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Robotique et automatisation 2ème partie
Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg 2ème année
Jacques GANGLOFF Et
Michel de MATHELIN
Programme de la deuxième partie (1)
• 2ème partie: Synthèse des correcteurs numériques – Objectifs – Synthèse par transposition à partir du continu – PID numériques – Auto-réglage des PID – Placement des pôles – Robustesse
• E. Godoy et E. Ostertag, Commande numérique des systèmes. Ellipses, Collection Technosup, Paris, 2003.
• R. Longchamp, Commande numérique de systèmes dynamiques. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1995.
• E. Ostertag, Systèmes et asservissements continus. Ellipses, Collection Technosup, Paris, 2004.
• M. Rivoire et J.-L. Ferrier, Commande par calculateur et identification. Eyrolles, Paris, 1997.
Bibliographie – ouvrages en français
• K. Aström and B. Wittenmark, Computer controlled systems : theory and design.
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1984, 1990. • G. Franklin, J. Powell, and A. Emami-Naeini, Feedback control of dynamic
systems. Addison Wesley, Wokingham, 1988.
• G. Franklin, J. Powell, and L. Workman, Digital control of dynamic systems. Addison Wesley, Wokingham, 1989.
• T. Kailath, Linear Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1980.
• B. Kuo, Automatic control systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1991.
• B. Kuo, Digital control systems. Harcourt Brace & Jovanovich, Orlando, 1992.
• K. Ogata, Modern control engineering. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1990.
Bibliographie – ouvrages en anglais
1 Objectifs (1)
• Asservissement numérique d’un système continu
Synthèse des correcteurs numériques
C(z) G(s) r(k)
v(t)
u(k) y(t)
ym(k)
du(t) dy(t) e(k)!
- BOZ
H(s) Te
G(s) Fonction de transfert du système H(s) Fonction de transfert du capteur r Signal de consigne ou de référence u Signal de commande y Signal de sortie (grandeur à réguler) ym Mesure de la sortie
F(z)
du Perturbation d’entrée dy Perturbation de sortie v Bruit de mesure C(z) Correcteur F(z) Préfiltre e Erreur d’asservissement
Régulateur numérique Capteur
Système
1 Objectifs (2)
• Objectifs de la synthèse: Stabilité:
– Le système en boucle fermée est stable Performance:
– Suivre les variations de la consigne – Comportement en boucle fermée conforme à un
modèle – Rejeter les perturbations et le bruit
Robustesse: – Conservation de la stabilité et des performances
malgré les incertitudes sur le modèle (dynamiques non modélisées, non linéarités, incertitudes paramétriques, …)
Synthèse des correcteurs numériques
1 Objectifs (3)
• Outils pour la synthèse: Stabilité:
– Critère de Jury – Critère de Nyquist
Performance: – Lieu d’Evans (placement des pôles de la boucle
fermée) – Calcul des erreurs en régime permanent – Simulation (vérification a posteriori)
Robustesse: – Marges de stabilité (diagramme de Nyquist) – Simulation (vérification a posteriori)
Synthèse des correcteurs numériques
1 Objectifs (4)
• Méthodes simples pour la synthèse (monovariable): – Transposition de correcteurs continus – Utilisation de PID – Autoréglage – Placement de pôles (lieu d’Evans, retour d’état) – Modèle interne – Méthodes algébriques (RST)
• Méthodes avancées pour la synthèse (multivariable): – Commande optimale : minimalisation d’un critère quadratique sur
l’erreur d’asservissement et la commande – Commande robuste : prise en compte optimale de bornes sur les
incertitudes pour la stabilité et la performance – Commande non linéaire : prise en compte de modèles non linéaires du
système à asservir
Synthèse des correcteurs numériques
2 Transposition à partir du continu (1)
• Principe: 1. Synthèse d’un correcteur continu 2. Le correcteur numérique est obtenu par approximation de
la fonction de transfert du correcteur continu à l’aide d’équations aux différences de différentes manières :
– Echantillonnage-blocage – Approximation d’Euler (différence vers l’arrière) – Approximation d’Euler (différence vers l’avant) – Transformation bilinéaire (ou homographique)
Synthèse des correcteurs numériques
2 Transposition à partir du continu (2)
A. Echantillonnage-blocage :
Synthèse des correcteurs numériques
Cc(s) u(t) e(t)
Se comporte approximativement comme:
Cc(s) u(t) e(t) BOZ BOZ Te Te e(k)!
C(z) u(k)
!"#
$%&'= '
s(s)CzzC cZ)1()( 1
si la période d’échantillonnage est suffisamment petite
Conserve la stabilité
2 Transposition à partir du continu (3)
B. Approximation bilinéaire (homographique):
Synthèse des correcteurs numériques
Conserve la stabilité et la forme de la réponse en fréquence
Dans la littérature anglo-saxonne: Tustin’s approximation
112
+!"zz
Ts
e
•
Plan s Plan z
• 1
)112()(
+!==zz
TsCzC
ec
2 Transposition à partir du continu (4)
B. Approximation bilinéaire (homographique):
Synthèse des correcteurs numériques
Remarque:
sT
sT
zzz
Ts
e
e
e
212
1
112
!
