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Introduction à l’HomologieS. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud.
SIC, Universite de Poitiers,
LaBRI, Universite de Bordeaux
JIG 2006 Lyon – p.1
![Page 2: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/2.jpg)
Introduction
Famille de groupes {H0, H1, . . . , Hk}
Dimension 0 : composantes connexes,
Dimension 1 : nombre maximal de coupes nondéconnectantes
Dimension 2 : cavité
. . .
JIG 2006 Lyon – p.2
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Introduction (suite)
Caractérisation des « trous » en chaque dimension :
Quantité : Nombres de Betti + Coefficients de torsion
Représentation : Générateurs
JIG 2006 Lyon – p.3
![Page 4: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/4.jpg)
Introduction (suite)
Caractérisation des « trous » en chaque dimension :
“Effet de bord” : orientabilité d’une variété
JIG 2006 Lyon – p.3
![Page 5: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/5.jpg)
Organisation
Exemples d’utilisations en imagerie
Calcul de l’homologie sur des ensemblessemi-simpliciaux
Questions ouvertes
JIG 2006 Lyon – p.4
![Page 6: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/6.jpg)
Exemples d’utilisation
Nombres de Betti
Définition et comptage de trous sur des imagesRosenfeld et al. Holes and Genus Of 2D and 3D Digital Images 1993
Justification d’une définition de points simplesBloch et al.. A new characterization of simple elements in a tetrahedral mesh. 2005
Caractérisation de points homologiquement simplesNiethammer et al. On the detection of simple points in higher dimensions using cubical homology
Calcul des nombres de Betti sur des images 3D
segmentéesDesbarats et al. Retrieving and Using Topological Characteristics from 3D Discrete Images 2002
JIG 2006 Lyon – p.5
![Page 7: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/7.jpg)
Exemples d’utilisation
Nombres de Betti et Générateurs
Découpages de polyèdres contraints par la topologieKartasheva The algorithm for automatic cutting of three dimensional polyhedron of
h-genus 1999
Comptage et représentation de vaisseaux sanguinsNiethammer et al. Analysis of blood vessel topology by cubical homology 2002
JIG 2006 Lyon – p.6
![Page 8: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/8.jpg)
Calcul de l’homologie
Subdivision cellulaire “adéquate” :
Complexe simplicial,Complexe cubique,Ensemble semi-simplicial,Ensemble simploidal,. . .
Méthode générique : matricielle
JIG 2006 Lyon – p.7
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Ensembles semi-simpliciaux
Ensemble de simplexes abstraits
JIG 2006 Lyon – p.8
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Ensembles semi-simpliciaux
Ensemble de simplexes abstraits
Opérateurs de bord
d0
d0
d0
d0
d0d1
d1
d1
d1d1
d2
JIG 2006 Lyon – p.8
![Page 11: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/11.jpg)
Ensembles semi-simpliciaux
Ensemble de simplexes abstraits
Opérateurs de bord
Relation de cohérence
didj = djdi−1 avec j < id0
d0
d0
d0
d0d1
d1
d1
d1d1
d2
JIG 2006 Lyon – p.8
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Orientation
Simplexes munis d’une orientation
JIG 2006 Lyon – p.9
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Orientation
Simplexes munis d’une orientation
Bord d’un simplexe∂(σ) =
∑dim(σ)i=0 (−1)iσdi
d0
d0
d0
d0
d1
d1
d1d1
d2
JIG 2006 Lyon – p.9
![Page 14: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/14.jpg)
Orientation
Simplexes munis d’une orientation
Bord d’un simplexe∂(σ) =
∑dim(σ)i=0 (−1)iσdi
d0
d0
d0
d0
d1
d1
d1d1
d2
JIG 2006 Lyon – p.9
![Page 15: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/15.jpg)
Orientation
Simplexes munis d’une orientation
Bord d’un simplexe∂(σ) =
∑dim(σ)i=0 (−1)iσdi
d0
d0
d0
d0
d1
d1
d1d1
d2
JIG 2006 Lyon – p.9
![Page 16: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/16.jpg)
Orientation
Simplexes munis d’une orientation
Bord d’un simplexe∂(σ) =
∑dim(σ)i=0 (−1)iσdi
d0
d0
d0
d0
d1
d1
d1d1
d2
