SumrioCAPTULO 1 NATURAIS E INTEIROS2Os nmeros naturais2Mdulo de um nmero |-5| = +58EXERCCIOS11Smbolos > < 11EXERCCIOS13APLICAES14Cancelamento de inteiros15EXERCCIOS16Multiplicao17Multiplicao como vrias somas17EXERCCIOS18Ordem das operaes19EXERCCIOS22Aplicaes24Diviso24Diviso como inverso da multiplicao24EXERCCIOS:25Nmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, ...26 APLICAES26Divisibilidade26EXERCCIOS27Decomposio em fatores primos 60=2.3.528Base 1029EXERCCIOS30Soma e subtrao de decimais32Multiplicao de decimais33Multiplicao e diviso por mltiplos de 1033Diviso de decimais34Arredondamento35EXERCCIOS36Notao exponencial e potenciao 5 101236Potncia na ordem das operaes37EXERCCIOS37Notao cientfica38Decimal para cientfica38Cientfica para decimal38Contas com notao cientfica38Soma e subtrao38Multiplicao e diviso39EXERCCIOS39Notao de engenharia: prefixos K, M, G ... m, , n ...40APLICAES40CAPTULO 2 FRAES42Mltiplos e Mnimo Mltiplo Comum (MMC)42Divisores e Mximo Divisor Comum (MDC)43APLICAES45Fraes48EXERCCIOS48Fraes imprprias ( ) e nmeros mistos ()49Misto para imprpria 3 = 7/249Imprpria para misto 3/2 = 1 49EXERCCIOS50Fraes equivalentes50EXERCCIOS52Ordenamento de fraes 1/3 < 1/253EXERCCIOS54Adio de fraes: denominadores iguais 1/3 + 2/355Subtrao de fraes; denominadores iguais 2/3 1/356Soma e subtraes misturadas denominadores iguais56EXERCCIOS56Adio e subtrao: denominadores diferentes 1/5 + 2/357Soma e subtrao de nmeros mistos 59EXERCCIOS59APLICAES60Multiplicao de fraes62EXERCCIOS63Diviso de fraes64Resumo66EXERCCIOS67APLICAES69Fraes e decimais71Decimal => frao 0,5 = 1/272Frao => decimal = 0,572EXERCCIOS73Potncias de fraes (74EXERCCIOS74

CAPTULO 1 NATURAIS E INTEIROS Por que estudar matemtica?A matemtica est em todo lugar da sua vida. O que frequentemente acontece que voc no se apercebe disso! Voc sabe que ela importante para lidar com dinheiro. Mas tambm quando fazemos medidas, seja em situaes complexas da cincia e tecnologia, seja na cozinha fazendo um bolo, temos que lidar corretamente com os nmeros (se aumentar erroneamente os ingredientes da receita, ela no sair boa). Agora, mesmo que voc seja um anti-matemtica de carteirinha, mesmo assim voc vai ter que estudar um mnimo dela para conseguir um emprego, mesmo que dos mais simples. Ningum contratar um funcionrio que d o troco errado para o cliente. O que saber matemtica?As pessoas que tiveram pouco contato com a matemtica acreditam que saber matemtica saber fazer contas de cabea bem rapidamente. Errado! medida em que voc avana nos estudos matemticos, menos contas com nmeros fazemos e mais com ideias, raciocnios. Saber matemtica desenvolver o raciocnio abstrato. Voc ver isso , j no incio deste captulo, ao introduzirmos a ideia de nmeros positivos e negativos e suas operaes, uma das partes mais difceis de todo o livro. E as contas so do tipo 1+2=3 ou 2-1=1! Os nmeros naturais Como apareceram os nmeros?Os nmeros apareceram como uma abstrao de objetos. O que h em comum com os grupos abaixo? Poderamos pensar em qualidades de cada um: cachorro late mas no o gato, muito menos a nuvem. Aparentemente, no h nada em comum. Mas se observssemos o conjunto, e no as qualidades de cada um, iramos perceber que existe uma qualidade comum entre esses grupos. Quando percebemos isso, comeamos a abstrair quantidades e chamamos de 5 a quantidade que comum a esses conjuntos.

Quando essas quantidades aumentavam, por exemplo de para,fizemos mais uma abstrao: a operao de adio. No exemplo de 5 homens para 7 homens percebemos, que houve a adio de 2, homens. Quando ocorreu o oposto, por exemplo, para ,fizemos a abstrao da operao de subtrao. No exemplo de 7 gatos para 5, gatos ,houve a subtrao de 2 gatos.A representao desses entes abstratos (nmeros) inicialmente era mais concreta: pedras num saco, marcas em ossos etc. Com o passar do tempo representaes mais abstratas foram se desenvolvendo para representar os nmeros e as operaes soma e subtrao. Como esses nmeros eram os que representavam abstratamente entes da natureza, eles foram chamados de Naturais. Ento os naturais so aqueles que usamos para contar coisas: 5 livros na estante, 12 computadores em rede etc. Representamos o conjunto deles como Nmeros Naturais = { 1, 2, 3, 4, 5, ...}- os 3 pontos indicam os outros nmeros que seguem a sequncia lgica (no caso 6, 7, 8, ...)- as chaves {} indicam o conjunto, uma espcie de famlia que est abstratamente contida dentro dessas chaves; exemplo de conjunto no numrico: Mamferos = {boi, macaco, girafa, ...}- cada nmero chamado de um elemento do conjunto (famlia)= {elemento1, elemento2...}- indicamos o conjunto dos nmeros naturais pela letra N; N = { 1, 2, 3, 4, 5, ...} Por que inventamos o zero? contraditrio contarmos o nada! Conte quantos amigos ETs voc tem. No d para contar. Mas se voc tem 235 reais na sua carteira e compra algo de 235 reais, qual o valor que restar? Temos que fazer a conta 235-235 e indicar o resultado. Sabemos que ficaremos sem dinheiro e precisamos indicar o resultado da operao 235-235. A est uma das razes de definirmos o nada: 235-235=0. H uma segunda razo. O zero representa o nada, mas (estranhamente) importante indicarmos onde se localiza o nada na notao posicional decimal. Em 2014, o nada est na 3a casa. Se o trocssemos de posio, p. ex. 2104, o nmero mudaria bastante. Veja que este nada tem poder. Cuidado com ele! E como representamos a operao de adio ou subtrao?Pelos sinais (+) e (-) respectivamente. A passagem de pararepresentamos 5 + 2 = 7. A passagem de para ser representada por 7 2 = 5. Uma representao que se mostrar muito til no entendimento de todos os tipos de nmeros e na compreenso das operaes com esses nmeros, a representao dos naturais na reta e das operaes de soma e subtrao como flechas para direita ou para esquerda. Veja no diagrama a representao da reta numrica.

Adotamos um ponto qualquer como sendo zero e uma distncia qualquer como sendo o comprimento unitrio e repetimos essas distncias para a direita do zero. Como representamos parana reta?

Como representamos para na reta?

A matemtica trabalhou muito tempo s com esses nmeros. A lgebra e a geometria foram desenvolvidas s com o uso desses nmeros. No entanto, em situaes algbricas abstratas, apareceram situaes como 5 7??? claro que isso no iria acontecer em situaes reais. Se tenho 5 gatos no posso perder 7 gatos?! No entanto, em situaes algbricas (equaes) isso pode ocorrer. Os matemticos demoraram a aceitar que essa situao 5-7 poderia ser representada por um nmero. Mas como eles no se preocupam com problemas prticos e sim com abstraes, eles resolveram inventar outros nmeros: os nmeros inteiros. Alm dos nmeros 1, 2, 3,... que agora sero escritos como +1, +2, +3,..., ( os positivos) eles inventaram os nmeros -1, -2, -3, ...(os negativos). A reunio desses nmeros e o zero formou o conjunto dos inteiros, simbolizado por Z, (mas no porque os nmeros so Zinteiros; no sei qual a razo do smbolo Z).Z = { ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...} Quer dizer que agora os nmeros tem 2 caractersticas e no s uma quando usvamos s os naturais?Muito bem observado. Os nmeros inteiros tem DUAS caractersticas: 1 magnitude, caracterstica que ele divide com os naturais; 2 sinal positivo (+) ou negativo (-), caracterstica nova que os naturais no tinham. Veja os exemplos: -8 magnitude 8 sinal (-) +3 magnitude 3 e sinal (+)Quando omitimos o sinal, no estamos escrevendo nmeros naturais mas sim subentendo positivo 52 magnitude 52 sinal (+) subentendido. Mas como vamos distinguir se o (+) significa positivo ou adio? A mesma dvida para o negativo (-) e subtrao.Adio e subtrao so AES e sero colocados com um espaamento do nmero. Positivo e negativo so ESTADOS ou sentidos no caso da representao na reta numrica e sero escritos grudados nos nmeros. Em +2 (+5) estamos subtraindo o nmero 2 positivo do nmero 5 positivo. Em -3 + (-4), estamos somando 3 negativo com 4 negativo. s vezes, quando se omite o sinal positivo, fica confuso o significado dos nmeros. O que significa +2 - 3?Em +2 3 estamos SUBTRAINDO 2 positivo de 3 positivo (sinal subentendido), ou mais precisamente +2 (+3). Cuidado com essas situaes, fonte de muita confuso sobre sinais. Vou escrever mais um exemplo:-5 - 3=> 5 negativo SUBTRADO de 3 positivo, ou -5 (+3). Infelizmente (ou felizmente) da natureza humana simplificar as coisas e s vezes a simplificao gera complicao! E qual o resultado dessas contas?Vamos ter que definir o que soma e subtrao desses nmeros. Eles acabaram de nascer, e no sei como trabalhar com eles. Uma coisa eu quero: que os resultados das operaes usando os naturais se repitam com os inteiros positivos. Se isso no acontecesse, eles no serviriam para representar somas e subtraes de objetos da natureza como estamos acostumados. Com os naturais temos 3 + 5=8. A definio de soma de inteiros deve ser tal que +3 + (+5) = +8. Com os naturais temos 5 - 2=3. A definio de subtrao de inteiros deve ser tal que +5 (+2) = +3. Desculpe professor, mas at agora no vi vantagem nenhuma nos nmeros com sinal. S complicam e no servem para nada!No assim. Com os inteiros agora teremos uma resposta para +3 (+5) enquanto que com os naturais 3 5 no existia. E qual o resultado de +3 (+5) ?Vamos deixar esse problema mais complicado para depois e vamos pensar melhor sobre os problemas para os quais j sabemos a resposta: +3 + (+5) = +8 e +5 (+2) = +3. Vamos interpretar essas operaes SOMA e SUBTRAO na reta como fizemos com a soma e subtrao de naturais. Como os inteiros se posicionam na reta? Veja abaixo a representao deles:

Os nmeros inteiros estenderam a reta numrica para os 2 sentidos. (Agora sim temos uma reta, pois antes tnhamos, a rigor, uma semi-reta). Os nmeros so os pontos abaixo dos traos?No! Os nmeros sero SETAS de tamanho (magnitude) e sentido (sinal) adequados. Os positivos com setas para a direita e os negativos, setas para a esquerda. Veja na figura algumas representaes dos nmeros +3 e -2.Somente as setas que partem da origem tm a ponta coincidindo com o nmero que representa na reta numrica. O que so nmeros opostos de que eu j ouvi falar?So aqueles cuja representao em seta tem mesmo tamanho mas sentidos opostos, da o nome oposto. Exemplos so +2 e -2, +50 e -50 etc. Como representamos na reta +3 + (+5) = +8?Definiremos a operao SOMA (+) como o ato de colocarmos as setas em sequncia: a ponta da anterior coincidindo com a base da posterior. O resultado da soma ser a seta que tem incio na 1 seta e fim na ponta da 2 seta. Veja a operao soma de +3 com +5 dando +8 em 3 representaes diferentes abaixo.

O tamanho da seta resultante 8, como podemos ver facilmente com o grupo que comea na origem e acaba no +8. Mas no somente esse conjunto que representa +3 + (+5); todos os outros tambm. E como ser a representao de +5 (+3) = +2?Para termos o resultado +2, que o resultado desejado para mantermos a nossa intuio sobre coisas concretas, deveremos definir a subtrao como uma operao que inverte a seta +3 e depois a soma normalmente com a 1 seta +5. MUITA ATENO: vamos definir a operao de subtrao da mesma forma que a soma (setas na sequncia), porm inverteremos a 2 seta, ou seja, tomaremos o oposto dela. Inverter a 2 seta NO vir-la para esquerda, mas pegar o oposto: se inicialmente para direita, virar para esquerda; se inicialmente para esquerda, virar para direita. O resultado o mesmo raciocnio anterior: a seta com incio no incio da 1 e fim no fim da 2. Veja uma representao abaixo.

Ento explique o significado das operaes soma e subtrao de inteiros na reta.Veja as explicaes de ADIO EM +3 + (+1) = +4 e SUBTRAO em +3 (+1) = +2 abaixo.

