UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA
Samuel Sonego Zimmermann
ANÁLISE QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE
EQUAÇÕES NÃO-LINEARES AUTÔNOMAS A UMA E DUAS
VARIÁVEIS DEPENDENTES
Santa Maria, RS
2016
Samuel Sonego Zimmermann
ANÁLISES QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAÇÕES NÃO-
LINEARES AUTÔNOMAS A UMA E DUAS VARIÁVEIS DEPENDENTES
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Matemática Licenciatura, da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,
RS), como requisito parcial para obtenção do
título de Licenciado em Matemática.
Orientadora: Profª. Drª. Sandra Eliza Vielmo
Santa Maria, RS
2016
2
Samuel Sonego Zimmermann
ANÁLISES QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAÇÕES NÃO-
LINEARES AUTÔNOMAS A UMA E DUAS VARIÁVEIS DEPENDENTES
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Matemática Licenciatura, da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,
RS), como requisito parcial para obtenção do
título de Licenciado em Matemática.
Aprovado em 05 de julho de 2016:
Sandra Eliza Vielmo, Dra. (UFSM)
(Presidente/Orientadora)
Karine Faverzani Magnago , Dra. (UFSM)
Rosemaira Dalcin Copetti, Dra. (UFSM)
Santa Maria, RS
2016
3
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, pela saúde e pela vida.
Aos meus pais Sadi Martin e Josete Maria, aos meus irmãos Estevan e Elisa por
passarmos juntos os momentos bons e momentos ruins, pelo apoio e incentivo sempre nos
estudos.
A minha avó Nadir por todo apoio e ajuda nas horas de necessidade, aquele amor de
avó.
Minha namorada Denise, ao carinho, incentivos, que possamos realizar todos nossos
projetos futuros e esse já é um.
E finalmente e não menos importante professora Sandra, pelas orientações,
preocupações, paciência, contribuições e ensinamentos durante toda a construção deste
caminho que muitas vezes não foram fáceis, na realização deste trabalho.
4
RESUMO
ANÁLISES QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAÇÕES NÃO-
LINEARES AUTÔNOMAS A UMA E DUAS VARIÁVEIS DEPENDENTES
AUTOROR: SAMUEL SONEGO ZIMMERMANN
ORIENTADORA: SANDRA ELIZA VIELMO
Este trabalho tem por objetivo analisar quantitativa e qualitativamente alguns modelos de
dinâmica populacional. Inicialmente foi analisado o modelo de Malthus e, a partir deste, as
alterações propostas por Verhulst, quando da obtenção do modelo logístico. Posteriormente,
estes modelos foram estendidos a modelos que descrevem interação entre duas espécies,
descritos pelos sistemas predador-presa e espécies em competição pelo mesmo alimento. Para
uma efetiva compreensão destes sistemas sob o ponto de vista qualitativo e quantitativo,
foram revistas as teorias relacionadas a sistemas autônomos lineares quanto à classificação de
suas soluções de equilíbrio e comportamento das soluções associadas. Ainda, foi abordado o
processo de “linearização” de sistemas não-lineares, de modo a compreender o
comportamento das soluções nas vizinhanças das soluções de equilíbrio. Para a realização da
análise qualitativa foi utilizado os softwares GeoGebra e WxMaxima, os quais foram
fundamentais para observar o comportamento geométrico das soluções e comparação com o
comportamento algébrico ou quantitativo das mesmas. Acredita-se que o desenvolvimento
deste trabalho de conclusão de curso proporcionou amadurecimento acadêmico ao aluno e que
poderá auxiliá-lo na definição de novos caminhos a seguir em sua trajetória profissional.
Palavras-chaves: Equações Autônomas. Modelos de Crescimento Populacional. Análises
Qualitativa e Quantitativa.
