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Risikoteilung in der Schadenversicherungsmathematik
Frank Anna
21.12. 2011
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Themenübersicht
Gründe zur Risikoteilung Risikoteilung zwischen VU und VN
– proportionale Risikoteilung– nichtproportionale Risikoteilung
Risikoteilung zwischen Erst- und Rückversicherer
Einfluss auf die Schadenvariablen
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Warum Risikoteilung?
Der Ausschluss von Kleinschäden
Die Beeinflussung des moralischen Risikos
Weitere Gründe
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Der Ausschluss von Kleinschäden
Im beiderseitigen Interesse
Kleinschäden erhöhen Verwaltungskosten und Regulierungsaufwand
Mehrkosten hat VN über Prämie auszugleichen
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Die Beeinflussung des moralischen Risikos
VN hat die Möglichkeit, den Schadenverlauf zu beeinflussen
Motivation an Schadenverhütung durch finanzielle Selbstbeteiligung
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Weitere Gründe
Der Versicherungsnehmer hält sich für „überdurchschnittliches“ Risiko
Er ist an Reduktion der Kosten interessiert Er möchte nicht ganz auf
Versicherungsschutz verzichten
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Formen für Risikoteilung zwischen VN und VU
Proportionale Risikoteilung
Nichtproportionale Risikoteilung
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Proportionale Risikoteilung
X = cX + (1-c)X , 0<c<1
X…Schadenvariable (Schadenhöhe pro Schadenfall oder Jahresgesamtschaden)
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Proportionale Risikoteilung
Prozenttarife in der Krankenversicherung Unterversicherung Mitversicherung
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Nichtproportionale Risikoteilung
X = min(X, a) + max(X-a, 0) , a>0
a…Teilungsgrenze min(X, a)…Erstrisiko max(X-a, 0)…Zweitrisiko
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Nichtproportionale Risikoteilung
Abzugsfranchise Erstrisikodeckung Jahresfranchise Jahreslimits
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Formen für Risikoteilung zwischen Erst- und Rückversicherer
VU, das anderem VU Versicherungsschutz gewährt, nennt man Rückversicherer
VU, das Originalpolizzen ausstellt, nennt man Erstversicherer
Man unterscheidet wieder zwischen proportionaler und nichtproportionaler Rückversicherung
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Formen der proportionalen RV
Quoten-Rückversicherung Summenexzedenten-Rückversicherung
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Formen der nichtproportionalen RV
Einzelschadenexzedenten-Rückversicherung
Kumulschadenexzedenten-Rückversicherung
Jahresüberschaden-Rückversicherung oder Stop Loss
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Kombination von RV-Formen
RV-Formen werden oft kombiniert, um– Schutz gegen Frequenzrisiko– Schutz gegen Großschadenrisiko
zu erreichen
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Einfluss der Risikoteilung auf die Schadenvariablen
Problem bei nichtprop. Risikoteilung:Wie wirkt sich Risikoteilung auf Prämie aus?(nichtprop. Risikoteilung nur als Aufteilung von Schäden definiert)
bei proportionalen Risikoteilung hingegen handelt es sich um Aufteilung von Prämien und Schäden
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Einfluss bei prop. Risikoteilung
an der Schadenzahlverteilung ändert sich nichts
Schadenhöhen werden proportional kleiner Beziehung der Dichten von cX ( ) und X ( ):
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Momente bei prop. Risikoteilung
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Variationskoeffizient und Schiefe
mit Momenten leicht berechenbar: Variationskoeffizient:
Schiefe:
Sie verändern sich durch proportionale Risikoteilung nicht.
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Einfluss bei nichtprop. Risikoteilung
Einfluss auf die Schadenzahl
Einfluss auf die Schadenhöhe
Einfluss auf den Gesamtschaden
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Einfluss auf die Schadenzahl
Schaden X = min(X, a) + max(X-a, 0)Erstrisiko:=Zweitrisiko:=
…Schadenzahl ohne Risikoteilung …Schadenzahl des Zweitrisikos
und haben oft selbe Verteilungstypen
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Einfluss auf die Schadenzahl
Ist negativ-binomial verteilt, ist bei wachsender Schadengröße immer mehr poissonverteilt.
Dies sieht man wegen:
wird bei wachsendem a kleinerje seltener Zweitrisikoschäden, umso eher poissonverteilt
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Einfluss auf die Schadenhöhe
Schadenhöhe des Erstrisikos
Verteilungsfunktion des Erstrisikos
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Einfluss auf die Schadenhöhe
Momente:
Beziehung:
Variationskoeffizient: Schiefe:
Beziehungen:
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Einfluss auf Schadenhöhe
Schadenhöhe des Zweitrisikos
Verteilungsfunktion
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Einfluss auf den Gesamtschaden
Ges.schaden = Ges.erstrisiko + Ges.zweitrisiko
Erwartungswert und Varianz des Erstrisikos
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Einfluss auf Gesamtschaden
Erwartungswert und Varianz des Zweitrisikos
Beziehung: wegen und folgt:
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Einfluss auf Gesamtschaden
Beziehung der Varianzen:
Wegen
und weil und , werden die Varianzen immer kleiner, d.h.:
und .
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Einfluss auf Gesamtschaden
Für die Standardabweichung gilt:
Diese Eigenschaft ist insbesondere im Vergleich zur proportionalen Risikoteilung, bei der gilt, interessant.
bei nichtprop. Risikoteilung keinerlei Zusammenhänge
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Einfluss auf Gesamtschaden
Bei nichtproportionaler Teilung: Variationskoeffizienten des Erstrisikos
Variationskoeffizienten des Zweitrisikos
in folgender Beziehung:
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Fazit
proportionale Risikoteilungwenig Einfluss auf Schadenvariablen
nichtproportionale Risikoteilungbedeutender Einfluss auf Schadenvariablen– verschiedene Manipulationen der
Verteilungsfunktionen– erfordert teilweise numerische Integration
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VIELEN DANK FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT!!!