-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 1
ROZWIZANIE RAMY PASKIEJ METOD SI I OBLICZENIE PRZEMIESZCZE
1 DANE WYJCIOWE Dana jest rama jak na rysunku.
3,00
m
q=5,
00kN
/m
P=20,00kNM=15,00 kNmi
k1= 0.5EIm3
k 2=
1E
Im
2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m
1
2-30oC10oC
20o C-
5o C r =1cm
r = 1.5o
jEI
1.3889 EI
Bdy montau
1.5o
1o
1.2
cm
L2=1cm2
L 1=
-
1.5cm1
1.4 cm
Rozwiza j metod si od danego obcienia siami, od zmiany temperatury oraz od bdw montau i przemieszcze podpr. Sporzdzi wykresy si przekrojowych i dokona kontroli rozwizania od jednego z wymienionych wpyww. Obliczy zaznaczone przemieszczenia. Uwaga dotyczca oznacze.
Aby unikn niejednoznacznoci oznacze wszystkie przemieszczenia obliczane w statycznie wyznaczalnym ukadzie podstawowym i dotyczce tylko ukadu podstawowego oznacza bdziemy maym symbolem a przemieszczenia obliczane w statycznie niewyznaczalnym ukadzie danym lub obliczane w ukadzie podstawowym a dotyczce ukadu danego oznacza bdziemy duym symbolem . Siy przekrojowe i reakcje wyznaczane w ukadzie podstawowym oznacza bdziemy odpowiednim symbolem z nadkreleniem (np. M ) a w ukadzie danym oznacza bdziemy odpowiednim symbolem bez nadkrelenia (np. M ).
2 WYZNACZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOCI Aby skorzysta z wzoru tenh = 3
przeksztacamy ukad dany w zbir tarcz sztywnych otwartych przez usunicie wizi podporowych, dokonanie przeci wszdzie tam gdzie poczenie nie jest pene oraz otwarcie tarcz zamknitych. Zilustrowano to na rysunku obok. Na rysunku tym w nawiasach podano liczby usunitych wizi, ktrych suma jest liczb wizi e w przytoczonym wzorze. 3 ROZWIZANIE RAMY OD OBCIENIA SIAMI 3.1 UKAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJCY MU UKAD RWNA
KANONICZNYCH 3.1.1 UKAD PODSTAWOWY
Ukad podstawowy tworzymy z ukadu danego przez zastpienie hn wizi niewiadomymi siami w taki sposb by powstay ukad by geometrycznie niezmienny. Uwaga: Liniami przerywanymi wzdu osi prtw wyrniono wkna do znakowania momentw zginajcych.
3.1.2 UKAD RWNA KANONICZNYCH 011212111 ==++
FrzF
FF XX , 022222121 ==++
FrzF
FF XX .
(e=2)
(e=3)2=t
(e=3)
8232 =+=e2238 ==hn
3,00
m
q=5,
00kN
/m
P=20,00kNM=15,00 kNm
2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m
EI
1.3889 EI
X1 X2
y
x
A
BC
DE
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 2
3.2 ROZWIZANIA UKADU PODSTAWOWEGO 3.2.1 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD DANEGO OBCIENIA
F=(M,P,Q)
Uwaga: Wszystkie wielkoci wyznaczane w tym punkcie wyrniamy nadkreleniem i indeksem grnym F. Dla skrcenia zapisu w obliczeniach pominiemy te wyrniki stosujc pene symbole tylko w oznaczeniach wielkoci, z ktrych korzysta bdziemy w dalszych obliczeniach.
3.2.1.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPR =+++= 02/33610 mmqMmPmVM BA
02/33/51562010 =+++ mmmkNkNmmkNmVB kNVV FBB 75.15== , =+= 0PVVY BA 02075.15 =+ kNkNVA kNVV FAA 25.4== , =+= 03mqHX A 03/5 =+ mmkNH A kNHH FAA 00.15== . Kontrola =++= 2/334103 mmqMmPmVmHM AAB
0)2/335154201025.4315( =++= kNm 3.2.1.2 OBLICZENIE WARTOCI RZDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SI
PRZEKROJOWYCH. 0=AM ,
== 2/5.15.15.12 mmqmHmVM AAE ,375.252/5.15.1/55.115225.4 kNmmmmkNmkNmkN =+=
kNmmmmkNmkNmmmqmHmVM AACA 50.392/33/5315425.42/3334 =+== , kNmkNmkNmMMM CACD 50.54155.39 =+=+= ,
kNmmkNmVM BD 00.63475.154 === , 0=BM , ( ) kNkNHVV AAAC 40.126.0158.025.4sincos =+== ,
( ) kNkNHVN AAAC 45.98.0156.025.4cossin =+== , ( ) kNkNmqHVV AACA 40.36.0356.0158.025.4sin3sincos =+== ,
( ) kNkNmqHVN AACA 55.28.0358.0156.025.4cos3cossin =+== , kNkNkNVPV BCD 25.475.1520 === , kNVV BDB 75.15== , 0=CBN .
Rzdne rodkowe momentw zginajcych dla przedziau CD i DB, wykorzystujc ich prostoliniowy charakter, obliczono jako rednie arytmetyczne z wartoci brzegowych.
( ) ( ) kNmkNmMMM DCDCDs 75.582/635.542/, =+=+= ,( ) ( ) kNmkNmMMM BDDBs 50.312/0632/, =+=+=
Sia poduna w wizi sprystej nr 1: kNVS AF 25.41 == Moment zginajcy w wizi sprystej nr 2: kNmMS CAF 50.392 ==
3,00
m
q=5,
00kN
/m
P=20,00kNM=15,00 kNm
2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m
y
x
VA
HA
VB
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 3
3,00
m
2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m
y
x
VA
HA
VB
X1
3.2.1.3 WYKRESY SI PRZEKROJOWYCH.
39,50kN
m54
,50
kNm
63,00
kNm
25,375kN
m
MF
++
58,75
kNm
31,50
kNm
12,40kN
3,40kN 4,
25kN
4,25
kN
15,75
kN
15,75
kN
VF+
+-
2,55kN
9,45kN
+
-
NF
3.2.2 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD OBCIENIA X1 = 1
Uwaga: Wszystkie wielkoci wyznaczane w tym punkcie wyrniamy nadkreleniem i indeksem grnym 1. Dla skrcenia zapisu w obliczeniach pominiemy te wyrniki stosujc pene symbole tylko w oznaczeniach wielkoci, z ktrych korzysta bdziemy w dalszych obliczeniach.