5
ABSTRACT
QUANTITATIVE AND QUALITATIVE ANALYSIS OF NONLINEAR
AUTONOMOUS EQUATIONS A ONE AND TWO VARIABLE DEPENDENT
AUTHOR: SAMUEL SONEGO ZIMMERMANN
ADVISOR: SANDRA ELIZA VIELMO
This work aims to analyze quantitative and qualitatively some models of population
dynamics. Initially it was analyzed the model of Malthus and, from this, the changes proposed
by Verhulst, when obtaining from the logistic model. Subsequently, these models were
extended to models that describe the interaction between two species, described by the
systems predator-prey and species competition for the same food. For an effective
understanding of these systems from the point of view of qualitative and quantitative, were
reviewed theories related to autonomous systems, linear as to the classification of solutions of
equilibrium and the behavior of the associated solutions. Still, it was discussed the process of
“linearization” of systems, non-linear, in order to understand the behavior of the solutions in
the vicinity of the solutions of the balance. For the realization of the qualitative analysis was
used the software GeoGebra and WxMaxima, which were fundamental to observe the
behavior of geometric solutions and comparison with the behavior of algebraic or quantitative
of the same. It is believed that the development of this work of conclusion of course gave
maturing the academic to the student and who can assist you in the definition of new paths to
follow in their professional career.
Keywords: Equations Autonomous. Models of Population Growth. Analyses Qualitative and
Quantitative.
6
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 7
2 EQUAÇÕES AUTÔNOMAS A UMA VARIÁVEL DEPENDENTE ........................ 10
2.1 MODELO DE MALTHUS ........................................................................................ 10
2.2 MODELO DE VERHULST ...................................................................................... 12
3 EQUAÇÕES AUTÔNOMAS A DUAS VARIÁVEIS DEPENDENTES ................... 16
3.1 SISTEMAS AUTÔNOMOS LINEARES ................................................................. 16
3.2 SISTEMAS AUTÔNOMOS NÃO-LINEARES ....................................................... 19
3.3 MODELO PREDADOR-PRESA .............................................................................. 21
3.4 MODELO DE ESPÉCIES EM COMPETIÇÃO ....................................................... 25
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................... 38
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 39
7
1 INTRODUÇÃO
Ao cursar a disciplina Métodos Matemáticos do Curso de Matemática Licenciatura no
ano de 2014, algumas equações diferenciais ordinárias (EDO), como as equações de Malthus
e Logística, proposta por Verhulst, despertaram meu interesse. Como o objetivo desta
disciplina é estudar métodos analíticos e numéricos, de modo que ao final da mesma o aluno
seja capaz de aplicá-los na resolução de fenômenos relacionados a diversas áreas do
conhecimento e do cotidiano modelados matematicamente, ao final da disciplina foi proposta
a elaboração e desenvolvimento de um projeto de Modelagem Matemática, com tema a ser
escolhido pelos acadêmicos individualmente ou em grupos. Para a resolução do problema
proposto, os acadêmicos deveriam utilizar os conhecimentos sobre EDO, métodos numéricos
e recursos tecnológicos, adquiridos ao longo da disciplina. A partir do lançamento da
proposta, por ser uma área que me interessa, procurei o Laboratório de Melhoramento Animal
do Centro de Ciências Rurais (CCR), onde obtive dados relativos ao crescimento de búfalos.
A partir destas informações, formulei o problema a ser pesquisado e ajustei os dados através
de dois modelos: Logístico e Gompertz, onde para a resolução e comparação destes modelos
foi utilizado o método dos mínimos quadrados e o software GeoGebra.
Esta disciplina despertou em mim uma maior curiosidade quanto a modelos de
crescimento populacional e assim, no primeiro semestre de 2015 me matriculei na Disciplina
Complementar de Graduação (DCG) Sistemas Dinâmicos. A partir do desenvolvimento dos
conteúdos desta disciplina, particularmente a análise qualitativa se mostrou interessante e, a
partir destas duas disciplinas, surgiu a proposta do tema deste Trabalho de Conclusão de
Curso.
Além disso, através desta pesquisa e aprofundamento de meus conhecimentos
relacionados às equações diferenciais ordinárias, tenho a pretensão de posteriormente
ingressar em um programa de pós-graduação.
