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ÁLGEBRA LINEAL Y
ECUACIONES DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
Transformada de
Laplace
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OBJETIVOS
Definir la transformada de Laplace.
Identificar las condiciones para la existencia
de la transformada de Laplace.
Calcular la transformada de Laplace usando
la definición.
Identificar las propiedades a usar para calcular la
transformada de Laplace.
Aplicar los métodos estudiados a diferentes
problemas aplicativos del contexto real.
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Definición
Sea 𝒇 una función definida en 𝟎;∞ . La transformada
de Laplace de 𝒇 es la función 𝑭 definida mediante la
integral:
El dominio de 𝑭 está formado por los valores de 𝒔, para los que la integral en (1) existe.
𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔) = 𝒆−𝒔𝒕∞
𝟎
𝒇 𝒕 𝒅𝒕 … (𝟏)
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• 1
• Determine la transformada de Laplace de
• 𝒇 𝒕 = 𝒆𝟐𝒕
• Solución:
• Usamos la definición (1) de transformada de
Laplace
•
•
𝐅 𝐬 = 𝐞−𝐬𝐭 𝐞𝟐𝐭 𝐝𝐭∞
𝟎
= 𝒆(𝟐−𝒔)𝒕𝒅𝒕∞
𝟎
= −𝒆 𝟐−𝒔 𝒕
(𝟐−𝒔) 𝟎
+∞
=𝟏
(𝒔 − 𝟐)
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• Determine la transformada de Laplace de:
• a) 𝒇 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏(𝒕)
• b) 𝒇 𝒕 = 𝒕𝟑
• c) 𝒇 𝒕 = 6
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Linealidad de la transformada de Laplace
Sean 𝒇𝟏 y 𝒇𝟐 dos funciones cuyas transformada de
Laplace existen para 𝒔 > 𝜶 además sean 𝒂 y 𝒃 dos
constantes, entonces para 𝒔 > 𝜶
ℒ 𝑎𝑓1 𝑡 + 𝑏𝑓2 𝑡 (𝑠) = 𝑎ℒ 𝑓1 𝑡 (𝑠) + 𝑏ℒ 𝑓2 𝑡 (𝑠)
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• 1
• Calcule la transformada de Laplace de
• 𝒇 𝒕 = 𝟑𝒆𝟐𝒕 + 𝟓𝒕
• Solución:
Aplicamos la definición de transformada de Laplace y
la linealidad
𝑭 𝒔 = 𝒆−𝒔𝒕 𝟑𝒆𝟐𝒕 + 𝟓𝒕 𝒅𝒕∞
𝟎
= 𝟑 𝒆(𝟐−𝒔)𝒕𝒅𝒕 +∞
𝟎 𝟓 𝒆−𝒔𝒕𝒕𝒅𝒕 +
∞
𝟎
=𝟑
(𝒔−𝟐)+
𝟓
𝒔𝟐
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Continuidad por partes o tramos
Una función 𝒇 es continua por partes en un intervalo
finito 𝒂; 𝒃 , si 𝒇 es continua en cada punto de 𝒂; 𝒃
excepto en un número finito de puntos donde 𝒇 tiene
una discontinuidad de salto.
Una función 𝒇 es continua por partes en 𝟎;∞ si 𝒇 es
continua por partes en 𝟎;𝑵 para todo 𝑵 > 𝟎.
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• 1
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• 1
𝑎 𝑏
Función continua por partes en el intervalo 𝒂, 𝒃
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• 3
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• 4
• Dada la siguiente función:
• 𝒇 𝒕 = 𝒆−
𝒕
𝟐 𝒔𝒊 𝟐𝒏 < 𝒕 ≤ 𝟐𝒏 + 𝟏 𝟎 𝒔𝒊 𝟐𝒏 + 𝟏 < 𝒕 ≤ 𝟐𝒏 + 𝟐
𝟏 𝒔𝒊 𝒕 > 𝟖
• 𝒏 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑,….
• Grafique 𝐟
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Función de orden exponencial
Una función 𝒇 es de orden exponencial 𝜶, si existen
constantes positivas 𝜶;𝑴 y 𝑻 tal que:
Observación:
Una función 𝒇 es de orden exponencial 𝜶 si:
𝑓(𝑡) ≤ 𝑀𝑒𝛼𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡 ≥ 𝑇
lim𝑡→∞
𝑓(𝑡)
𝑒𝛼𝑡= 0
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• 1
• Verifique si la función 𝒇 𝒕 = 𝒆𝒕𝟐es de orden
exponencial
• Solución:
• No es de orden exponencial pues si existieran
𝜶 ∈ ℝ, 𝒕𝟎> 𝑴, tales que
• 𝒇 𝒕 < 𝑴𝒆𝜶𝒕 para todo 𝒕 > 𝒕𝟎,
• entonces 𝒆𝒕𝟐−𝜶𝒕 < 𝑀 lo cual es absurdo pues
• 𝒕𝟐 − 𝜶𝒕 → +∞ cuando 𝑡 → +∞.
