto sempre. Mas, não sedeveesquecer que isso vale, essencialmente, parao estádio das operaçõesconcretas(7 a 11 anos).
Assim, éessencial o uso decuriosidades, jogos, brinquedos eobjetosnosanos iniciais
e na transição para os anos finais do Ensino Fundamental, sempre mediando e estimulando a
generalização das ideias e auxiliando em uma possível formalização. Porém, de acordo com
FraisseePiaget ([19 - - ?] apud BRASIL, 1977, p. 3):
Lá pelos 11/12 anos, com um patamar de equilíbrio aos 14/15 anos, inicia-se uma última fase de construção das operações próprias da infância e daadolescência. Seu caráter mais evidente é queo sujeito não fica mais obrigadoa raciocinar diretamente, apenas, sobre objetos concretos ou suasmanipulações(operaçõesdeclasse, de relações, denúmerose operaçõesespácio-temporais),masdetornar-secapaz dededuzir, operatoriamente, apartir desimpleshipótesesenumeradas verbalmente (lógica das proposições). Como consequência disto, aforma destasnovas estruturas operatóriasdissociam-se de seu conteúdo, dondeapossibilidadede um raciocínio hipotético-dedutivo ou formal.
24 Capítulo 1. Introdução
Com isso, lembramos da importância de, no Ensino Médio, frizarmos a formalização
teórica e utilizar questões paralelas com hipóteses para estimular a abstração e não apenas se
prenderem amanipulação doscaleidociclos, como estão presentesnaspropostasdeatividades
paraestepúblico. Isso não quer dizer quenão há importânciano uso dosobjetos, masquepodem
ser exploradas outras situaçõesabstratas apartir deles.
Por tudo isso équenosmotivamosadesenvolver eapresentar sugestões desequências
didáticascom caleidociclos paraaplicação em algunsdosanos finaisdo Ensino Fundamental
e também da possibilidade do desenvolvimento de atividades para trabalhar habilidades e
competências desejadasparao Ensino Médio.
A simetria é um dos assuntos previstos no Currículo de Matemática das escolas públicas
do Estado de São Paulo para o 7o ano do Ensino Fundamental com o objetivo de identificar
simetrias por meio da leitura; comparar e interpretar imagens simétricas; reconhecer padrões
geométricosem diferentes imagens como formade desenvolver umamelhor apreciação estética
das linguagens do desenho, pintura, arquiteturaetc.
O teorema de Pitágoras está previsto no Currículo para o final do 8o ano e retomada
no 9o ano. Nessa retomada no 9o ano, recomenda-se trabalhar aplicações do teorema para
desenvolver ahabilidadede reconhecer autilização do teoremaem problemas. Assim, o trabalho
com caleidociclos com centro fechado podeser utilizado paraessefim.
A relação fundamental da trigonometria e a lei dos cossenos estão previstas para a 1a
série do Ensino Médio com objetivo de desenvolver habilidades que possibilitem aos alunos
enfrentar situações-problemaenvolvendo as razões trigonométricasem diferentescontextose
generalizar o Teorema de Pitágoras com a Lei dos Cossenos. Nesse contexto, o cálculo das
medidasnecessáriasparaumaplanificação deum caleidociclo de centro fechado contribui para
perceber autilização tanto da relação fundamental da trigonometriacomo da lei dos cossenos.
Na 2a série do Ensino Médio, o Currículo prevê o desenvolvimento de habilidades
relacionadas à geometria espacial como reconhecer e nomear prismas; relacionar elementos
geométricosealgébricos; sintetizar egeneralizar fatosobtidosdeformasconcretas. Nesseaspecto
os caleidociclos podem ajudar no que se refere ao cálculo de volumes e áreas de superfícies,
inclusiveproporcionando demonstrações de razões de volumes em relação a prismas e também
devolumes constantes quando aáreadesuperfícievaria.
Dessemodo, organizamosadissertação daseguinte forma:
∙ Capítulo 1: Introdução com visão global damatemática, embasamento eespecificação do
problema com asugestão depossibilidadedesolução
∙ Capítulo 2: Conceitosdesimetriaaxial e rotacional e conceitos depolígonos epoliedros.
∙ Capítulo 3: Definição decaleidociclos, exemplos eclassificação.
25
∙ Capítulo 4: Simetrias axial e rotacional com caleidociclos.
∙ Capítulo 5: TeoremadePitágoras, lei doscossenose relação fundamental da trigonometria
com aplicaçõesnaconstrução decaleidociclos decentro aberto e fechado.
∙ Capítulo 6: Volume eáreadesuperfíciedecaleidociclosesua relação com prismas.
∙ Capítulo 7: Conclusão econsiderações finais.
Temos também doisApêndices, o primeiro com moldesdecaleidocicloscitadosneste
trabalho e o segundo com apresentação deoutros trêssólidosmóveisquepodem contribuir com
o desenvolvimento das habilidades ecompetênciasmatemáticascomo os caleidociclos.
Esperamosassim, que essetrabalho venha contribuir no estudo geométrico ealgébrico
de forma diferenciada, mas relacionadadiretamente com oselementos formaisdo estudo dessas
áreas matemáticas.
Por fim, esclarecemosquepara aconstrução de muitasdasfiguraselaboradaspelo autor
foram usadosossoftwares livreGeoGebra 5.0 eGIMPeas imagensdecaleidociclossão fotos
tiradas decaleidociclos construídos e fotografadospelo autor.
27
CAPÍTULO
2CONCEITOS INTRODUTÓRIOS: SIM ETRIAS
E OBJETOS GEOM ÉTRICOS
Nestecapítulo iremosenunciar conceitosmatemáticosqueserão utilizadosparaabordar
o assunto principal deste trabalho. Caso o leitor jáesteja familiarizado com taisconceitos, poderá
seguir parao capítulo 3 onde iniciaremos adefinição e características dos caleidociclos.
2.1 Simet ria
A ideiadesimetriageralmenteé relacionada com Artee Naturezamais do que com a
Matemática. É natural essa relação já que encontramos simetria facilmente na natureza e de
formaagradável aosolhos.
Figura 1 – Simetrias na Naturezae nas Construções
(a) Rosa dos ventos - Observatório -USP- São Carlos (b) Borboleta
28 Capítulo 2. Conceitos Introdutórios: simetrias e objetos geométricos
(c) Mariposa (d) Flor - Amor Perfeito
Fonte: Elaborada pelo autor.
Vamos utilizar dois tipos principais desimetrianesse trabalho, a simetria axial (ou de
Reflexão) e a rotacional. Para isso, vamosdefini-lase também definir algunsoutroselementos
importantes parao trabalho.
2.1.1 Simet ria Axial
Definição 1. Seja r uma reta no plano Π . A simetria axial em torno da reta r é a função Rr
definidapor
Rr (P) =
(P seP∈ r
P′ seP /∈ r de formaque r sejaamediatriz de PP′,
para todo ponto P∈Π e r échamadaeixo desimetria.
Observeas figuras aseguir
Figura 2 – Pontos na reta e fora dela
(a) P∈ r (b) P /∈ r
Fonte: Elaborada pelo autor.
2.1. Simetria 29
Definição 2. Uma figura plana se diz ter simetria axial quando podemos traçar uma reta r
dividindo a figura em duas partes de modo que uma das partes é a imagem da outra por uma
simetriaaxial deeixo r.
De maneira menos rigorosa, podemos dizer queuma figurapossui simetriaaxial quando
podemos traçar umareta imaginária (eixo desimetriaaxial) dividindo afiguraem duas partes
em queumadessa partesaparentaser um espelhamento daoutra. Como nafigura:
Figura3 – Eixo de Simetria Axial e Espelhamento
Fonte: Elaboradapelo autor.
2.1.2 Simet ria Rotacional
Definição 3. Seja O um ponto do plano Π . Umarotação a partir deO é uma função Rθ definida
por Rθ (P) = P′ com P um ponto do planoΠ , OP = OP′ , [POP′ = θ . Dizemosentão, queo ponto
P sofreu umarotação θ apartir do ponto O.
Figura4 – Rotação θ deP apartir de O
Fonte: Elaboradapelo autor.