+="
+!=
si s est sur l’axe imaginaire alors
z =1+ Te
2j!
1" Te2j!
#
$
% % %
&
'
( ( (
=1" Te
2
4! 2 +Te j!
1+ Te2
4! 2
#
$
% % %
&
'
( ( (
= e j) avec ) = arctan21" Te
2
4! 2
1+ Te2
4! 2
, Te!
1+ Te2
4! 2
#
$
% % %
&
'
( ( (
2 Transposition à partir du continu (5) B. Approximation bilinéaire (homographique):
Synthèse des correcteurs numériques
Approximation de l’intégrale: approximation trapézoïdale
I(t) =0
t! x(")d"
# I(t) = I(t $Te ) + Te2x(t) + x(t $Te )( )
I(t = nTe ) = I(0) + Te2
x(kTe ) + x((k $1)Te )( )k=1
n
%11
21
!+"zzT
se
x(t)
t 0 Te 2Te 3Te 4Te 5Te
Approximation du retard:
sT
sT
z
eeez
e
e
sT
sTsT
e
ee
212
11
2/
2/1
+
!="
==
!
!!!
2 Transposition à partir du continu (6)
• C. Conclusions: 1. La méthode s’appuie sur les résultats d’une synthèse de
correcteur analogique sur la base du modèle du système qui est également continu.
2. La synthèse ne prend pas en compte le bloqueur et le déphasage introduit par celui-ci dans la boucle d’asservissement.
3. Les performances du correcteur numériques seront au mieux celles du correcteur analogique.
4. Les performances du correcteur numérique se rapprocheront d’autant plus de celles du correcteur analogique que la période d’échantillonnage est petite.
Synthèse des correcteurs numériques
3 PID numériques (1)
A. Forme analogique (rappel) :
Synthèse des correcteurs numériques
]11[)( sTsT
KsC di
pc ++=
Cc(s) e(t) u(t)
! ++=t
di
p dttdeTde
TteKtu
0])()(1)([)( ""
PID idéal
PID réel ]1
11[)(s
NTsT
sTKsC
d
d
ipc
+++=
avec 5!N
3 PID numériques (2)
B. Formes numériques (transposition du continu) :
Synthèse des correcteurs numériques
1. Echantillonnage-blocage: ])1(1
11[)(d
eTNT
e
ip
ez
zNzT
TKzC
!!
!+!
+=
2. Différences vers l’arrière: ]1)1(
)1(1
11[)(!+
!+!
+=z
TNTzN
zzT
TKzC
d
e
e
ip
3. Différences vers l’avant: ])1(
)1(1
11[)(
d
e
e
ip
TNTz
zNzT
TKzC
!!
!+!
+=
4. Transformation bilinéaire: ])
21()
21(
)1(11
21[)(
d
e
d
ei
ep
TNTz
TNT
zNzz
TTKzC
!!+
!+!++=
3 PID numériques (3)
C. Formes standards :
Synthèse des correcteurs numériques
Correcteur P: pKzC =)(
Correcteur PI: ]1
11[)(!
+=zT
TKzC e
ip
Correcteur PD: ]1)1(
)1(1[)(!+
!+=z
TNTzNKzC
d
ep
]1)1(
)1(1
11[)(!+
!+!
+=z
TNTzN
zT
TKzC
d
e
e
ipCorrecteur PID:
3 PID numériques (4)
D. Schéma forme standard :
Synthèse des correcteurs numériques
1)1(
)1(
!+
!
zTNTzN
d
e
Kp r(k) u(k)
ym(k)
e(k)!
- BOZ
Te
PID numérique
)1( !zTT
i
e
ui(k)
ud(k)
3 PID numériques (5)
D. Schéma forme standard (suite):
Synthèse des correcteurs numériques
1)1(
)1(
!+
!
zTNTzN
d
e
Kp r(k) u(k)
ym(k)
e(k)!
