Representação de sistemas de dados mostrados
Na aula anterior introduzimos o tema de sistemas discretos e recordamosaspectos sobre transformada Z, que é uma ferramenta imprescindível para trabalhar neste campo
Hoje nos deteremos em dois aspectos fundamentais
Na aula anterior, foi apresentado o sistema de controle digital genérico, vide figura que pode ser esquematizada na seguinte forma:
Neste modelo, o relógio garante que o sistema discreto irá trabalhar com um período de amostragem constante.
Representação Discreta do Subsistema: D/A – Processo – A/D
Em geral, a referência r(t) (sinal de entrada) é gerada internamente pelo computador, desta forma o diagrama pode ser representado como:
• Na figura o sistema está parcialmente descrito na variável “z” e parcialmente na variável “s”. • Para projetar o controlador Gz, é necessário que o sistema todo esteja representado em apenas uma única variável.• Isto é feito determinando a função de transferência discreta do subsistema discreto composto por D/A – processo – A/D, ou seja:
Observações
A seguir nos deteremos um momento neste elemento
O conversor D/A de ordem zero aproxima os valores amostrados por um polinômio de ordem zero, conforme mostrado na figura abaixo.
Para determinar a resposta de G(s) (processo) a essa entrada, é necessário aplicar a transformada de Laplace sabendo que:
A transformada de Laplace é:
A resposta y(s) do processo devido à entrada é
Segundo a figura
Sendo que y(kT) é obtido de y(t) fazendo apenas t = kT.
Esta resposta y(t) passa pelo conversor A/D e gera y(kT).
A transformada Z de y(kT) será:
Fazendo:
Teremos:
Segundo o operador atraso:
Logo,
devido a
Assim,
deve ser interpretada como a transformada – Z da seqüência obtida pela amostragem do sinal
Já se definiu anteriormente
Como a resposta ao impulso Y(z) é igual à função de transferência do sistema H(z), temos:
Logo, para calcular H(z) devem-se seguir os seguintes passos:
A equação pode ser determinada utilizando apenas a tabela
Encontre na tabela a transformada inversa de
e encontre na tabela a transformada – Z de
Faça
Finalmente, a função de transferência discreta do sistema D/A – G(s) – A/D
será
Exemplo 1: Considere o seguinte sistema dinâmico com interface A/D e D/A:
Calcule a função de transferência discreta:
Solução:A função de transferência H(z) é obtida realizando-se os passos da página anterior:
1-
2- logo, segundo a tabela temos:
utilizou-se a linha (6) da tabela
Finalmente, 3-
a=4;G=tf(a,[1 a]);T=0.1;Gz=c2d(G,T)
Se
0.6703-z0.3297H(z)
0.1T4
a
0.3297----------z - 0.6703
Exemplo 2: Considere o sistema de controle digital abaixo,
O período de amostragem da parte discreta é: 0,1segTrace o gráfico de y(kT) x kT devido a entrada r(kT) tipo degrau unitário..
Solução: Para determinar y(kT) é necessário primeiramente representar todo sistema na variável Z, onde obtemos:
Os pólos são:
Temos:
Aplicando a propriedade de deslocamento:
Finalmente, a resposta transitoria sera:
Gz=tf([0.0952 0],[1 -1.8096 0.9048],0.1)figure(1)step(Gz)
Esta é a resposta completa se quer ver quão mesmo obteve teoricamente até o instante de amostragem 17
Gz=tf([0.0952 0],[1 -1.8096 0.9048],0.1)figure(1)step(Gz,2)
n=[0.0952 0]d=[1 -1.8096 0.9048]figure(2)dstep(n,d)