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ÁLGEBRA LINEAL Y
ECUACIONES DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
Ecuaciones diferenciales
parciales
Objetivos
Reconocer las ecuaciones diferenciales parcial
(EDP) del calor y la onda.
Determinar la solución de las EDP del calor y la
onda.
Aplicar método de separación de variables.
Separación de Variables
Si suponemos que u = X(x)Y(y) es la solución ,
entonces obtenemos:
"
,"
,'
,'
2
2
2
2
XYy
u
YXx
u
XYy
u
YXx
u
Ejemplo 1
Determine las solución de
Solución:
Sea u = X(x)Y(y) y entonces
Introducimos una constante de separación real
como −.
.42
2
y
u
x
u
Y
Y
X
XXYYX
'
4
",'4"
Ejemplo 1 (2)
Así que
Para los tres casos:
= 0: 𝑋” = 0, 𝑌’ = 0 (3) = −2
> 0, > 0
𝑋” – 42𝑋 = 0, 𝑌’ − 2𝑌 = 0 (4) = 2
> 0, > 0
𝑋” + 42𝑋 = 0, 𝑌’ + 2𝑌 = 0 (5)
(2) 0' ,04"
'
4
"
YYXX
Y
Y
X
X
Ejemplo 1 (3)
Caso I: ( = 0) Las soluciones de (3) son
X = c1 + c2x y Y = c3; así
(6)
cuando 𝐴1 = 𝑐1𝑐3 , 𝐵1 = 𝑐2𝑐3. Caso II: ( = −2) Las soluciones de (4) son
𝑋 = 𝑐4 cosh 2𝑥 + 𝑐5 sinh 2𝑥 𝑦 ASí
(7)
donde 𝐴2 = 𝑐4𝑐6, 𝐵2 = 𝑐5𝑐6.
xBAcxccXYu 11321 )(
xeBxeAu
ecxcxcXYu
yy
y
2sinh2cosh
)2sinh2cosh(
22
2
22
654
.2
6yecY
Ejemplo 1 (4)
Caso III: ( = 2) Las soluciones de (5) son
𝑋 = 𝑐7 cos 2𝑥 + 𝑐8 sin 2𝑥 𝑒 Así
(8)
donde 𝐴3 = 𝑐7𝑐9, 𝐵3 = 𝑐8𝑐9.
.2
9yecY
xeBxeAu yy 2sin2cos22
33
Teorema Principio de Superposición
Si 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒌 son soluciones de una ecuación
diferencial parcial, entonces la combinación lineal
𝒖 = 𝒄𝟏𝒖𝟏 + 𝒄𝟐𝒖𝟐 + … + 𝒄𝒌𝒖𝒌
donde las 𝒄𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒌 son constantes, también es
una solución.
Problema de difusión de calor
f(x)
T
x
Distribución de temperatura a lo
largo de la barra en un instante de
tiempo cualquiera
0 ,2
2
k
t
T
x
Tk
k es la conductividad térmica del material
Ecuación del calor
La ecuación de calor con condicones de
frontera puede desribirse así:
(1)
(2)
(3)
,2
2
t
u
x
uk
0,0 tLx
,0),0( tu 0,0),( ttLu
,)()0,( xfxu Lx 0
Solución de los PVF
Usando 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡), y − como la
constante de separación:
(4)
(5)
(6)
kT
T
X
X
0 XX
0 TkT
Ahora las condicionesde frontera (2) se traducen en
𝑢 0, 𝑡 = 𝑋 0 𝑇 𝑡 = 0 𝒚 𝑢 𝐿, 𝑡 = 𝑋 𝐿 𝑇 𝑡 = 0
luego obtenemos 𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0 y
(7)
De las discusiones antriores obtenemos
,0)0( X 0)( LX,0 XX
(10) 0 ,sincos)(
(9) 0 ,sinhcosh)(
(8) 0 ,)(
221
221
21
xcxcxX
xcxcxX
xccxX
Cuando las condiciones de frontera
𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0
se aplican a (8) y (9), estas soluciones son sólo
𝑋(𝑥) = 0. Aplicando la primera condición a(10)
se obtiene 𝑐1 = 0. Por tanto 𝑋(𝑥) = 𝑐2 sin 𝑥. La
condición 𝑋(𝐿) = 0 implica que
(11)
Tenemos que sin 𝐿 = 0 para 𝑐2 0 y = 𝑛/𝐿, n
= 1, 2, 3, … Los valores 𝑛 = 𝑛2 = (𝑛/𝐿)2, 𝑛 =
1, 2 , 3, … y las soluciones correspondientes
(12)
0sin)( 2 LcLX
... 3, 2, ,1 ,sin)( 2 nxL
ncxX
son los valores propios y funcionespropias,
respectivamente. La solución general de (6) es
(13)
donde 𝐴𝑛 = 𝑐2𝑐3.