Agora pode explicar a conta +3 (+5)?Sim, pois j expliquei como subtrair um nmero positivo, que a mesma situao que tenho neste caso. Faremos ento a mesma representao anterior. Pegamos a seta +3 e vamos somar com a seta oposta a +5: a seta -5. A seta resultante ser o valor da conta +3 (+5), concorda? Vejamos o que vai dar. (Veja a figura)Para sermos coerentes com as definies anteriores que nos fazem sentido bem concreto, essa operao nova, a que no sabamos que resultado atribuir, vamos concluir que vale -2 pois o resultado foi uma seta para a esquerda de magnitude 2.Agora j temos a resposta para a sua pergunta: +3 (+5) = -2. Mas ainda h vrias situaes cujo no sei o resultado. Por ex.: +3 + (-2) o que significa?Voc sabe sim. Ns compactuamos que a SOMA colocar as setas em sequncia. Tambm aceitamos que as positivas ficam voltadas para a direita, e as negativas, para a esquerda. Ento, o que vai dar a conta +3 + (-2)? Vai ser a seta 3 para direita e na sequncia a seta 2 para a esquerda. Veja a seta resultante no desenho abaixo.

Veja que o resultado +1, ou seja, +3 + (-2) Concordo . Mas agora vou te pegar. Este difcil. Quero ver voc responder o que d +3 (-2)? Te peguei!No pegou no. Siga as nossas convenes corretamente e tudo simples. No preciso lembr-lo que nmero negativo seta para a esquerda, certo? Mas gostaria de lembr-lo o que significa a operao SUBTRAIR na viso das setas. SUBTRAIR SOMAR com o OPOSTO. Lembra que +5 (+2) = +3 pois mudamos a seta +2 para -2 e depois somamos com a seta +5 com -2. O mesmo mecanismo dever ser usado sempre, mesmo neste caso onde a seta que vamos inverter APONTA PARA ESQUERDA inicialmente. Ao a invertermos, ela apontar para a direita, um nmero positivo. Resumindo, vamos somar +3 com +2, o oposto de -2. Veja o resultado na figura abaixo.

Mas a subtrao de algo negativo deu positivo! No estranho? No! Afinal s poderia dar ou positivo ou negativo, certo? Como subtrair inverter, e neste caso vamos inverter algo que j invertido (apontando para esquerda) inicialmente, ento vamos voltar ao sentido positivo novamente. Na guerra h uma lgica, que a seguinte: o inimigo do meu inimigo meu amigo. Em portugus e francs costumamos usar 2 negativos para enfatizar: eu no sei nada. Se usarmos a lgica e no a interpretao da nfase, eu no sei nada logicamente o mesmo que eu sei tudo! As duas negaes produzem uma afirmao.O mais importante nessa viso entender a subtrao como a soma do oposto. Vou fazer outro exemplo:Tomemos o exemplo +2 (+3). Sabemos representar +2 e +3; at aqui, nenhuma dificuldade. Mas como representar subtrao (-) na reta? Vamos virar a prxima flecha 180.Vamos por partes (como diria Jack, o estripador). Quais os inteiros que esto envolvidos? +2 e +3, que so representados por flechas para a direita. Que operao vamos fazer com eles? A subtrao de +3 do inteiro +2; em smbolos: +2 (+3)Como fazemos essa operao? Colocamos a ponta da flecha de +2 com a base de +3? NO. Isso adio!Como fazemos ento? Colocamos a ponta da flecha de +2 com a base da flecha de (-3), o oposto de +3. Resultado: -1. Veja a sequncia nos desenhos ( de #1 a #4) a seguir.#1 #2

#3 #4 Mas haver alguma situao prtica em que esses novos nmeros aparecero?Os matemticos definiram os inteiros por necessidade lgica e no por razes prticas. Porm, como ocorre muito na matemtica, inventa-se uma teoria abstrata sem nenhuma inteno de ser til e depois acha-se uma forma de utiliz-la na prtica. Assim tambm ocorreu com os inteiros.Na contagem de coisas, os naturais so suficientes; nunca haver um nmero de coisas concretas no representvel por um natural. Mas ao usarmos os naturais em outras situaes mais complexas do cotidiano, nos deparamos com situaes que os naturais no conseguem representar:- temos 300 reais na conta bancria e fazemos um cheque de 320 reais que o banco paga. Qual o saldo de nossa conta? Em smbolos, qual o resultado de 300 320 = ?- definimos uma escala de temperatura que tem como zero a temperatura de congelamento da gua. Vamos fazer pesquisas no rtico (polo norte) e as temperaturas vo diminuindo: 10C, 4C, 0C e continuam a diminuir. Como vamos representar numericamente essas situaes de temperaturas menores que 0C?- indicamos os andares de um edifcio por 0 (trreo), 1, 2, 3 etc. Mais tarde fazem um subsolo para a garagem. Como vamos indicar esse andar por um nmero?Nessas e em muitas outras situaes bem mais tcnicas (ex.: diminuir a velocidade de um carro=>acelerao negativa), usaremos muito os nmeros positivos e negativos. Hoje em dia inconcebvel estudarmos matrias exatas sem o uso dos nmeros negativos. Vou dar mais algumas situaes em que aparecem os nmeros negativos.Dependendo do contexto, o nmero -2 poder significar:-2 graus de temperatura ou 2 graus abaixo do congelamento da gua;-2 metros abaixo do nvel do mar;-2 reais de saldo bancrio; estou devendo 2 reais para o banco;-2 reais no final de um jogo; quanto que eu perdi do meu dinheiro inicial (aquele que tinha no incio do jogo);-2 km/h em fsica; a velocidade de 2km/h mas no sentido contrrio ao aumento das distncias;-2 no elevador; o 2 subsolo;-2 graus de deslocamento nas coordenadas GPS; pode ser 2 graus de deslocamento para leste se convencionarmos como positivo o deslocamento para oeste; tambm pode ser 2 graus de deslocamento para o sul se convencionarmos como positivo o deslocamento para o norte;-2 graus no crculo trigonomtrico = 2 graus contados no sentido horrio a partir do eixo x (em matemtica, o sentido positivo dos ngulos o anti-horrio);-2 unidades, valor da projeo de um vetor que est no sentido contrrio ao sentido tomado como positivo. Qual o resultado da soma de um nmero com seu oposto? sempre zero. Essa uma propriedade muito importante dos nmeros opostos.

NOTA As teclas A diferena entre a operao soma(+) e o sinal positivo(+) e a operao subtrao(-) e o sinal negativo(-) ficam muito claras nas calculadoras. Nas calculadoras a diferena entre essas operaes soma, subtrao e troca de sinal bem clara: soma , subtrao e colocar o sinal oposto do nmero . (Nas calculadoras todo nmero digitado em princpio positivo, sinal implcito (+) geralmente NO indicado nas calculadoras. S quando teclarmos vamos mudar o sinal do nmero no visor: de positivo (implcito) para negativo(-) ou de negativo (-) para positivo (implcito). Mdulo de um nmero |-5| = +5 O que mdulo de um nmero?Quando associamos aos pontos da reta numrica os nmeros inteiros ... -2, -1, 0, 1, 2, ... esses pontos ficam a uma certa distncia da origem (exceto o zero que fica na origem). Essas distncias que chamamos de mdulo do nmero so valores sempre positivos e so simbolizadas pelas retas paralelas || em torno do nmero. Exemplos:|+5| = +5 ou 5 pois sua distncia origem 5 unidades.|-8| = +8 ou 8 pois sua distncia origem 8 unidades.As distncias so valores sempre positivos! Afinal, os nmeros so pontos ou setas?Dependendo do que estamos estudando, uma representao melhor que a outra e nenhuma delas o nmero. (Os matemticos avanados debatem para tentar explicar o que nmero!). No nosso estudo, representaremos por setas quando formos estudar operaes matemticas como soma, subtrao, multiplicao e diviso. Mas representaremos por pontos quando falarmos de opostos, mdulo, distncias etc. O mdulo tambm a distncia entre 2 pontos?Sim. Tome por exemplo os nmeros -3 e 5. Coloque-os na reta e ache a distncia entre eles como o mdulo da diferena, no importa a ordem em que fazemos a diferena: | -3 - (+5) | = | -3 - 5 | = +8; ou | +5 (-3) | = | + 5 + 3 | = +8. (figura)

Como as distncias so sempre positivas se existem os nmeros negativos do outro lado da reta? No uma contradio?No! Voc deve estar pensando: o nmero -5 est a uma distncia -5 da origem e o +5 a uma distncia +5 pois da que vem o sinal deles. Errado! O nmero -5 est a uma distncia +5 unidades da origem porm no lado oposto ao tomado como positivo. J o +5 tambm est a uma distncia +5 da origem porm do lado positivo. Veja que o sinal no interfere na distncia e sim no lado. Em aplicaes prticas, o sinal pode indicar acima ou abaixo de zero; para o norte ou para o sul; acima ou abaixo do nvel do mar; no sentido tomado como positivo ou no sentido oposto etc. Mdulo de um nmero o mesmo que o seu oposto?No! O mdulo de um inteiro a distncia que ele se encontra da origem na reta numerada. J o oposto de um inteiro o nmero espelho, ou seja, o que est do outro lado da origem, como se tivesse sido refletido para o outro lado. Se for positivo, digamos, +4, o seu espelho se refletir do outro lado da origem em -4. Se for negativo, p. ex. -4, o seu oposto ser o refletido para o lado positivo +4. J o mdulo a distncia que -4 ou +4 esto da origem; nos dois casos +4 unidades de distncia.Lembrando: o posto do oposto o nmero original; - (-4) obviamente o nmero original +4 pois fizemos duas reflexes, o que nos retorna ao mesmo ponto.

NOTA -(-5) e -|-5|No confundir (- 5) com - | - 5 |.No primeiro caso temos o oposto do oposto que o original (-5) = +5. No segundo caso temos o oposto de um mdulo. Porm |-5| = +5, e o oposto deste -5.Veja que os resultados so diferentes: 1 d +5 e o 2 d -5.Tambm no confundir -|5| = -5 com |-5| = +5; o modulo no atua no sinal fora de seus limites ||. Em -|5| o mdulo no pode transformar esse (-) em (+) pois -|5| o (-) est fora dos limites do mdulo. Como interpretamos o significado destes nmeros ( (+1), -(-2), |-3|, - |-2| ) na reta numrica?:

Essas contas esto ficando muito confusas. Temos o (+) da adio, o (+) de positivo o (-) de subtrao e o (-) de negativo e eles aparecem todos misturados. Para eu interpretar o resultado da conta, tenho que pensar em tantos itens: para subtrair temos de mudar o sentido da flecha para achar a oposta; somar colocar o fim da 1 seta coincidindo com o incio da 2 seta; no importa se as setas esto para esquerda(-) ou direita(+). Estou ficando louco. Calma. Essa uma das partes mais difceis de todo este livro. Infelizmente, ela deve ser dada logo nas primeiras pginas. Mas vou consol-lo. Voc pode decorar regras de sinais e continuar toda a matemtica sem problemas. De vez em quando tente encarar estas pginas iniciais para entender por que as regras de sinais foram definidas desta e no de outra maneira. Ento quais so essas regras?Primeiro vamos resumir o que ocorre com as flechas (nmeros inteiros) quando as operaes de soma e subtrao trombam nelas, ou seja, trombam com o sinal dos nmeros em que ela vai operar.

Essas regras podem ser melhor resumidas em palavras. Trombada de sinais iguais d positivo.Trombada de sinais diferentes d negativo.

J estou vendo uma luz no fim do tnel! Podemos ento escrever um nico sinal quando ocorrem trombadas?Sim. Mas vamos ser mais srios agora e trocar a palavra trombada por operao de soma e subtrao de inteiros. Ento, ao encontrarmos essas operaes, podemos pensar s em flechas para direita e para a esquerda.

Veja:

Mas sempre vou ter de pensar em flechas quando estiver fazendo uma soma ou uma subtrao?No. Se voc no se deu bem com essas flechas, eu posso lhe dar uma regra resume esse resultado das flechas:1 REGRA: Nmeros de mesmo sinal: somamos os mdulos e mantemos o sinal. Ex.: -3 -3 => |-3|+|-3| = 6 sinal (-) -62 REGRA: Nmeros com sinais diferentes: subtramos o maior do menor e damos o sinal do que tinha maior mduloEx.: nmero positivo com maior mdulo: -3 + 8 8-3 = 5 sinal do 8 (+) +5Ex.: nmero negativo com maior mdulo: +4 12 12-4 = 8 SINAL DO 12 ERA (-) -8 interessante decorar e usar a regra em vez de pensar na reta e na inverso de setas etc. Toda aquela baguna de subtrair somar com o oposto e oposto virar a seta....bl, bl, bl... toda ela est resumida nas duas regras acima e na trombada de sinais. Por que no apresentou essa regra logo no incio e simplificava tudo?Porque a matemtica NO APRESENTA REGRAS, e sim raciocnios e justificativas. As regras so criadas DEPOIS para aqueles que no querem refazer os raciocnios e esto trabalhando com a matemtica como um instrumento e no como uma teoria abstrata coerente. Como imagino que 99,99% de vocs usar a matemtica como instrumento, vou me ater agora s regras. Novamente pergunto, por que no dar logo as regras j que essa confuso de setas s vai despertar o interesse de 0,01% dos alunos?Pela mesma razo que voc deve ensinar fundamentos artsticos para quem vai seguir engenharia. Esse exerccio intelectual fortalece certos msculos mentais que podem ser usados (agora mais fortes) em outras situaes. Voc acha que correr em volta da pista (fazer Cooper) s vale a pena para aqueles que devero correr de cachorros, da polcia etc. Para o resto das pessoas no tem sentido?EXERCCIOS Explique o significado dos smbolos (+) e (-) nas expresses abaixo: +3 + 7 3 positivo SOMADO com 7 positivo (sinal positivo implcito). +3 + (+7) 3 positivo SOMADO com 7 positivo (sinal positivo explcito). +3 + (-7) 3 positivo SOMADO com 7 negativo. 3 (7) 3 positivo (implcito) SUBTRADO de 7 positivo (implcito). 3 (-7) 3 positivo (implcito) SUBTRADO de 7 negativo.