Definição 4. Seja O e P pontos do plano Π , θ um ângulo divisor de 360∘ e α = k · θ com
k∈ { 1,2, · · · ,360/ θ} , chamamos de simetria rotacional de P a partir de O com rotação θ o
30 Capítulo 2. Conceitos Introdutórios: simetrias e objetos geométricos
conjunto Sdefinido como
S= { Q∈Π | Rα (P) = Q apartir deO}
e chamamos O decentro desimetria rotacional.
Exemplos de SimetriaRotacional:
Figura 5 – SimetriasRotacionais do ponto P a partir deO com ângulo θ
(a) θ = 22,5∘ (b) θ = 40∘
Definição 5. Umafigura planasediz ter simetria rotacional quando podemosencontrar simetria
rotacional paracadaponto dafiguracom um ângulo θ ecentro desimetria rotacional O fixos.
Demaneiramaisdidática, podemosdizer queem umafigurahásimetria rotacional se,
ao rotacionarmosθ grausapartir deum referencial O, afiguranão aparenta ter sido rotacionada.
Veja:
Figura6 – Simetria Rotacional de 60∘
(a) Original (b) Rotacionada60∘ graus
2.2. Polígonos 31
(c) Ângulo destacado
Fonte: Elaboradapelo autor.
2.2 Polígonos
Definição 6. Um polígono é uma figura geométrica plana formada por um número finito
de pontos V1,V2,V3, · · · ,Vn(n ≥ 3) e V1 é o consecutivo de Vn e pelos segmentos de reta
V1V2,V2V3,V3V4, · · · ,Vn− 1Vn,VnV1, satisfazendo aseguintepropriedade:
i) Trêsa trêspontos consecutivos não são colineares.
Os pontosV1,V2, · · · ,Vn são chamados vértices do polígono eossegmentosV1V2,V2V3, · · · ,VnV1
são os lados.
Exemplos:
Figura7 – Exemplos de polígonos
(a) Hexágono (b) Pentágono
32 Capítulo 2. Conceitos Introdutórios: simetrias e objetos geométricos
(c) Quadrilátero
Fonte: Elaborada pelo autor.
Definição 7. Chamamos depolígono simples todo polígono em quenão haja interseção entreos
lados não consecutivos.
Veja alguns exemplos:
Figura8 – Exemplos de polígonos simples
(a) Hexágono (b) Pentágono
Fonte: Elaborada pelo autor.
A região do plano limitada e delimitada pelos lados do polígono é chamada região
interna do polígono eo ângulo de cada vérticeque estásobrea região interna échamado ângulo
interno do polígono.
A figura9 ilustraa região internado polígono ABCDE eos ângulos internosα ,β ,γ,δ e
ε.
2.2. Polígonos 33
Figura 9 – Região internae ângulo interno
Fonte: Elaboradapelo autor.
Definição 8. Um polígono édito polígono regular quando seus lados são congruentes entre si e
seusângulos internos também são congruentesentresi.
Exemplos depolígonos regulares:
Figura 10 – Polígonos Regulares
(a) Quadrado (b) Eneágono
Fonte: Elaboradapelo autor.
Definição 9. Se toda reta que passa por quaisquer dois vértices consecutivos de um polígono
simples deixa os outros vértices em um mesmo semiplano, dizemos que esse é um polígono
convexo.
34 Capítulo 2. Conceitos Introdutórios: simetrias e objetos geométricos
Figura 11 – Polígono Convexo e Não-Convexo
(a) Polígono Convexo (b) Polígono Não-Convexo
Fonte: Elaborada pelo autor.
Definição 10. Uma região poligonal é aunião do polígono com aregião internadeterminada
por ele.
Figura 12 – Região Poligonal
(a) Heptagonal (b) Octogonal
Fonte: Elaborada pelo autor.
2.3 Poliedros
Definição 11. Um poliedro éumaregião espacial limitadaedelimitada por um número finito de
regiões poligonais, chamadas facesdo poliedro, com as seguintespropriedades:
i) Duas faces se intersectam ou em um vértice, ou em um lado comum, ou não há interseção.
ii) Cada lado de uma faceécomum aexatamenteduas faces.
2.3. Poliedros 35
Figura13 – Exemplos dePoliedros
(a) Hexaedro (b) Pentaedro
(c) Octaedro
Fonte: Elaboradapelo autor.
Definição 12. Dado um poliedro qualquer, seo plano decada facedeixar as outras faces em um
mesmo semiespaço, dizemosque eleéum poliedro convexo.
Figura 14 – Poliedros convexo enão-convexo
(a) Não-convexo (b) Convexo
Fonte: Elaboradapelo autor.
36 Capítulo 2. Conceitos Introdutórios: simetrias e objetos geométricos
Definição 13. Um poliedro convexo édito regular quando suas facessão polígonos regulares
congruentes eseusvérticespossuem o mesmo número de arestasconcorrentes.
Figura 15 – Poliedros Regulares
(a) Tetraedro Regular (b) Cubo
(c) Dodecaedro Regular
Fonte: Elaborada pelo autor.
37
CAPÍTULO
3CALEIDOCICLOS
Trazemos, nesse capítulo, o significado edefinição de caleidociclo, exemplos e algumas
classificações. Nasseções, detalhamosalgumaspropriedadeserelaçõesmatemáticasencontradas
noscaleidociclosqueserão utilizadas nas propostas de atividades posteriores.
Figura 16 – Caleidociclo
Fonte: Elaboradapelo autor.
A palavracaleidociclo vem da junção dos termosgregosKálos [bonito] + eîdos [forma]
+ kiklos [ciclo/anel]
38 Capítulo 3. Caleidociclos
Figura17 – Caleidociclos fechados variados com imagens axial e rotacionalmente simétricas
Fonte: Elaborada pelo autor.
Definição 14. Caleidociclo é um anel tridimensional circular composto por uma cadeia de
tetraedros idênticos com asseguintes propriedades:
i) dois tetraedros estão ligadospor umaúnicaarestaem comum;
ii) cada tetraedro está ligado aexatamentedoisoutros tetraedros por arestas opostas;
Figura 18 – Exemplo de caleidociclo com seis tetraedrosnão-regulares
Fonte: Elaborada pelo autor.
Umacaracterísticaqueo tornaespecial éapossibilidadede torcê-lo continuadamente
paradentro ou para fora na medidaem quemostradiferentes faces dos tetraedros.
Definição 15. Um caleidociclo échamado caleidociclo regular quando asarestas de ligação de
um tetraedro são ortogonais, caso contrário, é chamado caleidociclo não-regular.
39
Figura19 – Caleidociclo regular de oito tetraedros regulares ecaleidociclo não-regular de oito tetraedros
(a) Caleidociclo Regular (b) Caleidociclo Não-regular
Fonte: Elaboradapelo autor.
Neste trabalho, serão utilizados apenas os caleidociclos regulares e, por simplicidade,
iremos nos referir apenas como caleidociclos, caso necessário, deixaremos evidente quando não
se tratar deum caleidociclo regular.
Todo caleidociclo regular podeser posicionado no espaço canônico como no exemplo da
figura 20a:
Figura 20 – Caleidociclo regular de dez tetraedros regulares localizado no espaço
(a) Posição neutrano espaço (b) Centro do caleidociclo
(c) Torção de90∘ (d) Intersecção com o plano XY
40 Capítulo 3. Caleidociclos
(e) Secção Transversal
Nestasposições, quechamaremosposição neutra no espaço, asarestasde ligação estarão
paralelas ao eixo Z ou pertencentes ao plano XY. No exemplo 20a, CiDi são as arestas paralelas
ao eixo Z eAiBi são as arestas pertencentesao plano XY.
As retas suportedas arestas que estão contidasno plano XY se intersectam em um ponto
chamado centro do caleidociclo. Nafigura 20b, o centro do caleidociclo é o ponto O que, neste
caso, coincide com a origem do espaço. Na figura 20c, podemos perceber que ao torcer o
caleidociclo em 90∘ háumaalteração no posicionamento das arestasde ligação; as arestas AiBi
estão agoraparalelasao eixo Z eCiDi estão contidas no plano XY e com suas retas suportese
intersectando no ponto O centro do caleidociclo, porém estanovaposição também éumaposição
neutrano espaço.
Nafigura 20d temosa intersecção do plano XY com o caleidociclo naposição neutra;
essa intersecção échamadasecção transversal eestádestacadanafigura 20equeseráutilizada
nadefinição 16.