3.2.2.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPR
=+= 0110mVM BA mVV BB /10.01 == , == 0BA VVY mVV AA /10.01 == , == 0AHX 01 == AA HH . Kontrola 01101.030103 1 =+=++= XmVmHM AAB
3.2.2.2 OBLICZENIE WARTOCI RZDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SI PRZEKROJOWYCH
0=AM , 40.034 == mHmVM AAC , 60.014 == mVM BD , 1=BM ,
mHVV AAAC /08.0sincos == , mHVN AAAC /06.0cossin == , mVV BCB /10.0== , 0=CBN .
( ) ( ) 20.02/4.002/,
==+== CAACsE MMMM , ( ) ( ) 50.02/6.04.02/
,==+= DCCDs MMM , ( ) ( ) 80.02/16.02/, ==+= BDDBs MMM .
( ) ( ) 70.02/14.02/,
==+= BCCBs MMM .
Sia poduna w wizi sprystej nr 1: mVS A /10.011 == Moment zginajcy w wizi sprystej nr 2: 40.012 == CMS
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 4
3,00
m
2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m
y
x
VA
HA
VB
X2
3.2.2.3 WYKRESY SI PRZEKROJOWYCH
0,400
,40
0,60 1,
00
-
-
M1
0,50 0,
80
0,20
0,08/m
0,10
/m
-
-
V1 0,10
/m
0,10
/m
0,06/m
0,06/m
+N1
3.2.3 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD OBCIENIA X2 = 1
Uwaga: Wszystkie wielkoci wyznaczane w tym punkcie wyrniamy nadkreleniem i indeksem grnym 2. Dla skrcenia zapisu w obliczeniach pominiemy te wyrniki stosujc pene symbole tylko w oznaczeniach wielkoci, z ktrych korzysta bdziemy w dalszych obliczeniach.
3.2.3.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPR =+= 03110 mmVM BA
30.02 == BB VV , == 0BA VVY 30.02 == AA VV , =+= 01AHX 12 == AA HH .
Kontrola 0)10)3.0(3)1((103 =+=+= mmVmHM AAB 3.2.3.2 OBLICZENIE WARTOCI RZDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SI
PRZEKROJOWYCH 0=AM , mmHmVM AAC 80.134 == ,
mmVM BD 20.14 == , 0=BM , 36.0sincos == AAAC HVV , 98.0cossin == AAAC HVN ,
30.0== BCB VV , 1=CBN . ( ) ( ) mmMMMM CAACsE 90.02/8.102/, =+=+== ,
( ) ( ) mmMMM DCCDs 50.12/2.18.12/, =+=+= , ( ) ( ) mmMMM BDDBs 60.02/02.12/, =+=+= , ( ) ( ) mmMMM BCCBs 90.02/08.12/, =+=+= .
Sia poduna w wizi sprystej nr 1: 30.021 == AVS Moment zginajcy w wizi sprystej nr 2: mMS C 80.122 ==
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 5
3.2.3.3 WYKRESY SI PRZEKROJOWYCH
1,80
m 1,
20m
1,80
m
M2
1,50
m
0,90
m
0.60
m
0,360
0,360 -
0,30
0
-0,
300
-0,
300
V 2
0,980
0,980
1,00
0
1,00
0
1,00
0
N2
3.3 OBLICZENIE WSPCZYNNIKW I ROZWIZANIE UKADU RWNA 3.3.1 OBLICZENIE WSPCZYNNIKW UKADU RWNA
Wspczynniki ukadu rwna obliczamy wykorzystujc wzory
+
=
s
js
is
ji
ij kSSdx
EIMM ,
+
=
s
Fs
is
Fi
iF kSSdx
EIMM ,
Do obliczenia caek w powyszych wzorach zastosowano wzr Simpsona lub Mohra. Ze wzgldu na charakter wykresw momentw zginajcych caki w powyszych wzorach przedstawiono w postaci sum 3 lub 2 caek odpowiadajcych przedziaom cakowania, w ktrych funkcje podcakowe speniaj zaoenia umoliwiajce zastosowanie odpowiedniego wzoru.
=
+
++= 2
12
12
1
11
111111
1111
kSS
kSSdxMM
EIdxMM
EI CBCBACAC
( )++++= )1()1()7.0()7.0(4)4.0()4.0(6
63889.1
1)4.0(32
254.01 m
EIm
EI
EIm
mEImEImm 693049.2
/)4.0()4.0(
/5.0/1.0/1.03 =
+
+ ,
=
+
++== 2
22
12
1
21
112121
211211
kSS
kSSdxMM
EIdxMM
EI CBCBACAC
( ) +++
+
=20)1(9.0)7.0(48.14.0
66
3889.118.1
32
254.01
mEI
mm
EI
EIm
mEIm
mEIm
2
3 192781.4/8.1)4.0(
/5.03.0/1.0
=
+
+ ,
=
+
++= 2
22
22
1
21
212222
2211
kSS
kSSdxMM
EIdxMM
EI CBCBACAC
EIm
mEIm
mEIm
mm
EIm
mm
EI
3
3 485563.13/8.18.1
/5.03.03.08.1
32
268.1
3889.118.1
32
258.11
=
+
+
+
= ,
+++= dxMMEIdxMM
EIdxMM
EI DBF
DBCD
F
CDAC
F
ACF
1111
111 =+2
212
1
111
kSS
kSS FF
( )+++= kNmkNmmEI
5.39)4.0(375.25)2.0(4006
51
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 6
( ) +++
+ 263)6.0(75.58)5.0(45.544.062
3889.11 kNm
EI
( ) =++++
+mEI
kNmmEI
kNmkNmEI /
5.39)4.0(/5.0
)25.4(/1.00)1(5.31)8.0(4636.064
3889.11
32
EIkNm2764461.155=
dxMMEI
dxMMEI
dxMMEI DB
F
DBCD
F
CDAC
F
ACF ++=
2222
111 =++2
222
1
121
kSS
kSS FF
( )+++= kNmmkNmmmEI
5.398.1375.259.04006
51
( ) +++
+ 3632.175.585.145.548.162
3889.11 kNm
EI
EIkNm
mEIkNm
mEIkNkNm
EI
3
33 787409.402
/5.398.1
/5.0)25.4(3.063
32
242.1
3889.11
=
+
+
+
3.3.2 POSTA SZCZEGOWA UKADU RWNA I JEGO ROZWIZANIE 0764461.155192781.4693049.2
2
2
2
1 = EIkNmX
EImX
EIm FF
,
0787409.402485563.13192781.43
2
3
1
2
=++EI
kNmXEImX
EIm FF
kNmX F 975393.211 = , kNX F 035701.232 = . 3.4 OBLICZENIE WARTOCI RZECZYWISTYCH REAKCJI I SI PRZEKROJOWYCH
Fr
Fr
Fr
Fr RXRXRR ++= 2
21
1,
FFFF MXMXMM ++= 22
11
,
FFFF NXNXNN ++= 22
11
, FFFF VXVXVV ++= 2
21
1,
FFFF SXSXSS ++= 22
11
.
