1
Rijit
Cisimlerin Dengesi
2
•
Bu bölümde, rijit
cisim dengesinin temel kavramları
ele alınacaktır:
–
Rijit
cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması
–
Rijit
cisimler için serbest cisim diyagramı çizilmesi
–
Denge denklemlerini kullanarak, rijit
cisimlerin denge problemlerinin çözülmesi
Rijit
Cisimlerin Dengesi
3
Rijit
cisim denge koşulları•
Şekilde cisme, kuvvet ve moment (kuvvet çifti) vektörleri etkimektedir.
•
Bu kuvvetler, yerçekimi, elektriksel, manyetik veya temas kuvvetlerinden dolayı
olabilir. •
İç
kuvvetlerin toplamı
sıfırdır, çünkü
cisim içindeki parçacıklar arasındaki iç
kuvvetler, Newtonun üçüncü
kanununa göre eşit,
fakat zıt yönlü
doğrusal çiftler şeklindedir, yani dengededir.
4
•
Bir önceki bölümde anlatılan yöntemle, bir cisme etki eden kuvvet ve moment çifti sistemi, cismin herhangi bir O noktasına eşdeğer bir bileşke kuvvet ve bileşke moment çiftine indirgenebilir. Bu bileşke kuvvet ve moment çiftinin ikisi de sıfıra eşitse, cismin dengede olduğu söylenebilir.
0)(
0
OOR
R
MM
FF
5
İki Boyutta Denge
•
Bu bölümde aynı
düzlemdeki kuvvetlerden ve bu düzleme dik momentlerin dengesi incelenecek.
•
Bu tür sistemlere iki boyutlu kuvvet sistemleri denir. •
Şekildeki uçak, merkezden geçen eksene göre simetrik olduğu için, tekerleklerde oluşan kuvvetler T ve T, 2T olarak gösterilmiştir.
6
Serbest Cisim Diyagramları•
Denge denklemlerinin başarıyla uygulanması
için, cisim üzerine
etkiyen bilinen ve bilinmeyen bütün dış
kuvvetlerin cisim üzerinde gösterilmesi gerekir. Bunun için serbest cisim diyagramı
çizilmelidir.
Bu diyagram cismi, çevresinden izole edilmiş
veya serbest kalmış bir şekilde ana hatlarını, yani bir “serbest cismi”
gösteren bir
taslaktır. Serbest cisim diyagramını
çizmek için:
1)
Cisim üzerine etkiyen dış
kuvvetler, bilinen ve bilinmeyen tüm kuvvetler cisim üzerinde gösterilir. Bu kuvvetler: cisme etkiyen dış
kuvvetler, reaksiyon/mesnet kuvvetleri ve cismin ağırlığıdır.
2)
Bilinen kuvvetler/momentler bilinen şiddet ve yönleriyle gösterilmelidir. Bilinmeyen kuvvetler/momentlerin yön ve şiddetleri harflerle gösterilmelidir
3)
Bir x-y koordinat eksenleri oluşturulmalı
ve bilinmeyen kuvvetler, bu eksenlerdeki bileşenlerine ayrılarak gösterilmelidir.
4)
Cismin boyutları
belirtilmelidir, bu boyutlar momentler bulunurken kullanılacaktır.
7
Mesnet Reaksiyonları•
Genel kural: bir mesnet cismin verilen bir doğrultuda ötelenmesini engelliyorsa, cisim üzerinde sözkonusu
doğrultuda bir kuvvet ortaya
çıkar. Aynı
şekilde, cismin dönmesi engelleniyorsa, cisim üzerinde bir kuvvet çifti momenti uygulanır.
•
Örneğin, bir kirişte görülen üç
mesnet türüne bakalım: –
Kayar mesnet: sadece kirişin düşey doğrultuda ötelenmesini önler, tekerlek kiriş
üzerinde sadece bu doğrultuda bir kuvvet
uygular.
Kuvvet mesnetten kirişe etkiyor şeklinde gösterildi (yani cisim üzerinde)Mesnet serbestçe döndüğü
için ve yatay yönde hareket edebildiği için o
yönlerde mesnet kuvvetleri oluşmaz.