Diga o significado das grandezas negativas abaixoINFORMAOINTERPRETAO

-5 se +5 a temperatura acima do congelamento da gua-5 representa a temperatura abaixo do congelamento da gua

-20 se +20 representa o deslocamento para a direita-20 representa o deslocamento para a esquerda

-100 se + 50 foi o meu lucro numa determinada venda-100 foi o prejuzo em uma determinada venda

-50 se + 100 representa a altura acima do nvel do mar-50 representa a profundidade de uma depresso abaixo do nvel do mar

-50 se +200 representa o saldo bancrio a meu favor-50 representa o saldo bancrio a favor do banco (meu dbito na conta)

-1 se +5 representa o andar de um edifcio-1 representa o andar abaixo do trreo (o primeiro subsolo)

-8 se +8 o nmero de andares que subi pelas escadas-8 nmero de andares que desci a p pelas escadas (no 8 subsolo!)

-200 se + 500 representa o deslocamento para o Norte-200 representa o deslocamento para o Sul

Qual o sinal no lugar de S(-7) S (+5) = -2 (-3) S (-5) = 2 5 S (-3) = 8 (RESP (+) (-) (-))Nota Um zoolgico de nmerosSe voc acha que inventar nmeros com sinais muita complicao, voc no sabe o que o espera. Muito outros tipos de nmeros sero criados. Quando nos depararmos com partes de inteiros (um pedao de pizza) vamos ter que definir os racionais (fraes, p. ex. 3/5). Quando estudarmos certos problemas geomtricos, vamos nos deparar com quantidades que no so racionais; foram portanto batizadas de irracionais (p. ex. ou . E quando vamos estudar equaes do 2 grau, vamos nos deparar com os nmeros imaginrios (p. ex, i) e os nmeros complexos (p. ex. 2-3i). Esta uma viso bem rpida do zoolgico dos nmeros que os matemticos estudam. (Isso sem dizer dos vetores, matrizes, tensores,... mas isso seria maltratar muito voc ).

Smbolos > < O que maior e menor entre os naturais 1, 2, 3, ...? Que smbolos usamos para indicar maior e menor? totalmente claro o significado de maior e menor entre os naturais. Afinal de contas voc sabe distinguir um nibus lotado de outro normal, uma montanha de livros em uma estante e outra somente com alguns. Os smbolos < e > so usados em matemtica para falar quando algo for maior ou menor que outro. Sabemos que 6 uma quantidade maior que 3; simbolicamente escreveremos 6 > 3. Se quisssemos dizer a afirmao logicamente equivalente que 3 menor que 6 ento teramos de escrever 3 < 6. Ateno. Lembre-se que logicamente equivalente escrevermos 6 > 3 ou 3 < 6. Mas o que maior e menor entre os nmeros com sinal? mais fcil agora pensarmos nos nmeros como representados pelos pontos da reta. Assim, a reta numrica coloca os inteiros em ordem: os menores so aqueles que esto mais esquerda na reta numrica. Obviamente os maiores so os que esto mais direita. Exemplos: 3 < 5 (ou 5>3) pois 3 est esquerda de 5 (ou 5 est direita de 3);0 < 1 (ou 1>0) pois 0 est esquerda de 1 (ou 1 est direita de 0);4 > 2 (ou 2 -5) pois -5 est esquerda de 1 (ou 1 est direita de -5);-10 < 0 (ou 0 > -10) pois -10 est esquerda de 0 (ou 0 est direita de -10);-10 < -8 (ou -8 > -10) pois -10 est esquerda de -8 (ou -8 est direita de -10).

ATENO: como os positivos esto direita dos negativos, ento qualquer positivo maior que qualquer negativo, mesmo no caso -5000 < 2 ! O que acontece com uma desigualdade, p. ex. -3 < -2, quando tomamos os opostos dos 2 nmeros? (-3 vira +3 e -2 vira +2)Vamos ver: -3 < -2 uma verdade. Os opostos de -3 e -2 so +3 e +2. Se, ao tomarmos os opostos e mantivermos a desigualdade, ocorrer uma inverdade: -3 < -2 (verdade) mas 3 < 2 (falso). Para manter a verdade da desigualdade, ao tomarmos os opostos devemos tambm mudar a desigualdade. A razo fica simples na reta numrica. -3 est mais esquerda de -2 (pois -32). O posicionamento direita esquerda se inverter e com isso a relao de ordem maior e menor. (Ver figura)

to importante esse mecanismo dos sinais que vale uma nota. Leia a seguir.Nota desigualdades -16 e nem 5=6 ou menor ou igual56 verdade pois 5 -15; 0 > -50; 18 > 17; -1 > -2 Coloque os nmeros em ordem do menor para o maior:-3, +4, -1, 0, -4, +2 ordenando os nmeros -4, -3, -1, 0, +2, +4 Verifique quais desigualdades so verdadeiras:-10 93 -207 -180 2 1580 -15818 -8-15 -15 V F V V F F V Calcule os mdulos abaixo: | +4 | = +4; | 1897 | = + 1897; | -2 | = +2| -5734 | = + 5734Lembre-se: o mdulo no afeta o sinal anterior a ele:- | 5 | = -5;- | - 3 | = -3 - | -423 | = -423 Coloque os sinais >, < ou = :|-5| -5; -3 -4; 8 |-9|; -(-3) -|-3|; - |5| -(-5); 0 |-3| |25| |-30| -2 -|-2| |-5| |-2| > > < > < < < = > |-3| (-3) |-15| |15| -(100) |-1| |-[footnoteRef:1]| 3 [1: Embora no tenhamos apresentado os nmeros irracionais, o = 3,14159... to famoso e conhecido que j resolvi fazer referncia a ele aqui mesmo.]

> = < > Coloque na ordem do menor para o maior:-3, |-2|, -(-1), -(-4), -|-1|, |0|, |-(-3)|, -|-(-2)| => -3, -|-(-2)| -|-1|, |0|, |-2|,|-(-3)|, -(-4), Coloque verdadeiro ou falso nas afirmaes: Todo nmero negativo menor que qualquer nmero positivo (V). Todo nmero positivo maior que zero (V). nota: zero no positivo nem negativo Se um nmero MAIOR que outro, o oposto do primeiro tambm ser MAIOR que o oposto do segundo (FALSO - lembre-se +10 > +5 ento -10 < -5, o que era maior ficou menor). O valor absoluto de um nmero negativo sempre maior que esse nmero (V). O valor absoluto de um nmero o mesmo que seu oposto sempre (F). Indique na reta numerada dois pontos que esto distncia de 3 unidades do nmero +4 e outros 2 pontos distncia de 3 unidades do nmero -3.

Fazer os desenhos na reta das operaes: + 2 + 1 = +3; + 2 1 = +1; - 2 1 = -3; - 2 + 1 = -1.

Faa as operaes abaixo usando a regra de sinais em palavras: +15 +12 sinais iguais, resposta tem mesmo sinal (+); somar os mdulos |+15|+|+12| = 15 + 12 = 27 +27 -15 -12 sinais iguais, resposta tem mesmo sinal (-); somar os mdulos |-15| + |-12| = 15 + 12 = 27 -27 +15 -12 sinais diferentes, resposta tem mesmo sinal do maior mdulo (+); Subtrair os mdulos |+15| - |-12| = 15 - 12 = 3 +3 -15 +12 sinais diferentes, resposta tem mesmo sinal do maior mdulo (-); Subtrair os mdulos |-15| - |+12| = 15 - 12 = 3 -3

As regras de 2 positivos e 2 negativos so fceis, mas s que tenho que dar o sinal do maior no entendo por que tem de ser assim complicada? fcil de entender. Se voc est na origem e d um passo para a direita e outro para a esquerda, no final voc vai parar direita ou esquerda da origem? Depende de qual passo (para esquerda ou para direita) foi o maior! Se o passo maior foi para direita (positivo) ento sua posio final ser positiva; se o passo maior foi para a esquerda (negativo), ento sua posio final ser negativa. Essa a razo da regra pegar o sinal do maior..

APLICAES A temperatura mdia no vero foi de 25C e a no inverno foi -2C. Calcule a diferena de temperatura entrea) vero invernoR. 25 (-2) = 27Cb) inverno veroR. -2 25 = -27C Um arquelogo que mora em uma cidade que fica 630m acima do nvel do mar (altitude = +630m), vai fazer escavaes prximas ao mar vermelho a 400 m abaixo do nvel do mar (altitude = -400m). Qual a diferena de altura quando vaia) da cidade para o marR. Altura mar altura cidade = -400 630 = -1030mb) do mar para cidadeR. Altura cidade altura mar = 630 (-400) = +1030m Um dia foi notvel pela grande queda de temperatura numa cidade canadense. A temperatura caiu de 12C para -9C rapidamente. Qual foi o mdulo dessa queda?Tanto faz subtrairmos +12 de -9 como -9 de +12 se formos considerar o mdulo no final|+ 12 (-9)| = |12 + 9| = |+21| = 21 ou |-9 (+12)| = |-9 12| = |-21| = 21. Cancelamento de inteiros Quando podemos cancelar nmeros?Quando estamos somando um nmero com seu oposto: +3 + (-3) = 0; + 523 + (-523) = 0. Na reta teramos uma flexa para a direita e depois a mesma flexa (mesmo tamanho) para a esquerda.Outro exemplo

NOTA Fsica de partculasHoje sabemos que as partculas que compem o universo so de duas naturezas: as partculas e as antipartculas. Quando uma partcula (p. ex. um eltron) se encontra com sua antipartcula (o psitron), elas desaparecem e no seu lugar aparece uma quantidade de energia pura (raios gama). Voc pode fazer essa analogia ao pensar o que ocorre quando nmeros positivos encontram negativos. Podemos reagrupar para cancelar?Sim. Veja o exemplo:

Somei +5 e +5 dando +10 e cancelei com -10Fiz uma conta parcial +2 -4 dando -2 e depois somei com -3 dando -5. D outro exemplo de agrupamento e cancelamento.

Somei +3 com +2 dando +5 e cancelei com -5Somei +4 com +1 com +2 dando +7 e cancelei com -7

Somei +3 com +1 dando +4 e cancelei com -4Somei + 5 com -3 dando +2 que cancelei com -2Veja mais um exemplo:

Posso reescrever os nmeros em diferentes ordens sem alterar o resultado?Sim. a propriedade comutativa. Tanto faz somarmos 5 + 3 = 8 como 3 + 5 = 8 tambm. Ou 1+2+3 = 2+1+3 = 3+1+2 = 1+3+2 = 6Isso vale tambm quando somamos nmeros negativos. 3 + (-5) = -2 e -5 + 3 = -2 tambm. Assim, se tivermos somando vrios nmeros e for vantajoso alterar a sua ordem, podemos faz-lo que o resultado no se alterar. Exemplo:

Tambm podemos fazer a operao com o nmero da esquerda primeiro ou com o da direita primeiro. O resultado no se altera: 3 + 5 4 = 4 (3 + 5) 4 = 4 3 +(5 4) = 4 Essas propriedades tm nomes especiais?Sim.Comutativa: 2+5=5+2=7 Tanto faz receber uma nota de 2 e outra de 5 ou primeiro uma nota de 5 e depois uma de 2; em ambos os casos voc ter 7 reais no final.Associativa: (5+3)+4 = 5+(3+4)=12 Se voc tiver 3 pilhas de moedas, uma com 5, outra com 3 e outra com 4 reais, tanto faz voc contar a de 5 com a de 3 em primeiro lugar e finalmente somar com a de 4 por ltimo. Teremos os mesmos 12 reais que se contssemos primeiro a de 3 com a de 4 e o resultado somssemos com a de 5.Veja abaixo uma representao pictrica das propriedades comutativa e associativa.