kNkNkNkNmHXHXHH FAAAFA 036.815)035701.23()1(975393.2102211 =+=++= kNkNkNkNmmVXVXVV FAAAFA 963.825.4)035701.23()3.0(975393.21/1.02211 =++=++=
kNkNkNkNmmVXVXVV FBBBFB 037.1175.15)035701.23(3.0975393.21/1.02211 =++=++= =++= FEEE
FE MXMXMM 2
21
1
kNmkNmkNmkNm 2478.0375.25)035701.23(9.0975393.212.0 =++= =++= FCACACA
FCA MXMXMM 2
21
1
kNmkNmkNmkNm 7544.105.39)035701.23(8.1975393.214.0 =++= =++= FCDCDCD
FCD MXMXMM 2
21
1
kNmkNmkNmkNm 2456.45.54)035701.23(8.1975393.214.0 =++= =++= FDCDCDC
FDC MXMXMM 2
21
1
kNmkNmkNmkNm 1719.2263)035701.23(2.1975393.214.0 =++= kNmMM FDC
FDB 1719.22==
kNmkNkNmMXMXMM FBDBDBDFBD 9754.210)035701.23(0975393.2112211 =++=++= kNkNkNkNm
mVXVXVV FACACAC
FAC 349.24.12)035701.23(36.0975393.21
08.02
21
1=++=++=
kNkNkNkNmmVXVXVV FCACACAF
CA 651.64.3)035701.23(36.0975393.21/08.02211 =++=++=kNkNkNkNm
mVXVXVV FCDCDCD
FCD 963.825.4)0357019.23()3.0(975393.21
1.02
21
1=++=++=
kNVV FCDF
DC 963.8==
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 7
=++= FDBDBDBF
DB VXVXVV 22
11
kNkNkNkNmm 037.1175.15)035701.23()3.0(975393.21/1.0 =+= kNVV FDB
FBD 037.11==
=++= FACACACFAC NXNXNN 2
21
1
kNkNkNkNmm 807.1145.9)035701.23(98.0975393.21/06.0 =++= kNkNkNkNm
mNXNXNN FCACACA
FCA 807.2355.2)035701.23(98.0975393.21
06.02
21
1=+=++=
kNkNkNmNXNXNN FCDCDCDFCD 036.230)035701.23(1975393.2102211 =++=++=
kNNNNN FBDFDB
FCD
FDC 036.23====
kNkNkNkNmmSXSXSS FF 9632.825.4)035701.23(3.0975393.21/1.012211111 =+=++=kNmkNkNmkNmSXSXSS FFFF 7544.105.39)035701.23(8.1975393.214.012221122 =++=++=
3.5 WYKRESY RZECZYWISTYCH SI PRZEKROJOWYCH
-10,754
kNm
0,248
kNm
4,24
6 kN
m
22,17
2 kN
m
-21
,97
5 kN
m
MF
13,20
9 kN
m
0,09
8 kN
m
2,349
kN
-6,651
kN
8,96
3 kN
-11
,03
7 kN
V F
8,96
3 kN
-11
,03
7 kN
-11,807
kN
-23,808
kN
-23
,03
6 kN
-27
,19
9 kN
-23
,03
6 kN
NF
Rzeczywiste wartoci si przekrojowych mona te policzy rozwizujc ukad podstawowy od dziaajcego rwnoczenie obcienia danego i znanych ju si hiperstatycznych. Wyniki oblicze musiayby by identyczny (w granicach dokadnoci rachunkowej) jak przedstawione powyej.
3.6 KONTROLA POPRAWNOCI ROZWIZANIA. Kontrola poprawnoci rozwizania polega na sprawdzeniu czy otrzymane rozwizanie jest
statycznie i kinematycznie dopuszczalne, czyli czy siy speniaj rwnania rwnowagi a przemieszczenia s zgodne z warunkami podparcia i cigoci.
3.6.1 KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOCI ROZWIZANIA Dokonujc kontroli rwna rwnowagi naley pamita, e kontroli podlegaj tylko te
wartoci, ktre wystpuj w obliczeniach kontrolnych. Zaleca si, wic aby do sprawdzenia rwna rwnowagi, podzieli ukad na prty i wzy i dla kadego tak wydzielonego elementu napisa 3 rwnania rwnowagi. W tym przypadku kontroli podlegaj wszystkie wartoci brzegowe si przekrojowych. Na rysunku poniej pokazano elementy, dla ktrych sprawdzimy rwnania rwnowagi.
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 8
q=5,
00kN
/m
M=15,00 kNmP=20,00kN
A
BC Dx
y
x
y
x
y
N AC
N CAN CA
M CA
M AC
V CAV CA
V AC
VCD VCD
MCD
VBD
NCD NCD NBD
BDx
yVDB
MDB MBD
VBD
NDB NBD
M CA
MCD MBD
Dla prta AC 08.035)808.23()807.11(cos3 ++=++= mqNNX CAAC ,
06.035)651.6(349.2sin3 ++=++= mqVVY CAAC , 05.1355)651.6()754.10(05.135 ++=++= mmqmVMMM CACAACA
Dla wza C 06.0)651.6(8.0)808.23(036.23sincos == CACACD VNNX ,
08.0)651.6(6.0)808.23(963.8cossin +=+= CACACD VNVY , 015246.4754.10 +=+= MMMM CDCAc
Dla prta CB 0036.23)036.23( ==+= BDCD NNX ,
020)037.11(963.8 =++=++= PVVY BDCD , 02206)037.11()975.21(246.426 ++=++= mPmVMMM BDBDCDC
Dla prta DB 0036.23)036.23( ==+= BDDB NNX , 0)037.11()037.11( =+=+= BDDB VVY ,
04)037.11()975.21(172.224 +=+= mVMMM BDBDDBD .