tLnkecT )/(3
222
xL
neATtxXu tLnk
nn
sin)()( )/( 222
Ahora usando las condiciones iniciales
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿,
tenemos
(14)
Por el principio de superposición la función
(15)
debe cumplir (1) y (2). Si ponemos t = 0, entonces
1
sin)()0 ,(n
n xL
nAxfxu
xL
nAxfxu nn
sin)()0,(
1
)/(
1
sin),(222
n
tLnkn
n
n xL
neAutxu
Se conoce como un desarrollo de semiintervalo
para f en a en una serie seno. Si ponemos
𝐴𝑛 = 𝑏𝑛, 𝑛 = 1, 2, 3, …
entonces:
(16)
Llegamos a la conclusión de que la solución del
PVF descrito por (1), (2) y (3) se expresa mediante
la serie infinita
(17)
L
n xdxL
nxf
LA
0sin)(
2
xL
nexdx
L
nxf
Ltxu tLnk
n
L sinsin)(2
),( )/(
10
222
Propagación de ondas sísmicas
Roca
Estrato de suelo, a
Movimiento de entrada
(sismo)
Movimiento de salida
(respuesta)
2
2
2
22
t
u
z
ua
Ecuación de Onda
Considere la ecuación de onda con
condicones de frontera
(1)
(2)
(3)
,2
2
2
22
t
u
x
ua
0,0 tLx
,0),0( tu 0,0),( ttLu
,)()0,( xfxu )(0
xgt
u
t
Solución del PVF
Con la suposición
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡),
de (1) se obtiene
de modo que
(4)
(5)
Ta
T
X
X2
0 XX
02 TaT
Empleando que 𝑋(0) = 0 𝑦 𝑋(𝐿) = 0, se tiene
(6)
Sólo = 2 > 0, > 0 lleva a una solución no trivial.
Por tanto la solución general de (4) es
𝑋(0) = 0 𝑦 𝑋(𝐿) = 0 implican que
𝑐1 = 0 y 𝑐2 sin 𝐿 = 0.
Por tanto se tiene que = 𝑛/𝐿, 𝑛 = 1, 2, 3, …
,0)0( X 0)( LX,0 XX
xcxcX sincos 21
• Los valores propios y las funciones
propias son:
tL
anct
L
anctT
nxL
ncxXLnn
sincos)(
es (5) de generalsolución La
,...3,2,1,sin)(,/
43
2
222
Sean 𝐴𝑛 = 𝑐2𝑐3, 𝐵𝑛 = 𝑐2𝑐4, soluciones que satisfacen (1) y (2)
son
(7)
y
(8)
xL
nt
L
anBt
L
anAu nnn
sinsincos
1
sinsincos),(n
nn xL
nt
L
anBt
L
anAtxu
Al sustituir 𝑡 = 0 en (8) y usando 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) se
obtiene
Puesto que esta última expresión es un desarrollo
en semiintervalo para 𝑓 en una serie de senos,
podemos identificar 𝐴𝑛 = 𝑏𝑛:
(9)
1
sin)()0,(n
n xL
nAxfxu
L
n xdxL
nxf
LA
0sin)(
2
Para determinar 𝐵𝑛 se deriva (8) con respecto a 𝑡 y
fijando 𝑡 = 0:
Así se obtiene
(10)
L
n
n
nt
n
nn
dxL
nxg
LL
anB
xL
n
L
anBxg
t
u
xL
nt
L
an
L
anBt
L
an
L
anA
t
u
0
1
0
1
sin)(2
sin)(
sincossin
L
n dxL
nxg
anB
0sin)(
2
Ondas Estacionarias
Es fácil transformar (8) en
n
nn
n
nnnnn
nnn
C
B
C
ABAC
xL
nt
L
anCtxu
cos,sin,
(11) sinsin) ,(
22
Cuando 𝑛 = 1, 𝑢1(𝑥, 𝑡) se llama primer onda
estacionaria, primer modo normal o modo
fundamental de vibración.
La frecuencia 𝑓1 = 𝑎/2𝐿 del primer modo
normal se llama la frecuencia fundamental o
primera armónica. Observe Fig 13.9.
T
LL
af
2
1
21