ROTACIONES ORTOGONALES
Y ROTACIONES OBLICUAS
MANUALES
Xaymara Pérez Rubén Quiñones
INTRODUCCIÓN
En capítulos anteriores se ha señalado que la
matriz extraída no proporciona una solución
adecuada. Para facilitar la interpretación se
realizan lo que se denominan serie de
rotaciones factoriales:
Rotaciones ortogonales manuales
Rotaciones oblicuas manuales
Las rotaciones pretenden seleccionar la
solución mas sencilla e interpretable.
ROTACIONES
ORTOGONALES
MANUALES
Las rotaciones ortogonales manuales
mueven los ejes factoriales para
acercar los puntos a estos de forma
que mantengan su ortogonalidad.
Esto permite la interpretación de los
pesos factoriales de una variable con
respecto a los factores ortogonales
como si fueran coeficientes de
correlación.
MÚLTIPLE POSITIVO
Es el intento de reducir o eliminar pesos
negativos.
Los factores finales rotados deben ser pesos
positivos para las variables de todos los
factores.
La idea principal para el múltiplo positivo es
que todas las variables de datos de una
matriz tengan intercorrelaciones que sean
cero o positivas.
ESTRUCTURA SIMPLE
Desarrollado por Thurtone (1947).
Su propósito era guiar al investigador a
realizar las rotaciones de los ejes factoriales
a posiciones de mayor importancia.
ESTRUCTURA SIMPLE
La matriz factorial rotada en estructura
simple tendría las siguientes características:
Cualquier columna de la matriz factorial debe tener
en su mayor parte valores pequeños, bien cerca de
cero.
Entradas distintas de cero en pocas columnas, esto
para encontrar la solución esperada.
Cualesquiera dos columnas factoriales mostrarán un
patrón diferente de pesos altos y bajos.
ROTACIÓN ORTOGONAL DEL PROBLEMA DE LAS 12 VARIABLES
Primer conjunt
o de trazado
s
Primera rotación
Segunda rotación
EJECUCIÓN ALGEBRAICA DE LA PRIMERA ROTACIÓN
La ejecución real de la rotación se lleva a
cabo mejor algebraicamente que
gráficamente, porque se generan resultados:
más exactos
proporciona un mejor testimonio matemático de
lo que se realizó.
PRIMERA ROTACIÓN ORTOGONAL DEL PROBLEMA DE DOCE VARIABLES
Matriz no rotada de pesos factoriales
Matriz Ortogonal Matriz de
pesos rotados
A * Λ1 = V1
La matriz ortogonal es determinada por la rotación que se va a ejecutar.
Si el factor j va a ser rotado con el factor k, los elementos en la matriz ortogonal serán determinados como: λ jj = λ kk = cos Φ, Φ es el ángulo a ser rotado.
λ jk = sen Φ, cuando el factor con número inferior es rotado alejándose del factor con número superior.
- sen Φ, cuando el factor con número inferior es rotado hacia el factor del número superior.
λ kj = - sen Φ, cuando λ jk = sen Φ
λ kj = sen Φ, cuando λ jk = -sen Φ
Las otras entradas diagonales de la matriz ortogonal son iguales a 1.
Todas las restantes entradas son 0.
representa la rotación de θ grados del plano en sentido contrario a las manecillas del reloj.
cosθ senθ
-senθ cosθ
Ejemplo:
SEGUNDA ROTACIÓN ORTOGONAL
Matriz de pesos factoriales rotados después de una vez
Matriz de transformación ortogonal para la segunda rotación
Matriz de pesos factoriales rotados después de dos rotaciones.
V1 * Λ2 = V2
SEGUNDA ROTACIÓN
Consiste de la rotación del factor II hacia el
factor III por medio de un ángulo de 15º . El
factor III fue rotado alejándose de factor II
por medio del mismo ángulo y al mismo
tiempo.
Por ende:
λ 22 = λ 33 = cos(15º) = .963
λ 23 = -sen (15º)= -.270
λ 33 = sen (15º)= .270
Segundo
conjunto de
trazados
Tercera rotación
TERCERA ROTACIÓN ORTOGONAL
Tercer conjunto
de trazados.
En resumen Λ= Λ1 Λ2 Λ3 Λ4 Λ5…
Λn es el producto de todas las
matrices Λi de una rotación y la
matriz final se obtiene como: V =
AΛ.
La matriz final V es el resultado
final de la larga serie de
rotaciones, modificando la matriz
de pesos rotados por medio de
una rotación a la vez.
ROTACIONES OBLICUAS MANUALES
EJES FACTORIALES OBLICUOS
Este tipo de rotación permite que grupos de factores
puedan llevarse a hiperplanos más cercanos a cada uno
de ellos, a diferencia de la rotación ortogonal, en donde
los factores debían de mantenerse en ángulo recto
entre si.
