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Revisão – Aula 2 – Unidades Usuais e
Trigonometria
Área e perímetro de um circulo, quadrado/retângulo e triângulos
Unidade de medida linear – metro, seus múltiplos e submúltiplos.
Unidade de medida de superfície – metro2, seus múltiplos e
submúltiplos
Km – hm – dam – m – dm – cm - mm
Km2(106), hm2(104), dam2(102), m2, dm2(10-2), cm2(10-4), mm2(10-6), ha = 10.000 m2
Semiperímetro = (∑lados)/2
Fórmula de Heron – A = √p(p-a).(p-b).(p-c)
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Unidade de medida angular – sistema sexagesimal, centesimal e
radiano.
Revisão – Aula 2 – Unidades Usuais e
Trigonometria
Relações trigonométricas – seno, cosseno e tangente.
2π = 360° = 400 grados
Sen α = CO/H ; Cosα = CA/H ; Tgα = CO/CA
Lei do seno – a/senA = b/senB = c/senC
Lei do cos – cosA = (b2 + c2 – a2)/2xbxc
- cosB = (a2 + c2 – b2)/2xaxc
- cosC = (a2 + b2 – c2)/2xaxb
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Topografia
Aula 3 – Planimetria -
GramometriaAgronomia / Arquitetura e Urbanismo / Engenharia Civil
Prof. Luiz Miguel de Barros
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Planimetria
A Planimetria é a parte da Topografia que estuda o
terreno levando em consideração somente dimensões e
coordenadas planimétricas. Nesse caso não se tem
ideia do relevo do terreno em questão, estudando-se
apenas suas distâncias e ângulos horizontais.
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Planimetria
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Dentro dos objetivos de topografia de representar no
papel uma porção limitada da superfície terrestre e o
controle geométrico das obras de engenharia, há a
necessidade de se medir grandezas.
As grandezas mais comuns, medidas dentro destes
objetivos são:
Distâncias (m)
Ângulos
Áreas (m2)
Planimetria
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Distância Horizontal (DH): é a distância medida entre dois pontos, no plano
horizontal.
Distância Vertical ou Diferença de Nível (DV ou DN): é a distância medidaentre dois pontos, num plano vertical que é perpendicular ao plano horizontal.
Distância Inclinada (DI): é a distância medida entre dois pontos, em planos
que seguem a inclinação da superfície do terreno.
Planimetria
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Planimetria – Goniologia
Gramometria
Planimetria
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Gramometria – estuda os processos e instrumentos, usados
nas determinações de distâncias entre dois pontos. Tal
distancia pode ser obtida por processos diretos e indiretos.
Direto – quando o alinhamento a ser medido é percorrido
e comparado a uma unidade de medida, determinando-
se quantas vezes esta unidade está contida nele.
Instrumentros – Diastímetros.
Planimetria
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Indiretos – Neste caso, do alinhamento materializa-se apenas as
extremidades e a distancia é obtida através da medida de outras
grandezas relacionadas matematicamente com a distancia
horizontal procurada (p. ex. coordenadas das extremidades).
Instrumentros – Distanciômetro – aparelho de medida com uso de
visadas.
Ópticos
Mecânicos
Eletronicos (MEDs)
Planimetria
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GRAMOMETRIAMÉTODOS DIRETOS
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Classificação dos processps diretos segundo sua precisão
Baixa precisão (Técnicas
expeditas)
Passo (pedômetro) odômetro veicular
Régua graduada, estimativa visual
Cadeia de agrimensor
Média precisão Trenas
De Lona
De aço
De fibra de vidro
Alta precisão Fio Invar
Planimetria
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Diastímetros
Métodos Diretos
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Passo médio – medidas que não exija maior precisão.
Variações – Operador - Velocidade de marcha, Estado de fadiga,
Estatura, Idade, etc.
Variações – Terreno – maior ou menor inclinação, aderência,
obstáculos.
Circunstâncias variadas – vento, temperatura, dentre outras.
Métodos Diretos
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Odômetro - É um instrumento que faz o registro do número de voltas
dado por uma roda (p. ex. odômetro veicular).
Raio conhecido(arco) – acumula o número de voltas em um
alimnhamento percorrido.
Fonte de erros - irregularidades do terreno. Em veículos automotores
a precisão nominal varia de 100 a 1000m.
