Resumo de aulas anteriores
Geodésica: menor distância entre dois pontos
• espaço euclidiano: linhas retas• espaço esférico: arco de círculo máximo• espaço hiperbólico: hipérbole
Um caminho descrito por um corpo livre que obedece a 1a leide Newton de movimento pode ser descrita expressando suascoordenadas espaciais como função do tempo: x(t), y(t), z(t)
t absoluto
Este caminho representa a menor distância entre dois pontos
geodésica do espaço
CASO RELATIVÍSTICO: t é relativo
Supondo um espaço plano 3-D dado por dl2=dx2+dy2+dz2
Pode-se substituí-lo por um espaço-tempo 4-D de Minkowski, definido pelas coordenadas espaciais x,y,z e pela distância temporal ct, onde x() , y() , z() , t()
tempo próprio (absoluto)
ds2=c2dt2-|dl2|métrica pseudo-euclidiana
a distância espacial dl entre dois pontos num espaço 3-D é
generalizada à distância ds entre dois eventos num E-T 4-Ddefinido pelas coordenadas de tempo e espaço
Dois eventos separados no E-T são causamente conectadospor sua separação espacial dl e temporal dt obedecendoa lei:
cdtdl
ds2=c2dt2-|dl2| , se dl/dt=c dl=cdt ds2=c2dt2-c2dt2= 0
um sinal de luz tem separação nulaou atravessa um espaço de geodésicasnulas (ligth-like)
O intervalo de tempo próprio d = ds/c (entre dois eventos ao longo da linha de mundo de um corpo)
luz : d = 0 Limita o universo observável presentecontém todas as linhas de mundo que podemser observadas em princípio
MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER
Sai do caso plano (K=0), para diferentes K ou geometrias possíveis
Mas K é sempre constante (princípio cosmológico)
Ҝ= -1/R2
Ҝ= 1/R2
X
Y
Z
R
P
Definição:
GeometriasPossíveis:
Ҝ(t)=k / R2(t) k =-1,0,+1A curvatura é constante somente num dado t, mas varia paratempos diferentes
fator de escala ou parâmetro de expansão
Suposições:
• universo como um fluído isotrópico e homogêneo : fluído cosmológico• descrição da posição de um objeto no espaço: coordenadas comóveis
como coordenadaslagrangeanas
• quantidade absoluta: = tempo próprio medido por “relógios” em repouso em relação ao fluído cosmológico
referencial inercial
Vimos que a métrica de um espaço 3-D de Ҝ constante podeser descrito como:
)sin(1
22222
22 dda
a
dads espacial
Onde a não é o raio próprio no espaço
a
Raiopróprio
22222
22222 sin(
1)(
ddk
dtRdtcds
a não é comóvel
corte vertical da esfera anterior:
a
R
expandindo oucontraindo a esferaa muda o seu valormas fica constante
Podemos usar como coordenada comóvel:)(tR
a
= sin )sin(1
22222
22 dda
a
dads espacial
Substituindo na métrica r=R(t) e Ҝ=k/R2(t)
MÉTRICA DE ROBERTSON WALKER (MRB) (1934)
adimens.
