-
UCSM-EPIMMEM
30-Mar-15 -- 1 ROBTICA I Herramientas Matemticas
JCC
ROBTICA I
Herramientas Matemticas para la representacin de la localizacin espacial: Matrices de Transformacin Homognea (MTH)
-
UCSM-EPIMMEM
30-Mar-15 -- 2 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Representacin conjunta de posicin y
rotacin
2
PosicinCoordendas
cartesianas
(XYZ)
+
OrientacinMatrices de rotacin
OrientacinCuaternios
=
= LocalizacinVectores
LocalizacinMatrices de
transformacin
homognea
-
UCSM-EPIMMEM
30-Mar-15 -- 3 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Coordenadas homogneas Coordenadas homogneas
3
-
UCSM-EPIMMEM
30-Mar-15 -- 4 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Matrices de Transformacin
Homognea (MTH)
Matrices de Transformacin
Homognea (MTH)
Matriz 4x4 que representa la transformacin de un vector en coordenadas homogneas de un sistema de coordenadas a otro
R3x3: matriz de rotacin
p3x1: vector de traslacin
f1x3: transformacin de perspectiva ((0,0,0) en el caso de robtica)
w1x1: escalado global (1 en el caso de robtica)
4
TR p
f w
3x3 3x1
1x3 1x1
Rotacion Traslacion
Perspectiva Escalado
-
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30-Mar-15 -- 5 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Aplicacin de las MTH Aplicacin de las MTH
1. Representar la posicin y orientacin de un sistema girado y
trasladado O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia
OXYZ, que es lo mismo que representar una rotacin y traslacin
realizada sobre un sistema de referencia.
2. Transformar un vector r expresado en coordenadas con respecto a
un sistema O'UVW, a su expresin en coordenadas del sistema de
referencia OXYZ.
3. Rotar (R) y trasladar (p) un vector r con respecto a un sistema de
referencia fijo OXYZ para transformarlo en el r.
3x3 3x1Rotacin Traslacin
0 1 0 1
pRT
5
-
UCSM-EPIMMEM
30-Mar-15 -- 6 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Usos alternativos de las MTH
6
Y
X
ZR
p
r
r
V
WU
Y
X
Z T
r
T
Y
X
Z
V
WU
Rotacin Traslacin
0 1
T
x u
y v
z w
r r
r r
r r
1 1
T
x x
y y
z z
r' r
r' r
r' r
1 1
T
1 2 3
-
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30-Mar-15 -- 7 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Propiedades de las MTH
7
aon
aon
1
-1 T
= n o a n o a
1000
T
zyx
T
zyx
T
zyx
1-
pa
po
pn
Taaa
ooo
nnn
-1xyz uvwT r rxyz uvwr Tr
NO son Ortonormales
-
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30-Mar-15 -- 8 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Traslacin con MTH Traslacin con MTH
Matriz bsica de traslacin:
8
T p ( )
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
x
y
z
p
p
p
xx xx x
yy yy y
z z zz z
1 0 0 +p prr' r
0 1 0 +p prr' r
0 0 1 +p pr' r r
1 10 0 0 1 1
Desplazamiento de un vector:
ux ux x
vy vy y
z w wz z
1 0 0 +p prr r
0 1 0 +p prr r
0 0 1 +p pr r r
1 10 0 0 1 1
Cambio de sistema de coordenadas:
-
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30-Mar-15 -- 9 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Ejemplo de traslacin (I).
Trasladar el sistema (cambio de base)
Ejemplo de traslacin (I).