Métodos Diretos
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Corrente ou cadeia de agrimensor - Pode ser
considerada uma ancestral da trena atual.
A cadeia é constituída por uma série de elos de ferro,
geralmente com 20 cm de comprimento.
Comprimento de 10, 20 ou 30 metros. Nas
extremidades possuíam elos maiores (punhos) para
facilitar o esticamento.
Métodos Diretos
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Diastímetro – Trena
Lona, linho e seda com malha metálica, aço, fibra de
vidro, etc.
2 m, 5 m, 10 m, 20 m, 30 m e 50 m.
Distâncias feitas duplamente – Ida e volta
Métodos Diretos
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Trenas – acessórios
Baliza – instrumento que serve para elevar o ponto topográfico com
o objetivo de torna-lo visível.
Métodos Diretos
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Métodos Diretos
Trenas – acessórios
Nível de Cantoneira – utilizado para detectar a vertical de outro
instrumento. Pode ser adaptado numa baliza ou mira.
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Métodos Diretos
Trenas – acessórios
Fichas – São usadas para marcar os lances efetuados com a Trena
(Diastímetro) quando a distância a ser medida ultrapassa o
comprimento deste.
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Métodos Diretos
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Na medição de distâncias, alguns erros devem ser corrigidos, e
outros, evitados.
Erro total – resultante de conjuntode erros.
Erro no comprimento do diastímetro.
Erro de dilatação do diastímetro.
Falta de horizontalidade do diastímetro.
Erro de catenária.
Desvio vertical da baliza.
Erro de desvio lateral do diastímetro.
Enganos.
Métodos Diretos
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Métodos Diretos
ERRO NO COMPRIMENTO DO DIASTÍMETRO
Tamanho nominal da trena ≠ tamanho real da trena.
Ex. usando a trena medimos a distância AB resultando 101,01m.
Depois constatamos que a trena estava com 20,04m em lugar
dos 20m exatos. Corrigir a distância medida.
REGRA DE 3 INVERSA
20,04 – 101,01
20,00 – X
X = 101,01.(20,04/20,00) = 101,21 m
R: a distância real entre os pontos AB é 101,21 m
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A trena que vamos usar mede 19,99m e devemos marcar uma
distância de 100m. Se considerarmos que a trena tem 20 m,
quanto devemos marcar para termos os 100m?
Métodos Diretos
ERRO NO COMPRIMENTO DO DIASTÍMETRO
REGRA DE 3 INVERSA
20,00 – 100,00 m
19,99 – xX = 100,00.(20,00/19,99) = 100,05 m
Marcando 100,05 m com a trena errada estaremos marcando 100 m corretamente
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Erro desprezível nas medidas atuais das práticas de topografia.
Corrigidas quando ocorre grande diferença de temperaturas da
medição e aferição.
e = L . α . (T – t) onde,
e = erro
L = distância medida
a = coeficiente de dilatação
T temperatura ambiente (momento da medição)
t = temperatura de aferição (+/- 20°C)
Métodos Diretos
ERRO DE DILATAÇÃO DODIASTÍMETRO
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Uma trena de aço com 10 m é aferida à temperatura de 20°C. Qual
será seu comprimento real quando utilizada a 40°C? Considere
coeficiente de dilatação do aço igual a 12x10-6 °C -1.
e = L . α . (T – t)
Métodos Diretos
ERRO DE DILATAÇÃO DODIASTÍMETRO
e = 10 . 12 . 10-6 . (40 – 20)
e = 0,0024 m
Ou seja, a trena terá 10,0024 m
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Em terrenos com aclive/declive, a tendência do operador é
segurar a trena mais próxima do piquete. Esta é uma das maiores
fontes de erro. Nesse caso, as distâncias ficam superestimadas.
Auxilio de uma terceira pessoa verificando a posição do
diastímetro.
ERRO DE HORIZONTALIDADE DODIASTÍMETRO
Métodos Diretos
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Métodos Diretos
erro = aB - AB
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Ocasionado pelo peso do diastímetro, o mesmo tende a formar
uma curva com concavidade voltada para cima. Mede-se
nesse caso, um arco em vez de uma reta.
Esticar as extremidades, medir trechos menores ou adotar
escoras intermediarias.
Métodos Diretos
ERRO DE CATENÁRIA
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Em virtude de as balizas não estarem perfeitamente na vertical,
a distância medida poderá ser maior ou menor que a distância
real.