MRW : ds2 = distância entre dois eventos num E-T 4D definidos pelas coordenadas de tempo e espaço
Ao longo da linha de mundo de um observador comóvel(em repouso em relação a um dado ref. inercial)
ds2espacial=0 ds2=c2dt2-ds2
espacial
dds/c d=dt
Pode-se demonstrar que se (,,) = constante é uma geodésicano E-T (todos os observadores comóveis estão em “queda livre”)
Se (,,) = constante d=d= d=0 ds2espacial=0
d=dt
Demonstração:
Pelo princípio da equivalência: gravitação é considerada como um aspecto intrínseco do E-T
Campo gravitacional é uma “manifestação” da curvatura do E-T:
22 4
c
Ggoo
goo determina propriedadesgeométricas do E-T (ex. K)
Cada galáxia segue, além da expansão, um caminho “natural”descrito pela geometria do E-T
movimentos de algumas galáxias são observados em direçõesdiferentes da direção dada pelo movimento de recessão devido àexpansão
Postulado da TRG: corpos livres movem-se ao longo de geodésicasno E-T curvo
Se (,,) = constante é uma geodésica referencial comóvel observador em “queda livre”
Sistema de coordenadas comóveis: está em repouso emrelação à matéria no universo
DEFINIÇÕES DE DISTÂNCIAS E VELOCIDADES PRÓPRIAS
em termos da MRW
Seja: nossa galáxia →coordenadas (,,)=(0,0,0)galáxia arbitrária → coordenadas (,0,0)
definição de D própria → dDP=cdt (no E-T ds2=0)
0sin(1
)( 22222
22222
ddk
dtRdtcds
dD2P 2/1
22222
2
sin(1
)(
ddk
dtRdDP
Sendo e fixos:
021
)(k
dtRdDP
1arcsin
0
1arcsin
)(
1)(0
2
kh
k
k
tRD
k
dtRD
P
P
DP depende de R que depende do t
Analisando:
1. k=0 : DP=R(t) pode crescer sem limite com DP
Espaço plano (=a/R(t), DP=a) universo não-ligado
2. k=+1: DP= R(t)arcsin =sin(DP/R(t))
DP/2R
valor máximo de : DP= /2R
Viajando a uma distância DP=R através de um espaçocurvo 3D voltamos ao ponto de partida!!!
Universo com k>0 : ligado e fechado
3. k=-1: DP= R(t)arcsinh =sinh(DP/R(t))
sinhx=(ex-e-x)/2
DP
pode crescer indefinidamente com DP → k=-1: universo não-ligado e aberto
Velocidade própria entre duas galáxias:
dt
dDV PP
Se
021
)(k
dtRDP
021
)(k
dtRVP
Então:PPP DtHD
tR
tRV )(
)(
)(
Onde: )(
)()(
tR
tRtH
é o parâmetro de Hubble
VP=H(t)DP é uma equação semelhante à de Hubble, não Estritamente igual pois envolvem DP e VP que não podemSer medidas diretamente
EQUAÇÕES DE FRIEDMANN
Obtidas a partir das equações de Einstein da TRG, usando a MRW:
ijij Tc
GG 4
8
Gij = tensor de Einstein : descreve a geometria do universoTij = tensor energia-momentum: descreve a distribuição de matéria e energia
Distribuição de matéria+energia provoca uma curvatura no E-Tque é descrita pelas equações de Einstein
22 4
c
Ggoo
Vimos que:campo gravitacional é uma “manifestação” da curvatura do E-T:
Generalização desta equação para a TRG:
• A TRE diz que toda a forma de energia possui massa (E=mc2)
= matéria+ energia
a generalização de nos leva a Tij = distribuição dematéria e energia
• generalização de oog
2 para uma métrica pseudo-riemannianaarbitrária leva ao chamado tensor deEinstein Gij que depende de gij e suasderivadas 1a e 2a
Em cosmologia Tij vai depender de 2 funções: pressão p(t)e densidade (t), onde p(t) é a pressão exercida num fluídocosmológico devido à radiação + movimento peculiar das galáxias
pressão dinâmica
Então chega-se a duas equações fundamentais quedescrevem a dinâmica do universo:
3)(
)(
)()(
3
8
)(
)(2
)(
)(
)()(
8
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tR
tR
tR
kct
G
tR
tR
tR
tR
tR
kctp
c
G
constantecosmológica
→ introduzida por Einstein para obter soluções paraum universo em equilíbrio
Soluções estáticas (R=cte)
Combinando as duas equações:
)(3
1)(
)(3)(
3
42 tRtRc
tpt
GR
Equação do movimento que vai definir a expansão ou contração do universo
Estas equações nos dão: k (geometria) e R(escalas de distância)
do universo, conhecendo-se e p.Obtemos a equação da evolução do universo R(t) t para umadada geometria
Notinha: se =0 e p=0 RG
R 3
4
= cosmologia newtoniana para cte =0
No entanto R(t) tem outra interpretação...
Vê-se que não existem soluções estáticas para =0,isto é, R=cte...
por isso Einsten introduziu