Relação entre Tensões e Deformações
Resistência dos Materiais
Resistência dos Materiais
Propriedades Mecânicas dos Metais
• Um grande número de propriedades pode ser derivado de um único tipo de
ensaio, o ensaio de tração.
No ensaio de tração, um material é tracionado e deforma-se até a ruptura.
Mede-se o valor da força e do alongamento a cada instante, e gera-se uma
curva tensão-deformação.
Resistência dos Materiais
Resistência dos Materiais
Tensão e Deformação
DeformaçãoL
NormalTensãoA
P
L
A
P
A
P
2
2
LL
A
P
2
2
corpo de prova
Célula de Carga
Tração
Diagrama Tensão - Extensão
Alongamento (mm)0 2 3 4 51
0
50
100
Car
ga (
103 N
)
0
250
500
Deformação, (mm/mm)
Ten
são,
(
MP
a)
0 0.04 0.05 0.08 0.100.02
Normalização para eliminar influência da geometria da amostra
Resistência dos Materiais
Curva Tensão - Deformação
• Normalização
= P/A0 onde P é a carga e A0 é a área da seção reta do corpo de prova.
= (L-L0)/L0 onde L é o comprimento para uma dada carga e L0 é o comprimento original
• A curva pode ser dividida em duas regiões:
Região elástica
é proporcional a => = E.ondeE = módulo de Young
A deformação é reversível.
Ligações atômicas são alongadas mas não se rompem.
Região plástica
não é linearmente proporcional a .
A deformação é quase toda não reversível.
Ligações atômicas são alongadas e rompem-se.
Resistência dos Materiais
Curva Tensão – Deformação
Ten
são,
σ (
MP
a)
0 0.04 0.05 0.08 0.100.020
250
500
Deformação, ε (mm/mm)
Plástica
Elástica
Fratura
Como não existe um limite claro entre as regiões elástica e plástica, define-se o limite de escoamento, como a tensão que, após a libertação da carga, causa uma pequena deformação residual de 0.2%.
O Módulo de Young, E, (ou módulo de elasticidade) é dado pela derivada da curva na região linear.
0 0.004 0.005 0.008 0.0100.002
Deformação, (mm/mm)
Limite de escoamento
Resistência dos Materiais
Resistência dos Materiais
Diagrama Tensão x Deformação: Materiais Dúcteis
Resistência dos Materiais
Diagrama Tensão - Deformação: Materiais Frágeis
Resistência dos Materiais
Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young
= E
Lei de Hooke:
Estricção e limite de resistênciaT
ensã
o,
Estricção
Deformação,
Limite de resistência
A partir do limite de resistência começa a ocorrer uma estricção no corpo de prova. A tensão concentra-se nesta região, levando à ruptura.
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Fratura dúctil e frágil• Fratura dúctil
o material deforma-se substancialmente antes de fraturar.
O processo desenvolve-se de forma relativamente lenta à medida que a fenda se propaga.
Este tipo de fenda é denominado estável porque ela para de se propagar a menos que haja uma aumento da tensão aplicada no material.
Resistência dos Materiais
Fratura frágil
O material deforma-se pouco, antes de fraturar.
O processo de propagação da fenda pode ser muito veloz, gerando situações
catastróficas.
A partir de um certo ponto, a fenda é dita instável porque se propagará mesmo
sem aumento da tensão aplicada sobre o material.
Fratura
Resistência dos Materiais
Ductilidade
• Ductilidade é uma medida da extensão da deformação que ocorre até a fratura.
• Ductilidade pode ser definida como:
Alongamento percentual % AL = 100 x (Lf - L0)/L0
onde Lf é o alongamento na fratura
uma fração substancial da deformação concentra-se na estricção, o que faz com
que a % AL dependa do comprimento do provete. Assim o valor de L0 deve ser
citado.
Redução de área percentual %AR = 100 x(A0 - Af)/A0
onde A0 e Af se referem à área da secção recta original e na fractura.
Independente de A0 e L0 e em geral de AL%
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Resiliência
• Resiliência é a capacidade que o material possui de absorver energia elástica
sob tração e devolvê-la quando relaxado.
Área sob a curva dada pelo limite de escoamento e pela extensão no
escoamento.
Módulo de resiliência Ur = d com limites de 0 a y
Na região linear Ur =yy /2 =y(y /E)/2 = y2/2E
Assim, materiais de alta resiliência possuem alto limite de escoamento e
baixo módulo de elasticidade.
Estes materiais seriam ideais para uso em molas.
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Tenacidade
• Tenacidade (toughness) é a capacidade que o material possui de absorver energia
mecânica até a fratura.
Área sob a curva até a fratura
Dúctil
Frágil
Extensão,
Ten
são,
O material frágil tem maior tensão de
escoamento e maior tensão de
resistência. No entanto, tem menor
tenacidade devido à falta de ductilidade
(a área sob a curva correspondente é
muito menor).
Resistência dos Materiais
Resumo da curva e Propriedades
Região elástica (deformação reversível) e região plástica (deformação quase toda irreversível).
Módulo de Young ou módulo de elasticidade => derivada da curva na região elástica
(linear).