Métodos Diretos
DESVIO VERTICAL DA BALIZA
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Erro que acontece devido ao desvio lateral da trena. Acontece
normalmente em trenas metálicas
Métodos Diretos
ERRO DE DESVIO LATERAL DO DIASTÍMETRO
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Erro que acontece pela inabilidade do operador (erros grosseiros
ou enganos).
Posição do zero no diastímetro
Erro de leitura
Omissão de trenadas
Anotação errada.
Métodos Diretos
ENGANO
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As seguintes medidas foram feitas usando uma trena, cujo
comprimento nominal é de 20 m e comprimento real de 20,02 m.
Corrigir os comprimentos medidos
Linha Comprimento medido
1-2 50,08m
2-3 41,20m
3-4 78,04m
4-5 12,20m
Métodos Diretos
EXERCÍCIO
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GRAMOMETRIAMÉTODOS INDIRETOS
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Diastanciômetro
Métodos Indiretos
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Estação Total – utilizados nas medidas de ângulos e distancias, de
forma eletrônica.
Teodolito eletrônico digital com distanciômetro eletrônico,
montados em bloco único, com memória interna para armazenar
pontos observados em campo.
Métodos Indiretos
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Estação Total - O alcance da visada é função da onda
portadora e da quantidade de prisma usado.
Luz Comum – propagação retilínea mas penetração atmosférica
baixa. Alcance de 300 m a 500 m, com um prisma, podendo
alcançar 1000 m com 3 prisma.
Infravermelho – tem propagação retilinta e boa penetração
atmosférica. Alcance entre 2,5 km a 7,5 km.
Laser – tem baixa dispersão em condições favoráveis. Pode
alcançar até 60 km.
Micro-onda – possui propagação quase retilínea, mas
penetração baixa. Alcance varia de acordo com o
comprimento da onda, mas pode chegar a 200 km.
Métodos Indiretos
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Estação Total – a precisão é expressa em milímetros (termo de
constante aditiva) e em partes por milhão indica o erro
dependente da distância (fator escala)
P = A(mm) + B (ppm)
Topografia de precisão = +/- (3mm + 2ppm)
Controle de deslocamento e calibração de equipamentos = +/-
(1mm + 1ppm)
Métodos Indiretos
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Métodos Indiretos
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Trena digital (laser) – obtém distância horizontal, inclinada e
vertical até um obstáculo, ou anteparo.
Algumas tem mira, tecnologia bluetooth e memória. Baixo custo.
Alcance entre 5 cm a 200 m e precisão de +/- 2mm.
Métodos Indiretos
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Taqueômetro – são teodolitos com luneta portadora de retículos
estadimétricos, constituídos de 3 fios horizontais e 1 vertical.
Associados as miras verticais, obtém-se a distancia horizontal e a
diferença de nível de dois pontos.
Métodos Indiretos
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Taqueometria – Acessório
Mira falante – Instrumento utilizado para medir a distância
vertical de um ponto até o plano horizontal do nível.
Métodos Indiretos
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Taqueometria – Acessório
Mira falante
Métodos Indiretos
1 cm
1 cm
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Taqueometria – Acessório
Mira falante
Métodos Indiretos
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Métodos Indiretos
Taqueometria – Fios estadimétricos
Onde,
Fs = fio superior do retículo
Fi = fio inferior do retículoFm = fio médio do retículo
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Taqueometria - teodolito
Luneta do teodolito – visadas
Perpendicular (ângulo = 90°)
Ascendente (ângulo < 90°)
Descendente (180° <= ângulo => 90°)
Métodos Indiretos
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Métodos Indiretos
Taqueometria – Fios estadimétricos
DISTÂNCIA HORIZONTAL - PLANO HORIZONTALDistância horizontal estadimétrica
DH = m . g
Onde,
DH = distância horizontal
m = leitura estadimétrica m = Fs – Fi
Fs = fio superior do retículo
Fi = fio inferior do retículo
Fm = fio médio do retículo
g = constante do aparelho, normalmente 100
2.Fm ≈ Fs + Fi
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Métodos Indiretos
Taqueometria – Fios estadimétricos
Plano horizontal
Dados os fios Fs, Fi e g, calcule o Fm e adistância
g = 100
2.Fm = Fs + Fi
2.2,000 = 2,800 + 1,200
4,000 = 4,000 OK
m = Fs – Fi = 2,800 – 1,200 = 1,600 m
DH = m.g
DH = 1,600 . 100 = 160 m
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Métodos Indiretos
Taqueometria – Fios estadimétricos
DISTÂNCIA HORIZONTA – PLANO INCLINADO
Luneta deve estar em 90° em relação ao Zênite - Nadir, paramedição em plano horizontal.