3.1 Caleidociclos com Tet raedros Regulares
Esse tipo decaleidociclo é regular, composto por oito tetraedros regularesno mínimo e
não há umaquantidade máxima. A impossibilidade decompor um caleidociclo com menos de
oito tetraedros regulares será tratadanaseção 3.2.
3.1. Caleidociclos com TetraedrosRegulares 41
Figura21 – Caleidociclo de oito tetraedros regulares
Fonte: Elaboradapelo autor.
Percebaquenestecaleidociclo o centro évazado, ou seja, em nenhumaposição detorção,
o centro ficará fechado. Outra observação importante é que o número de tetraedros sempreépar
no caso de serem tetraedros regulares, pois caso sejaum número ímpar, ao tentar fechar a cadeia
decaleidociclosparacompor o anel, teremosextremidadescom arestasperpendiculares, o que
contrariaadefinição decaleidociclo estando ligadosaapenasum ponto (a interseção dasarestas)
enão aarestaem comum.
Vamosdefinir algumasmedidase formas encontradas nos caleidociclos.
Dado um caleidociclo regular deoito tetraedrosem posição neutrano espaço como na
figuraaseguir,
Figura 22 – Oito tetraedros regulares
Fonte: Elaboradapelo autor.
fazendo-seumasecção transversal, como visto no início destecapítulo nafigura 20d, edefinindo
a a medidadasarestas, h asalturasdas facese l amedida dossegmentosM1M2, M2M3, M3M4,
M4M1, temos
42 Capítulo 3. Caleidociclos
Figura 23 – Secção transversal do caleidociclo de oito tetraedros regulares
(a) Notações nasecção (b) Basedo anel
Fonte: Elaborada pelo autor.
Assim, definimos:
Definição 16. O quadrado tracejado apresentado nafigura 23b échamado basedo anel.
A relação entrea arestaa, a alturade face h e o lado l da basedo anel iremos trabalhar
no Capítulo 5 utilizando aspropostas deatividades relacionadascom o Teorema de Pitágoras.
3.2 Caleidociclos Fechados (Tet raedros Não-Regulares)
Sequiser fazer um caleidociclo decentro fechado com tetraedros regulares, na tentativa,
iremos descobrir quenão épossível, vejaa imagem:
Figura24 – Tentativa de caleidociclo fechado com tetraedros regulares
Fonte: Elaborada pelo autor.
Podemos justificar esse fato analisando como deveriaser abasedesseanel. O estudo de
ladrilhamento do plano com figuras geométricasnosdáum caminho. Ao pôr polígonos idênticos
3.2. Caleidociclos Fechados (Tetraedros Não-Regulares) 43
com um vértice comum e sem sobreposição, de forma a recobrir todo o plano ao redor desse
vértice, é necessário queamedida do ângulo dessevérticesejaum divisor de360∘.
Como estamosutilizando tetraedros regulares, o corte transversal, como feito nafigura
23 ficacomo na imagem:
Figura 25 – Corte transversal da tentativa
Fonte: Elaboradapelo autor.
No corte transversal, vemosqueao redor do vérticecentral aparecem triângulos isósceles
com arestaa ealturah = a√
32 . O vérticecomum do centro do caleidociclo écomposto por um
dosvérticesdesses triângulos dasecção transversal, contendo o ângulo α formado entrea eh.
Pela lei doscossenos, temos
h2 = a2 + h2 − 2ahcosα
2ahcosα = a2
2cosα =ah
cosα =a2h
como
h =a√
32
segueque
cosα =1√
3
cosα =
√3
3
portanto
α ≈ 54,7356
44 Capítulo 3. Caleidociclos
pois0 < α < π/ 2.
Assim, o ânguloα não édivisor de360∘ eportanto não épossível formar um caleidociclo
fechado com seis tetraedros regulares.
Paraconseguirmos fechar o caleidociclo deseis tetraedros, énecessário esticarmos os
tetraedros(alterar asmedidas) deformaaconseguirmosum hexágono regular no corte transversal.
Figura26 – Hexágono do CorteTransversal
Fonte: Elaborada pelo autor.
Com isso, os tetraedros deixam de ser regulares, as arestas de ligação a ficam com
a mesma medida da altura h das faces triangulares isósceles dos tetraedros e as arestas que
não são de ligação podem ser definidas como b. As relações entre as medidas do tetraedro
serão abordadasno Capítulo 5 ao apresentar formas de se trabalhar o TeoremadePitágorasna
construção do molde/planificação do caleidociclo.
O mesmo acontece com o caleidociclo de oito tetraedros. Para que possamos fechá-lo, é
necessário mudanças nasmedidasdos tetraedros, quedeixam deser regulares. Vejaafigura27:
Figura 27 – Caleidociclo fechado com oito tetraedros não-regulares
(a) Caleidociclo já fechado (b) Corte transversal antesde fechar
3.2. Caleidociclos Fechados (Tetraedros Não-Regulares) 45
(c) Corte transversal após fechar
Fonte: Elaboradapelo autor.
Vale destacar que, nafigura 27b, amedida h é aaltura do triângulo equilátero, facedo
tetraedro regular, jánafigura 27c, amedidah éaalturado triângulo isóscelesdo tetraedro que
não émais regular. Além disso, aarestaa de ligação éaumentadae asoutras arestas quenão são
de ligação b terão medidas diferentes de a, como visto no comentário abaixo dafigura26.
Maisum exemplo decaleidociclo fechado, agoracom dez tetraedros.
Figura28 – Caleidociclo fechado com dez tetraedros não-regulares
(a) Caleidociclo já fechado (b) Corte transversal antesde fechar
46 Capítulo 3. Caleidociclos
(c) Corte transversal após fechar
Fonte: Elaborada pelo autor.
Perceba que nesse caso, a base do caleidociclo é um pentágono regular e assim como
na figura 27, a medida h da figura 28b corresponde à altura do triângulo equilátero, face do
tetraedro regular, e nafigura 70, a medidah éaalturado triângulo isósceles do tetraedro que
não émais regular.
47
CAPÍTULO
4ENSINO DE SIM ETRIAS POR M EIO DOS
CALEIDOCICLOS
O currículo do Ensino Fundamental - Anos Finais do Estado de São Paulo sugere o
estudo desimetrias no 7o ano e apresenta umaproposta que exploraas ideias de simetriaaxial e
rotacional em objetos do diaadia, na natureza, em malhasquadriculadas emalhasdepontos.
Apresentamos umapropostade atividadeenvolvendo os caleidociclos para que sejam
desenvolvidascompetênciasehabilidades como:
∙ identificação, comparação e interpretação desimetrias;
∙ apreciação das linguagens do desenho, pintura, arquitetura, etc, com base nos padrões
geométricos;
∙ manipulação de formasgeométricas planaseespaciais, e
∙ criação de imagenscom simetriaaxial e rotacional.
4.1 Pré-requisitos
Para trabalhar com asimetriaaxial e rotacional com oscaleidociclos, énecessário queos
alunos tenham visto asnoçõesdo que seja cadaumadelas. Não há anecessidadedequesejaa
definição matemática formal, mas no mínimo as noções básicas como, por exemplo, a forma
como foi citado em Conceitos Introdutórios.
É possível trabalhar com os alunos aconstrução de imagenscom simetria axial e rotacio-
nal antesde lidar com os caleidociclos.
48 Capítulo 4. Ensino de simetrias por meio dos Caleidociclos
4.1.1 Simet ria axial: proposta de at ividade
Material necessário:
∙ uma folha depapel sulfite;
∙ umaréguamilimetrada;
∙ um lápis preto no 2;
∙ umaborrachabrancae
∙ lápis decor (caso queiram colorir).
Fazer margem de 2 cm no papel sulfite e dobrar a folha ao meio na horizontal (ou
vertical sepreferir) para facilitar o traçado deuma linhadividindo aárea dedesenho ao meio.
Aconselha-se fazer essa divisão fraca, pois há a possibilidade dela ser apagada ao terminar a
construção dasimetriae iniciar acoloração.
Para iniciar o desenho em si, peça aos alunos que façam um desenho livre em uma
das metades da folha. Pode sugerir o desenho de metade de alguma imagem conhecida com
simetriaaxial ou não, ou ainda, utilização livrede linhas curvas, retas, etc. Peçaaos alunosque
dêpreferênciaa desenhos com linhasbem definidasesem muito detalhamento, isso facilitaráa
reflexão da imagem.