3.6.2 KONTROLA KINEMATYCZNEJ ZGODNOCI PRZEMIESZCZE. Kontrola zgodnoci przemieszcze polega na sprawdzeniu zgodnoci przemieszcze ukadu
rozwizanego z przemieszczeniami rzeczywistymi w tylu miejscach ile wynosi stopie statycznej niewyznaczalnoci. Mona tego dokona postpujc, w fazie pocztkowej, analogicznie jak buduje si ukad rwna kanonicznych, to jest: przyj ukad podstawowy metody si i sporzdzi wykresy momentw zginajcych od jednostkowych wartoci si hiperstatycznych a nastpnie policzy przemieszczenia w ukadzie danym ze wzoru
+
=s s
Fss
F
F kSSdx
EIMM
w miejscach, w ktrych przecito (usunito) wizi tworzc ukad podstawowy. Wartoci tych przemieszcze musz by takie, jakie wynikaj ze sposobu podparcia ukadu i poczenia jego elementw. Wystarczajce jest jednak sprawdzenie przemieszcze w miejscach si hiperstatycznych przyjtych do rozwizania ukadu. W tym przypadku wykresy momentw zginajcych od jednostkowych wartoci si hiperstatycznych s ju okrelone i wystarczy policzy przemieszczenia F1 i F2 .
+++= dxMMEIdxMM
EIdxMM
EI DBF
DBCD
F
CDAC
F
ACF
1111
111=
+
2
212
1
111
kSS
kSS FF
( )+++= kNmkNmmEI
)754.10()4.0(248.0)2.0(4006
51
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 9
( ) +++
+ kNmmEI
172.22)6.0(209.13)5.0(4246.44.06
23889.1
1
( ) +++
+ kNmmEI
)975.21()1(098.0)8.0(4172.226.06
43889.1
1
0/
)754.10(4.0/5.0
)963.8(/1.03
+
+mEI
kNmmEI
kNm
+++= dxMMEIdxMM
EIdxMM
EI DBF
DBCD
F
CDAC
F
ACF
2222
111=
+
2
222
1
121
kSS
kSS FF
( )+++= kNmmkNmmmEI
)754.10(8.1248.09.04006
51
( ) +++
+ 2172.222.1209.135.14246.48.16
23889.1
1 kNmmEI
( ) +++
+ 2)975.21(0098.06.04172.222.16
43889.1
1 kNmmEI
0/
)754.10(8.1/5.0
)963.8(3.03
+
+mEI
kNmmmEI
kN.
4 ROZWIZANIE RAMY OD ZMIAN TEMPERATURY
4.1 UKAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJCY MU UKAD RWNA KANONICZNYCH
4.1.1 UKAD PODSTAWOWY
Przyjto ukad podstawowy taki jak dla rozwizania od obcie siami, aby mc wykorzysta w obliczeniach wykonane ju rozwizania od obcie hiperstatycznych
4.1.2 UKAD RWNA KANONICZNYCH 011212111 ==++
TrzT
TT XX , 022222121 ==++
TrzT
TT XX . 4.2 ROZWIZANIA UKADU PODSTAWOWEGO 4.2.1 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD ZMIAN TEMPERATURY
Poniewa ukad podstawowy jest ukadem statycznie wyznaczalnym zmiany temperatury nie wywouj w nim adnych si 021 ===== TTTTT SSVNM
4.2.2 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD OBCIENIA X1 = 1 I X2 = 1 Ze wzgldu na to, e przyjto ukad podstawowy analogiczny jak dla rozwizania od
obcienia siami (rne jest tylko obcienie) rozwizania ukadu podstawowego od obcienia X1 = 1 i X2 = 1 s identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4.
4.3 OBLICZENIE WSPCZYNNIKW I ROZWIZANIE UKADU RWNA 4.3.1 OBLICZENIE WSPCZYNNIKW UKADU RWNA
Wspczynniki ukadu rwna obliczamy wykorzystujc wzory
+
=
s
js
is
ji
ij kSSdx
EIMM , ( ) +
=p
pNTp p
MT
iT ii TohTpTw
)( .
Uwzgldniajc fakt, e rozwizania ukadu podstawowego od obcienia X1 = 1 i X2 = 1 s identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4 wspczynniki 11 , 2112 = i 22 maj wartoci takie jak obliczono w punkcie 2.5.2. Obliczymy wic tylko wspczynniki T1 i T2 .
Okrelenie skadnikw wzorw dla poszczeglnych prtw Dla prta AC mmm
M1
254.0
1 =
= , 25.42
58.12 m
mm
M=
= ,
3,00
m
2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m
EI
1.3889 EI
X1X2-30oC
10oC20
o C-
5o C
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 10
3.05/06.01 == mmN , mmN 9.4598.02 == ,
CTw o5= , CTp o20= , CTpTwTo o5.72
2052
=
+=
+= (przekrj symetryczny),
mmh 22.05044.0 == , h
TpTw m
Cm
C oo 636.11322.0
)205( =
= ,
1)(
)(1 MT
ACT hTpTw = + 1NT To =
( ) ToooT CCmmC =+= 886364.1153.05.7)1(/636.113 , 2
)()(2 M
TACT h
TpTw = + 2NT To =
( ) ToooT mCmCmmC =+= 613636.4749.45.75.4/636.113 2 Dla prta CB mm
M2.4
26)14.0(
1 =+
= , 24.52
68.12 m
mm
M=
= ,
01 = N , mmN 6612 == .
CTw o10= , CTp o30= , CTo o102
3010=
= (przekrj symetryczny),
mmh 24.0604.0 == , h
TpTw )( m
Cm
C oo 6667.16624.0
))30(10(=
= ,
1)(
)(1 MT
CBT hTpTw = + 1NT To = ( ) TooT CmmC =+ 7000)2.4(/6667.166 ,
2)(
)(2 MT
CBT hTpTw = + = 2NT To
( ) mCmCmmC ToooT =+= 84065.74.5/636.113 2 Szukane wspczynniki: ToToT CC == 113636.584)7008864.115(1 ,
mCmC To
To
T =+= 386363.365)840613636.474(2 . 4.3.2 POSTA SZCZEGOWA UKADU RWNA I JEGO ROZWIZANIE
01136.584192781.4693049.2 22
1 = ToTT CX
EImX
EIm
0386363.365485563.13192781.4 23
1
2=++ mCX
EImX
EIm
ToTT
m
EICX ToT
= 6254.3381 , 22 1870.78 mEICX T
oT= .