- BOZ
Te
PID numérique sans dérivation de l’entrée
)1( !zTT
i
e
ui(k)
ud(k) -Kp
3 PID numériques (6)
E. Equations aux différences :
Synthèse des correcteurs numériques
Correcteur PID sans dérivation de l’entrée:
)]1()([1
)1(1
1)(
)1()1()(
)()()()()()()(
!!+
!!+
=
!+!=
++=!=
kyky
TNTNK
ku
TNTku
kTTKkuku
kukukKkukykrk
mm
d
e
pd
d
ed
i
epii
dip
m
"
""
3 PID numériques (7)
E. Equations aux différences (suite) :
Synthèse des correcteurs numériques
Forme incrémentale du correcteur PID:
)]1()([1
)1(1
1)(
)1()()1()]1()([)1()(
)()()(
!!+
!!+
=
!!+!+!!+!=
!=
kyky
TNTNK
ku
TNTku
kukukTTKkkKkuku
kykrk
mm
d
e
pd
d
ed
ddi
epp
m
"""
"
)1()()1()1()()1()( !!+!!!+!= kukukTTKkKkuku ddi
epp ""
3 PID numériques (8)
F. Anti-saturation du terme intégral (anti-windup):
Synthèse des correcteurs numériques
Saturation (CNA, actionneur)
UUU
U
U
!<">
#$
#%&
!=
)(
)(
sisisi
)()(kuu(k)ku
kukus
us(k) u(k) U
-U Commande calculée
Commande appliquée
Risque d’emballement du terme intégral en cas de saturation
3 PID numériques (9)
F. Anti-saturation du terme intégral (suite):
Synthèse des correcteurs numériques
1. Intégration conditionnelle: Principe : bloquer l’intégration quand la commande sature
)()()()(
)()(
sisi
)1(
)1()1()(
)()1()1()()(
)()()(
0
0
0
kukukKku
kuku
ku
kTTKkuku
kukTTKkukKku
kykrk
dip
i
i
epi
i
di
epip
m
++=
>!
"#
"$%
&
&+&=
+&+&+=
&=
'
'
''
'
UU
3 PID numériques (10)
F. Anti-saturation du terme intégral (suite):
Synthèse des correcteurs numériques
2. Anti-saturation standard: Principe : recalculer le terme intégral pour ne pas saturer
)()()()()(
)(si))()((
)(si)1()1(
)(si))()((
)(
)()1()1()()(
)()()(
0
0
0
0
kukukukKku
kukukK
kukTTKku
kukukK
ku
kukTTKkukKku
kykrk
sdip
dp
i
epi
dp
i
di
epip
m
=++=
!!"
!!#
$
%<+%%
&%+%
>+%
=
+%+%+=
%=
'
'
'
'
''
'
UU
U
UU
4 Auto-réglage des PID (1)
A. Méthode de Takahashi basée sur la réponse indicielle
Synthèse des correcteurs numériques
y(t)
t Tu Tg
Correcteur P: eu
gp TT
TK
+=
Correcteur PI:
Tangente au point d’inflexion
2
2
135,0
2
9,0
!"#$
%& +
'+
=e
u
eg
eu
gp
TT
TTTT
TK 2
2
27,0
!"#$
%& +
=e
u
eg
i
p
TT
TTTK
4 Auto-réglage des PID (2)
A. Méthode de Takahashi basée sur la réponse indicielle (suite)
Synthèse des correcteurs numériques
Correcteur PID: 2
2
3,02,1
!"#$
%& +
'+
=e
u
eg
eu
gp
TT
TTTTT
K
2
2
6,0
!"#$
%& +
=e
u
eg
i
p
TT
TTTK
e
gdp T
TTK
2=
4 Auto-réglage des PID (3)
B. Méthode de Takahashi en boucle fermée:
Synthèse des correcteurs numériques
!!"
#$$%
&'=
c
ecp T
TKK 16,0c
c
i
p
TK
TK 2,1=
Principe : augmenter le gain en boucle fermée avec une correction proportionnelle jusqu’à la mise en oscillation
Gain critique : Kc
Période des oscillations : Tc
Correcteur PID:
43,0 cc
dpTKTK =
5 Placement des pôles dominants
Principe: placer à l’aide du lieu d’Evans les pôles dominants de la fonction de transfert du système bouclé dans une région désirée
Synthèse des correcteurs numériques
enen TjTnn eezjs !""!!""!
212,1
22,1 1 #±#=$#±#=Pôles dominants:
pôles dominés
constante n!"
constante !
pôles dominants
Marges de stabilité
• •
CG(ej!Te)
1 -1 •
c!
" #
g1!
g !"1
•
Diagramme de Nyquist
Critère de Nyquist: Le système asservi (en boucle fermée) est stable ssi CG(ejwTe) encercle le point -1 dans le sens anti-horlogique un nombre de fois égal au nombre de pôles instables de la boucle ouverte
6 Robustesse (1)
Synthèse des correcteurs numériques
eT!" =
0=!
Marges de stabilité (suite)
B. Marge de retard ! = retard qui entraîne l’instabilité
soit ! ci{ } les pulsations telles que CG e j! ciTe( ) = 1
soit "i = # + argCG e j! ciTe( )$% = min
i
"i
! ciTe
A. Marge de phase " = déphasage qui entraîne l’instabilité (retard de phase)
6 Robustesse (2)
Synthèse des correcteurs numériques
Marges de stabilité (suite)
D. Marge de module # = distance minimale entre CG(ejwTe) et -1
! = inf"#R
1+CG(e j"Te ){ } = 1
sup"#R
11+CG(e j"Te )
$! = 1S %
!!!= LH ou norme
C. Marges de gain g et g’ < 1 = gain qui entraîne l’instabilité
6 Robustesse (3)
Synthèse des correcteurs numériques