∂(∂(σ)) = 0
JIG 2006 Lyon – p.9
![Page 17: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/17.jpg)
Complexe de chaînes
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
Cn∂n−→ Cn−1
∂n−1
−→ · · ·∂1−→ C0
∂0−→ 0
avec ∂ ◦ ∂ = 0
JIG 2006 Lyon – p.10
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Complexe de chaînes
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
Cn∂n−→ Cn−1
∂n−1
−→ · · ·∂1−→ C0
∂0−→ 0
avec ∂ ◦ ∂ = 0
exemples :∂(A1 + 2A2) = ∂(A1) + 2∂(A2)
= (S3 − S1) + 2(S3 − S2)
= 3S3 − S1 − 2S2
JIG 2006 Lyon – p.10
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p−cycles
c est un p−cycle ⇔ ∂p(c) = 0
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.11
![Page 20: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/20.jpg)
p−cycles
c est un p−cycle ⇔ ∂p(c) = 0
exemples :
∂(A1 + A4) = 0S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.11
![Page 21: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/21.jpg)
p−cycles
c est un p−cycle ⇔ ∂p(c) = 0
exemples :
∂(A1 + A4) = 0
∂(A1 − A2 + A3) = 0
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.11
![Page 22: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/22.jpg)
p−bords
c est un p−bord ⇔ ∂p+1(c′) = c
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.12
![Page 23: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/23.jpg)
p−bords
c est un p−bord ⇔ ∂p+1(c′) = c
exemples :
S1 − S3 = ∂(A3 − A2)S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.12
![Page 24: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/24.jpg)
p−bords
c est un p−bord ⇔ ∂p+1(c′) = c
exemples :
S1 − S3 = ∂(A3 − A2)
A1 − A2 + A3 = ∂(F1)
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.12
![Page 25: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/25.jpg)
Groupes d’homologie Hp
z1 homologue à z2 ⇔ z1 = z2 + ∂(c)
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.13
![Page 26: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/26.jpg)
Groupes d’homologie Hp
z1 homologue à z2 ⇔ z1 = z2 + ∂(c)
exemples :z1 = A1 + A4
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.13
![Page 27: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/27.jpg)
Groupes d’homologie Hp
z1 homologue à z2 ⇔ z1 = z2 + ∂(c)
exemples :z1 = A1 + A4
z2 = A2 + A4 − A3
= z1 + ∂(−F1)
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.13
![Page 28: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/28.jpg)
Groupes d’homologie Hp
z1 homologue à z2 ⇔ z1 = z2 + ∂(c)
exemples :z1 = A1 + A4
z2 = A2 + A4 − A3
= z1 + ∂(−F1)
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
Hp : Classes d’équivalence
JIG 2006 Lyon – p.13
![Page 29: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/29.jpg)
Groupe d’homologie Hp
Zp est un sous-groupe de Cp
Bp est un sous-groupe de Cp
Bp est un sous-groupe de Zp car ∂ ◦ ∂ = 0
Hp est le groupe quotient Zp/Bp
Hp∼= Z ⊕ ... ⊕ Z
︸ ︷︷ ︸
β
⊕Z/t1Z ⊕ ... ⊕ Z/tnZ
JIG 2006 Lyon – p.14
![Page 30: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/30.jpg)
Méthodes de Calcul
Calcul des nombres de BettiDelfinado and Edelsbrunner. An Incremental Algorithm for Betti numbers of simplicial complexes. 1993
Kaczynski et al. Computational homology. 2004
Calcul des nombres de Betti et des coefficients deTorsionStorjohann. Near Optimal Algorithms for Computing Smith Normal Forms of Integer Matrices. 1996
Munkres. Elements of algebraic topology. 1984
Calcul des générateurs des groupes d’homologieAgoston. Algebraic Topology, a first course. 1976
Peltier et al. Computation of Homology Groups and Generators. 2006
Calcul des groupes d’homologie de petites dimensionsZomorodian. Topology for computing. 2004
Gonzalez-Dıaz. Toward digital cohomology. 2003
JIG 2006 Lyon – p.15
![Page 31: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/31.jpg)
Matrices d’incidence
E0 =
A1 A2 A3 A4
S1 −1 0 1 1S2 0 −1 −1 0S3 1 1 0 −1
E1 =
F1
A1 1A2 −1A3 1A4 0
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.16
![Page 32: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/32.jpg)