4.4 OBLICZENIE WARTOCI RZECZYWISTYCH REAKCJI I SI PRZEKROJOWYCH Tr
Tr
Tr
Tr RXRXRR += 2
21
1,
TTTT MXMXMM ++= 22
11
,
TTTT NXNXNN ++= 22
11
, TTTT VXVXVV ++= 2
21
1
TTTT SXSXSS ++= 22
11
=++= TAT
AT
ATA HXHXHH 2
21
1 22 /1870.780/1870.78)1(0 mEICmEIC ToTo =++ =++= TA
TA
TA
TA VXVXVV 2
21
1
22 /3186.570/1870.78)3.0(/6254.338/1.0 mEICmEICmEICm ToToTo =++=
=++= TBT
BT
BTB VXVXVV 2
21
1
22 /3186.570/1870.783.0/6254.338/1.0 mEICmEICmEICm ToToTo =++=
=++= TCAT
CAT
CATCA MXMXMM 2
21
1
mEICmEICmmEIC To
To
To /2865.50/1870.788.1/6254.3384.0 2 =++=
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 11
TCA
TCB MM =
=++= TBCT
BCT
BCTBC MXMXMM 2
21
1
mEICmEICmEIC To
To
To /6254.3380/1870.780/6254.3381 2 =++=
=++= TACT
ACT
ACTAC VXVXVV 2
21
1
22 /0573.10/1870.7836.0/6254.338/08.0 mEICmEICmEICm ToToTo =++=
TAC
TCA VV =
=++= TCBT
CBT
CBT
CB VXVXVV 22
11
22 /3186.570/1870.78)3.0(/6254.338/1.0 mEICmEICmEICm ToToTo =++=
TCB
TBC VV =
=++=TAC
TAC
TAC
TAC NXNXNN 2
21
1
22 /9408.960/1870.7898.0/6254.338/06.0 mEICmEICmEICm ToToTo =++=
TAC
TCA NN =
=++=TCB
TCB
TCB
TCB NXNXNN 2
21
1 22 /1770.780/1870.7810 mEICmEIC To
To
=++
TCB
TBC NN =
=++=TTTT SXSXSS 12
211
111
22 /3186.570/1870.783.0/6254.338/1.0 mEICmEICmEICm ToToTo =++=
=++=TTTT SXSXSS 22
221
122
mEICmEICmmEIC To
To
To /2865.50/1870.788.1/6254.3384.0 2 =++=
4.5 WYKRESY RZECZYWISTYCH SI PRZEKROJOWYCH
m
EIC To
2865.5
MT
m
EIC To
6254.338
m
EIC To
6695.166
VT21090.1 mEIC T
o
23186.57m
EIC To
29408.96 mEIC T
o
21870.78 mEIC T
o
NT
Rzeczywiste wartoci si przekrojowych mog te by wyznaczone w wyniku rozwizania ukadu podstawowego od dziaajcych rwnoczenie znanych ju si hiperstatycznych. Wyniki oblicze musiayby by identyczny (w granicach dokadnoci rachunkowej) jak przedstawione powyej.
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 12
4.6 KONTROLA POPRAWNOCI ROZWIZANIA.
4.6.1 KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOCI ROZWIZANIA
Podzia na elementy
Rwnania rwnowagi Dla prta AC
09408.969408.96 =+=+= CAAC NNX , 00573.10573.1 =+=+= CAAC VVY ,
050573.12865.505 =+=+= mVMMM CACAACA Dla wza C
06.00573.18.09408.961870.78sincos == CACACB VNNX , 08.00573.16.09408.963186.57cossin +=+= CACACB VNVY ,
02865.52865.5 === CDCAC MMM Dla prta CB
01870.781870.78 =+=+= BCCB NNX , 03186.573186.57 =+=+= BCCB VVY ,
06)3186.57()6254.338(2865.56 +=+= mVMMM BCBCCBC 4.6.2 KONTROLA KINEMATYCZNEJ DOPUSZCZALNOCI ROZWIZANIA
Wykorzystujemy tu wzr na wyznaczanie przemieszcze od zmian temperatury
+
=s s
Tss
T
T kSSdx
EIMM
( ) +
+p pN
Tp p
MT To
hTpTw
)(
Obliczajc T1 i T2 moemy wykorzysta fakt, e suma trzeciego i czwartego czonu powyszego wzoru dla T1 wynosi T1 a suma trzeciego i czwartego czonu powyszego wzoru dla T2 wynosi
T2 , ktre to wielkoci zostay ju policzone (p.3.4.2) ++=+
+
= dxMMEIdxMM
EIkSSdx
EIMM
CB
T
CBAC
T
ACT
s s
Tss
T
T11
1
11
111
+
=+
+
+ )4.0(32
25/2865.51
12
212
1
111 mmEIC
EIkSS
kSS T
o
T
TT
( ) +++
+m
EICmEI
To )6254.338()1()6695.166()7.0(42865.54.0
66
3889.11
01136.584/1
/2865.54.0/5.0
/3186.57/1.03
2
+
+ ToT
oT
o
CmEI
mEICmEI
mEICm
,
++=+
+
= dxMMEIdxMM
EIkSSdx
EIMM
CB
T
CBAC
T
ACT
s s
Tss
T
T22
2
22
211
A
BC Dx
y
x
y
x
y
N AC
N CAN CA
M CA
M AC
V CAV CA
V AC
VCD VCD
MCD
VBD
NCD NCD NBD
M CA
MCD MBD
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 13
+
=+
+
+ mmmEIC
EIkSS
kSS T
o
T
TT
8.132
25/2865.51
22
222
1
121
( ) +++
+m
EICmm
m
EIT
o 06695.1669.042865.58.16
63889.1
1
03863.365/1
/2865.58.1/5.0
/3186.573.03
2+
+
+ ToT
oT
o
mCmEI
mEICmmEI
mEIC
.
5 ROZWIZANIE RAMY OD PRZEMIESZCZE PODPR I BDW MONTAU 5.1 UKAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJCY MU UKAD RWNA
KANONICZNYCH 5.1.1 UKAD PODSTAWOWY
Przyjto ukad podstawowy taki jak dla rozwizania od obcie siami, aby mc wykorzysta w obliczeniach wykonane ju rozwizania od obcie hiperstatycznych
5.1.2 UKAD RWNA KANONICZNYCH 02618.0180/5.111212111 ===++ oorzXX pi ,
022222121 ==++
rzXX UWAGA: Poniewa usunito wi podporow (zastpujc j si X1), w ktrej zadano przemieszczenie, prawa strona pierwszego rwnania, to jest przemieszczenie rzeczywiste w tym miejscu rwne jest temu przemieszczeniu.
Jeli chciaoby si mie 01 =
rz
to naleaoby przyj ukad podstawowy dokonujc przecicia odpowiednich wizi tak jak na rysunku obok. W tym przypadku rwnanie pierwsze opisywaoby zmian kta midzy przekrojami, w ktrych przyoono siy X1.