Apósconcluir o desenho, osalunosdeverão dobrar a folhaao meio fazendo com que o
desenho fiquepor dentro dadobra. Com o lápispreto inclinado, deverão fazer movimentos de
zigue-zaguepor trásdo desenho, pressionando de forma quea imagem fiquemarcada naoutra
metadeda folha. Veja umasequênciana imagem aseguir:
Figura 29 – Sequência da construção da reflexão
(a) Margensedivisão (b) Metadepronto paraa reflexão
4.1. Pré-requisitos 49
(c) Dobraemarcada reflexão (d) Reflexão antesde reforçar
(e) Ampliação da reflexão (f) Pronto paracolorir
Fonte: Elaboradapelo autor.
Uma outra formapara não dobrar a folha, caso queiram fazer em um painel, é copiar o
desenho feito com uma folha de caderno fina ou folha de papel vegetal, marcando pontos de
referência como os cantos da margem, e virar essa folha sobre a metade sem desenho, como
seestivessevirando uma folhaem um caderno. Feito isso ealinhadosospontosde referência,
devemos fazer os movimentos de zigue-zaguecom o lápis, como citado anteriormente.
Em ambos casos, a reflexão ficacom linhas fracas, quedevem ser reforçadasem seguida.
Seguem algumas imagensde trabalhos realizadosem sala:
Figura 30 – Trabalhos de Simetria Axial em papel A3 realizados por alunos de 7o ano
(a)
50 Capítulo 4. Ensino de simetrias por meio dos Caleidociclos
(b)
(c) (d)
(e) (f)
4.1. Pré-requisitos 51
(g)
Fonte: Elaboradapelo autor.
4.1.2 Simet ria rotacional: proposta de at ividade
Material necessário:
∙ uma folhadepapel sulfite;
∙ umarégua milimetrada;
∙ um compasso;
∙ um transferidor e
∙ uma folhadepapel vegetal (ou folhadecaderno fina).
É possível a criação da imagem rotacionalmentesimétrica sem autilização do compasso,
poiseleseráutilizado apenaspara criaumabordaparaa imagem. O transferidor também pode
ser substituído por esquadros, ficando limitado aosângulosderotação possíveisdeserem criados
utilizando estes instrumentos.
Para dar início, construir margem de 2 cm emarcar um ponto central na folha, quepode
ser localizado com medidas ou simplesmente traçando asdiagonais da folhade forma fracae
apagando-asassim quemarcar o centro.
Com o compasso, traçar uma circunferência no centro da folha de forma a ocupar o
máximo de espaço dentro da margem. Decidir de quantos graus será o ângulo de simetria
rotacional, lembrando que o valor desejado deve dividir 360∘ em partes iguais. O exemplo a
seguir utilizasimetria rotacional de120∘.
52 Capítulo 4. Ensino de simetrias por meio dos Caleidociclos
Seguindo com aconstrução, dividir acircunferênciaem seispartes iguaisde60∘ cada.
Essa divisão será para que possamos utilizar duas imagens distintas na rotação, caso deseje
apenas uma imagem, podeser feito apenas em trêspartesde120∘, ou da formaquepreferir.
Nessemomento jáé possível a construção do desenho, que deverá estar sobre umadas
divisões dos setores, queseráa referênciaparaqueseja repetida no ângulo de120∘.
O desenho podeser simétrico axial tendo como eixo desimetriaadivisóriadossetores,
masnão énecessário que seja.
Seguem as imagens quesão utilizadasno exemplo, umacom simetria axial eoutranão.
Figura 31 – Exemplos paracriar simetria rotacional
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para reproduzir a imagem exatana rotação de120∘ bastausar a folhadepapel vegetal,
copiar a imagem incluindo o eixo de referência atéo centro de rotação, pintar de lápis preto no 2
aparte de trásda folha depapel vegetal onde estáacópiado desenho e posicionar no eixo de
rotação 120∘ ondea imagem deveser idêntica.
Caso hajamais imagens aser reproduzidas, bastaseguir o mesmo procedimento, até que
todas elas apareçam idênticasna rotação desejada.
Figura 32 – Simetria Rotacional com e sem SimetriaAxial
Fonte: Elaborada pelo autor.
4.2. Proposta de Atividade: simetria com o caleidociclo 53
4.2 Proposta de At ividade: simet ria com o caleidociclo
Material necessário:
∙ moldedo caleidociclo disponível no Apêndice A figura56
∙ tesoura
∙ cola
∙ lápis decor (ou canetinhas)
A proposta tem variações de acordo com o nível de habilidadesquea turmaseencontra.
Por isso, apresentamosprimeiramenteapropostapara turmas em nível básico quecontemplao
reconhecimento e identificação das simetrias.
Entregue o moldepara cadaum dos alunos epeça paradarem cores ao desenho antes de
iniciar o recorte. Lembre-osquedeverão estar atentospara utilizar asmesmascoresnaspartes
correspondente auma imagem.
Após acoloração, jásepode recortar o contorno do moldee iniciar adobraem todasas
linhas retas. Para facilitar amontagem, dêasugestão dedobrarem paraos dois lados emarcar a
dobracom umarégua (vincar adobra).
Paraconcluir, bastaajustar apeçacomo nafigura33eutilizar cola. Sugerimosautilização
decolabranca, sem excesso e bem espalhada, principalmenteseutilizarem papel sulfite, pois
outros tipos de cola dificultam estaetapa por não colarem direito ou exigirem maior pressão.
Figura33 – Exemplo de como montar o caleidociclo - parte1
(a) (b)
54 Capítulo 4. Ensino de simetrias por meio dos Caleidociclos
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
(i) (j)
(k) (l)
4.2. Proposta de Atividade: simetria com o caleidociclo 55
(m) (n)
(o) (p)
(q) (r)
(s) (t)
(u) (v)
56 Capítulo 4. Ensino de simetrias por meio dos Caleidociclos
(w) (x)
(y) (z)
Fonte: Brasil (b).
Figura 34 – Exemplo decomo montar o caleidociclo - parte 2
(a) (b)
(c) (d)
4.2. Proposta de Atividade: simetria com o caleidociclo 57
(e) (f)
(g) (h)
(i) (j)
(k) (l)
(m) (n)
Fonte: Brasil (b).
58 Capítulo 4. Ensino de simetrias por meio dos Caleidociclos
É possível ver essasequênciano endereço <http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/
matematica/condigital2/midias/experimentos/Geometria_e_arte/construindo.html>.
A primeira variação servepara turmas em nível adequado, cujas habilidades sedestacam
na capacidade de identificar e construir simetrias. Para esse grupo sugerimos o molde sem
imagens da figura 57 Apêndice A e que sejam indicadas quais as faces que completam uma
imagem, deixando ao aluno a tarefa de criar as imagens, colori-las e concluir o processo de
montagem.
Umasegundavariação é indicapara turmasem nível avançado em quealém dashabilida-
desanteriores, osalunossão capazesde localizarem asregiõesdo moldequesecompletam, afim
decriarem as imagensqueaparecerão como simetria rotacional (ecom possibilidade de terem
simetria axial localmente também). Nessasituação, incentiva-semais o raciocínio eabstração na
tarefadeprever as faces do moldeque irão se relacionar no caleidociclo.
Caso haja interesse, ainda para o grupo de nível básico, é possível utilizar um molde
sem imagens (ApêndiceA, figura57), montar o caleidociclo e então criar as imagens. Para isso,
aconselha-se o uso de canetinhas, pois não haverá a necessidade de aplicar muita pressão ao
desenhar como teriacom lápisdecor.
59
CAPÍTULO
5TEOREM A DE PITÁGORAS, LEI DOS
COSSENOS E RELAÇÃO FUNDAM ENTAL DA
TRIGONOM ETRIA: APLICAÇÕES NA
CONSTRUÇÃO DO CALEIDOCICLO
Tradicionalmente, as aplicações do TeoremadePitágoras estão relacionadas com alturas
esombras deprédios, portõesdemadeiracom sarrafo nadiagonal, estruturasdemadeirapara
telhados, distância entre três cidades, rampas, escadas e escadarias, entre outras. Saindo um
pouco dessatradição, propomosaconstrução do moldedoscaleidocicloscomo formadeperceber
anecessidadedo conhecimento do teoremaeaplicá-lo nessaconstrução.
Asseçõesaseguir, apresentam casosem queo teoremaseráutilizado naplanificação dos
caleidociclos. Duranteaconstrução, há imagens paraacompanhar o processo, mas os moldesem
si, estão disponíveisno ApêndiceA.