A pesquisa desenvolvida neste trabalho é considerada exploratória e de natureza
bibliográfica, pois tem o objetivo de gerar conhecimento através de bibliografias relacionado
a um tema específico. No aspecto quantitativo, o interesse é obter as soluções analíticas da
equação diferencial ou sistema de equações diferenciais localmente lineares, via autovalores e
autovetores. Em relação ao aspecto qualitativo será analisado o comportamento das soluções,
considerando seu campo de direções e retrato de fase (ou plano de fase), utilizando os
softwares Wxmaxima e GeoGebra.
8
No decorrer do Curso de Matemática é apresentada uma série de modelos matemáticos
ao acadêmico, porém nem sempre é realmente compreendido seu significado. Segundo
Bassanezi (2010)
“chamaremos simplesmente de Modelo Matemático um conjunto de símbolos
e relações matemáticas que representam o objeto estudado. Cada autor se
aventura a dar uma definição de modelo matemático. Por exemplo, para
McLone „um modelo matemático é um construto matemático abstrato,
simplificado que representa uma parte da realidade com algum objetivo
particular‟. ”(BASSANEZI, 2010, p. 20)
Ou seja, um modelo matemático proporciona a compreensão e controle de um
problema associado a realidade. Ainda, em Souza (2012)
O estudo de um modelo visa a melhor compreensão da variação do número
de indivíduos de uma determinada população e também, dos fatores que a
influenciam em tais variações. Para isso, é necessário o conhecimento das
taxas em que se verificam perdas e ganhos de indivíduos e identificar os
processos que regulam a variação da população. (SOUZA, 2012, p. 15)
A partir destas considerações, este trabalho apresenta o seguinte problema de pesquisa:
Compreensão qualitativa e quantitativa dos modelos de interação predador-presa e
espécies em competição, oriundos dos modelos de Malthus e Verhulst, respectivamente.
A fim de responder a problemática proposta, esta pesquisa objetiva analisar
quantitativa e qualitativamente o comportamento das soluções dos modelos originados dos
modelos de Malthus ou Logístico, associados a uma e duas variáveis dependentes. E, para
atingir este objetivo são propostos os seguintes objetivos específicos:
Analisar o comportamento quantitativo e qualitativo dos modelos de Malthus e
Logístico a uma variável dependente;
Revisar o comportamento quantitativo e qualitativo de sistemas lineares a duas
variáveis dependentes, vistos anteriormente nas duas disciplinas citadas;
Revisar o comportamento qualitativo de sistemas não-lineares a duas variáveis
dependentes, através do processo de linearização, visto anteriormente na
disciplina Sistemas Dinâmicos;
Analisar qualitativamente as soluções dos modelos predador-presa e espécies
em competição, cujas formulações são oriundas dos modelos de Malthus e de
Verhulst, respectivamente, utilizando os softwares GeoGebra e Wxmáxima.
9
Quanto a estrutura deste trabalho, o presente capítulo apresenta o problema de
pesquisa, objetivos geral e específicos, bem como justificativa para a escolha do tema.
O capítulo 2 apresenta uma análise dos modelos de Malthus e de Verhulst, sob os
pontos de vista qualitativo e quantitativo, de modo a compreendê-los e introduzir os modelos
de equações autônomas originárias destes dois modelos.
No capítulo 3, inicialmente é realizada uma revisão da teoria associada a sistemas
lineares e também o processo de linearização associado aos sistemas autônomos não-lineares.
Posteriormente, os dois modelos de equações autônomas “predador-presa” e “espécies em
competição” são analisados.
O capítulo 4 apresenta as considerações finais referentes a esta pesquisa. Finalizando
são apresentadas as referências bibliográficas utilizadas neste trabalho.
10
2 EQUAÇÕES AUTÔNOMAS A UMA VARIÁVEL DEPENDENTE
Neste capítulo, são consideradas as análises quantitativas e qualitativas de dois modelos
matemáticos de crescimento populacional, o modelo de Malthus e de Verhulst.
2.1 MODELO DE MALTHUS
Segundo Bassanezi e Ferreira Jr (1988), o economista e demógrafo inglês Thomas Robert
Malthus (1766 – 1834) foi responsável por propor um modelo de crescimento mundial em seu
trabalho conhecido como “An Essay on the Principle of Populacional as it Affects the Future
Improvement of Society”, publicado anonimamente em 1798, cujo modelo estabelecia que o
crescimento populacional se daria segundo uma progressão geométrica, enquanto a produção
de alimentos em progressão aritmética.