Dalsze obliczenia bd wykonywane dla ukadu przyjtego w punkcie 5.1.1. 5.2 ROZWIZANIA UKADU PODSTAWOWEGO 5.2.1 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD PRZEMIESZCZE PODPR I
BDW MONTAU Poniewa ukad podstawowy jest ukadem statycznie wyznaczalnym przemieszczenia podpr i bdy montau nie wywouj w nim adnych si 021 ===== SSVNM
5.2.2 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD OBCIENIA X1 = 1 I X2 = 1 Ze wzgldu na to, e przyjto ukad podstawowy analogiczny jak dla rozwizania od
obcienia siami (rne jest tylko obcienie) rozwizania ukadu podstawowego od obcienia X1 = 1 i X2 = 1 s identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4.
5.3 OBLICZENIE WSPCZYNNIKW I ROZWIZANIE UKADU RWNA 5.3.1 OBLICZENIE WSPCZYNNIKW UKADU RWNA
Wspczynniki ukadu rwna obliczamy wykorzystujc wzory
+
=
s
js
is
ji
ij kSSdx
EIMM , ++=
rr
ir
nn
in
vv
iv
mm
imi RLNhVM .
Uwzgldniajc fakt, e rozwizania ukadu podstawowego od obcienia X1 = 1 i X2 = 1 s identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4 wspczynniki 11 , 2112 = i 22 maj wartoci takie jak obliczono w punkcie 2.5.2. Obliczymy wic tylko wspczynniki 1 i 2 .
3,00
m
k1= 0.5EIL3
2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m
1
2
r =1cm
r1 = 1.5o
EI
1.3889 EI
X1 X2
= 1
EI mk 2
3,00
mk1= 0.5
EIL3
2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m
1
2
r =1cm
r1 = 1.5o
EI
1.3889 EI
X1 X2
= 1
EI mk 2
X1
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 14
Bdy montau wystpiy w dwch przekrojach, co symbolicznie zilustrowano na rysunku obok.
Bdy montau znakuje si analogicznie jak odpowiednie siy przekrojowe tzn. zmiany kta jak momenty zginajce, przesunicia poprzeczne jak siy tnce a odksztacenia podune jak siy osiowe.
Odksztaceniom podunym 1L i 2L przypisano znaki zgodnie z zasad: wyduenie i sia osiowa rozcigajca +, skrcenie i sia osiowa ciskajca -.
Symbole odksztace ktowych ilustruj zmiany kta midzy przekrojami rwnolegymi, co symbolicznie na osi prta i dla elementu odksztaconego przedstawiono na rysunku obok.
Jeli tej zmianie kta towarzyszy wyduenie wkien wyrnionych (symbol lewy) to takiej zmianie kta przypisujemy znak + w przeciwnym przypadku (symbol prawy) znak -.
Wynika std, e odksztaceniu ktowemu w przekroju 1 naley przypisa znak - a odksztaceniu ktowemu w przekroju 2 znak +.
Symbole odksztace postaciowych ilustruj wzajemne poprzeczne przesunicie osi prta, co symbolicznie na osi prta i dla elementu odksztaconego przedstawiono na rysunku obok
Symbol lewy oznacza deformacj h o zwrocie zgodnym z dodatnimi zwrotami siy poprzecznej (znak +) a symbol prawy oznacza deformacj h o zwrocie prze-ciwnym do dodatnich zwrotw siy poprzecznej (znak -).
Wynika std, e odksztaceniu postaciowemu w przekroju 1 naley przypisa znak -
a odksztaceniu postaciowemu w przekroju 2 znak +. Wartoci bdw montau s, wic nastpujce:
02618.01805.15.11 =
==o
oo pi , 0175.0
180112 =
==o
oo pi ,
mcmh 012.02.11 == , mcmh 014.04.12 == , mcmL 015.05.11 == , mcmL 01.012 ==
Siy przekrojowe od obcie jednostkowych, w miejscach bdw, maj wartoci 2.011 =M , 8.012 =M , mV /08.011 = , mV /1.012 = , mN /06.011 = , 012 =N , mM 9.021 = , mM 6.022 = , 36.021 =V , 3.022 =V , 98.021 =N , 122 =N , Przemieszczenia podpr wystpiy w kierunku reakcji BV i kt obrotu podpory B. Wynosz one mcm
BV 01.01 == , 02618.0180/5.15.1 === pio
RB .
Zwroty reakcji BV w rozwizaniach od obcie jednostkowych przyjto przeciwnie do zwrotu przemieszczenia podpory, wic do obliczania przemieszcze zmieniamy znaki tej reakcji
mV B /1.01 = , 3.02 =BV . Przyjmujc ukad podstawowy usunito wi rotacyjn podpory B, wic 021 == BB RR . (Gdyby przyj ukad podstawowy przytoczony w punkcie 4.1.2 byoby 11 =BR , 02 =BR ). Szukane wspczynniki:
+++= 0)015.0(/06.0014.0/1.0)012.0(/08.00175.08.0)02618.0(2.01 mmmmmm009104.0001.0)/1.0( = mm ,
1.5o
1o
1.2
cm
L2=1cm2
L 1=
-
1.5cm1
1.4 cm
dx
wknawyrnione
dx
wknawyrnione
0M M
dxdx
V
V0>h 0
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 15
+++++= mmmmmm 01.01)015.0(98.0014.03.0)012.0(36.00175.06.0)02618.0(9.02mm 023282.0001.0)3.0( = .
(Gdyby przyj ukad podstawowy przytoczony w punkcie 4.1.2 byoby +++= 0)015.0(/06.0014.0/1.0)012.0(/08.00175.08.0)02618.0(2.01 mmmmmm
035284.002618.0101.0)/1.0( = mm ). 5.3.2 POSTA SZCZEGOWA UKADU RWNA I JEGO ROZWIZANIE Rwnanie pierwsze 02618.0009104.0192781.4693049.2 2
2
1 = X
EImX
EIm
po przeksztaceniu ma posta 0035284.0192781.4693049.2 22
1 = X
EImX
EIm
Rwnanie drugie 0023282.0485563.13192781.4 23
1
2=+ mX
EImX
EIm
Rozwizanie ukadu rwna mEIX /030603.01 = , 22 /011241.0 mEIX = .