Nota operao comutativaNem sempre podemos alterar a ordem dos procedimentos sem alterar o resultado. No procedimento abaixo tanto faz a ordemcolocar meia esquerdacolocar meia direitaJ nos procedimentos abaixo a ordem importante.colocar meiacolocar sapatopular para fora do aviopuxar o paraquedassuba no cavalobata com vara para ele andar Quando temos vrios nmeros positivos e negativos somados, podemos reagrup-los?Sim. Veja o exemplo:-2 + 3 -5 + 8 + 3 7 + 5 3 +3 +8 +3 +5 -2 -5 -7 -3 +19 -2 -5 -7 -3 +19 17+2Podemos reagrup-losTodos os positivos e todos os negativosSomamos todos os positivosSomamos todos os negativosDepois aplicamos a regra final

-10 + 13 + 1 + 5 12 + 3 7 + 2 + 11 8+13 +1 +5 +3 +2 +11 -10 -12 -7 -8 + 34 - 37 -3Reagrupar positivos e negativosSomar todos os positivos e todos os negativosUsar regra de sinais diferentes (subtrair e dar o sinal do maior)

EXERCCIOS Avalie as expresses aritmticas a seguir: 15 - 6 = + 9 70 - 85 = -15 12 - 12 = 0 7 - (- 3) = 7 + 3 = 10 2 - 122 = - 120 - 10 - (- 12) = - 10 + 12 = + 2 - 21 (- 21) = -21 + 21 = 0 - 21 21 = - 42 + 21 (- 21) = + 42 - 3857 (-6578) = - 3857 + 6578 = 2721 Expresses com vrias somas e subtraes: 2 + 3 - 6 = 5 - 6 = -1 6 +(-3) +(-1) = 6 - 3 - 1 = 6 - 4 = +2 -5 +(-3) +[2+(-4)] = -5 -3 +[2 -4] = -5 -3 -2 = -10 +4 -[+3 -(2-3) +1] -10 = +4 -[+3 -(-1) +1] -10 = +4 -[+3 +1 +1] -10 = +4 -[+5] -10 = +4 -5 -10 = +4 -15 = -11 (+5 -3) - (+2-6) = (+2) - (-4) = +2 +4 = +6 [+5 -(3-6) -1] - [2+(+3+4-1)+5] = [+5 -(-3) -1] - [2+(+6)+5] = [+5 +3 -1] - [2+6+5] = [+5 +3 -1] - [2+6+5] = [+7] - [+13] = +7 -13 = -6 -[+2-(-2-3) - (-4+3) -(-2-3-4) +1] = -[+2-(-5) - (-1) -(-9) +1] = -[+2 +5 +1 +9 +1] = -[+18] = -18 -2 + 3 5 + 4 3 + 2 3 soluo somando positivos e negativos +3 +4 +2 -2 -5 -3 -3 = + 9 + (-13) = - 4 soluo agrupando

Calcule os valores abaixo: 5 + |-1|; -2 + 3; |-5| - 5; 3 (-3); - [-(-2)]; -|-1| -1; -4-|3|; 6 ; +1; 0 ; 6 ; -2 ; -2 ; -7

MultiplicaoMultiplicao como vrias somas Se em um batalho do exrcito h 4 filas de 25 pessoas, o nmero total de pessoas ser 25+25+25+25 ou, usando a ideia de multiplicao, 4 x 25 = 100. Se um produto est com um preo que ir dar um prejuzo de dois reais na sua venda, se vender cinco unidades desse produto vou ter de prejuzo total de - 2 -2 -2 -2 -2 = 5 x (-2) = -10 reais.Observe 2 caractersticas: - a multiplicao o resultado de vrias somas;- os sinais resultantes nas multiplicaes: (+4) x (+25) = +100 ou (+) x (+) = (+); j em (+5) x (-2) = -10 ou (+) x (-) = (-). Essas regras de sinais fazem muito sentido pensando na multiplicao como vrias somas. Mas h outros casos a estudar. O que acontece quanto multiplicamos um negativo por outro negativo?No podemos pensar to concretamente. P. ex (-3)x(-5). No sei o que significa repetir -3 vezes o nmero -5! No podemos fazer esse tipo de interpretao. No entanto, devemos adotar um resultado que seja coerente com as outras regras j adotadas por ns. Sabemos que -2 x 0 = 0. Podemos escrever o zero como 0 = (+1 -1). Substituindo teremos -2 x (+1 -1) =0. Fazendo a distributiva teremos (-2) x(+1) + (-2)x(-1) = 0. O primeiro termo sabemos o significado (-2)(+1)=-2. O segundo ainda no sabemos pois o produto de negativo com negativo (-2)(-1) =?, uma situao nova para a qual e ainda no defini seu resultado. Ento temos -2 + (-2)(-1) = 0. Isso s ser verdade se adotarmos como resultado de (-2)(-1) = +2, ou seja, precisamos definir o produto de dois negativos como positivo para que as regras anteriores sejam verdadeiras. Ento, por coerncia interna das regras matemticas, conclumos que devemos associar a multiplicao de negativo x negativo = positivo, como j fazamos quando juntvamos os sinais de operaes soma e subtrao com os sinais de positivo e negativo. Felizmente, essa situao nova, produto de nmeros com sinais, tem a mesma regra anterior. Ufa, que sorte! Uma regra a menos para decorar. Ento, mesmo para a multiplicao vale a regra dos sinais anterior?Sim. Vamos salientar a regra para a multiplicao.

NOTA misturar regras! muito fcil de decorarmos as regras: sinais iguais, positivo, e sinais diferentes, negativo. Veja a figura TROMBADA DE SINAIS. Mas quando no estamos multiplicando ou dividindo, e sim somando e subtraindo, a regra outra. Cuidado!Soma e subtrao de inteiros: Sinais iguais (- e ou + e +) somo os mdulos e mantenho o sinal Exemplo: -3 -5 = -8. Mas (-) com (-) devia dar (+)? Correto, se fosse multiplicao (-3)x(-5) ou diviso (-3) / (-5). Sinais diferentes (+ e ou e +) subtraio o mdulo do maior do menor, e dou o sinal do maior. Exemplo: -3 + 5 = +2Mas (-) com (+) devia dar (-)? Correto, se fosse multiplicao, (-3)x(+5) ou diviso (-3) / (+5). No misture regras! necessrio cuidado ao decorar regras pura e simplesmente. Isso vira uma salada de regras que confunde a nossa cabea. sempre melhor entender o porqu a regra foi definida dessa forma. Ateno! Com a multiplicao, voltamos a ter as propriedades comutativa e associativa. Comutativa3 x 5 = 5 x 3 = 15 esta propriedade verbalizada pela famosa a ordem dos fatores no altera o produto.Associativa2 x 3 x 4 x 5 =(2 x 3) x 4 x 5 =2 x (3 x 4) x 5 =2 x 3 x (4 x 5) =(2 x 3) x( 4 x 5) = 120.Podemos fazer multiplicaes em qualquer ordem; no importa quantas multiplicaes tivermos juntas. D uma representao pictrica das propriedades comutativa e associativa da multiplicao. Veja abaixo esquema da comutativa e associativa da multiplicao.

EXERCCIOS - 2 . 0 = 0 2 . (-3) = -6 (-5) . (-1) = 5 2 . (-3) . 4 = -24 (-1) . (-2) . (-3) = -6 |(-1) . (-2) . (-3)| = |-6| = +6 |-1| . (-1) . (-1) = 1 (-1) . (-1) = + 1 -2.(-3).(-4).(-1) = (-)(-)(-)(-) 2 3 4 1 = + 12

Coloque verdadeiro ou falso:Questo:- o produto de 2 negativos sempre um positivo;- a soma de 2 negativos sempre positiva;- o quociente de 2 negativos pode ser positivo ou negativo dependendo se o maior esta no numerador ou denominador;- o produto de um positivo e outro negativo poder ser positivo ou negativo dependendo dos valores;- o quociente de um positivo dividido por zero positivo;- o produto de zero por um positivo d positivo e de zero com negativo d negativo;- o quociente de zero com um negativo d negativo e o quociente de zero com um positivo d positivo.

RespostaVF

F

FFF

F

Responda qual o sinal resultante das operaes abaixoproduto de 5 positivos;produto de 5 negativos;produto de 4 positivos;produto de 4 negativos;produto de 3 positivos com 3 negativos;produto de 4 positivos com 4 negativos;produto de 3 positivos com 4 negativos;produto de 4 positivos com 3 negativos;+-++-++-

Ordem das operaes Qual o resultado das operaes 1 + 2 x 3?Vamos ter que adotar uma conveno, pois dependendo da ordem das contas, o resultado muda. Se somarmos 1 com 2 (dando 3) e depois multiplicarmos (por 3) obteremos 9. Se multiplicarmos 2 por 3 em primeiro lugar (dando 6) para depois somarmos 1 obteremos 7. Qual o correto? 9 ou 7?Adotamos a seguinte conveno quando mais de uma operao ocorre nas expresses:1: multiplicao e diviso da direita para esquerda.2: soma e subtrao da direita para esquerda.Com essa conveno o resultado correto 7: multiplicamos primeiro 2 por 3 (6) e depois somamos 1 dando 7. Professor, continuo com dvida. E na expresso 8 2 x 4? - se fizer a diviso (82=4) e depois a multiplicao (4 x 4) obterei 16- se fizer a multiplicao (2 x 4=8) e depois a diviso (8 8) obterei 1 que diferente de 16. Qual o correto?Leia bem a prioridade 1 multiplicao e diviso da direita para esquerda. No caso anterior, da direita para esquerda devemos fazer primeiro diviso depois multiplicao: 8 2 x 4 = 4 x 4 = 16 Mas e se precisarmos alterar essa ordem?Ai usamos o parntese. Podemos fazer agrupamentos que devem ser resolvidos antes de outras operaes.Veja estas duas frases em portugus:Dois mais trs vezes cinco e dois mais trs, vezes cinco.Elas do o mesmo resultado? No. Veja que

Na segunda frase, estamos querendo dizer que o grupo 2+3 que vai ser multiplicado por 5. Para agruparmos em matemtica usamos os parntesis ( e ).Observao: como essa vrgula muito pouco notada na linguagem falada, se tivssemos que descrever a expresso (2 + 3) x 5, a descreveramos com redundncia para melhor comunicao: dois mais trs, e esse resultado vezes cinco. Veja outras tradues que resultam em parntesis:Duas vezes a soma de 4 com 52 x (4 + 5)Dois adicionado ao triplo de 2 mais 32 + 3 x (2 + 3)Multiplicar por 3 a soma de 1 mais 43 x (1 + 4) O que a operao distributiva? quando temos um nmero multiplicando um parntesis. Podemos fazer primeiro o interior do parntesis, mas, d o mesmo resultado, multiplicarmos cada termo do seu interior pelo nmero de fora. Veja este exemplo: 3 x (2 + 4) 1 forma: somar o parntesis 3 x 6; depois multiplicao 3 x 6 = 182 forma: distributiva, multiplicar o 3 por cada um dos nmeros de dentro do parntesis: 3 x 2 + 3 x 4 = 6 + 12 = 18.Uma forma geomtrica de entendermos a distributiva atravs do desenho ao lado. J vi outros smbolos alm do parntesis. Fale a respeito desses outros smbolos de agrupamento.Na verdade, podemos fazer vrios nveis de agrupamentos usando parntesis (), colchetes [] e chaves {}. E quando temos vrios nveis de agrupamento, as prioridades entre os vrios nveis so: do mais interior (geralmente parntesis) ao mais exterior (geralmente chaves). Como fica ento a ordem das operaes agora que temos esses smbolos que alteram essa ordem?A nova ordem das operaes a seguinte:1 faa as operaes dentro dos smbolos de agrupamento (parntesis (), colchetes [] e chaves {}) do mais interno ao mais externo.2 faa todas as multiplicaes e divises da esquerda para direita.3 faa todas as somas e subtraes da esquerda para direita. Explique melhor os smbolos de agrupamento usando desenhos de objetos que vou agrupar. Veja como expressamos matematicamente a quantidade de bolas nos conjuntos abaixo:

NOTA Ordem das operaesJ presenciei inmeras dvidas com contas da seguinte estrutura: 4 + 3 x 5. O aluno digita na calculadora . A calculadora far = 7 e este resultado resultando em 35. Porm, de acordo com a ordem das operaes, devemos fazer primeiro a multiplicao e depois a soma. A digitao correta seria =15 = 19. Resumindo .35 equivale a (4 + 3) x 5 = 35 19 equivale a 4 + (3 x 5) = 19 (o parntesis no era necessrio pois a ordem das operaes j equivaleria a esses parntesis; mas por razes didticas foi colocado).J h calculadoras no mercado que reconhecem a ordem das operaes. Elas s fazem as contas aps voc entrar toda a expresso. Porm, a maioria das calculadoras faz as contas na ordem da entrada dos dados. Para alterar essa ordem, voc deve usar os parntesis.4 + 3 x 5 digitar => EXERCCIOS Calcule usando a correta ordem das operaes.3 5 + 8- 2 + 8+ 6soma e subtrao tm mesma prioridade; fazer da esquerda para direita (na verdade podemos comutar a ordem se quisermos pois todos tm a mesma prioridade)

3 ( 2 4 )3 (-2)3 + 2 = 5Prioridade = parntesisSubtrao; cuidado com o (-) x (-) = (+)

10 3 x 210 6 = 4Prioridade = multiplicao

18 35 518 7 = 11Prioridade = diviso

(10 + 12 ) x 322 x 3 = 66Prioridade = parntesis

(15 11) ( 7 5 )4 2 = 2Prioridade = parntesis; da esquerda, depois da direita

18 [ 2 - (3-1) ] 18 [ 2 2 ] 18 0 = 18Prioridade = parntesisColchetes

[ 36 (7+3) ] 2[ 36 10 ] 226 2 = 13Prioridade = parntesisColchetes

Calcular as expresses: 4 + 3x5 = 4 + 15 = 196 - 2x3 = 6 - 6 = 02x4 3x2 = 8 6 = 2(-1)x3 (-2)x4 = -3 (-8) = -3 + 8 = 53x2 2 = 6 2 = 3 ( da esquerda para a direita)