5.1 Caleidociclo com Tet raedro Regular: altura de face
A planificação parao tetraedro regular não tem segredos, pois como as faces dos tetrae-
drossão triângulos equiláteros, bastacriar umamalha com triângulos equiláteros.
O número detriângulosquedevemospor naplanificação, podeser descrito usando linhas
e colunasde triângulosequiláteros. Como visto no Capítulo 3, os caleidociclos com tetraedros
regulares possuem número par de tetraedros sendo no mínimo oito. Assim, o número decolunas
de triângulos da planificação deverá ser nove, uma a mais para usar como aba na colagem; o
mesmo ocorre paraas linhas, como são necessáriosquatro triângulospara fazer um tetraedro,
utilizaremoscinco linhas de triângulos, umaamaispara usar como abadecolagem.
A planificação abaixo édeum caleidociclo com oito tetraedros regulares.
60Capítulo 5. Teorema de Pitágoras, Lei dos Cossenos e Relação Fundamental da trigonometria: aplicações na
construção do caleidociclo
Figura35 – Planificação com oito tetraedros regulares
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como visto na figura 23, temos no corte transversal a aresta a, a altura de face h e a
medida l do lado da base quadrada do anel queestá tracejada. Mostraremosprimeiro a relação
entreaalturade faceea aresta.
Como a alturade um triângulo equilátero o divide em dois triângulos retângulos congru-
entes, usando o teoremadePitágoras, temos
a2 = (a/ 2)2 + h2
h2 = a2 − (a/ 2)2
h2 =4a2 − a2
4
h =
s3a2
4
h =a√
32
.
Relacionando o lado l dabasedo anel com aaresta a
h2 = (l / 2)2 + (a/ 2)2
h2 =l2 + a2
4.
Como h = a√
32
5.2. Caleidociclo fechado e as relações das medidas 61
3a2
4=
l2 + a2
43a2 − a2 = l2
2a2 = l2
a√
2 = l
a =l√
22
.
Maisalgumasmudanças de variáveis, eficamos com h também em função de l .
h =a√
32
h =
l√
2√
322
h =l√
64
.
Apesar de não ser necessário efetuar esses cálculos para a construção do molde dos
caleidociclos de tetraedros regulares, a relação entre aaltura de face, a aresta eo lado dabasedo
anel serve de introdução paraas planificações com tetraedros não regulares.
Para construir a planificação de qualquer outro caleidociclo com tetraedros regulares,
basta acrescentar um número par de colunas na planificação anterior, ou seja, se quiséssemos
fazer um caleidociclo com 14 tetraedros regulares, bastariaacrescentar seiscolunasao molde,
resultando 15 colunas e 5 linhas de triângulos equiláteros. E o raciocínio é o mesmo para
caleidociclos com quantidadesmaiores de tetraedros regulares.
5.2 Caleidociclo fechado e as relações das medidas
Veremos que as relações entre as medidas dos tetraedros e o lado da base do anel são
um pouco diferentes dasvistasnaseção anterior. Um dos fatos que levaaesse raciocínio éque,
paraconseguirmos fechar o caleidociclo, é necessário modificar o tetraedro e assim, modificar o
ângulo dosvértices queseencontram no centro, como visto no capítulo 3, seção 3.2.
Consideraremosinicialmenteo caleidociclo fechado dedez tetraedrospararelacionarmos
as medidas.
Na figura 70, dasecção transversal do caleidociclo, temosa medida l do lado dabase
do anel, aarestaa ealturade faceh. Primeiramente, destacamosum dos triângulosdebasea e
altura l / 2:
62Capítulo 5. Teorema de Pitágoras, Lei dos Cossenos e Relação Fundamental da trigonometria: aplicações na
construção do caleidociclo
Figura 36 – Triângulo isósceles debasea ealtura l / 2
Fonte: Elaborada pelo autor.
O ângulo α tem medida36∘, pois divideacircunferênciacentral do caleidociclo em 10
partes iguais. A partir da lei dos cossenos, temos
h2 = h2 + a2 − 2ahcos36∘
2ahcos36∘ = a2
h =a2
2acos36∘
h =a
2cos36∘.
Destacando agora, um dos triângulos retângulos formadospelossegmentosa/ 2,h e l / 2,
eutilizando o teorema de Pitágoras, temos
h2 =a2
2+
l2
2
a2cos36∘
2=
a2
4+
l2
4a2
4cos236∘=
a2
4+
l2
4a2
cos236∘= a2 + l2
a2 − a2cos236∘
cos236∘= l2
a2(1− cos236∘) = l2cos236∘
a2 sen236∘ = l2cos236∘
a2 =l2cos236∘
sen236∘
a2 = l2cot236∘
a = l cot36∘.
Paraquepossamosdeixar tudo em função de l , basta fazer mais uma substituição
5.2. Caleidociclo fechado e as relações das medidas 63
h =a
2cos36∘
h =l cot36∘
2cos36∘
h =l
2sen36∘.
Agora, paraconstruir um caleidociclo fechado de dez tetraedros, bastadefinir amedida l
do lado dabasedo anel pentagonal, pois
a = l · cot36∘
h =l
2sen36∘.
Podemos generalizar essas relações. Dado n o número de lados da base do anel, com
n ≥ 3, e l amedidado lado dabase, temos
α =360∘
2n
a = l · cotα
h =l
2senα.
Assim, sequisermos fazer um caleidociclo fechado debase hexagonal de lado l = 5 cm,
teremosasmedidas
α =360∘
2·6= 30∘
a = 5·cot30∘ ≈ 8,66 cm
h =5
2sen30∘= 5 cm.
64Capítulo 5. Teorema de Pitágoras, Lei dos Cossenos e Relação Fundamental da trigonometria: aplicações na
construção do caleidociclo
Figura 37 – Planificação do caleidociclo fechado com 12 tetraedros (base hexagonal)
Fonte: Elaborada pelo autor.
5.3 Propostas de At ividades
Como nessecapítulo apresentamosconhecimentosmatemáticospresentes no currículo
do 8o e 9o ano do Ensino Fundamental e 1a série do Ensino Médio, apresentamos propostas
diferentespara cadaobjetivo.
5.3.1 Ensino Fundamental: 8o e 9o anos
Material necessário:
∙ moldedo caleidociclo deoito tetraedros regulares disponível no ApêndiceA, figura68
∙ lápis, borrachaepapel (paraos cálculos)
∙ régua milimetrada
∙ compasso
Primeiramente, entregueo molde aos alunos, seja individualmenteou em grupos, e peça
para que recorte no contorno e montem o caleidociclo. Caso seja a primeira atividade com
caleidociclo da turma, deve-se ter uma atenção especial para que façam todas as dobras corretas
eafinalização com acolagem.
Depois que os alunos exploraram os movimentos do caleidociclo, o professor deve
apresentar a definição de base do anel do caleidociclo, lembre-se que é possível mostrar a
imagem 23 do corte transversal.
5.3. Propostas de Atividades 65
Após a definição da base do anel, deve-se questionar: “Como podemos garantir que a
basedo anel do caleidociclo tenha10 cm de lado?” .
Caso nenhum aluno tenhasugerido autilização daalturade face do caleidociclo, analise
novamentea imagem 23 atentando paraasmedidasenvolvidas.
Asmedidash ea dostriângulosqueaparecem nasecção transversal, são respectivamente,
daalturade faceedaarestados tetraedros. Também épossível relacionar amedida l do lado da
basedo anel com o triângulo citado.
O professor pode informar a relação daaltura de faceh com aaresta a, que é h =a√
32
visto naseção 5.1, ou orientar oscálculos no triângulo equilátero paradedução dela.
Feito isso, deve-se iniciar o cálculo da relação entrea arestaa e o lado l observadosna
secção.
h2 = (l / 2)2 + (a/ 2)2
h2 =l2 + a2
4.
Como h = a√
32
3a2
4=
l2 + a2
43a2 − a2 = l2
2a2 = l2
a√
2 = l
a =l√
22
.
Portanto, paraqueo lado l da base do anel seja10 cm, énecessário que
a =l√
22
a =10·
√2
2a = 5·
√2
a ≈ 7 cm.