8
–
Basit mesnet (pimli mesnet): kiriş şekildeki gibi, bir pim kullanılarak daha kısıtlayıcı
bir şekilde mesnetlenebilir. Pim yere
tutturulmuş
iki elemandan ve kirişteki bir delikten geçer. Pim kirişin herhangi bir doğrultusunda, ötelenmesini önler ve bu yüzden pim kiriş
üzerinde bu doğrultuda bir F kuvveti
uygulamalıdır. Bu etkiyi Fx ve Fy bileşenleri ile ifade etmek daha kolaydır. Hem düşey hem yatay yönde hareket engellenmiştir, dolayısıyla reaksiyon kuvvetleri bu iki yönde oluşur. Kiriş
sadece
serbestçe dönebilir.
9
–
Ankastre mesnet: Kirişi mesnetlemenin
en kısıtlayıcı
yolu, şekildeki gibi bir sabit mesnet (ankastre mesnet) kullanmaktır. Bu mesnet kirişin hem ötelenmesine, hem de dönmesine engel olur. Bu durumda, mesnette x ve y yönlerinde kuvvetler ve z ekseni doğrultusunda (moment ekseni) moment oluşacaktır. Kuvvet mafsallı
mesnette olduğu gibi Fx ve Fy bileşenleri ile ifade
edilir, ve bu kuvvetler bilinirse açısı
da kolaylıkla bulunur. Kirişin bir noktadan her yöndeki hareketi sınırlanmıştır.
10
Diğer Rijit
Cisim Mesnet Türleri•
Tabloda, sıklıkla kullanılan diğer mesnet türleri verilmiştir. Tüm durumlarda
açısının bilindiği kabul edilmiştir.
Kablo: 1 bilinmeyen, tepki kablo doğrultusunda elemandan uzaklaşan yönde etkiyen bir çekme kuvveti
Ağırlıksız çubuk; 1 bilinmeyen, tepki bağlantı
çubuğu ekseni boyunca iki yönlü
kuvvet
Kayar mesnet: 1 bilinmeyen, tepki temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir.
11
Sürtünmesiz yuva içinde kayar mesnet: 1 bilinmeyen, tepki yuvaya dik etkiyen bir kuvvettir.
Sallanan mesnet: 1 bilinmeyen, tepki temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir.
Mafsallı
kayar eleman: 1 bilinmeyen, tepki elemana dik etkiyen bir kuvvettir.
Sürtünmesiz yüzey: 1 bilinmeyen, tepki temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir.
12
Mafsallı
sabit mesnet: İki bilinmeyen, kuvvetin iki bileşeni veya bileşke kuvvetin büyüklüğü
ve
doğrultusu.
Ankastre kayar mesnet: iki bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti ve çubuğa dik etkiyen bir kuvvet
Ankastre mesnet: üç
bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti ve iki kuvvet bileşeni veya kuvvet çifti momenti ve bileşke kuvvetin büyüklüğü ve doğrultusu.
13
Kayar mesnet Sürtünmesiz
yüzey
ankastreSabit mesnet
kablo
14
Dış
ve İç
kuvvetler
•
Bir rijit
cisim parçacıkların birleşimi olduğundan, üzerine hem dış hem de iç
yükler etki eder. Ancak cismin serbest cisim diyagramında
iç
kuvvetler gösterilmez. İç ve dış
kuvvetler daima eşit, fakat zıt yönlü
doğrusal çiftler şeklinde ortaya çıkar ve bu nedenle cisim
üzerindeki net etkileri sıfırdır.
Motora etkiyen tüm iç
kuvvetler ( bulon, vida vb. kuvvetleri) birbirlerini dengeler. Sadece zincir kuvvetleri ve motor ağırlığı
serbest cisim diyagramında gösterilir.
15
Ağırlık ve Ağırlık Merkezi
•
Cismin ağırlığı
önemli mertebedeyse bu sorularda belirtilir. Ayrıca cisim üniformsa
(aynı
malzemeden yapıldıysa) ağırlık merkezi cismin geometrik merkeziyle çakışır. Cisim üniform
değilse, veya karmaşık bir geometriye sahipse bu durumda ağırlık merkezi verilecektir.