Para descrever este modelo, seja a população total de um país num instante .
Num intervalo , a Lei de Malthus pressupõe que os nascimentos e as mortes sejam
proporcionais ao tamanho da população e ao tamanho do intervalo, ou seja, o número de
nascimentos é dado por e o número de mortes por , onde e são os
coeficientes de natalidade e mortalidade, respectivamente.
Assim,
Ou,
Denotando , tem-se:
Ou seja, a taxa de variação de uma população é proporcional à população em cada
instante de tempo, cuja constante de proporcionalidade a é chamada taxa de crescimento ou
declínio, dependendo se é positiva ou negativa. Para resolver analiticamente a equação (1),
escreve-se na forma separável,
11
cuja solução é dada por:
onde é uma condição inicial.
A fim de realizar uma análise qualitativa da solução (2), observa-se que se não
haverá crescimento da população, se mantendo constante, e, no caso de , a população
irá crescer ou decrescer exponencialmente ao longo do tempo. Na Figura 1
podem ser visualizadas algumas soluções (2), para alguns valores iniciais .
Figura 1 – Soluções para ⁄ .
Fonte: Gerado pelo autor no GeoGebra.
Segundo Bassanezi e Ferreira Jr (1988), o modelo malthusiano acabou não se
revelando eficiente para estimavas em países desenvolvidos, porém sua previsão continuou
influenciando o pensamento econômico durante muito tempo. A lei de Malthus se mostrou
mais adequada na estimativa de população em curto prazo em países em desenvolvimento,
além de se mostrar apropriada para certas populações de microrganismos em períodos
limitados de tempo. No entanto, o modelo malthusiano falha pelo fato de prever crescimentos
populacionais cada vez maiores, o que não representa a realidade.
Ainda, segundo Boyce e Diprima (2010) a lei de Malthus é:
Razoavelmente precisa para muitas populações, pelo menos por períodos limitados de
tempo. Entretanto, é claro que tais condições ideais não podem continuar
12
indefinidamente; alguma hora urn fator como limitações de espaço, suprimento de
comida ou de outros recursos reduzirá a taxa de crescimento e terminará com o
crescimento exponencial ilimitado (BOYCE, DIPRIMA, 2010, p. 60).
Para Malthus fatores como fome, condições sanitárias, guerras, situação de moradia e
poluição ambiental afetariam o crescimento da população, como um “mecanismo” que
manteria a população em um nível aceitável. Desta forma, por volta de 1840, o matemático
biólogo belga Pierre François Verhulst (1804–1849) propôs uma adaptação ao modelo de
Malthus, supondo que a população de certa espécie, vivendo num determinado meio, atinja
um limite máximo sustentável, cujo modelo será descrito na próxima seção.
2.2 MODELO DE VERHULST
Para considerar o fato que a taxa de crescimento depende efetivamente da população,
a o biólogo Verhulst propôs o seguinte modelo:
A constante a é chamada taxa de crescimento intrínseca, ou seja, a taxa de crescimento
na ausência de qualquer fator limitador e a constante b cumpre o papel de inibidor do
crescimento, associado a fatores como limitações de espaço, suprimento de comida, etc,
sugeridas por Malthus. A equação não-linear autônoma (3) é chamada Equação Logística.
Analiticamente é uma equação diferencial separável:
Utilizando a decomposição em frações parciais, obtém-se:
onde as constantes A e B são determinadas através da relação
13
Ou seja,
,
resultando em
e
. Substituindo A e B em (4), integrando e usando propriedades
de logaritmos, obtém-se:
*
+
Assim,
Considerando o valor inicial , em (5), obtém-se
Substituindo (6) em (5) e efetuando algumas manipulações algébricas, tem-se a
solução analítica da equação diferencial (3):
Observa-se que, no caso particular de , a solução (7) se reduz a solução (2).