En la tabla de pesos factoriales ortogonales, los pesos de 1, 2 y 3 no eran grandes, pero no eran cero en el factor II. Lo mismo ocurre con las variables 4,5 y 6 respecto al factor I
En la tabla de pesos factoriales oblicuos, las variables 1,2 y 3 tendrán esencialmente valores iguales a cero en el factor II. Lo mismo ocurre con las variables 4,5 y 6 respecto al factor I
COORDENADAS Y PROYECCIONES
Las distancias desde el origen a las líneas
perpendiculares al eje factorial oblicuo, que
pasan por los puntos de datos son conocidas
como Proyecciones. Éstas son iguales a las
correlaciones de estos vectores de datos con el
vector factorial oblicuo.
Los pesos factoriales son las coordenadas de
los vectores de los datos respecto al eje
factorial oblicuo.
La afirmación de que las coordenadas del vector de datos P1 son (.7, .5) respecto de los vectores factoriales F1 y F2 significa que:
oF1 y F2 pueden expresarse como combinaciones lineales de los mismos vectores base.
oTanto F1’ como F2’ pueden expresarse como combinaciones lineales de los vectores base ortogonales F1 y F2.
oEl vector P1 puede expresarse como una combinación lineal de vectores factoriales, oblicuos F1’ y F2’.
oAl realizar el cálculo anterior, se obtuvo las X e Y como coordenadas desconocidas, entonces: Esto da dos ecuaciones con dos incógnitas. Se obtiene que X= .592 e Y=.400
Hay que trazar perpendiculares a los ejes factoriales y hay que medir la distancia desde el origen de estos puntos para poder obtener las coordenadas de un vector de datos respecto a dos vectores oblicuos. El cálculo del producto escalar P1 Y f1 da: Al trazar una línea perpendicular desde el punto P1 al vector F1’ se obtiene la correlación entre el vector de datos P1 y el vector factorial F1’. A partir de la relación:
se obtiene que X es la proyección perpendicular del vector de datos P1 sobre el vector factorial F1.
o Para obtener las coordenadas de un vector P1
respecto a dos ejes factoriales F1 ´ y F2´, oblicuos
entre si, se trazan líneas paralelas a F1 ´ y F2´,
respectivamente, a travez de un punto terminal de
P1.
o Al trazar una línea perpendicular desde el punto
P1 al vector F1´se obtiene la correlación entre el
vector de datos P1 y el vector factorial F1´.
Entonces se sigue la siguiente relación
r12 =h1h2cosφ .
o Donde r12 es la correlación entre los vectores 1
y 2, h1 y h2 son las longitudes de los vectores 1 y
2 y cos φ es el coseno del ángulo entre los
vectores.
COORDENADAS Y PESOS FACTORIALES
Se le conocen como pesos factoriales a las
coordenadas de un vector de datos respecto a
unos ejes factoriales .
Con factores ortogonales, se permite la
interpretación de los pesos factoriales de una
variable respecto a los factores ortogonales como
si fueran coeficientes de correlación. Solo de esta
manera los elementos de la matriz estructura
pueden interpretarse como correlaciones. No es
así con factores oblicuos.
ESTRUCTURA DEL VECTOR REFERENCIA
La estructura del vector de referencia es conveniente cuando
las rotaciones oblicuas se llevan a cabo por medio de la
inspección de los trazados de los factores de dos en dos.
Este proceso viabiliza la obtención de las matrices de la
solución final: la matriz patrón P, la matriz estructura S y la
matriz de correlaciones entre los factores.
Consiste en las proyecciones perpendiculares de los vectores
de variables.
Realizar una rotación oblicua de un vector de referencia implica
cambiar una columna de la matriz de transformación.
oSe presenta cómo un trazado de los factores ortogonales I y II’, el vector I sería el hiperplano para el factor II’, y II’ sería el hiperplano para el factor I.
oEl factor II está bien colocado, ya que su hiperplano está situado a lo largo de la línea de máxima densidad de puntos.
oEl factor I estaría mal colocado porque su hiperplano no está situado a lo largo de la línea de máxima densidad de puntos.
Este procedimiento resultaría
conveniente si se quisieran rotar las
posiciones ortogonales de los factores I y
II’ de la figura anterior a las posiciones
ortogonales I’ y II.
ROTACIÓN DEL VECTOR REFERENCIA
Este proceso permite cambiar una
columna de la matriz A para rotar un
vector de referencia que es
equivalente a la multiplicación de A
por una matriz identidad excepto para
la columna que se va a cambiar.
BIBLIOGRAFÍA Andrew L. Comrey (1985) Manual de Análisis Factorial