Reglerteori. Föreläsning 5Torkel Glad
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2
Sammanfattning av Föreläsning 4
Kalman�lter
• Optimal observatör
• Kräver stokastisk modell av störningarna
• Kräver lösning av algebraiska Riccatiekvationen
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 3
Sammanfattning av Föreläsning 4, fortsViktiga överföringsfunktioner när G återkopplas med −Fy:• T = (I +GFy)−1GFy, Komplementärkänslighetsfunktionmodellfel → stabilitet, mätstörning → styrd signal
• S = (I +GFy)−1, Känslighetsfunktionutsignalstörning → styrd signal, modellfel → styrdsignal
• Su = (I + FyG)−1, Insignal-känslighetsfunktioninsignalstörning → insignal
• Gwu = −SuFy, utsignalstörning → insignal• Gwuy = SuG, insignalstörning → utsignal/styrd signal
Stabilitet hos S, Su, Gwu, Gwuy garanterar stabilitet hosslutna systemet.
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 4
Sammanfattning av föreläsning 4, forts.
• S mäter förstärkning från modellfel till signalfel.• Om ∆G är relativa modellfelet, dvs
Gsann = (I + ∆G)Gmodell
så är återkopplade systemet stabilt om
||∆GT ||∞ < 1
Detta är i sin tur uppfyllt om
|T (iω)| < 1
|∆G(iω)| , allaω
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 5
Föreläsning 5.
1. Vilka regulatorprinciper �nns?
2. Vem skall styra vad? RGA
3. Syntesmetod 1: Linjärkvadratisk syntes
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 6
Mest framgångsrika regulatorn någonsin: PID
• Boulton och Watt 1788:hastighetsreglering av ångmaskiner,mekanisk implementering
• Hydrauliska och pneumatiskaimplementeringar: sent 1800-tal.
• Elektronikimplementeringar:1930-talet.
• Datorimplementeringar: 1950-talet.
• �PID-on-a-chip�: 1990-talet.
• Kvantdator ???
• Tillämpningar: alla. foto: Wikipedia � Andy Dingley
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 7
PID, forts.
• Förutsätter en insignal och en utsignal.• Har man �era in- och utsignaler måste man para ihopdem två och två.
• Tolkning i bodediagram: fasavancerande ochfasretarderande.
• Kan ställas in med intuition och experimenterande.Resultat: högst halvbra (utom i mycket enkla fall).
• Systematisk analys (poler nollställen , S, T ,...) kan geregulatorinställning med mycket höga prestanda.
• Första systematiska angreppssättet (poler): Maxwell1868.
• Robust formning av kretsförstärkningen: Åström ochHägglund 2006.
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 8
När PID inte räcker till
(Betyder oftast att systemet är �ervariabelt och/ellerolinjärt.)
• IMC (Internal Model Control)
• Minimering av kvadratiska kriterier: LQ, LQG
• Systematisk formning av överföringsfunktioner: H2,H∞
• Olinjära metoder.
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 9
Flera in- och utsignaler. Vem skall styra vad?
� Magert system:
G =
· · ·· · ·· · ·· · ·
Fler ut- än insignaler. Alla utsignaler kan inte styrasperfekt � prioritera.� Tjockt system:
G =
[· · · · · · · · ·· · · · · · · · ·
]Fler in- än utsignaler. Hur skall styrarbetet fördelas påinsignalerna?
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 10
Flera in- och utsignaler. Interaktion
• Om det �nns många in- och utsignaler blirregulatorsyntesen mycket enklare om man kan brytaned systemet i delsystem som har liten interaktion.
• RGA � ett sätt att mäta interaktion
• Tillförlitlighetsaspekter
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 11
RGA
• Betrakta följande ideala fall• Utsignal j styrs från insignal i och ingen annan
styrning sker.
• Utsignal j styrs från insignal i och alla andra
utsignaler är perfekt reglerade.