Forme Normale de Smith
λ1 0. . . 0
0 λk
0 0
où λ1 divise λ2 · · · divise λk
Np∗ =
JIG 2006 Lyon – p.17
![Page 33: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/33.jpg)
Forme Normale de Smith
λ1 0. . . 0
0 λk
0 0
où λ1 divise λ2 · · · divise λk
(p + 1)−cycles ]Zp+1
Np∗ =
JIG 2006 Lyon – p.17
![Page 34: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/34.jpg)
Forme Normale de Smith
λ1 0. . . 0
0 λk
0 0
où λ1 divise λ2 · · · divise λk
(p + 1)−cycles ]Zp+1
p−bords ]Bp
Np∗ =
JIG 2006 Lyon – p.17
![Page 35: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/35.jpg)
Forme Normale de Smith
λ1 0. . . 0
0 λk
0 0
où λ1 divise λ2 · · · divise λk
(p + 1)−cycles ]Zp+1
p−bords ]Bp
βp = ]Zp − ]Bp
Np∗ =
JIG 2006 Lyon – p.17
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Forme Normale de Smith
λ1 0. . . 0
0 λk
0 0
où λ1 divise λ2 · · · divise λk
(p + 1)−cycles ]Zp+1
p−bords ]Bp
βp = ]Zp − ]Bp
Np∗ =
JIG 2006 Lyon – p.17
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Forme Normale de Smith
N0
∗ =
1 0 0 00 1 0 00 0 0 0
N1
∗ =
1000
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.18
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Forme Normale de Smith
N0
∗ =
1 0 0 00 1 0 00 0 0 0
N1
∗ =
1000
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.18
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Forme Normale de Smith
N0
∗ =
1 0 0 00 1 0 00 0 0 0
N1
∗ =
1000
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
JIG 2006 Lyon – p.18
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Forme Normale de Smith
N0
∗ =
1 0 0 00 1 0 00 0 0 0
N1
∗ =
1000
S1
S2
S3
A1
A2A3
A4
F1
β1 = 2 − 1 = 1
JIG 2006 Lyon – p.18
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Questions ouvertes
Comment améliorer les calculs ?
Quelles sont les utilisations possibles ?
Quelle est la puissance de représentation deces groupes ?
Quels autres invariants peut-on regarder ?
JIG 2006 Lyon – p.19
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Amélioration des calculs
Complexité “a priori” élevée (calculs et mémoire)
Contexte image : propriétés spécifiques des matricestrès creuses, initialement composées de -1,0,1
Choix d’une subdivision / représentation adaptée
Calcul incrémental
JIG 2006 Lyon – p.20
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Utilisations
AnalyseHomologie calculable en nD
⇒ Qu’est-ce qu’un trou n-dimensionnel ?
Exploitation des générateurs
ModélisationVérification a posteriori de la validité de certainsopérations
Définition des opérateurs contraints par l’homologie
JIG 2006 Lyon – p.21
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Puissance de représentation
Homéomorphisme⇓
Groupes d’homotopie⇓
Groupes d’homologie⇓
Caractéristique d’Euler
JIG 2006 Lyon – p.22
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Puissance de représentation
Approche constructive des groupes d’homologie ?
k1k0
b
c
d
a
b=d
a=c
JIG 2006 Lyon – p.22
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Puissance de représentation
Approche constructive des groupes d’homologie ?
k1k0
d
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a
b
c
k1k0
a
b
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� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
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� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
d
c
JIG 2006 Lyon – p.22
![Page 47: S. Alayrangues, S. Peltier L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC ... · Introduction à l’Homologie S. Alayrangues, S. Peltier, L. Fuchs, J-O. Lachaud. SIC, Universite de Poitiers,´ LaBRI,](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022090607/605ce61f1556fe4a0f4c9c07/html5/thumbnails/47.jpg)
Puissance de représentation
Quid des générateurs ?
JIG 2006 Lyon – p.22
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Autres invariants topologiques
groupesd’homotopie
⇓
??????
⇓
groupesd’homologie
anneaux de cohomologie
groupes d’homologie locaux
JIG 2006 Lyon – p.23