Trasladar el sistema (cambio de base)
Segn la figura el sistema O'UVW est trasladado un vector p(6,-3,8) con
respeto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx , ry ,rz) del vector
r cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2,7,3)
9
x
y
z
1
1 0 0 6
0 1 0 3
0 0 1 8
0 0 0 1
2
7
3
1
4
4
11
1
r
r
r
-
UCSM-EPIMMEM
30-Mar-15 -- 10 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Ejemplo de traslacin (II)
Trasladar el vector
Ejemplo de traslacin (II)
Trasladar el vector
Calcular el vector rxyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) segn la transformacin T(p) con p(6,-3,8)
10
x
y
z
1
1 0 0 6
0 1 0 3
0 0 1 8
0 0 0 1
r'
r'
r'
4
4
11
1
10
1
19
1
-
UCSM-EPIMMEM
30-Mar-15 -- 11 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Rotacin con MTH Rotacin con MTH
Matrices de rotacin bsicas:
11
cos( )
cos
1 0 0 0
0 -sen 0
0 sen 0
0 0 0 1
Rotx
cos 0 sen 0
0 1 0 0( )
sen 0 cos 0
0 0 0 1
Roty
cos sen 0 0
sen cos 0 0( )
0 0 1 0
0 0 0 1
Rotz
-
UCSM-EPIMMEM
30-Mar-15 -- 12 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Rotacin con MTH Rotacin con MTH
Cambio de sistema de coordenadas:
12
x u
y v3x3 3x1
wz
r r
r r
0 1 rr
11
R 0
x x
y y3x3 3x1
z z
r' r
r' r
0 1r' r
1 1
R 0
Rotacin de un vector:
-
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30-Mar-15 -- 13 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Ejemplo de rotacin Rotar el sistema (cambio de base)
Ejemplo de rotacin Rotar el sistema (cambio de base)
Segn la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90 alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las
coordenadas del vector rxyz si ruvw = [4,8,12]T
13
x
y
z
1
0 1 0 0
-1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
4
8
12
1
8
- 4
12
1
r
r
r
-
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30-Mar-15 -- 14 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Combinacin de rotaciones y
traslaciones
Combinacin de rotaciones y
traslaciones
Es posible combinar rotaciones y traslaciones bsicas multiplicando las matrices correspondientes
El producto no es conmutativo:
rotar y trasladar trasladar y rotar
14
Girar Rotz() y trasladar T(p)
Trasladar T(p) y Girar
Rotz()
Transformaciones expresadas en el sistema fijo
-
UCSM-EPIMMEM
30-Mar-15 -- 15 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Orden de la combinacin de
rotaciones y traslaciones
Orden de la combinacin de
rotaciones y traslaciones
Rotacin seguida de traslacin (expresadas en sistema fijo):
15
p
cos sen p
sen cos p
x
y
z
1 0 0
0
0
0 0 0 1
T p Rotx( )
cos sen p
p
sen cos p
x
y
z
0
0 1 0=
0
0 0 0 1
T p Roty( )
cos sen p
sen cos p
p
x
y
z
0
0
0 0 1
0 0 0 1
T p Rotz( )
p
cos sen cos senp p
sen cos sen cosp p
x
y z
y z
1 0 0
0
0
0 0 0 1
Rotx( )T p
cos sen cos senp p
sen cos cos senp p
x z
y
z x
0
0 1 0 p
0
0 0 0 1
Roty( )T p
cos sin cos sinp p
sin cos sin cosp
p
x y
x y
z
0
0 p
0 0 1
0 0 0 1
Rotz( )T p
Traslacin seguida de rotacin (expresadas en sistema fijo):
-
UCSM-EPIMMEM
30-Mar-15 -- 16 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Ejemplo: combinacin de
rotacin y traslacin (1)
Un sistema OUVW ha sido girado 90
alrededor del eje OX y posteriormente
trasladado un vector p(8,-4,12) con
respecto al sistema OXYZ. Calcular las
coordenadas (rx ,ry ,rz) del vector r con
coordenadas ruvw (-3,4,-11).