Tensão de escoamento (yield strength) => define a transição entre regiões elástica e plástica => tensão que, libertada, gera uma deformação residual de 0.2 %.
Tensão de resistência (tensile strength) => tensão máxima na curva de engenharia.
Ductilidade => medida da deformabilidade do material
Resiliência => medida da capacidade de absorver e devolver energia mecânica => área sob a região linear.
Tenacidade (toughness) => medida da capacidade de absorver energia mecânica até a fratura => área sob a curva até a fractura.
Resistência dos Materiais
A curva real
A curva obtida experimentalmente é
denominada curva - ε de engenharia.
Esta curva passa por um máximo de tensão, parecendo indicar que, a partir deste valor, o material se torna mais fraco, o que não é verdade.
Isto, na verdade, é uma consequência da estricção, que concentra o esforço numa área menor.
Pode-se corrigir este efeito levando em conta a diminuição de área, gerando assim a curva real.
Curva real
Fractura
Fractura
Curva σ - ε de engenharia
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Coeficiente de Poisson
• Quando ocorre alongamento ao longo de uma direcção, ocorre contracção no plano perpendicular.
• A Relação entre as deformações é dada pelo coeficiente de Poisson .
= - y / x = - z / x o sinal de menos apenas indica que uma
extensão gera uma contracção e vice-versa.
Os valores de para diversos metais estão entre 0.25 e 0.35.
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• Para uma barra sujeita a carregamento axial:
0 zyx
x E
• O alongamento na direcção ox é acompanhado da contracção nas outras direcções. Assumindo o material como isotrópico tem-se:
0 zy
• O coeficiente de Poisson é definido por:
x
z
x
y
alLongitudin Extensão
lTransversa Extensão
Coeficiente de Poisson
Resistência dos Materiais
Exercício resolvido 2
x = d/d0 = -2.5 x10-3 /10 = -2.5 x10-4
z = - x/-2.5 x10-4 / 0.35 = 7.14 x10-4
= E. z = 10.1 MPa x 7.14 x10-4 = 7211 Pa
F = A0 = d02/4 = 7211 x (10-2)2/4 = 5820 N
Um cilindro de latão com diâmetro de 10 mm é traccionado ao longo do seu eixo. Qual é a força necessária para causar uma mudança de 2.5 µm no diâmetro, no regime elástico ?
Resistência dos Materiais
Distorção
• Uma tensão tangencial causa uma distorção, de forma análoga a uma tracção.
Tensão tangencial
= F/A0 onde A0 é a área paralela à aplicação da força.
Distorção
= tan = y/z0onde é o ângulo de deformação
• Módulo de distorção G
= G
Resistência dos Materiais
Resistência dos Materiais
• Um elemento cúbico sujeito a tensões tangenciais deforma-se num rombóide. A distorção correspondente é quantificada em termos da alteração dos ângulos:
xyxy f
• Lei de Hooke: (Pequenas deformações)
zxzxyzyzxyxy GGG
G é o módulo de distorção.
Distorção
Resistência dos Materiais
G
Diagrama Tensão tangencial - Distorção
Com base num ensaio de torção obtêm-se os valores de tensão tangencial e respectivos valores de
distorção. Representando num gráfico os sucessivos valores obtidos no ensaio chega-se ao diagrama
Tensão tangencial - Distorção para o material em consideração.
O diagrama Tensão - Distorção é idêntico ao diagrama Tensão - Extensão obtido a partir de um ensaio
de tracção. No entanto os valores obtidos para a tensão tangencial de cedência, tensão tangencial de
rotura etc. de um dado material, são aproximadamente metade dos valores correspondentes à tracção.
][rad
p
p
p U r
r
U
][MPa
Muitos dos materiais utilizados em engenharia
têm um comportamento elástico linear e assim a
Lei de Hooke para tensões tangenciais pode ser
escrita:
Resistência dos Materiais
Relação entre E,ν, e G
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EG
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Exercício resolvido 3
Um bloco rectangular de um material comum módulo de distorção G = 620 MPa é
colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, enquanto a placa
superior é submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa superior se
desloca 1 mm sob acção da força, determine:
a) a distorção média no material;
b) a força P que actua na placa superior.
200 mm 60 mm
50 mm
Resistência dos Materiais
radmm50
mmxyxyxy 020.0
1tan
xyxy G
kNAP xy 8,14860*200*4,12
1 mm
50 mm
Solução
a) Distorção média no material
b) Força P actuante na placa superior
MPaG xyxy 4,1202,0*620
Resistência dos Materiais
• Num elemento sujeito a um carregamento multiaxial, as componentes de extensão resultam das componentes de tensão por aplicação do princípio da sobreposição. As condições de aplicação do método são:
1) Cada efeito é directamente proporcional à carga que o produziu (as tensões não excedem o limite de proporcionalidade do material).
2) As deformações causadas por qualquer dos carregamentos é pequena e não afecta as condições de aplicação dos outros carregamentos.
EEE
EEE
EEE
zyxz
zyxy
zyxx
• Tem-se:
Carregamento Triaxial - Lei de Hooke Generalizada