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Condiciones de existencia para la
Transformada de Laplace
Si 𝒇 es una función continua por partes en 𝟎;∞ y de
orden exponencial 𝜶, entonces
𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔) existe para 𝑠 > 𝛼
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• 1
• ¿Existe la transformada de Laplace de
𝒇 𝒕 = 𝒕𝟑 ?
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Breve tabla de la Transformada de Laplace
𝒇 𝒕 𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔) 𝟏 𝟏
𝒔, 𝒔 > 𝟎
𝒆𝒂𝒕 𝟏
𝒔 − 𝒂, 𝒔 > 𝒂
𝒕𝒏, 𝒏 = 𝟏; 𝟐;… 𝒏!
𝒔𝒏+𝟏, 𝒔 > 𝟎
𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒕 𝒂
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐, 𝒔 > 𝟎
𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕) 𝒔
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐, 𝒔 > 𝟎
𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒂𝒕) 𝒂
𝒔𝟐 − 𝒂𝟐, 𝒔 > 𝒂
𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒂𝒕) 𝒔
𝒔𝟐 − 𝒂𝟐, 𝒔 > 𝒂
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Ejercicios
Use las fórmulas para obtener la transformada de
Laplace de las siguientes funciones:
a) 𝒇 𝒕 = 𝒕𝟔
b) 𝒇(𝒕) = (𝒕 − 𝟐)𝟐
c) 𝒇(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒕)
Solución:
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Propiedades de la Transformada de
Laplace
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Teorema 1:Traslación en 𝐬 (Primer teorema de
traslación)
Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 existe, entonces para 𝒔 > 𝜶
𝓛 𝒆𝒂𝒕𝒇 𝒕 𝒔 = 𝑭 𝒔 − 𝒂 para 𝑠 > 𝛼 + 𝑎
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• 1
• Determine: 𝓛 𝒆𝟒𝒕𝒕𝟑
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Teorema 2: Derivada de la Transformada de
Laplace
Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 existe, entonces para 𝒔 > 𝜶
𝓛 𝒕𝒏𝒇 𝒕 𝒔 = (−𝟏)𝒏𝒅𝒏
𝒅𝒔𝒏𝑭 𝒔
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• 1
• Determine: ℒ 𝑡2𝑠𝑒𝑛(𝑡)
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Teorema 3: Transformada de Laplace de la
integral
Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 existe, entonces para 𝒔 > 𝜶
𝓛 𝒇 𝒖 𝒅𝒖𝒕
𝟎
𝒔 =𝑭(𝒔)
𝒔
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• 1
• Determine: 𝓛 𝒆−𝟐𝒖𝒖𝒕
𝟎𝒔𝒆𝒏(𝒖)
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Teorema 4: Transformada de Laplace de 𝒇(𝒕)
𝒕
Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 existe, entonces para 𝑠 > 𝛼
𝓛𝒇(𝒕)
𝒕𝒔 = 𝑭 𝒖 𝒅𝒖
∞
𝒔
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• 1
• Determine: 𝓛𝒔𝒆𝒏(𝒕)
𝒕
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Teorema 5:Transformada de Laplace de la
derivada
Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 existe y 𝒇′(𝒕) continua por
tramos por partes en 𝟎,∞ y de orden
exponencial 𝜶, entonces para 𝒔 > 𝜶, entonces:
𝓛 𝒇′ 𝒕 𝒔 = 𝒔𝑭 𝒔 − 𝒇(𝟎)
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• 1
• Aplique la transformada de Laplace al P.V.I
• 𝒚′ − 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕
𝒚 𝟎 = 𝟎
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Forma general de la Transformada de Laplace
de la derivada
Sean 𝒇 𝒕 ; 𝒇′ 𝒕 ; 𝒇′′ 𝒕 ; … ; 𝒇 𝒏−𝟏 (𝒕) continuas en 𝟎;∞
y sea 𝒇 𝒏 (𝒕) continua por partes en 𝟎;∞ , con todas
estas funciones de orden exponencial 𝜶, entonces
para 𝒔 > 𝜶,
𝓛 𝒇(𝒏) 𝒕 𝒔 = 𝒔𝒏𝑭 𝒔 − 𝒔𝒏−𝟏𝒇 𝟎 − 𝒔𝒏−𝟐𝒇′ 𝟎 −⋯− 𝒔𝒇 𝒏−𝟐 𝟎 − 𝒇 𝒏−𝟏 𝟎
𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔
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Ejercicios
Determine la transformada de Laplace de las
siguientes funciones:
a) 𝒇 𝒕 = 𝒆−𝟐𝒕𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒕)
𝐛) 𝒇 𝒕 = 𝒆𝟒𝒕𝒕 𝒆−𝟒𝒖𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒖)
𝒖𝒅𝒖
𝒕
𝟎
Solución:
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Bibliografía
2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau Xie
3. Fundamentals of Differential Equations – Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur
1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado-
Dennis G. Zill
4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime
Escobar A.