16
İdealize edilmiş
modeller
Herhangi bir sistemin kuvvet analizi yapılacağı
zaman, gerçek duruma en yakın analitik veya idealize modeli düşünülmelidir. Bunun için mesnet tipleri, malzeme davranışı
ve cismin boyutları
uygun bir şekilde seçilmelidir.
Kompleks durumlarda birden fazla modelin analiz edilmesi gerekebilir.
17
Örnek 21
•
Şekildeki üniform
kirişin serbest cisim diyagramını
çiziniz. Kirişin kütlesi 100 kg’dır.
18
Örnek 22
300’er kg kütleli iki sürtünmesiz boru şekildeki görüldüğü
gibi traktörle taşınmaktadır. Serbest cisim diyagramını
her boru için ve birlikte çiziniz.
19
20
Örnek 23
Şekilde gösterilen sistemin matematiksel modelini kurun ve serbest cisim diyagramını
çiziniz.
21
Denge denklemleri
00 0MveF
Rijit
bir cismin dengesi için gerekli ve yeterli olan iki koşul:
Cisim x-y düzleminde yer alan bir kuvvetler sistemine maruzsa, kuvvetler x ve y bileşenlerine ayrılabilir.
0
0
0
O
y
x
M
F
FCisim üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin toplamı
Kuvvet çifti momentleri ile tüm kuvvet bileşenlerinin x-y düzlemine dik olan ve cismin üzerinde veya dışındaki keyfi bir O noktasından geçen bir eksene göre momentlerinin toplamı
22
Alternatif Denge Denklemi Setleri
0
0
0
O
y
x
M
F
F denklemleri düzlemsel denge problemlerinin çözümünde sıklıkla kullanılmakla birlikte üç
bağımsız denklemden oluşan
iki alternatif denklem seti de kullanılabilir:
0
0
0
B
A
x
M
M
F Bu denklemlerin kullanılabilmesi için, A ve B moment noktalarının, x eksenine dik bir doğru üzerinde yer almamaları
gerekir. Aksi durumda denklemler birbirinden
bağımsız olmaz.
1
0
0
0
C
B
A
M
M
M2
Bu denklemlerin kullanılabilmesi için, A, B ve C'nin
üçü birden aynı
doğru üzerinde olmamalıdır.
23
Analizde İzlenecek yol:
Serbest Cisim Diyagramının çizilmesi:
Cisim üzerine etkiyen tüm dış
kuvvetler ve kuvvet çifti momentlerinin gösterilmesi gereklidir. Bu vektörlerin büyüklükleri ve oluşturulan bir x-y eksen takımına göre belirlenen doğrultuları
belirtilmelidir. Kuvvetlerin momentlerinin hesaplanması
için
gerekli olan cismin boyutları
da serbest cisim diyagramına dahil edilir. Bilinmeyenler belirlenir. Etki çizgisi bilinen ancak büyüklüğü
bilinmeyen bir kuvvet
veya kuvvet çifti momentinin yönü
varsayım ile belirlenebilir.
Denge denklemlerinin uygulanması:
Bütün denklemleri aynı
anda çözmek zorunda kalmamak için iki bilinmeyen kuvvetin etki çizgilerinin kesişme noktasında yer alan bir O noktasına göre M0
=0 moment denklemi uygulanır (ki bu bilinmeyen kuvvetlerin O noktasına göre momentleri sıfır olsun). Oluşturulan x-y eksenleri kullanılarak Fx
=0 ve Fy
=0 denge denklemleri uygulanır. Denge denkleminin çözümü
sonucunda negatif bir
skaler
çıkarsa, sözkonusu
kuvvet veya momentinin yönünün, serbest cisim diyagramında varsayılanın tersine olduğu anlaşılır.
24
Örnek 24
Şekildeki yüklemeye maruz kalan kirişteki mesnet kuvvetlerini bulunuz.
A: kayar mesnet
B: basit mesnet
25
1-
Serbest cisim diyagramı
* Bilinmeyen reaksiyon kuvvetleri mesnet noktalarına, yön kabuluyle
etki ettirildi.