SOLUCIN:
16
x
y
z
1 0 0 8 3 5r
0 0 1 4 4 7r
0 1 0 12 11 16r
1 0 0 0 1 1 1
p
cos sen p
sen cos p
T p Rotx( )
x
y
z
1 0 0
0
0
0 0 0 1
Rotacin Traslacin Respecto del Sistema Fijo
-
UCSM-EPIMMEM
30-Mar-15 -- 17 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Ejemplo composicin de
rotacin y traslacin (2)
Un sistema OUVW ha sido trasladado un
vector p(8,-4,12) con respecto al sistema
OXYZ y girado 90 alrededor del eje OX .
Calcular las coordenadas (rx ,ry ,rz) del
vector r de coordenadas ruvw (-3,4,-11).
SOLUCIN:
17
x
y
z
1 0 0 8 3 5r
0 0 1 12 4 1r
0 1 0 4 11 0r
1 0 0 0 1 1 1
p
cos sen cos senp p
sen cos sen cosp p
x
y z
y z
1 0 0
0
0
0 0 0 1
Rotx( )T p
Traslacin Rotacin Respecto del Sistema Fijo
-
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30-Mar-15 -- 18 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Composicin general de MTH (I) Composicin general de MTH (I)
Si las Transformaciones son definidas sobre el sistema fijo (OXYZ) PREMULTIPLICACIN
18
0 1 0 0 1 0 0 5 1 0 0 0 0 0 1 5
1 0 0 0 0 1 0 5 0 0 1 0 1 0 0 5( ) ( ) ( )
0 0 1 0 0 0 1 10 0 1 0 0 0 1 0 10
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
T Rotz T p Rotx
EJEMPLO:
Obtener la matriz de transformacin que representa al sistema O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante
giro de ngulo - alrededor del eje OX,
traslacin de vector pxyz(5,5,10)
giro de sobre el eje OZ
-
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30-Mar-15 -- 19 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Composicin general de MTH (II) Composicin general de MTH (II)
Transformacin definidas sobre el sistema mvil (OUVW) POSMULTIPLICACIN
19
1 0 0 3 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3
0 1 0 10 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 10( ) ( ) ( )
0 0 1 10 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 10
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
T T p Rotx Roty
EJEMPLO:
Obtener la matriz de transformacin que representa las siguientes transformaciones:
Traslacin de un vector pxyz(-3,10,10);
giro de -90 sobre el eje O'U del sistema trasladado
giro de 90 sobre el eje O'V del sistema girado.
-
UCSM-EPIMMEM
30-Mar-15 -- 20 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Reglas de composicin de MTH
Si el sistema OUVW se obtiene mediante
transformaciones definidas con respecto al:
Sistema fijo OXYZ, las MTH de cada transformacin se deben premultiplicar
Sistema mvil OUVW, las MTH de cada transformacin se deben postmultiplicar
20
-
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30-Mar-15 -- 21 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Interpretacin geomtrica de las MTH
21
1000
1000
zzzz
yyyy
xxxx
paonT
paon
paon
paon
p representa la posicin del origen de O'UVW con respecto del sistema OXYZ.
n representa las coordenadas del eje O'U del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ.
o representa las coordenadas del eje OV del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ.
a representa las coordenadas del eje O'W del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ.
-
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30-Mar-15 -- 22 ROBTICA I Herramientas Matemticas
Interpretacin geomtrica de las MTH.
Aplicacin en un robot
x x x x
y y y y
z z z z
po an
po an
0 0 0 1po an
0 0 0 1
n o a pT
22
La localizacin del extremo del robot respecto a
su base queda definida asociando a la base del
robot un sistema de referencia fijo {R}=(OXYZ)
y al extremo un sistema de referencia {H} que
se mueva con l. Expresado en la base {R}, el
origen de {H} est en el punto p y los vectores
directores de {H} son n, o, a escogidos de
modos que:
a: vector en la direccin de aproximacin del extremo del robot a su destino (approach).
o: vector perpendicular a a en el plano definido por la pinza del robot.
n: vector que forme terna ortogonal con los dos anteriores.
X
Y
Z
an
o
{R}
{H}