3x4 2 + 1 = 12 2 + 1 = 6 + 1 = 7

27 3 3 = 9 3 = 3

3x4 (2+1) = 12 3 = 4

(3+2) x (1-4) = 5 x (-3) = - 15

36 2(6 - 1) = 36 2 x 5 = 36 10 = 26

= = = 10

= = = 11

8 = 8 = 8 = 8 (-2) = 10

(1+2)x3 + 4 = 3x3 + 4 = 9 + 4 = 13

(1+2)x(3+4) = 3 x 7 = 21

1+2x(3+4) = 1 + 2 x 7 = 1 + 14 = 15

1+2x3+4 = 1 + 6 + 4 = 11

6-(3+1)x4 = 6 4 x 4 = 6 16 = -10

3x(2+1)3 = 3 x 3 3 = 9 3 = 3

62x3 = 3 x 3 = 9

(10-2x3)+2x(3x5-102+1)-7 = (10 6) + 2 x (15 5 + 1) 7 = 4 + 2 x 11 7 = 4 + 22 7 = 19

7+2x[ 3+2x(5-20/5)-1] = 7+2x[ 3+2x(5-4)-1]= 7+2x[ 3-2-1]= 7+2x[ 3-2-1]=7 + 2 x 0 = 7

1-{3+2x[3x2-4x(2+3x2)-1]+2}= 1-{3+2x[3x2-4x(8)-1]+2}= 1-{3+2x[3x2-32-1]+2}= 1-{3+2x[-27]+2}= 1-{3-54+2}= 1 {-49} = 50

Coloque os parntesis: 2 + 3 . 4 + 1 = 15 2 + 3 . 4 + 1 = 21 2 + 3 . 4 + 1 = 17 2 + 3 . 4 + 1 = 252 + 3 . 4 + 1 = 15 (2 + 3) . 4 + 1 = 21 2 + 3 .( 4 + 1) = 17 (2 + 3) .( 4 + 1) = 25

Escreva os resultados possveis desta expresso se no houvesse a ordem das operaes. (4 possibilidades)16341=?16 - 3=1313 x 4 -113 x 4 = 5252 1 = 513 x 4 = 1216 12 116 12 = 44 1 = 3 NICO CORRETO4 1 = 316 3 x 3

16 3 = 1313 x 3 = 393 x 3 = 916 9 = 7

Aplicaes A temperatura no inicio da noite (19h) estava 30C. Se houve uma queda de dois graus a cada hora, qual foi a temperatura registrada meia noite?De 19 at 24h temos 5 horas. A queda total nessas 5 horas foi de 5 (-2) = -10C. A temperatura s 24h ser ento 30 - 10 = 20C. Em uma nica expresso seria 30 + 5 (-2) Qual o maior produto de dois negativos cuja soma d -10?-10 = 0-10 P=0; -1-9 P=9; -2-8 P=16; -3-7 P=21; -4-6 P=24; -5-5 P=25; depois se repetem Qual a menor soma de dois negativos cujo produto d 12?12 = -1 x (-12) S=-13; -2 x(-6) S=-8; -3 x (-4) S = -7; depois se repetem Minha conta j estava negativa em 300 reais. Tive que gastar 80 reais por dia para minhas necessidades durante 7 dias. Qual foi o saldo final da minha conta?Como gastei 7 x (-80) = -560 reais, o saldo final ficou -300 - 560 = -860 reais. Em uma nica expresso teramos-300 + 7 x (-80) Se tenho que tomar 25mg de um composto 2x por dia durante 20 dias, quanto irei ingerir?25mg x 2 x 20 = 1000mg Se eu comprei 500 aes no valor de 1,27 reais e num determinado momento, precisando muito de dinheiro, resolvi vend-las mesmo com prejuzo a 1,18, qual foi o meu prejuzo total?Para cada ao perdi 1,18 1,27 = -9. Nas 500 aes perderei 500 (-9) = -4 500 reais ou numa expresso 500 x(1,18-1,27) Comprei 300 aes da companhia A e 250 da companhia B. As aes de A baixaram 0,03 reais e as de B subiram 0,02 reais. Escreva a expresso do meu lucro/prejuzo.Lucro/prejuzo = 300 (-0,03) + 250 (0,02) = -9 +5 = -4. Tive prejuzo de 4 reais. Quais os resultados da multiplicao por 1 e por 0?1 x 15 = 15 x 1 = 15 : multiplicar por 1 resulta sempre no mesmo nmero.0 x 15 = 15 x 0 = 0 : multiplicar por zero, qualquer nmero, resulta em zero, mesmo 5.384.258 x 0 = 0.DivisoA diviso tambm um agrupamento. Se temos 10 objetos que pretendemos dividir por 5 pessoas, e quisermos fazer 5 agrupamentos desses 10 objetos, cada agrupamento ter 2 objetos pois 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ou 5 x 2. Como em matemtica pura usamos nmeros negativos que no so objetos e no podem ser agrupados, entenderemos a diviso como a operao inversa da multiplicao.Diviso como inverso da multiplicaoDa mesma forma que vimos a subtrao como a adio com o oposto, vamos encarar a diviso como a multiplicao com o inverso. Assim, as regras de sinais que eram vlidas para a multiplicao sero vlidas igualmente para a diviso, ou seja: (+) (+) = (+); (+) (-) = (-); (-) (+) = (-); (-) (-) = (+)Exemplos (+6) (+3) = +2; (+6) (-3) = -2; (-6) (+3) = -2; (-6) (-3) = +2Diviso em 2 etapas: sinal e depois valor Professor, eu erro muito contas pois acho difcil pensar na conta e no sinal ao mesmo tempo. H alguma forma mais fcil de trabalharmos com esses nmeros?Quando formos fazer divises e multiplicaes de nmeros inteiros (com sinais + e -), dividamos o problema em 2 etapas: 1-aplique a regra dos sinais para o numerador e o denominador (sinais iguais => positivo; sinais diferentes => negativo) .2-depois faa a diviso no levando mais em considerao os sinais (ou considere-os positivos).Exemplos:

Outros exemplos:(-18) / (-9) (-)(-) =(+) 18/9 = 2. Resultado: +215 / (-3) (+)(-) =(-) 15/3 = 5. Resultado: -5EXERCCIOS:

Nmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, ... O que significa diviso exata e no exata de inteiros?Nem sempre podemos agrupar exatamente uma quantidade de objetos. Se formos agrupar 20 objetos em grupos de 4, formaremos 5 grupos. Ento, a diviso de 20 por 4 EXATA: 204=5. Mas nem sempre os agrupamentos so exatos; muitas vezes sobram alguns. Exemplo: quantos grupos de 5 objetos formamos com 19 objetos? 19 5 = 3 grupos de 5 e sobram 4. Nesses casos dizemos que a diviso no exata. Quais os nomes desses nmeros na operao de diviso?Veja o esquema ao lado para identificar os termos. Por que o resto sempre menor que o divisor?Se fosse maior ou igual, conseguiramos formar mais um grupo e a diviso teria um valor uma unidade superior. Exemplo 30 7 = 3 sobra 9 ?? Podemos ento dividir por 4 (3+1) 30 7 = 4 sobra 2. O que so divisores de um nmero?So os nmeros que dividem exatamente aquele nmero inicial. Os divisores do nmero 6 so 1, 2, 3, e 6 pois 6/1 = 6 exatamente; 6/2 = 3 exatamente; 6/3 = 2 exatamente; 6/4 no d exato (d 1 sobra 2); 6/5 no d exato (d 1 e sobra 1); 6/6 = 1 exatamente.Quais so os divisores de 8? 1, 2, 4 e 8. Quais os divisores de 10? So 1, 5 e 10. Quais os divisores de 15? So 1, 3, 5 e 15. O que so nmeros primos?Um nmero primo aquele que s divisvel por 1 e por ele mesmo. Tente achar os divisores de 13, 29, 47 entre outros. No conseguir achar. Esses nmeros so primos pois s tm ele mesmo e o 1 como divisores. Quais so os nmeros primos menores que 50?So os nmeros 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47. Observe que o nmero 1 no considerado um nmero primo. APLICAES Se um elevador pode transportar 8 pessoas de cada vez, e sairo de um curso 50 pessoas, quantas viagens ele far e quantas pessoas levar na ltima viagem?50 8 = 6 RESTO 2. Far 7 viagens; 6 com capacidade mxima (8 pessoas) e a ltima com 2 pessoas. Em um jantar participaro 87 pessoas. Elas se sentaro em mesas de 4 lugares. Quantas pessoas haver na ltima mesa?87 4 = 21 resto 3. Na ltima mesa (a 22) haver 3 pessoas somente. Em 3 salas de aula iguais foram enviados 32 alunos para cada uma delas. No entanto, descobriu-se que cada sala continha 29 carteiras. Quantos alunos sobraram?Nmero de alunos sem carteira 3 x (32-29) = 3x3 = 9 alunos. Iremos cercar com arame farpado um terreno retangular com 10m x 14m com 4 nveis de arame (4 linhas em cada lado). Foram comprados 4 fardos de 50m cada. Quanto arame ir sobrar ou faltar?Permetro = 10+14+10+14=48m. Como so 4 voltas, gastaremos 4 x 48 = 192m. Compramos 4 x 50 = 200m. Vo sobrar 200-192 = 8m. Um trabalhador ganha 35 reais por dia (consideremos 30 x 35 por ms). Mas num determinado ms faz horas extras no valor de 6,80 por dia. Qual o valor ganho nesse ms?30 x ( 35 + 6,80 )

Divisibilidade O que so regras de divisibilidade?So regras para sabermos, sem fazer as contas, se um nmero divisvel exatamente por outro ou no. DIVISIVEL PORCONDIOEXEMPLOS

2O ltimo dgito deve ser (0,2,4,6,8)5238 divisvel5239 no divisvel

3A soma dos dgitos deve ser divisvel por 3195 sim 1+9+5=15, que divisvel por 3 195/3 = 65196 no 1+9+6=16, que no divisvel por 3 (196/3 = 65 sobra 1)

4Os ltimos 2 dgitos devem ser divisveis por 48712 sim (124=3)75319 no (194 sobra 3)

5O ltimo dgito 0 ou 53275 sim32109 no

6O nmero divisvel por 2 E 3.114 sim; par E 1+1+4=6 (63 = 2)

308 no; par MAS 3+0+8=11

7Multiplique por 2 o ltimo dgito e subtraia do resto do nmero. Se 0 ou divisvel por 7, divisvel. Pode reaplicar o procedimento ao resultado vrias vezes.861 (1x2=2; 86-2=84); 84(4x2=8; 8-8=0sim672 (2x2=4;67-4=63;637=9) sim764 (4x2=8;76-8=68) 687 no

8Os ltimos 3 dgitos devem ser divisveis por 8.364816 (8168=102) sim543022 (228 sobra 6) no

9A soma dos dgitos deve ser divisvel por 9. Voc pode reaplicar o procedimento.2034 (2+0+3+4=9) sim5501 (5+5+0+1=10) no

10Nmero acaba com 0.2287620 sim9754671 no

NOTA Mgica matemticaEscreva um nmero de 3 algarismos; repita esse mesmo nmero ao lado resultando num nmero de 6 algarismos. Divida esse nmero (6 algarismos) por 7; o resultado divida por 11; o resultado divida por 13. No final dessas divises resultar o nmero inicial de 3 algarismos. Por que?Soluo: 7 x 11 x 13 = 1001; ao escrever o nmero xyz com xyzxyz, voc o multiplicou por 1001. Ao dividir por 7, 11 e 13 voc dividiu por 1001 resultando no nmero inicial.EXERCCIOS Quais desses nmeros divisvel por 4?1350: 504=12,5 NO4290: 904=22,5 NO18 954: 544=13,5 NO87 516: 164=4 SIM87 5164=21 879

Quais desses nmeros divisvel por 7?1350: 2x0=0; 135-0=135135: 2x5=10; 13-10=3 NO

3575: 2x5=10; 357-10=347347: 2X7=14; 34-14=20 NO5577: 2X7=14; 557-14= 543543: 2X3=6;54-6=48 NO65065: 2x5=10; 6506-10=64966496: 2X6=12; 649-12=637637: 2x7=14;63-14=49 SIM

Quais desses nmeros divisvel por 8?231 4704708= 58,75 NO758 4864868=60,75 NO32 029298=3x8+5 NO1 252 9209208=115 OK1 252 9208=156 615

Quais desses nmeros divisvel por 9?210: 2+1+0=39 NO4290: 4+2+9+0=159 NO7293: 7+2+9+3=219 NO131 274: 1+3+1+2+7+4=189=2 OK131 2749=14 586 Quais desses nmeros divisvel por 5?987 (no, pois acaba em 7) 76543 (no, pois acaba em 3) 98765 (sim, pois acaba em 5) Quais desses nmeros divisvel por 3?1250 (1+2+5+0= 8 no divisvel por 3) 3497 (3+4+9+7=23 no divisvel por 3) 12345 (1+2+3+4+5=15; divisvel) Quais desses nmeros divisvel por 2?123456789 (no, par) 98765432 (sim, par) Quais desses nmeros divisvel por 10?123456789 (no acaba em zero)1234567890 (sim, pois acaba em zero)

Nota MATEMGICA Pea para a pessoa escrever um nmero de 3 algarismos. (p. ex. 123). Subtraia a soma desses nmeros (ex.: soma=1+2+3=6; subtrao 123 6 = 117). Pea para a pessoa cortar um dos algarismos e lhe escrever os que sobraram. Voc adivinhar que nmero ela cortou.Soluo: O nmero que sobrou sempre divisvel por 9. Ao cortar um deles, digamos o 7, e lhe apresentar o nmero 11, voc procurar o nmero que somado aos 1+1 seja divisvel por 9; neste caso o nmero 7. Se a pessoa tivesse cortado um dos 1 e lhe apresentado o 17, 1+7=8 que falta 1 para ficar divisvel por 9, o nmero cortado.