• Bilda kvoten mellan förstärkningarna i de två fallen(för varje par av in/ut-signaler)
• Matematiskt: elementvis multiplikation av G och G−T
(G överföringsfunktionen utvärderad t.ex. vid ω = 0)• I Matlab: RGA(A) = A.*pinv(A.') (pinv =pseudoinvers, klarar icke-kvadratiska matriser)
• Para ihop mät- och styrsignaler så att motsvarandeRGA element för överföringsfunktionen v ligger nära 1(och i varje fall inte är negativa).
• Decentraliserad reglering• Frikopplad reglering
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 12
Destillationskolonn
LC
A
T
T
T
LC
LC
FEED
BOTTOMS REFLUX
INTERMEDIATE REFLUX
UPPER REFLUX
TOP DRAW
SIDE DRAW
BOTTOMS
SIDESTRIPPER
FC
FC
Q(F,T)CONTROL
F
T
PC
T
A
T
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 13
RGA för destillationskolonn
G(s) =
[4.05e−27s
50s+11.77e−28s
60s+15.88e−27s
50s+15.39e−18s
50s+15.72e−14s
60s+16.90e−15s
40s+1
]
RGA(G(0)) =
[0.3203 −0.5946 1.2744−0.0170 1.5733 −0.5563
]
RGA(G(i/50)) =[0.4794− 0.3558i −0.6325− 0.0158i 1.1532 + 0.3716i−0.1256 + 0.3558i 1.5763 + 0.0158i −0.4507− 0.3716i
]
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 14
Decentraliserad regleringPara ihop in- och utsignaler mha RGA.Styr sedan med en diagonal PI-regulator.Utreglering av stegstörning:
0 50 100 150 200 250 300−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
y2
y1
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 15
Frikopplad reglering
Förmultiplicera regulatorn med G(0)−1. Styr sedan med endiagonal PI-regulator.
Utreglering av stegstörning:
0 50 100 150 200 250 300−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
tid, min
y2
y1
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 16
IMC. Internal Model Control
Återkoppla bara från ny information.
Fr
G
G0Q
+
+
−
−r u y
Ger (om G0 = G)• S = I −GQ, T = GQ
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 17
IMC-reglerdesign: Grundidè
• Välj Q = G−1!
• Går ej!
Approximera:
Q(s) =1
(λs+ 1)nG−1(s)
Exempel: ...
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 18
Regulatorsyntes
Två huvudprinciper:
• Kvadratisk viktning av variabler. Optimering.�Linjärkvadratisk syntes�. �LQ�, �LQG�
• Direkt formning av S, T ,... i frekvensplanet. �H∞�.�H2�
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 19
Minimering av kvadratiskt kriterium
• Modell:
x = Ax+Bu+Nv1, y = Cx+ v2, z = Mx
• v1, v2 vita brus med intensiteter R1, R2
• Kriterium: Minimera
E(zTQ1z+uTQ2u) = E(xT Q1x+uTQ2u), Q1 = MTQ1M
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 20
LQG. Faktum 1
• I Kalman�ltret är x och x okorrelerade och xoberoende av u. (x = x− x)
• Konsekvens: Det går lika bra att minimera
E(xQ1x+ uTQ2u)
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 21
LQG. Faktum 2
• I Kalman�ltret är
ν = y − Cx
vitt brus med intensitet R2.
• Konsekvens: Kalman�ltret kan skrivas påinnovationsform
˙x = Ax+Bu+Kν
där brus-insignalen ν är vitt brus.
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 22
LQG forts.
• Faktum 3: Om yv är utsignalen från ett system medvitt brus som insignal, och yi utsignalen från sammasystem med ideal impuls som insignal så är
Ey2v =
∫ ∞0
yi(t)2 dt
• Faktum 4: Att lägga en impuls på ingången till ettsystem är ekvivalent med att lägga på ett visstbegynnelsevärde när insignalen är noll.
Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 23
Konsekvens av Faktum 3,4
Det ursprungliga optimeringsproblemet är ekvivalent medatt minimera ∫ ∞
0(xT Q1x+ uTQ2u)dt
för systemet
˙x = Ax+Bu, x(0) givet
Lösning: u = −Lx, L = Q−12 BTS, där S ges av
Q1 +ATS + SA− SBQ−12 BTS = 0
Tackwww.liu.se