E com ajuda de um compasso, os alunos podem fazer a malha triangular da medida
desejadasempreutilizando apontasecado compasso nas intersecçõesdascircunferências, como
mostram as figuras aseguir.
66Capítulo 5. Teorema de Pitágoras, Lei dos Cossenos e Relação Fundamental da trigonometria: aplicações na
construção do caleidociclo
Figura38 – Sequênciada construção da malha
Fonte: Elaborada pelo autor.
Dependendo da medida adotada para o lado l da base do anel, a folha A4 poderá ser
pequena para compor uma malha suficiente para o caleidociclo. Sugerimos que utilizem a
folhaA3 paraessescasos ou incentivem os alunos a juntarem duas malhasparacompletarem o
caleidociclo.
5.3.2 Ensino M édio: 1a série
Material necessário:
∙ moldedo caleidociclo disponível no ApêndiceA, figuras 68 e69
∙ tesoura
∙ cola
∙ lápis decor (ou canetinhas)
∙ sulfite
∙ régua
∙ compasso
Primeiramente, entregueo molde aos alunos, seja individualmenteou em grupos, e peça
para que recortem no contorno e montem o caleidociclo. Caso seja a primeira atividade com
5.3. Propostas de Atividades 67
caleidociclo da turma, deve-se ter uma atenção especial paraque façam todas as dobras corretas
eafinalização com acolagem.
Depoisdos alunosexplorarem oscaleidociclos, provavelmente já terão percebido que,
apesar dos dois terem oito tetraedros, um deles é fechado no centro do anel e o outro não. A
partir dessa constatação, o professor deve aguçar a curiosidade questionando qual deve ser a
relação entreasmedidasdo triângulo damalha, paraqueseja garantido queo caleidociclo seja
decentro fechado.
O professor podeapresentar o cálculo utilizado paradefinir a forma geral dasmedidas,
mostrando autilização da lei dos cossenos.
Seja n, o número de lados da base do anel; l , a medida do lado da base do anel; a, a
aresta comum adois tetraedros do caleidociclo; h, a altura de facedos tetraedros com basea; α ,
éo ângulo formado entreh ea.
Figura 39 – Notações parao triângulo isósceles
Fonte: Elaboradapelo autor.
Usando asnotações daFigura39 e utilizando a lei dos cossenos, temos:
h2 = h2 + a2 − 2ahcosα
2ahcosα = a2
h =a2
2acosα
h =a
2cosα. (I)
Agora, por meio do triângulo retângulo
68Capítulo 5. Teorema de Pitágoras, Lei dos Cossenos e Relação Fundamental da trigonometria: aplicações na
construção do caleidociclo
Figura40 – Metade do triângulo isósceles daFigura 39
Fonte: Elaborada pelo autor.
eutilizando o teorema de Pitágoras, temos:
h2 =a2
2+
l2
2
. (II)
Substituindo I em II, temos:
a2cosα
2=
a2
2+
l2
2
a2
4cos2α=
a2
4+
l2
4a2
cos2α− a2 = l2
a2 − a2cos2αcos2α
= l2
a2(1− cos2α )cos2α
= l2
eutilizando a relação fundamental da trigonometria, obtemos:
a2 sen2αcos2α
= l2
a2 sen2α = l2cos2α
a2 =l2cos2α
sen2αa2 = l2cot2α
a = l cotα .
Deixando h em função de l , temos:
5.3. Propostas de Atividades 69
h =l cotα2cosα
h = l ·cosαsenα
·1
2cosα
h =l
2senα.
Assim, a malha a ser construída deve ser de triângulos isósceles de base a = l cotα ,
hm =l
2senαeα =
3602n
.
Figura 41 – Triângulo Isósceles daMalha
Fonte: Elaboradapelo autor.
Com basenessesdados, definidoso número n de ladose amedida l do lado do anel do
caleidociclo, peçaaosalunosparacalcularem osvaloresdeα ,a eh.
Por exemplo, sen = 6 e l = 3 cm, temos:
α = 30∘
a ≈ 5,2 cm
hm = 3 cm.
E o triângulo basepara amalhaé
Figura42 – Triângulo Isósceles basepara malha
Fonte: Elaboradapelo autor.
70Capítulo 5. Teorema de Pitágoras, Lei dos Cossenos e Relação Fundamental da trigonometria: aplicações na
construção do caleidociclo
De forma semelhante à proposta feita anteriormente para os 8o e 9o anos do Ensino
Fundamental, o professor pode entregar a folha de sulfite e deixar que eles criem uma malha,
utilizando a réguaecompasso, com as medidas quequiserem ou que forem eleitas pela turma.
Existeapossibilidadedo professor ir induzindo a turma achegar nas relaçõesdescritas
acima, porém, isso dependemuito do nível deaprendizagem da turmaqueapenaso professor
poderá avaliar edecidir o que for melhor, paraque aatividadenão se tornedesinteressante.
71
CAPÍTULO
6CALEIDOCICLO: VOLUM E E ÁREA DE
SUPERFÍCIE
Ashabilidades matemáticasenvolvidasnos cálculos devolumeeáreadesuperfícieestão
presentes no currículo da2a sériedo Ensino Médio do Estado deSão Paulo. Nele, apresenta-seo
cálculo do volumeeáreadeprismas, pirâmides ecilindros.
Apresentamos alguns caleidociclos que podem ser usados para trabalhar com essas
habilidades.
6.1 O M ilagre Shinsei
Figura 43 – MilagreShinsei eseus caleidociclos
Fonte: Elaboradapelo autor.
É composto por dois caleidociclos abertos cadaum contendo doze tetraedros não regula-
res. Juntos, esses caleidociclos podem formar um cubo. A partir do cubo formado por eles, é
possível calcular uma aproximação do volumedo caleidociclo. O tetraedro utilizado éespecial,
pois três desuas faces são triângulos retângulos.
72 Capítulo 6. Caleidociclo: Volumee área de superfície
As medidas necessárias para a construção do tetraedro desse caleidociclo, podem ser
retiradasa partir do cubo quesedeseja formar com os dois caleidociclos.
Figura44 – Medidas do tetraedro apartir do cubo
Fonte: Elaborada pelo autor.
a = arestado cubo
d = diagonal do quadrado (facedo cubo)
D = diagonal do cubo
Dadaamedida a da aresta, podemoscalcular as medidasnecessáriasparaseconstruir
umaplanificação parao caleidociclo. Pois
d = a√
2
D = a√
3.
Figura 45 – Planificação dedois tetraedros do MilagreShinsei
Fonte: Elaborada pelo autor.
Um molde que pode ser usado é a planificação de metade de um dos caleidociclos
(Figura46), sendo assim necessário quatro dessesmoldesparaconstruir osdoiscaleidociclos
quecompõem o MilagreShinsei.
6.2. Cubo Invertível 73
Figura 46 – Planificação de metadedo caleidociclo
Fonte: Elaboradapelo autor.
Nessemolde, devemosficar atentosaosdoissegmentos pontilhadosque indicam corte
no molde além do corte no contorno. Sugerimos também quesejaunida asduasmetadesantes
de ir fechando os tetraedros.
6.2 Cubo Invert ível
Estecaleidociclo é formado por seis tetraedrosde faces idênticas. Cada face tem formato
de triângulo retângulo eem doisdesses triângulosocorrem queum doscatetos tem metadeda
medidado outro cateto.
Figura 47 – Cubo invertível
(a) Cubo Invertível 01 (b) Cubo Invertível 02
74 Capítulo 6. Caleidociclo: Volumee área de superfície
(c) Cubo Invertível 03
Fonte: Elaborada pelo autor.
O nome dele vem do fato de lembrar a formadeum cubo em uma determinadaposição
de sua torção. Além disso, ele pode formar um cubo ao completar o espaço com outras duas
peçaschamadas raio do cubo invertível que também estádisponibilizadano ApêndiceA figura
60.
As medidaspara aconstrução daplanificação destecaleidociclo, pode ser feitaa partir
do cubo no qual eleestá contido como mostram asfigurasaseguir.
Figura48 – Cubo invertível e suas medidas
(a) Tetraedro dentro do cubo (b) Tetraedro destacado
6.2. Cubo Invertível 75
(c)
Fonte: Elaboradapelo autor.
As medidas foram calculadas utilizando o TeoremadePitágoras. Nos triângulos retângu-
los pertencentes as facesdo cubo, denotando por h1 a hipotenusa, temos:
h21 =
a2
2+ a2
h21 =
a2
4+ a2
h1 =
s5a2
4
h1 =a√
52
.