Decomposio em fatores primos 60=2.3.5 O que a decomposio em fatores primos? quando escrevemos um nmero inteiro como o produto de vrios primos. Ex.: 4 = 2 x 2; 10 = 2 x 5; 15 = 3 x 5 ; 18 = 2 x 3 x 3; 25 = 5 x 5; 28 = 2 x 2 x 7; 19 = 19, pois primo. Para que serve essa decomposio em fatores primos?Entre outras coisas, para calcularmos o mnimo mltiplo comum e mximo divisor comum entre nmeros e tambm para fazermos simplificaes em expresses aritmticas. Como fazer essa decomposio? s usarmos os critrios de divisibilidade e dividirmos os nmeros pelos primos 2, 3, 5, 7, 11 ... Exemplos:36 : 2 = 18;18 : 2 = 99 : 3 = 33 : 3 = 1

18 = 2x2x3x3100 : 2 = 5050 : 2 = 2525 : 5 = 55 : 5 = 1

50 = 2x2x5x5105 : 3 = 3535 : 5 = 77 : 7 = 1

105 = 3x5x73960:2 = 1.9801.980 : 2 = 990 990 : 2 = 495 495 : 3 = 165 165 : 3 = 5555 : 5 = 1111 : 11 = 13960 =2x2x2x3x3x5x11

Tambm poderamos fazer a decomposio com outras apresentaes:

A decomposio sempre deve ser feita seguindo a sequncia crescente dos primos (2, 3, 5, 7, ...) ou podemos variar a sequncia?Podemos fazer a decomposio em qualquer ordem, bem diferente da tradicional 2, 3, 5, 7,... Vejamos250 = 25 x 10 e sabemos que 25 = 5x5 e 10 = 2x5. Portanto 250 = (5 x 5 )x (2 x 5).Mais alguns exemplos:160 = 16 x 10; 16 = 4 x 4 = 2 x 2 x 2 x 2; 10 = 2 x 5; 160 = 2x2x2x2 x 2x548 = 6 x 8; 6 = 2x3; 8 = 2x2x2; 48 = 2x3 x 2x2x2700 = 7 x 10 x 10; 10 = 2x5; 700 = 7 x 2x5 x 2x5

Nota O zero, como o sinal negativo, fonte de muitos erros matemticos. Tenha em mente o significado destas fraes com o nmero ZERO:No numerador: = zero. = ZERO. Se voc vai dividir nada entre pessoas, no importa quantas pessoas haja, todas recebero nada. No denominador:no existe. Ora, voc consegue me dizer quantos grupos com nenhum elemento eu formarei com 5 ou 1000 ou qualquer quantidade de objetos? Impossvel dizer, no h resposta. Podemos tentar interpretar esse resultado pensando na diviso como o inverso da multiplicao: perguntar 5/0 = ? Estamos procura de um nmero ? que multiplicado por 0 d 5. Voc consegue achar esse nmero? Eu no!No numerador e no denominador: = o mximo da indeterminao. Quantos grupos com ZERO elementos eu consigo formar com ZERO objetos? Base 10Entendendo melhor a notao posicional de base 10. O que notao posicional de base 10? a notao que usa 10 smbolos e o seu posicionamento em casas mltiplas de 10. Os 10 smbolos so: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Mas como conseguiremos indicar nmeros maiores que 9 sem outros smbolos?A que entra a notao posicional de base 10. Atravs de uma notao posicional conseguimos expressar os nmeros maiores que 9. Vejamos:Imagine uma espcie de baco (#) ; varias hastes verticais. (Ver figura).

O nmero 1 representado por uma argola na 1 haste. O 2 por duas, 3 por 3,... e o nove por 9 argolas. Para no ficarmos com muitas argolas na mesma haste, NO colocaremos a 10 argola e sim colocaremos uma argola na 2 haste e tiraremos as 9 outras. Assim, a argola na 2 haste representa 10 na primeira. Continuando esse processo, a cada 9 argolas na primeira haste a 10 ser colocada na 2 haste e as outras 9 retiradas da primeira haste. Essa disposio representa 20; 3 sero 30, 4, 40 ... 9, 90. Esse processo continuando, ocorrer o momento em que a 2 haste ter 9 argolas e uma 10 estar a caminho. Se tambm no quisermos sobrecarregar a 2 haste e manter a mesma lgica para todas as hastes, a 10 argola na 2 haste nunca ser colocada. Colocaremos uma argola na 3 haste e tiraremos as 9 da 2 haste. Essa disposio significar 100. Olhe que interessante. O nmero 1, 10, 100 lembra muito a disposio das argolas. E o nmero 19? Significa 1 argola na 2 haste e 9 na primeira. E o 247? 2 argolas na primeira, 4 na segunda e 2 na terceira. Se em vez de argolas e hastes colocarmos 10 smbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) para indicar as argolas, criaremos uma notao posicional de base 10.Assim, entendemos por que 521 = 500 + 20 + 1 ou 5 x 100 + 2 x 10 + 1x1 (5 argolas na 3 haste + 2 argolas na 2 haste + 1 argola na 1 haste)OBSERVAO: o entendimento da notao posicional importante para entendermos o porqu que ao multiplicarmos ou dividirmos por 10, 100, 1000,... s deslocamos a vrgula a direita ou para a esquerda.EXERCCIOS Escreva os nmeros com as potncias de 10 explcitas:12345 = 1x10 000 + 2x1000 + 3x100 + 4x10 + 5x1705 = 7x100 + 0x10 + 5x120 032 = 2x10 000 + 0x1000 + 0x100 + 3x10 + 2O ano 2014 = 2 x1000 + 0x 100 + 1 x 10 + 4 x 1 Podemos escrever nmeros menores que 1 usando essa notao posicional?Sim. Para isso, vamos estender a ideia de posies mltiplas de 10 para a esquerda, e posies SUBMLTIPLAS DE 10 PARA A DIREITA. Explique melhor essas posies submltiplas para a direita.Ns vamos inventar um nmero, chamado de nmero decimal, que apresenta tanto mltiplos como submltiplos de 10 no mesmo nmero. Para sabermos quais so os mltiplos e quais os submltiplos, vamos colocar uma virgula , separando os nmeros. Por exemplo: 125,18. Professor, o 125 eu j sei o que : 1 x 100 + 2 x 10 + 5 x 1, mas no tenho ideia do significado de ,18?As posies direita sero submltiplas de 10: Ento explique o significado de ,18 no nmero 125,18.Ele significa, 1 x Agora junte tudo e explique o que significa 125,18 em mltiplos e submltiplos de 10.125,18 = 1 x 100 + 2 x 10 + 8 x 1 + 1 x Os nmeros decimais podem ser representados na reta tambm?Sim. Veja alguns deles na reta abaixo.

E existem decimais negativos? Como so representados na reta?Sim. Vou apresentar alguns na reta abaixo.

D um panorama geral dos decimais positivos e negativos na reta.

Como lemos os nmeros decimais?Os nmeros para a esquerda eram dez, cem, mil etc. Os nmeros para a direita sero DCIMOS, CENTSIMOS, MILSIMOS,...0,25 m = 25 centsimos de metro (25 centmetros)2,7g = 2 gramas e 7 dcimos de grama (27 dcimos de grama)0,841m = 841 milsimos de metro (841 milmetros)21,2 s = 21 segundos e 2 dcimos de segundo (212 dcimos de segundo)56,8cm = 56 centmetros e 8 dcimos de centmetro (568 dcimos de centmetro=568 milmetros)0,04m = 4 centsimos de metro (4 centmetros)0,009m = 9 milsimos de metro (9 milmetros)0,056g = 56 milsimos de grama (56 miligramas)1035m = mil e trinta e cinco metros (1 quilmetro e 35 metros)70,05m = 70 metros e 5 centsimos de metro (7005 centmetros) Qual o valor do nmero 5 nos nmeros abaixo?

12,45m 5 centsimos de metro50,32 g 5 dezenas de gramas105,3 s 5 unidades de segundo = 5 segundos589,32m 5 centenas de metros0,0654g 5 milsimos de grama0,2345m 5 dcimos de milsimos de metro Eu no entendo muito bem sobre o valor dos zeros. Antes da vrgula eles valem mas depois da vrgula no ou vice-versa. Como isso?Os nmeros decimais 0,3, 0,30, 0,300, todos tm o mesmo valor 3/10. A colocao dos zeros DEPOIS da vrgula interpretado como SOMAREMOS ZERO DCIMOS E TAMBM ZERO CENTSIMOS E TAMBM ZERO MILSIMOS... Ora, se vai somar zero, nem precisa me avisar! Mas os zeros antes da vrgula tambm tm a mesma interpretao. Ento, por que eles so importantes?Porque eu estou supondo que depois de algumas casas aparecer um nmero diferente de zero, e o valor posicional desse nmero depender de quantos zeros vieram ANTES dele. Estou confuso. Explique com um exemplo concreto.Tomemos o nmero 0,5 e o nmero 0,50. O que eles significam? Vou explicar lado a lado.0,5Peguei zero unidadesSomei com 5 dezenas (5 x 1/10)

0,50Peguei zero unidadesSomei com 5 dezenas (5 x 1/10)Depois peguei zero centenas ( 0 x 1/100)

Ora, se eu peguei 0 centenas, NEM PRECISAVA ME DIZER ISSO! Esse ltimo procedimento NO acrescenta nada no valor desse nmero. Tire esse algarismo fora!

Agora entendi por que no valem nada direita da vrgula. Mas acho que o mesmo raciocnio pode ser feito esquerda da virgula e tambm concluirei que eles no valem nada daquele lado tambm!Ai que voc se engana. Vamos a um exemplo concreto. Vamos interpretar 0,5 e 0,05.0,5Peguei zero unidadesSomei com 5 dezenas (5 x 1/10)

0,05Peguei zero unidadesSomei com ZERO dezenas (0 x 1/10)Depois peguei 5 centenas ( 5 x 1/100)

Viu! Eu no precisava ter dito tambm que somei 0 dezenas. Isso no acrescenta nada, certo?Certo e errado. Ele no acrescenta nada, mas essa posio com ZERO faz com que a prxima seja a posio das centenas. Se no colocssemos esse zero, a prxima posio seria das dezenas. Ora, acrescentar 5 dezenas ou 5 centenas no faz diferena? claro que sim. Ento os zeros antes da virgula, embora no acrescentem valor algum, promovem ou no o prximo nmero diferente de zero que aparecer. Resumindo: 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,50000000. Porm 0,5 0,05 0,005 0,000005. Ento, por que eu vejo em muitos livros, plantas, esquemas escritos da forma 0,50, 0,250, 1,00 etc.?Os zeros depois da vrgula tm significado na preciso da grandeza. Veja nota sobre preciso a seguir.NOTA sobre preciso 0,3 e 0,300O valor 0,3m significa que essa grandeza tem aproximadamente 0,3m, ou seja, pode ser 0,4 ou 0,2m. J o valor 0,30m significa que a grandeza pode ter valor 0,29m ou 0,31m. Veja que a incerteza que temos nessa medida menor que da anterior. No valor 0,300, queremos significar que a grandeza pode ser 0,299 ou 0,301, ou seja, temos uma incerteza ainda menor. Esses zeros tm grande importncia na fabricao de algo. Fabricarmos um produto com uma dimenso 0,3m bem mais fcil do que fabricar um produto de dimenso 0,300m. Este deve ser fabricado com muito mais cuidado, muito mais precisamente.Soma e subtrao de decimais

Como devemos somar nmeros decimais mo? s colocarmos vrgula debaixo de vrgula. Exemplo: 35,78 + 6,25 + 0,32 + 0,05 = 42,40 Como devemos subtrair decimais? Tambm s colocar vrgula debaixo de vrgula.Exemplo: 84,39 0,09 = 84,30

D outros exemplos de subtrao de decimaisNo grfico, qual a diferena de altura entre os pontos extremos do segmento de reta do grfico? Ser 75,18 3,78 = 71,40 Multiplicao de decimais Como fazemos multiplicao de decimais?Fazemos a multiplicao como se no houvesse vrgula e depois colocamos a vrgula na posio que a soma dos decimais dos dois nmeros. Exemplo: 2,28 x 7,3 = 16,644

Nota - produto de nmeros menores que 1Cuidado com a multiplicao de nmeros menores que 1; eles ficam ainda menores!0,2 x 0,2 = 0,04 (2 casas: 4 o produto; 1 casa 0,4 2 casa 0,04). Por que produtos de valores menores que 1 do valores ainda menores?Na nossa cabea, comum pensarmos que sempre que multiplicarmos nmeros quaisquer, o produto resultante ser MAIOR que qualquer dos valores iniciais. No entanto, quando vamos multiplicar algo por um nmero menor que 1, por exemplo 0,5, estamos pegando metade daquele nmero. Por exemplo 5 x 0,5 = 2,5, (p. ex., metade de um pacote de 5 kg de acar). Se multiplicar o resultado 2,5 por 0,5 novamente, estou pegando metade DAQUELA METADE, ou seja que ainda menor que meio. Estamos fatiando uma fatia, que era por sua vez uma fatia que era outra fatia...