5.4 OBLICZENIE WARTOCI RZECZYWISTYCH REAKCJI I SI PRZEKROJOWYCH ++= rrrr RXRXRR 2
21
1,
++= MXMXMM 22
11
,
++= NXNXNN 22
11
, ++= VXVXVV 2
21
1
++= SXSXSS 22
11
=++= AAAA HXHXHH 22
11 22 /01124.00/011241.0)1(0 mEImEI =++
=++= AAAA VXVXVV 22
11
22 006433.00011241.0)3.0(030603.01.0
m
EIm
EIm
EIm
=++
=++= BBBB VXVXVV 22
11 22 /006433.00/011241.03.0/030603.0/1.0 mEImEImEIm =++
=++= CACACACA MXMXMM 22
11
m
EIm
EIm
m
EI 007993.00011241.08.1030603.04.0 2 =++
= CACB MM
=++= BCBCBCBC MXMXMM 22
11
mEImEI /03060.000/030603.01 =++
=++= ACACACAC VXVXVV 22
11
22 001599.00011241.036.0030603.008.0
m
EIm
EIm
EIm
=++
= ACCA VV
=++= CBCBCBCB VXVXVV 22
11
22 006433.00011241.0)3.0(030603.01.0
m
EIm
EIm
EIm
=++
= CBBC VV
=++=ACACACAC NXNXNN 2
21
122 01285.00011241.098.0030603.0
06.0m
EIm
EIm
EIm
=++
= ACCA NN
=++=CBCBCBCB NXNXNN 2
21
1 22 /01124.00/011241.010 mEImEI =++
= CBBC NN
=++=12
211
111 SXSXSS 22 /006433.00/011241.03.0/030603.0/1.0 mEImEImEIm =++
=++=22
221
122 SXSXSS mEImEImmEI /007993.00/011241.08.1/030603.04.0 2 =++
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 16
5.5 WYKRESY RZECZYWISTYCH SI PRZEKROJOWYCH
m
EI007993.0
M
m
EI03060.0
m
EI01131.0
V2001599.0 mEI
2006433.0m
EI
N
201285.0m
EI
201124.0m
EI
Rzeczywiste wartoci si przekrojowych mog te by wyznaczone w wyniku rozwizania ukadu podstawowego od dziaajcych rwnoczenie znanych ju si hiperstatycznych. Wyniki oblicze musiayby by identyczny (w granicach dokadnoci rachunkowej) jak przedstawione powyej.
5.6 KONTROLA POPRAWNOCI ROZWIZANIA.
5.6.1 KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOCI ROZWIZANIA
Podzia na elementy
Rwnania rwnowagi Dla prta AC
0011285.001285.0 =+=+= CAAC NNX , 0001599.0001599.0 =+=+= CAAC VVY ,
05001599.0007993.005 +=+= mVMMM CACAACA Dla wza C
06.0001599.08.001285.001124.0sincos == CACACB VNNX , 08.001285.06.001124.0006433.0cossin +=+= CACACB VNVY ,
0007993.0007993.0 === CDCAC MMM Dla prta CB
001124.001124.0 =+=+= BCCB NNX ,
A
BC Dx
y
x
y
x
y
N AC
N CAN CA
M CA
M AC
V CAV CA
V AC
VCD VCD
MCD
VBD
NCD NCD NBD
M CA
MCD MBD
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 17
0006433.0)006433.0( ==+= BCCB VVY , 06)006433.0()03060.0(007993.06 +=+= mVMMM BCBCCBC
5.6.2 KONTROLA KINEMATYCZNEJ ZGODNOCI ROZWIZANIA Wykorzystujemy tu wzr na wyznaczanie przemieszcze od przemieszcze podpr i bdw
montau.
+
=s s
ss
kSSdx
EIMM
+++r
rr
nn
vvv
mmm RLNhVM
.
Obliczajc 1 i 2 moemy wykorzysta fakt, e czony: trzeci, czwarty, pity i szsty powyszego wzoru dla 1 rwne s razem 1 a czony trzeci, czwarty, pity i szsty powyszego wzoru dla 2 rwne s razem 2 , ktre to wielkoci zostay ju policzone (p.4.4.1)
++=+
+
=
dxMMEIdxMM
EIkSSdx
EIMM
CBCBACACs s
ss 111
11
111
+
=+
+
+
)4.0(32
25/007993.01
12
212
1
111 mmEI
EIkSS
kSS
T
( ) +++
+m
EImEI
)0306.0()1()01131.0()7.0(4007993.04.06
63889.1
1
02618.0009104.0/1
/007993.04.0/5.0
/006433.0/1.013
2=
+
+ rzmEI
mEImEI
mEIm
++=+
+
=
dxMMEIdxMM
EIkSSdx
EIMM
CBCBACACs s
ss 222
22
211
+
=+
+
+
m
mmEIEIk
SSk
SS 8.132
25/007993.01
22
222
1
121
( ) +++
+m
EImm
m
EI0)01131.0(9.04007993.08.1
66
3889.11
002328.0/1
/007993.08.1/5.0
/006433.03.03
2
+
+ mmEI
mEImmEI
mEI
6 WYZNACZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZE 6.1 ROZWIZANIA WIRTUALNE OD OBCIE JEDNOSTKOWYCH
Uwzgldniajc fakt, e ukady zostay rozwizane od danych obcie, w celu obliczenia szukanych przemieszcze naley uzyska rozwizania wirtualne od obcie jednostkowych przyoonych w miejscach i kierunkach szukanych przemieszcze. Rozwizania te otrzymamy rozwizujc dowolne ukady podstawowe danej ramy od obcie 1=iF i 1=jF . Moe to by taki sam ukad, jaki by przyjty do rozwizania ramy od obcienia danego. Mog te by dowolne inne ukady. Tu przyjto ukady jak na rysunkach poniej.
4,00m 2,00m 4,00m
3,00
m
EI
1.3889 EIFi=1
VBi
RBi
4,00m 2,00m 4,00m
3,00
m
EI
1.3889 EI
Fj=1VB
j
RBj
Reakcje w miejscach przemieszcze podpr : 1=iBV , mR iB 6= , 0=iBV , 1=iBR .
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 18
Wykresy si przekrojowych
6 m
M i
1,000
M j
1,000
1,00
0
1,00
0
1
V i
N i
V j
N j
Siy w wiziach sprystych 0211 ===iji SSS , 12 =
jS .
6.2 PRZEMIESZCZENIA OD OBCIE SIAMI Szukane przemieszczenia obliczymy na podstawie wzorw
+
=s s
Fs
is
Fi
iF kSSdx
EIMM
,
+
=s s
Fs
js
FjjF k
SSdxEI
MM.
Do obliczenia caek w powyszych wzorach zastosowano wzr Simpsona lub Mohra. Ze wzgldu na charakter wykresw momentw zginajcych caki w powyszych wzorach przedstawiono w postaci sum 3 caek odpowiadajcych przedziaom cakowania, w ktrych funkcje podcakowe speniaj zaoenia umoliwiajce zastosowanie odpowiedniego wzoru.