Para os triângulos retângulos do tetraedro que estão no interior do cubo e, denotando por
h2 ahipotenusadeles, temos:
h22 =
a2
2+
a√
52
! 2
h22 =
a2
4+
5a2
4
h2 =
s6a2
4
h2 =a√
62
.
Apresentamos metadedo moldepara quesepossa verificar umapossível montagem.
76 Capítulo 6. Caleidociclo: Volumee área de superfície
Figura49 – Planificação de metade do Cubo Invertível
Fonte: Elaborada pelo autor.
Lembramosque todos os moldesutilizados estão disponíveis no ApêndiceA.
6.3 Propostas de At ividades
Dividimos estaseção em duaspartesparaquepossamosanalisar oscasos para cadaum
dos caleidociclos apresentadosnasseções 6.1 e6.2.
6.3.1 O M ilagre Shinsei
Material necessário:
∙ moldedo MilagreShinsei disponível no ApêndiceA figura63
∙ tesoura
∙ cola
O professor devedistribuir um moldeparacadaaluno, pedir quemonteo moldeeauxiliar
nesta tarefaparaqueo caleidociclo fique o melhor possível. Há apossibilidade dedeixar que
cada aluno faça seusdoiscaleidociclos ou quecadaaluno faça um deles edepois formem duplas
para compor o cubo, ou ainda, em casos de necessidade de reduzir ao máximo o tempo da
construção, em quartetos, em quecadaaluno recortaráedobrarámetadedeum doscaleidociclos.
Assim, a cada doisalunoshaveráum caleidociclo eacada quatro alunos serápossível compor
um cubo.
6.3. Propostas de Atividades 77
Figura50 – Os dois caleidociclos do MilagreShinsei
Fonte: Elaboradapelo autor.
Feitos os caleidociclos, peça aos alunos que tentem formar um cubo utilizando dois
caleidociclos. Provavelmentealguns irão descobrir apossibilidadede formar outros poliedros
nessa tentativa, isso será interessante para as próximas etapas, mas o professor deverá insistir
queconcluam aetapadaconstrução do cubo.
Figura 51 – MilagreShinsei
Fonte: Elaboradapelo autor.
Asmedidasdo moldepodevariar durantea impressão dosmesmos, por isso é importante
que não seapeguem asmedidas reais nos poliedros, mas sim a medida da arestaquedeveser
adotadaparaoscálculosdasáreas. A adoção damedidapodeser feitapelo professor ou sugerida
pelosalunos.
Apósaconstrução do cubo eadotadaamedidadaaresta, peçaaos alunos quecalculem
o volumeeaáreado cubo. Incentive-os aconcluir queum caleidociclo possui volume igual a
metade do volume do cubo equecada tetraedro dos caleidociclos possui124
do volume do cubo.
Feito isso, é hora de modificar o poliedro. Peça a eles que formem outro poliedro
utilizando os dois caleidociclos. Abaixo temos alguns poliedros que podem aparecer.
78 Capítulo 6. Caleidociclo: Volumee área de superfície
Figura52 – Milagre Shinsei Modificado
(a) (b)
(c)
Fonte: Elaborada pelo autor.
Seo professor desejar, poderárelembrar asdefiniçõesdepoliedro convexo enão-convexo
conformeeles forem formando ospoliedros.
Apóscompletarem algum poliedro, explorea ideiado volumedessespoliedrosserem
iguais ao do cubo, independentedo formato, atentando apenas para quenão hajanenhum espaço
interno ao novo poliedro quenão contenha tetraedros. Vejaum exemplo não desejado:
6.3. Propostas de Atividades 79
Figura 53 – Poliedro com “buraco” interno
(a) Aparentementecorreto (b) Aberto, com “buracos”
Fonte: Elaboradapelo autor.
Agora, questione sobreaáreadesuperfíciedos poliedros. Peçaquecalculem as áreas e
analisem se confere com a respostadada anteriormente. É nessemomento que deveficar claro
quemesmo tendo volume constante, aáreadesuperfíciepodevariar deacordo com o poliedro
formado.
O professor pode avaliar a participação dos alunos ou ainda pedir que respondam as
perguntasem umafolhapara registro deatividadeavaliativa, assim como podeser registrado as
imagenscom câmera fotográficaepublicá-lasnosmurais, blog, jornal ou páginadaescola. O
material aindapodeser aproveitado em possíveis feiras deciências.
6.3.2 Cubo Invert ível
Material necessário:
∙ moldedo Cubo Invertível disponível no ApêndiceA figura 59
∙ tesoura
∙ cola
Assim que distribuir o molde para todos os alunos, peça para recortarem e colarem
formando o caleidociclo. É possível, assim como na proposta anterior, que se faça em duplas
paradiminuir o tempo gasto namontagem.
O professor podepedir queosalunosmovimentem o caleidociclo deformaaencontrarem
o formato de triângulosequiláteros em quatro formasdiferentes, sejavazado ou preenchido.
80 Capítulo 6. Caleidociclo: Volumee área de superfície
Figura 54 – Quatro posições com forma de triângulo equiláteros
(a) (b) (c)
(d)
Fonte: Elaborada pelo autor.
Depois de manipular o caleidociclo com a atividade anterior, peça aos alunos que
movimentem o caleidociclo atéencontrarem umaposição que lembreum cubo; éaconselhável
quefiqueclaro queo caleidociclo sozinho não irá formar um cubo, masque, em determinada
posição eleaparentapartedeum cubo.
Figura 55 – O caleidociclo lembrando um cubo
Fonte: Elaborada pelo autor.
6.3. Propostas de Atividades 81
Antes de calcular o volume do caleidociclo, é interessante propor aos alunos uma
estimativa aproximada do volume em relação ao volume do cubo aparente. Feito isso, defina
uma medida da aresta e cobre o cálculo do volume do caleidociclo a partir do volume de um
dos tetraedros, lembrando que as medidas do tetraedro, em relação àaresta do cubo, podem ser
encontradas naseção 6.2.
Por fim, peça que mostrem queo volume do caleidociclo é um terço do volume do cubo.
Assim como napropostaanterior, o professor podeutilizar essas atividades como avalia-
ções.
83
CAPÍTULO
7CONCLUSÃO E CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objetivo principal deste trabalho foi alcançado, ou seja, apresentamos propostas de
atividades com caleidociclos diferenciados que possam contribuir com a aprendizagem de
habilidadesecompetênciasmatemáticas. Aspropostasvariaram conformeo nível deensino e
ano, além devariações deacordo com o nível deaprendizado das turmas.
Durante a sistematização de atividades já aplicadas anteriormente por nós, surgiram
novas ideias que foram elaboradase apresentadasneste trabalho, outraspossibilidades se mos-
traram durante algumas demonstraçõesegeneralizações, como por exemplo a utilização da lei
dos cossenos para generalizar medidas necessárias na construção de malhas de caleidociclos
fechados.
Deixamosevidentequeháumanecessidadedeaprofundamento dasrelaçõesmatemáticas
presentesnos caleidociclosepossíveis demonstraçõesem afirmações relacionadas ao número
de tetraedrosnecessário parase formar um caleidociclo, ou definir eexplorar oscaleidociclos
cujo centro sealternaentre fechado eaberto, ou aindadefinir eexplorar caleidociclos com anel
retorcido.
O estudo dessasvariaçõesdoscaleidociclos, além do valor científico matemático, pode
trazer novasaplicaçõesdehabilidadesecompetênciaspossíveisdeserem trabalhadasnosEnsinos
Fundamental eMédio.
85
REFERÊNCIAS
ALVES, C. M. F. O estudo da simetr ia através da ar tedeMaur its Cornelis Escher . Disser-tação (Mestrado) — Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA, Rio de Janeiro, 2014.Nenhumacitação no texto.
BORIN, J. Jogos eResolução deProblemas: Umaestratégiaparaas aulasdematemática. 6a.ed. São Paulo: CAEM-IME-USP, 2007. v. 6. 100 p. (Centro de Aperfeiçoamento do Ensino deMatemática - CAEM, v. 6). Citado napágina23.
BRASIL. Ministério daEducação. Simetr ia — [S.l.:s.n., 20 – –]. (SériePlano deAula; Matemá-tica). 10 p. Nenhumacitação no texto.