Existem situações nas medições entre dois pontos onde o terreno é
muito inclinado, necessitando de um giro vertical da luneta para
se realizar a leitura dos três fios.
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Métodos Indiretos
Taqueometria – Fios estadimétricos
DISTÂNCIA HORIZONTA – PLANO INCLINADO
BD = m – Leitura estadimétrica com a ira na vertical
FG = n – Leitura com a mira normal à visada
a = ângulo de inclinação da visada
AC = n.g AE = AC.cosa ou seja AE = n.g.cosa
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Métodos Indiretos
Taqueometria – Fios estadimétricos
DISTÂNCIA HORIZONTA – PLANO INCLINADO
Dos triângulos FBC e DCG (considerando serem retângulossemelhantes ao triangulo ACE), os ângulos:
FCB = DCG = CAE = a
Para correção da distancia horizontal em plano inclina:
DH = m . g . Cos2a
DH = m . g . sen2Z
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Métodos Indiretos
Taqueometria – Fios estadimétricos
DIFERENÇA DE NÍVEL
Utilizada para calcular a diferença de nível entre dois pontos.
BD – leitura estadimétrica – m
FG – diferença de nível
CF – Leitura feita na mira com fio médio
LE – DH = m . g . Cos2a
EG – i – altura do instrumento
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Métodos Indiretos
Taqueometria – Fios estadimétricos
DIFERENÇA DE NÍVEL
DN = m . g . cos2a . tga + i – alvo
DN = [m . g . (sen(2 . a)/2)] + i – alvo
DN = [m . g . (sen(2 . Z)/2)] + i – alvo Quando a origem é o Zênite
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Durante as operações topográficas, a maioria das medidas de
distâncias é tomada considerando um plano inclinado. A partir
dos dados abaixo e das fórmulas apresentadas, calcule a
distância horizontal e a diferença de nível entre os dois pontos.
Ângulo de inclinação com origem no Zênite e constante g = 100.
Métodos Indiretos
DH = m . g . Cos2a
DN = m . g . (sen(2.a)/2)
DH = 84,931 m
DN = 49,756 m
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As distâncias também podem ser determinadas através das
coordenadas dos pontos extremos da linha, por meio de um
receptor GPS.
Processo inverso ou indireto da topografia
Dist. Inclinada = √(Xb – Xa)2 + (Yb – Ya)2 + (Zb – Za)2
Dist. horizontal = √(Xb – Xa)2 + (Yb – Ya)2
Métodos Indiretos
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Fontes de erro
Leitura errônea da mira – distâncias impropria, capacidade de
aumento focal da luneta, erros grosseiros na leitura
Falta de verticalidade da mira
Erro na medição do ângulo de inclinação (a ou Z)
Erro na medição da altura do instrumento
Métodos Indiretos
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Erro no comprimento do diastímetro – regra de 3 inversa
Erro na dilatação do diastímetro – e = L . a . (T – t)
Plano horizontal – distância horizontal DH = m .g
m = Fs – Fi
2.Fm ≈ Fs + Fi
Plano inclinado – distância horizontal DH = m .g .cos2a
DH = m .g .sen2Z
Plano inclinado – diferença de nível DN = [m .g .(sen(2.a)/2)] + i – alvo
DN = [m .g .(sen(2.Z)/2)] + i – alvo
Fórmulas
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1 - Calcular a DH, sabendo-se que ao instalar o teodolito, o topógrafo obteve os
seguintes dados: a = 30º 00’ 00’’, FS = 2000 mm, FM = 1500 mm e FI = 1000 mm.
2 - Calcular a DH, sabendo-se que ao instalar o teodolito, o topógrafo obteve os
seguintes dados: z = 45º 00’ 00’’, FS = 3500 mm, FM = 3000 mm e FI = 2500 mm.
3 – A distância AB mede realmente 82,42m; ao ser medida com uma trena de
comprimento nominal 20 m encontramos 82,58 m. Determine o comprimento real
da trena e o seu erro.
Exercícios