Multiplicao e diviso por mltiplos de 10 Professor, como muitas pessoas fazem contas de multiplicao e diviso por 10 sem calculadora?Devido a usarmos a notao posicional de base 10, isso faz com que para multiplicarmos ou dividirmos decimais por 10, 100, 1000 etc. seja bem fcil. MULTIPLICAO por 10, 100, 1000,... INTEIROS: 5 x 10 = 50; 3 x 100 = 300. DECIMAIS COM VRGULA: quando o nmero tem vrgula, teremos:

DIVISO por 10, 100, 1000,... INTEIROS: 5 x 10 = 0,5; 3 100 = 0,03. DECIMAIS COM VRGULA: quando o nmero tem vrgula, teremos:

RESUMO:

NOTA 15 = 15,0Veja que o nmero inteiro 15 pode ser escrito como 15, ou 15,0 ou 15,00 e todos esses valores so equivalentes. Qualquer inteiro pode ser escrito como decimal, s colocando a vrgula no seu final. Quando vamos fazer mudanas de unidades, importantssimo ter isso em mente. NOTA O ponto e a vrgula nas calculadorasAs principais calculadoras foram projetadas para o mercado americano. L eles usam ponto e vrgula diferente de ns. Veja o exemplo abaixo:No Brasil:Nos EUA:1.234,561,234.56Assim, se voc quiser escrever 4.000 numa calculadora, NO DEVER DIGITAR O PONTO, e sim, puramente 4 0 0 0. Ao contrrio, quando for calcular alguma operao com o nmero 98,76, voc DEVER DIGITAR 9 8 7 6.Muito cuidado pois os resultados podem ser desastrosos:4.000 x 200 = 800.000. Se digitar o ponto da calculadora ir fazer a operao4,000 x 200 = 800 !! um valor mil vezes menor !!Diviso de decimais Como dividimos dois nmeros decimais? Por. ex.: 3,5 0,5Antes vamos dar nomes aos bois. 3,5 o dividendo; 0,5 o divisor. O resultado o quociente (veja o esquema ao lado). Temos que transformar o divisor (0,5) em um nmero inteiro. Isso conseguimos multiplicando por 10, ou seja, 0,5 x 10 = 5. Para que o resultado no seja afetado, vamos fazer o mesmo multiplicar por 10 o dividendo 3,5. Assim, 3,5 x 10 = 35. Agora, fazemos a diviso desses numeros 35 5 = 7. E se o divisor necessitasse de uma multiplicao por 100, por exemplo no caso 3,5 0,05, como fariamos?Teriamos que multiplicar 0,05 por 100 para virar inteiro, deveriamos multiplicar o numerador por 100 tambm para no alterar o resultado. Por ex.: 3,5 0,05 => 3,5 x 100 = 350; 0,05 x 100 = 5. Ento 3,5 0,05 = 350 5 = 70. E se a diviso no for exata? Por ex.: 3,6 0,5?Haver um passo a mais. O prprio quociente dever ter uma vrgula. Vejamos:3,6 0,5 = 36 5. Teremos o quociente 7 e o resto 1. Podemos continuar a diviso desse resto (1) pelo 5. Como no possvel 15 vamos colocar um zero no 1 virando 10 e uma vrgula no quociente virando de 7 para 7,. Agora 10 5 dar 2, ou seja, a diviso ser 7,2.

Arredondamento Professor, muitas vezes, ao fazer contas na calculadora, aparecem uma poro de nmeros depois da vrgula. Nunca sei quantas casas colocar! Quantas casas depois da vrgula o correto?Essa pergunta, infelizmente, vou ter de deixar sem resposta. A colocao do nmero de casas correto um problema de nvel mais avanado, e no vale a pena abordarmos agora. Em todo este livro eu coloquei e colocarei vrias casas depois da vrgula sem explicar por que coloquei 1 em alguns lugares; em outros 2 etc. etc. Mas voc vai me deixar assim, totalmente no ar?No. Vou dar uma explicao bem aproximada para que voc comece a sentir o problema.Como voc j viu em nota anterior, os nmeros 0,3 e 0,300 representam ambos a frao 3/10, matematicamente falando. Porm, ao escrevermos 0,3 ou 0,300, estaremos dizendo at que ponto confiamos que esse nmero valha 3/10. Mas se voc disse que eles valem 3/10, ento ambos valem 3/10. No bem assim nas aplicaes prticas da matemtica. Em matemtica pura 0,3 = 0,300 = 3/10. No vamos falar sobre a preciso de um nmero abstrato. J nas atividades prticas, o tamanho de 0,3m de uma vareta, ou 0,300m so valores bem diferentes. Cortar um material no tamanho de 0,300m uma tarefa muito mais difcil que cortar no tamanho de 0,3m. Ento, ao escrevermos as casas depois da vrgula, estaremos dizendo at que tamanho temos certeza que o objeto tem. Ao fazermos contas com essa medida, digamos, dividindo-a por 4, que resultado obteremos? Na calculadora 0,3/4 = 0,075. Como devo escrever a resposta? A preciso da resposta deve ser a mesma que a do nmero original. No caso 0,3 / 4 = temos preciso at dcimos, ento a resposta deve ter preciso at dcimos: 0,3 / 4 = 0,1 (arredondei a 1 casa depois da vrgula de 0 para 1). Na diviso de 0,300 / 4 = 0,075, temos preciso at de milsimos no nmero original; ento, devemos ter essa mesma preciso na resposta, ou seja, 0,300 / 4 = 0,075. Voc no colocou mais casas depois do 0,075 porque no havia mais, no ? Se houvesse mais, voc colocaria, certo?Errado. A resposta s pode ter 3 casas depois da vrgula pois se escrevesse mais, estaria admitindo que um resultado de uma operao de corte (diviso em 4 partes iguais) resultou em pedaos mais precisos que o tamanho original! Um absurdo! Sempre que fazemos procedimentos, introduzimos erros, e as grandezas resultantes s tero preciso no mximo igual preciso original, nunca maior. Se voc cortou um objeto com tamanho 0,30m ou 30 cm, ele quem sabe teria 29 ou 31 cm com medidas mais precisas. Ao dividir em 4 pedados esse tamanho original obterei pedaos de 0,075m? ou 75mm? No. Como posso saber que o tamanho dos pedaos tinham entre 74 a 76mm se o pedao original podia ter entre 29 e 31? Se fosse 29 / 4 = 7,25; se fosse 31 o original ento 31 / 4 = 7,75. Qual o correto? A nica coisa que podemos dizer com certeza que o resultado tem tamanho 7mm, ou 0,07. Veja que a preciso original (0,30m 2 casas) foi a preciso da resposta (0,07 2 casas). Escrever 0,075m escrever nmeros que no tm o menor sentido. Se j tinha dvidas no 7, como poderei ter preciso at 0,075m? Impossvel.Bem, eu havia dito que essa pergunta eu deixaria sem resposta por ser muito complexa. O que falei acima s o comeo do problema. Mas ento como devo proceder para por um certo nmero de casas depois da vrgula?Coloque, como padro, duas casas, embora esse padro que poder adotar, no funcione em muitos casos. Se fssemos dividir o tamanho 0,3m em 50 pedaos, quanto teria cada pedao? 0,3 / 50 = 0,006m. Colocando s duas casas depois da vrgula teremos 0,00m cada pedao!! Mas ai eu no deveria arredondar 0,006 para 0,01?Sim, e isso o que vou explicar adiante: como fazer arredondamentos. Mas quantas casas deve ter a resposta de um problema? esta uma teoria complexa (teoria dos erros), que no vamos estudar aqui.

Veja essa conta nas duas situaes diferentes abaixo:Na calculadora obtemos 0,18571428571428571428...Como indicar o resultado?Com o mesmo nmero de algarismos que tinha o nmero original (2 NO EXEMPLO)0,18 E DESPREZAMOS O RESTANTE DOS ALGARISMOS

Na calculadora obtemos 0,18571428571428571428...Como indicar o resultado?Com o mesmo nmero de algarismos que tinha o nmero original (4 no exemplo)0,1857 e desprezamos os restantes.

EXERCCIOS Arredonde at 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 casas depois da vrgula os nmeros:1,23456789 e 9,876543211 casa1,2 9,92 casas1,23 9,883 casas1,2359,8764 casas1,23469,87655 casas1,23457 9,876546 casas1,2345689,8765437 casas1,2345679 9,8765432

Notao exponencial e potenciao 5 1012 Por que inventaram a notao 5, 1012 etc.?H muitas situaes em que temos que multiplicar um nmero por ele mesmo vrias vezes. Exemplos: calcular a rea de um quadrado de lado 5 5 x 5; calcular o volume de um cubo de lado 5 5 x 5 x 5.H um poema infantil ingls que diz: numa estrada, encontrei sete mulheres. Cada mulher tinha sete sacos. Cada saco tinha sete gatos. Cada gato tinha sete gatinhos. Quantos gatinhos eu encontrei na estrada? Essa cano tem como soluo: 7 x 7 x 7 x 7 = 2 401. Um ltimo exemplo: se numa colnia de bactrias o seu nmero dobra a cada 1 hora, uma populao com 1000 bactrias agora ter quantas bactrias em 10 horas? A populao ser 1000 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2. No est ficando chato escrever tanto nmero repetido? Ser que no podemos inventar uma notao com que escreveremos somente o nmero que ser repetido e quantas vezes ser repetido (s 2 nmeros) sem realmente indicar todos eles multiplicados? Sim, h uma notao que escrevemos s usando esses dois nmeros. Ela fica assim nos exemplos anteriores: 5x5 = 5; 5x5x5 = 5; 7 x 7 x 7 x 7 = 74; 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210. Esses termos tm nomes especiais?Sim:

5 = base (o nmero que se repetir) e 3 = expoente (quantas vezes a base se repetir).Dizemos 5 x 5 = 5 cinco a 2 potncia5 x 5 x 5 = 5 = cinco a 3 potncia5 x 5 x 5 x 5 = 54 = cinco a 4 potncia5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 55 = cinco a 5 potncia etc.H nomes especiais para potncias 2 e 3:Potncia 2: lembra-se da rea do quadrado? 5 x 5 = 5; tambm dizemos cinco ao quadrado.Potncia 3: lembra-se do volume do cubo? 5 x 5 x 5 = 5; tambm dizemos cinco ao cubo.Ateno: todo nmero sempre pode ser encarado como elevado a potncia 1. Ex.: 5 = 5; 347 = 347; +1 = 1; -1 = (-1). Lembrar disso vai ser muito importante quando formos fazer contas de multiplicao e diviso de potncias.Potncia na ordem das operaes E como fica a operao potncia na ordem das operaes?Ela entra em 2 lugar. Veja a nova ordem das operaes: Fazer parntesis ( ), colchetes [ ] e chaves { } comeando do mais interno. Calcule todas as exponenciais (potncias). Todas as multiplicaes e divises da esquerda para a direita. Todas as somas e subtraes da esquerda para a direita.EXERCCIOS

10 3 + 510 9 + 5 Prioridade = potnciaDa esquerda para direita

31 (2 x 3)31 (4 x 3)31 12 = 19Prioridade = potnciaParntesis

(-2) - ( 24 2)(-2) - (24 4)(-2) - 6-8 -6 = -14Prioridade = parntesis; 24 2, prioridade potnciaParntesisPotnciaOBS: como (-2) est isolado, poderia t-lo feito junto com a 1 etapa da potncia 2.

3 x 2 + 59 x 8 + 572 + 5 = 77Prioridade = potnciasproduto

5 + [(2x3) 3] x 2 +1

5 + [ 6 9] x 2 +15 + [- 3] x 2 +15 + [-6] + 1 = 5 - 6 + 1-1 + 1 = 0Prioridade = parntesis e dentro dele potncia e produtocolcheteProdutoDa esquerda para a direita

3 x [ 2 x (3 +1) -2] 2 + 123

3 x [ 2 x 4 2 ] 8 + 43 x [ 8 2 ] 8 + 4 = 3 x 6 8 + 418 8 + 4 = 14Prioridade = parntesis, porm 2 e 123 so termos independentes; podem ser calculados na mesma etapa; no influenciam outras operaes em cadeia como ocorre com 3 x [ 2 x (3 +1) -2]Colchetes e dentro deles o produtoProdutoDa esquerda para a direita

Notao cientfica O que notao cientfica? uma notao com que os nmeros so escritos na formaX,xx 10NOnde x.xx um nmero decimal entre 1 e 10- pode ser positivo ou negativo + x.xx ou x.xx- o coeficiente da notao cientfica.N, expoente da base 10, um inteiro, ou seja, pode ser positivo ou negativo. Para que inventar mais esta complicao? Qual a vantagem dessa notao?Com essa notao podemos escrever nmeros muito grandes ou muito pequenos, com mais facilidade. Veja os exemplos a seguir:Escrita normal75 000 000602 000 000 000 000 000 000 000 (mol)0,000320,0000000000000000000000000001673kg (massa do prton)Notao cientfica7,5 x 10 +76,02 x 10+233,2 x 10-41,673 1027 kg