. Ministério daEducação - Produção deConteúdos EducacionaisDigitaisMultimídiaparaMatemática. Caleidociclos— [S.l.:s.n., 20 – –]. (SérieGuiado Professor: conteúdosdigitais).Disponível em: <http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/experimentos/Geometria_e_arte/index.html>. Acesso em: 24 set. 2014. Citado 2 vezes naspáginas56 e57.
BRASIL, L. A. S. Aplicações da teor ia de Piaget ao ensino da Matemática. [S.l.]: Forense-Universitária, 1977. Citado na página23.
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86 Referências
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THE HEBREW UNIVERSITY OF JERUSALEM. Mathematics and Computer ScienceL i-brary. Disponível em: <http://www.ma.huji.ac.il/~library/models.htm#plastic>. Acesso em: 25set. 2014. Nenhumacitação no texto.
TINOCO, M. J. Isometr ias. Dissertação (Mestrado) — Departamento deMatemática, FaculdadedeCiências daUniversidade do Porto, Porto, 2012. Nenhumacitação no texto.
VITTI, C. M. Matemática com prazer, a par tir da histór ia eda geometr ia. 2a. ed. Piracicaba:EditoraUNIMEP, 1999. 103 p. Citado 2 vezesnas páginas21 e22.
VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente: o desenvolvimento dosprocessospsicológicossuperiores. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1991. 168 p. (Coleção Psicologia e Pedagogia).Nenhumacitação no texto.
VYGOTSKY, L. S.; LURIA, A. R.; LEONTIEV, A. N. L inguagem, desenvolvimento eapren-dizagem. 13. ed. São Paulo: Icone, 2014. 228 p. (Coleção Educação Crítica). Nenhuma citaçãono texto.
WALKER, W.; SCHATTSCHNEIDER, D. CaleidociclosdeM. C. Escher . São Paulo: TaschenEditora, 1997. 40 p. Nenhumacitação no texto.
WEYL, H. Symmetry. 5. ed. Princeton, New Jersey: Princenton University Press, 1952. 168 p.Nenhumacitação no texto.
87
APÊNDICE
AMOLDES DOS CALEIDOCICLOS
Os moldes dos caleidociclos usados neste trabalho estão aseguir. Existem muitos outros
moldesou sitesem quesepossaencontrar outrosmoldes. Nasreferênciasexistem alguns links
onde poderão ser encontradasmaisopções.
88 APÊNDICE A. Moldes dos caleidociclos
Figura56 – Caleidociclo deSeis Tetraedros com Desenhos
Fonte: Elaborada pelo autor.
89
Figura57 – Caleidociclo deSeis Tetraedrossem Desenhos
Fonte: Elaboradapelo autor.
90 APÊNDICE A. Moldes dos caleidociclos
Figura 58 – Caleidociclo Fechado com 12 Tetraedros
Fonte: Elaborada pelo autor.
91
Figura 59 – Caleidociclo Cubo Invertível
Fonte: Elaboradapelo autor.
92 APÊNDICE A. Moldes dos caleidociclos
Figura60 – Raio Do Cubo Invertível
Fonte: Elaborada pelo autor.
93
Figura61 – Terça Parte do Caleidociclo Cubo Invertível
Fonte: Elaboradapelo autor.
94 APÊNDICE A. Moldes dos caleidociclos
Figura 62 – Terça Parte do Raio do Cubo Invertível
Fonte: Elaborada pelo autor.
95
Figura 63 – Caleidociclo MilagredeShinsei - Metade do Molde
Fonte: Elaboradapelo autor.
96 APÊNDICE A. Moldes dos caleidociclos
Figura 64 – Caleidociclo Milagre de Shinsei - Moldecom dois tetraedros
Fonte: Elaborada pelo autor.
97
Figura 65 – Caleidociclo Milagre deShinsei - 4 Moldes com dois tetraedros
Fonte: Elaboradapelo autor.
98 APÊNDICE A. Moldes dos caleidociclos
Figura 66 – Caleidociclo de8 Tetraedros Regulares
Fonte: Elaborada pelo autor.
99
Figura67 – Metade do Caleidociclo de8 Tetraedros Regulares - Parte 1
Fonte: Elaboradapelo autor.
100 APÊNDICE A. Moldes dos caleidociclos
Figura 68 – Metadedo Caleidociclo de 8 Tetraedros Regulares - Parte2
Fonte: Elaborada pelo autor.
101
Figura 69 – Caleidociclo Fechado de 8 Tetraedros
Fonte: Elaboradapelo autor.
102 APÊNDICE A. Moldes dos caleidociclos
Figura 70 – Caleidociclo Fechado de 10 Tetraedros
Fonte: Elaborada pelo autor.
103
APÊNDICE
BSÓLIDOS LOUCOS
Sólidos loucos são figuras geométricasespaciais com asseguintescaracterísticas:
∙ compostos desólidosmenores;
∙ oscomponentes estão ligados por arestas;
∙ oscomponentes podem ser movimentados formando outros sólidos.
Os sólidos loucos podem ser construídos facilmente com papel. No meio digital, é
conhecido como crazy paper ... ondeo nomefinal varia. Osmais comuns são cylinder ecube.
Essessólidospodem ser utilizadospara atividades com alunosdesde6o ano do Ensino
Fundamental para trabalhar com figuras tridimensionais até o final do Ensino Médio para
relacionar volumeeáreadesuperfície. Não éobrigatório encaixar suaconstrução com algum
conteúdo específico, pois alguns alunos não tiveram a oportunidadede ver algo diferente nos
anosqueseriam mais indicadosepor isso trazem o lúdico enovaperspectivado conhecimento
matemático aqualquer momento davidaescolar ou depoisdela.
Oficinaspodem ser desenvolvidasem programasde interação da escolacom acomuni-
dadecomo, por exemplo, o programaEscoladaFamília, no estado de São Paulo.
Seguem moldese imagensdealgunsdos sólidos loucos encontradosno meio digital.
B.1 Cilindro Alto
Estecilindro ésubdividido em oito sólidos iguais. Cadasólido está ligado aoutrosdoise
cada ligação ocorrepor meio deumaaresta comum.
104 APÊNDICE B. Sólidos Loucos
Figura 71 – Cilindro alto
(a) Posição inicial (b) Metadeshorizontais
(c) Metades Verticais (d) Metades VerticaisOpostas
(e) Cubo vazado (f) Arestasde ligação
Fonte: Elaborada pelo autor.
B.1. Cilindro Alto 105
Figura72 – Molde do cilindro alto
Fonte: Elaboradapelo autor.
106 APÊNDICE B. Sólidos Loucos
B.2 Cilindro Baixo
Cilindro subdividido em oito sólidos iguais. Cada sólido está ligado a outros dois e a
ligação entredoisdeles épor meio deumaaresta. Estecilindro émaisbaixo queo anterior enão
tem sobreposição departes naposição inicial.
B.2. Cilindro Baixo 107
Figura 73 – Cilindro baixo
(a) Posição inicial (b) Metadessobrepostas
(c) Quartossobrepostos (d) Oitavos
(e) Arestasde ligação 1 (f) Arestasde ligação 2
Fonte: Elaboradapelo autor.
108 APÊNDICE B. Sólidos Loucos
Figura 74 – Modelo do cilindro baixo
Fonte: Elaborada pelo autor.
B.3. HyperQBS 109
B.3 HyperQBS
HyperQBSé um cubo dividido em 12 tetraedros com base em metade da face do cubo e
vérticedapirâmideno centro do cubo. Cada tetraedro está ligado aoutrosdoispor umaaresta
comum.
Vejaalgumas imagens depossibilidadesde formascom o hyperQBSeem seguidadois
moldes.
110 APÊNDICE B. Sólidos Loucos
Figura 75 – HyperQBS
(a) Cubo (b) Cubo - perfil
(c) Trio de losangos (d) Cubo em canto
(e) Cubo em canto - perfil (f) Pirâmidecom cortecúbido
B.3. HyperQBS 111
(g) Pirâmide (h) Contorno Hexagonal
(i) Arestasde ligação
Fonte: Elaboradapelo autor.
112 APÊNDICE B. Sólidos Loucos
Figura76 – Molde pequeno do HyperQBS
Fonte: Elaborada pelo autor.
B.3. HyperQBS 113
Figura 77 – Molde grandedo HyperQBS
Fonte: Elaboradapelo autor.