=++= 011 dxMM
EIdxMM
EI DBFi
DBCD
Fi
CDiF
( )+++= kNmmkNmmmEI
172.22)2(209.13)1(406
23889.1
1
( )EI
kNmkNmmkNmmkNmmmEI
39264.17)975.21()6(098.0)4(4172.222
64
3889.11
=+++
( ) +++++=
=
++++=
122
172.22246.43889.1
1)754.10(1248.014016
51
01112
22
mkNmkNm
EIkNmkNmm
EI
kSSdxMM
EIdxMM
EIdxMM
EI
Fj
DB
Fj
DBCD
Fj
CDAC
Fj
ACjF
EIkNm
mEIkNm
mkNmkNm
EI
24130.0
/1)7544.10(114
2975.21172.22
3889.11
=
+
+
6.3 PRZEMIESZCZENIA OD ZMIAN TEMPERATURY Szukane przemieszczenia policzymy na podstawie wzorw
iTs s
Ts
is
Ti
iT kSSdx
EIMM ++= , jT
s s
Ts
js
TjjT k
SSdxEI
MM ++=
gdzie ( ) +
=p pN
Tp p
MT
iT ii TohTpTw
)( ,
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 19
( ) +
=p pN
Tp p
MT
jT jj TohTpTw
)( .
Ze wzgldu na charakter wykresw momentw zginajcych caki w powyszych wzorach przedstawiono w postaci sum 2 caek odpowiadajcych przedziaom cakowania, w ktrych funkcje podcakowe speniaj zaoenia umoliwiajce zastosowanie odpowiedniego wzoru. Obliczenia rozpoczniemy od wyznaczenia skadnikw iT , jT Prt AC 0= iM , mmjM 551 == , 0= iN , 0= jN ,
CTw o5= , CTp o20= , CTpTwTo o5.72
2052
=
+=
+= (przekrj symetryczny),
mmh 22.05044.0 == , h
TpTw m
Cm
C oo 636.11322.0
)205( =
= ,
iMT
ACiT hTpTw = )()(
+ 0= iNT To ,
jMT
ACjT hTpTw = )()(
+ = jNT To ( ) TooT CmmC =+ 1818.56805/636.113 Dla prta CB 2182/66 mmmiM == , mmjM 661 == , 0= iN , 0= jN ,
CTw o10= , CTp o30= , CTo o102
3010=
= (przekrj symetryczny),
mmh 24.0604.0 == , h
TpTw )( m
Cm
C oo 6667.16624.0
))30(10(=
= ,
iMT
CBiT hTpTw = )()(
+ iNT To =
( ) TooT mCmmC =+= 30000)18(/6667.166 2 , jM
TCBjT h
TpTw = )()( + = jNT To ( ) TooT CmmC =+ 100006/6667.166
To
To
iT mCmC == 3000)30000( , T
oT
ojT CC =+= 8182.431)10001818.568( .
Szukane przemieszczenia
++=+
+
= dxMMEIdxMM
EIkSSdx
EIMM
CB
Ti
CBAC
Ti
ACT
s s
Ts
is
Ti
iT11
1
=+
+
+ iT
TiTi
kSS
kSS
2
22
1
11
( ) ++++
+= 0)6254.338()6()6695.166()3(406
63889.1
10m
EICmm
m
EIT
o
mCmC To
To
= 1373.973000 ,
++=+
+
= dxMMEIdxMM
EIkSSdx
EIMM
CB
Tj
CBAC
Tj
ACT
s s
Ts
js
TjjT
112
+
=+
+
+ 12
5/2865.512
2
1
11 mmEICEIk
SjSk
SS To
jTTTj
( ) ++++
+ 0)6254.338(1)6695.166(142865.516
63889.1
1m
EICmEI
To
To
ToT
o
CCmEI
mEIC
=+
+ 6855.2698182.431/1
/2865.51
-
METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 20
6.4 PRZEMIESZCZENIA OD PRZEMIESZCZE PODPR I BDW MONTAU Szukane przemieszczenia policzymy na podstawie wzorw
+
+
=s
is
s
is
i
i kSSdx
EIMM ,
+
+
= js s
s
js
jj k
SSdxEI
MM
gdzie ++=r
r
ir
nn
in
vv
iv
mm
imi RLNhVM ,
++=r
r
jr
nn
jn
vv
jv
mm
jmj RLNhVM
Ze wzgldu na charakter wykresw momentw zginajcych caki w powyszych wzorach przedstawiono w postaci sum 2 caek odpowiadajcych przedziaom cakowania, w ktrych funkcje podcakowe speniaj zaoenia umoliwiajce zastosowanie odpowiedniego wzoru.
Bdy montau scharakteryzowane w punkcie 4.4.1 wynosz:
02618.01805.15.11 =
==o
oo pi , 0175.0
180112 =
==o
oo pi ,
mcmh 012.02.11 == , mcmh 014.04.12 == , mcmL 015.05.11 == , mcmL 01.012 ==
Siy przekrojowe od obcie jednostkowych, w miejscach bdw, maj wartoci 01 =iM , mM i 42 = , 01 =iV , 12 =iV , 01 =iN , 02 =iN , 11 =
jM , 112 =M , 021 =V , 022 =V , 021 =N , 022 =N , Przemieszczenia podpr wystpiy w kierunku reakcji BV i kt obrotu podpory B. Wynosz one mcm
BV 01.01 == , 02618.0180/5.15.11 === pior .
Wartoci reakcji odpowiadajcych tym przemieszczeniom wywoane obcieniami jednostkowymi wynosz 1=iBV , mR iB 6= , 0=jBV , 1=
jBR .
mmmmi 23108.002618.0601.0)1(00014.0100175.040 =+++= , 0175.002618.0)1(000000175.01)02618.0(1 =+++++=j .
++=+
+
=
dxMMEIdxMM
EIkSSdx
EIMM
CB
i
CBAC
i
ACi
s s
s
is
i
i11
=+
+
+
i
ii
kSS
kSS
2
22
1
11
( ) mmm
EImm
m
EI0012.023108.00)0306.0()6()01131.0()3(40
66
3889.110 =+++
+= ,
++=+
+
=
dxMMEIdxMM
EIkSSdx
EIMM
CB
j
CBAC
j
ACs s
sj
sj
j11
2
+
=+
+
+
1
25/007993.01
2
2
1
11 mmEIEIk
SjSk
SST
j
( ) =+++++
+ 0175.0/1
/007993.010)0306.0(1)01131.0(14007993.016
63889.1
1mEI
mEIm
EImEI
oo 19.0/180*003363.0003363.0 === pi .