Mas com essa nova notao, vou ter de novamente aprender a fazer SOMA, SUBTRAO, MULTIPLICAO, DIVISO, POTNCIAS... tudo do zero?Infelizmente sim. Mas mais vantajoso aprender a fazer essas contas com essa nova notao do que no us-la. No impossvel ocorrer uma situao em que voc deveria dividir a massa do prton por 1 mol. Na notao usual voc se perder completamente na contagem dos zeros.Vamos antes treinar como passamos de decimal para cientfica e vice-versa.Decimal para cientficaDetalhado 752,3 = 75,23 x 10 = 7,523 x 100 = 7,523 1020,00789 = 0,0789 x 10-1 = 0,789 x 10-2 = 7,89 x 10-3 75,18 = 7,518 1015555 = 5,555 1030,18 = 1,8 10-10,0573 = 5,73 10-2373000 = 3,73 105 com 3 significativos0,00032 = 3,2 10-4 340 000 000 = 3,4 108 com 2 significativosCientfica para decimal3,276 104 = 32760 8,54 10-2 = 0,08546,519 103 = 65199,32 10-1 = 0,932Contas com notao cientficaSoma e subtrao Como somo ou subtraio nmeros em notao cientfica?Voc precisa que as potncias de 10 sejam iguais. Se isso acontecer, s somar ou subtrair os coeficientes. Veja os exemplos a seguir: 7,8 102 + 2,5 10 2 = (7,8 + 2,5) 10 = 10,3 10 = 1,03 10 6,57 10-1 + 2,45 10-1 = (6,57 + 2,45) 10-1 = 9,02 10-1 3,18 103 - 2,05 10 = (3,18-2,05) 10 = 1,13 10 7,95 10-2 6,02 10-2 = (7,95 6,02) 10 -2 = 1,93 10 -2 3,14 10 - 4,45 10 = (3,14 4,45) 10 = -1,31 10 E se as potncias de 10 forem diferentes?A voc precisa primeiro colocar as notaes na menor potncia de 10. Veja: 4,37 10 + 3,18 10 ento 3,18 10 = 3,18 10.10 = 31,8 10Ento teremos 4,37 10 + 31,8 10 = (4,37 + 31,8) 10 = 36,17 10 = 3,617 10.Veja estes outros exemplos: 8,014 104 + 1,3 10 801,4 10 + 1,3 10 = (801,4 + 1,3) 10 = 802,7 10 = 8,027 104 2,35 104 + 1,97 103 + 9,5 10 = 235 10 + 19,7 10 + 9,5 10 = (235+19,7+9,5) 10 = 264,2 10 = 2,642 104 6,65 104 - 3,4 10 = 66,5 10 - 3,4 10 = (66,5-3,4) 10 = 63,1 10 9,971 104 5,1 10 = 997,1 10 - 5,1 10 = (997,1-5,1) 10 = 992 10 = 9,92 104 3,357 104 9,3 10 - 3,1 10 = 335,7 10 - 93 10 - 3,1 10 = (335,7-93-3,1) 10 = 239,6 10 = 2,396 104Multiplicao e diviso E como fazemos multiplicao e diviso de nmeros em notao cientfica? intuitivo. Na multiplicao, multiplicamos os coeficientes e depois as potncias de 10. Na diviso, dividimos os coeficientes e depois as potncias de 10. Vou dar exemplos para facilitar o entendimento:MULTIPLICAO1,35 x 10 x 3,74 x 10 = (1,35 x 3,74) x (10 x 10) = 5,049 x 103 + 2 = 5,049 x 105DIVISO1,35 X 10 3,74 x 10 = (1,35 3,74) x (10 10) = 0,36096... x 105 = 3,6096.. x 104 Ento na multiplicao e na diviso no preciso me preocupar em colocar as potncias de 10 na mesma base?No. Como vier ns calculamos: multiplicamos (dividimos) os coeficientes e multiplicamos (dividimos) as potencias de 10. Treine agora nos exerccios a seguir.EXERCCIOS Faa as operaes a seguir:7,35x10+1,29x10 = (7,35+1,29)x10=8,64x10

=

=

= (-2,89-3,25)x

3,1x10-4,2x10-9,9x10+5,7x10 = (3,1-4,2-9,9+5,7)x10=-5,3x10

5,6x10+4,2x10 = 5,6x10+4,2x10x10 = 5,6x10+42x10= 47,6x10 = 4,76x10

3,18x10+2,15x10 = 3,18x10x10+2,15x10 = 31,8x10+2,15x10 = 33,95x10=3,395x10

7,25x-5,22x = 7,25x = (7,25-52,2)x

3,72x+5,2x-4,1x10 = 3,72x+5,2x10x-.10.10 = 3,72x+52x-0,41x = (3.72+52-0,41)x=55,31x = 5,531x12000+3,1x10-0,41x = 1,2x+3,1x10-0,41x100x10 = 12x10+3,1x10-41x10 = (12+3,1-41)10=-25,9x10 =-2,59x

3,2x-50000+0,99x-7500 = 3,2x-5x+0,99x100x = 3,2x-5x+99x = (3,2-5+99-0,75)x = 96,45x=9,645x

3x+5x = (3+5)=8x

7,8x-5,5x = (7,8-5,5)=2,3x

3,25x+2,18x-3,99x = (3,25+2,18-3,99)x = 1,44x

-7,5x+1,8x-7,8x = (-7,5+1,8-7,8)x=-13,5x

1,73x+2,2x = = 17,3x+2,2x = 19,5x=1,95x

1,25x10x2,1x10 = (1,25+2,1)x=2,625x

3,18x10x7,25x = (3,18x7,25)x = 23,055x10=230,55

9,35xx(-3,1)x = 9,35x(-3,1)x = -28,985x=-2,8985x

1,2xx(-2,1x)x(-7,1x) = 1,2x(-2,1)x(-7,1)x = +17,892x

6,5x3,8x10 = (6,53,8)x10 = 1,71x=1,71x10

(3,2x)x(1,5x)(-2,4x10) = = -2x = -2x=-2x1=-2

Notao de engenharia: prefixos K, M, G ... m, , n ... A notao de engenharia no a mesma coisa que notao cientfica? As duas tm coeficiente e potncia de 10.A notao de engenharia similar notao cientfica, porm as potncias de 10 so mltiplas de 3.0,00057m = 5,7 x 10-4 m (cientfica) = 0,57 x 10 -3 m= 570 x 10-6 m na notao de engenharia. Escrevendo assim, podemos substituir as potncias de 10 pelos prefixos do Sistema Internacional[footnoteRef:2], ou seja, s o coeficiente do nmero ser escrito; a potncia estar no prefixo da unidade. No exemplo acima: 0, 57 10-3 m = 0,57 mm. Em 570 x 10-6m, escrevemos 570 m. [2: Mais informaes sobre o Sistema Internacional no captulo 4.]

Lembrando os prefixos e seus smbolos: MLTIPLOSSUBMLTIPLOS

NOMESMBOLOVALORNOMESMBOLOVALOR

YottaY1024millim103

ZetaZ1021micro106

ExaE1018nanon109

petaP1015picop1012

teraT1012femtof1015

gigaG109attoa1018

megaM106zeptoz1021

Quilok103yoctoy1024

APLICAES(No vamos nos preocupar com significativos) Se 18 gramas de gua contm 6,02 x 10 +23 molculas, escreva em decimal e notao cientfica a massa de 1 molcula de gua em gramas.

A luz do Sol demora cerca de 8 minutos para atingir a Terra. Se a distncia d (em quilometro) que a luz percorre em t segundos de d = 300.000 t (d em km e t em segundos), qual a distncia do Sol at a Terra?8 min = 8 x 60 = 480 segundos. D = 300 000 (480) = 144 000 000 km = 1,44 x 10 8 km. Se um gs nas condies normais de temperatura e presso ocupa o volume de 22,4 litros e contm 6,02 x 10 23 molculas, quantas molculas deve haver em 1 litro de gs.

CAPTULO 2 FRAESAs fraes so partes de algo: um inteiro, um objeto. Esse conceito importantssimo em inmeras situaes (razo e proporo, porcentuais, decimais, etc.). Porm, como as fraes para serem somadas precisam ter uma caracterstica especial, denominador igual, devemos ser capazes de achar fraes equivalentes atravs de procedimentos que envolvem mltiplos e divisores, razo pela qual comeamos esses captulo por estes tpicos.Mltiplos e Mnimo Mltiplo Comum (MMC) O que o mltiplo de um nmero inteiro? o resultado do produto desse nmero por 1, 2, 3, ... Por ex.:- os mltiplos de 2 so: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...- os mltiplos de 3 so: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,24, 27, 30, ...- os mltiplos de 5 so: 5, 10, 15, 20, 25, 30,35, 40, 45, 50, 55, 60... comum usarmos a notao para mltiplos de um nmero M (nmero)Por ex.: M(50) = 50, 100, 150, 200, ...; M(21)= 21, 42, 63, 84, ... O que so os mltiplos comuns de vrios nmeros inteiros?Analisando os mltiplos de 2, 3 e 5 acima, observamos que 6, 12, 18, 24 e 30 so alguns mltiplos comuns de 2 e de 3. Veja:mltiplos de 2 so: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...mltiplos de 3 so: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,24, 27, 30, ...15 e 30 so alguns mltiplos comuns de 3 e de 5. Veja:mltiplos de 3 so: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,24, 27, 30, ...mltiplos de 5 so: 5, 10, 15, 20, 25, 30,35, 40, 45, 50, 55, 60... 10, 20, 30 so alguns mltiplos comuns de 2 e 5. Veja:mltiplos de 2 so: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...mltiplos de 5 so: 5, 10, 15, 20, 25, 30,35, 40, 45, 50, 55, 60...Ateno! Os mltiplos comuns de 2, 3 e 5, ou seja, dos 3 simultaneamente, so o 30 e podemos desconfiar que o 60, 90, 120, ... tambm. O que o Mnimo Mltiplo Comum (MMC)? o menor dos mltiplos comuns entre certos nmeros. Nos exemplos acima, temos: 6 o MMC de 2 e 3 pois os mltiplos eram 6, 12, 18, 24 30... e 6 o menor deles. 15 o MMC de 3 e 5 pois os mltiplos eram 15, 30,... e 15 o menor deles. 10 o MMC de 2 e 5 pois os mltiplos eram 10, 20, 30, ... e 10 o menor deles. 30 o MMC de 2, 3 e 5 pois os mltiplos devem ser 30, 60, 90, 120, ... e 30 o menor deles. Para que serve o MMC?A principal aplicao na soma e subtrao de fraes. Porm, antes de usarmos o MMC em problemas prticos (tenha pacincia), vamos aprender um algoritmo (um mtodo simplificado) para o clculo do MMC de vrios nmeros. H uma forma mais fcil de acharmos o MMC?O algoritmo para o MMC assim; veja exemplo com os nmeros 4 e 15:

DESCRIO DO ALGORITMO- escreva os nmeros separados e passe um trao vertical;- comece a dividir pelos primos 2, 3, 5, 7, ... etc. e escreva-os do lado direito do trao;- no havendo mais diviso por 2, passe para o 3, depois o 5 e os outros primos at que tenhamos chegado nas divises sucessivas no resultado 1;- o MMC ser o produto dos divisores obtidos do lado direito do trao vertical.

Ache o MMC dos nmeros 9, 36 e 108; 12, 42 e 18; 16, 110 e 40 usando o algoritmo acima.

Divisores e Mximo Divisor Comum (MDC)Lembra-se o que so os divisores de um nmero?So os nmeros que dividem exatamente outro nmero. Por ex.: os divisores de 12 so 1, 2, 3, 4, 6, 12. Usando a notao D (nmero) = os divisores do nmero, podemos escreverD(35) = 1, 5, 35 D(60) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 60 D(100) = 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 O que so divisores comuns?So os nmeros coincidentes entre o conjunto dos divisores de vrios nmeros. Por ex.:, entre os D(12) e D(60) temos em comum 1, 2, 3, 4, 6 e 12 poisD(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 e D(60)=1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 60;entre os D(12) e D(100) temos em comum 1, 2 poisD(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 e D(100)=1, 2, 5, 10, 20, 50, 100;entre os D(35) e D(100) temos em comum 1 e 5 pois D(35)=1, 5, 7, 35 e D(100)=1, 2, 5, 10, 20, 50, 100. O que o Mximo Divisor Comum (MDC)?O MDC o maior divisor entre os divisores comuns de vrios nmeros. Nos exemplos acima teremos o MDC entre 12 e 60 o MDC=12 pois ele o maior entre 1, 2, 3, 4, 6 e 12;entre 12 e 100 MDC=2 pois ele o maior entre 1 e 2;entre 35 e 100 MDC=5 pois ele o maior entre 1 e 5. Para que serve o MDC?Tambm aqui peo que espere at as aplicaes. Preciso antes explicar uma forma rpida (algoritmo) de acharmos o MDC entre vrios nmeros. H um algoritmo para acharmos o MDC?Sim, e parecido com o do MMC, mas ter 2 colunas de divisores. Na 1 colocamos os divisores que so comuns a todos os nmeros e na 2 os que so divisores s de alguns nmeros. Veja o algoritmo e uma aplicao para os nmeros 60 e 70

DESCRIO DO ALGORITMO- escreva os nmeros separados e passe dois traos verticais- comece a dividir pelos primos 2, 3, 5, 7, ... etc.- se esse primo divide todos, escreva ao lado do 1 trao; se ele dividi s alguns, escreva ao lado do 2 trao- no havendo mais diviso por 2, passe para o 3, depois o 5 e os outros primos at que tenhamos chegado ao final 1- o MDC ser o produto dos nmeros aps o 1 trao.

Ache o MDC dos pares de nmeros 12 e 60, 12 e 100 e