26
2-
Denge Denklemleri
kontrol
27
Örnek 25
750 N
2 m
3 m3 m
750 N
3 m3 m
2 m
A ve B noktasında oluşan reaksiyon kuvvetlerini bulunuz.
A: basit mesnet
B: kayar mesnet
28
NB reaksiyonunu bulmak için A noktasına göre moment alınır:
NAy
NNAyFyNAx
NAxFx
NNmNmNmN
M
B
BB
A
286
075030cos)2.536(0268
030sin)2.536(0
2.5360)3.(750)2.(30sin)6.(30cos
0
750 N3 m3 m
2 m
Denge Denklemleri
29
Örnek 26
Şekildeki sistemin mesnet reaksiyonlarını
bulunuz.
Not: A noktası
düşey yönde hareket edebiliyor
A: mafsallı
kayar eleman
B: kayar mesnet
30
SERBEST CİSİM DİYAGRAMI
31
DENGE DENKLEMLERİ
Ax
ve NB
kuvvet denklemlerinin dengesinden bulunabilir:
daha sonra A noktasına göre moment alınır:
veya
32
Örnek 27
A noktasından mafsallı eleman B noktasında
sürtünmesiz bir mesnetle desteklenmiştir. A mafsalındaki mesnet kuvvetlerini bulunuz.
A: sabit mesnet
B: sürtünmesiz mesnet
33
34
Örnek 28
A mesnedinde oluşan reaksiyon kuvvetlerini bulunuz.
A: ankastre mesnet
kNmM
MM
NAAF
NAAF
A
AA
yyy
xxx
90.30)60sin3(30cos.400)5.4(30sin.400
)5.4(200)5.3(200)5.2(2000
800030sin.4002002002000
346030cos.4000
35
Ödev 12
Mesnet tepkilerini ve C noktasında oluşan kuvveti bulunuz.
11.31 kN
36
Şekilde görülen 200 kg ağırlığındaki kasa AB ve AC halatları
ile taşınmaktadır. Her
halat kopmadan en fazla 10 kN’luk
yük taşıyabilmektedir. AB
halatının yatay pozisyonda olması koşuluyla, halatlardan biri
kopmadan kasanın dengede kalması
için gerekli en küçük
açısını
hesaplayınız.
Çalışma sorusu-1
37
Çözüm
38
AB, AC ve AD kablolarında oluşan kuvvetleri bulunuz.
300 N
Çalışma sorusu-2
39
300 N
Çözüm
40
Hatırlatma: Bir vektörün kartezyen bileşenleri
•
Bir A vektörünün x, y, z koordinat eksenlerinde bileşenleri olabilir. Paralelkenar kuralını
iki kez ard
arda uygulayarak;
zyx
yx
z
AAAA
AAA
AAA
41
Kartezyen birim vektörler•
Üç
boyutlu uzayda, i, j, k kartezyen
birim
vektörleri sırasıyla x, y, z eksenlerinin doğrultusunu göstermek için kullanılır. Şekilde verilen vektörler, pozitif birim vektörlerdir.
42
Kartezyen vektör gösterimi
•
Vektörleri kartezyen bileşenler cinsinden
yazmak önemli bir avantaj sağlar. Her bir bileşen vektörün şiddeti ve yönünü
belirtir.
kAjAiAA zyxˆˆˆ
43
Kartezyen vektörün yönleri•
A vektörünün doğrultusu, A’nın başlangıç noktası
ve bu
noktada yer alan pozitif x, y, z eksenleri arasında ölçülen (alfa), (beta), (gama) doğrultu açıları
ile tanımlanır.
Bu açılar 0
ile 180 arasındadır.
•
,
ve ’yı
belirlemek için A’nın
x, y, z eksenleri
üzerindeki izdüşümleri kullanılır.
44
Yön kosinüsleri
45
•
A vektörünün doğrultu kosinüslerini elde etmenin kolay bir yolu, A doğrultusunda bir birim vektör oluşturmaktır.
** Eğer bir vektörün şiddeti ve yön
kosinüsleri biliniyorsa, A vektörü
kartezyen
koordinatlarda ifade edilebilir.