Para a equação (3) é possível encontrar soluções tais que ⁄ para todo . Ou
seja, as soluções constantes da equação (3), chamadas soluções de equilíbrio, são aquelas que
satisfazem a equação algébrica:
Assim, as soluções constantes são e ⁄ , chamados pontos críticos da
equação algébrica (8) ou soluções de equilíbrio da equação diferencial (3).
Para visualizar o comportamento de outras soluções da equação (3) será considerada a
análise gráfica da função quadrática associada à equação (8), cujo ponto
de vértice é
. Observa-se que os zeros de f são as soluções de equilíbrio e
14
da equação (3). Além disso, para
, ocorre ⁄ e portanto x é uma função
crescente nesse intervalo, indicado na Figura 2 pelas setas apontando para a direita.
Analogamente, para
, ⁄ e x é decrescente, como indicado pela seta apontada
para a esquerda na Figura 2.
Figura 2 – Plano de fase de
.
Fonte: Gerado pelo autor no GeoGebra.
Assim, com base nesta analise gráfica e dependendo da condição inicial existem três
casos a considerar:
1º caso: Para
as soluções são crescentes e possuem um ponto de inflexão
em
, tendo como valor limite ⁄ .
2º caso: Para
as soluções são crescentes, não apresentam ponto de inflexão
e tendem ao valor máximo ⁄ .
3º caso: Para
, as soluções são decrescentes, não apresentam ponto de inflexão e
tendem para ⁄ .
Os gráficos de algumas das soluções da equação (3), considerando algumas condições
iniciais que satisfazem os três casos anteriores, são mostradas na Figura 3.
15
Figura 3 - Algumas soluções para equação diferencial (3).
Fonte: Gerado pelo autor no GeoGebra.
16
3 EQUAÇÕES AUTÔNOMAS A DUAS VARIÁVEIS DEPENDENTES
Neste capitulo são discutidos alguns modelos matemáticos de equações autônomas
não-lineares a duas variáveis dependentes, os quais são oriundos dos modelos de Malthus e
Verhulst. Inicialmente é apresentada de forma resumida a teoria quantitativa e qualitativa
associada aos sistemas autônomos lineares, para posteriormente descrever o processo de
“linearização” de um sistema não-linear. Na sequência do capítulo, são analisados os
modelos predador-presa e espécies em competição.
3.1 SISTEMAS AUTÔNOMOS LINEARES
Um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem é da forma:
{
Considerando como componentes de um vetor
, componentes de um vetor e elementos de
uma matriz de ordem , tem-se a equação matricial:
Se o sistema (9) ou (10) é chamado sistema linear homogêneo. Caso
contrário, é chamado não-homogêneo. Além disso, um vetor é uma solução de (9)
ou (10) se suas componentes satisfazem cada uma das equações do sistema. Ainda, o sistema
(9) ou (10) será um sistema autônomo se a matriz for uma matriz constante, isto é,
.
Assim, para dar continuidade ao trabalho de pesquisa e realizar a classificação das
soluções de equilíbrio de (9) ou (10), será considerado um sistema linear autônomo
homogêneo a duas variáveis, na forma:
17
onde (
) e
As soluções de equilíbrio do sistema (11) são os pontos para os quais as derivadas se
anulam, ou seja:
{
Se , a única solução de equilíbrio do sistema (11) ou (12) é a origem, isto é,
.
Para considerar as análises quantitativa e qualitativa da solução de equilíbrio do
sistema (11) ou (12), há necessidade de observar as situações possíveis para as raízes do
polinômio característico associado a matriz A, que corresponde a um polinômio quadrático
cujas raízes são os autovalores e
Quanto a análise quantitativa, de acordo com a seção 9.1 de Boyce e Diprima (2010),
as soluções gerais do sistema (11) ou (12) podem ser resumidas no Quadro 1, dependendo
das características dos autovalores e
Quadro 1 – Análise quantitativa das soluções do sistema (11) ou (12).
(continua)
Autovalores e Solução Geral
Autovalores reais e distintos de
mesmo sinal
,
onde e são autovetores associados aos
autovalores e , respectivamente.
Autovalores reais com sinais
opostos
Autovalores iguais (
1º)
,
onde e são autovetores linearmente
independentes.
18
2º)
,
onde v é o autovetor e u é o autovetor generalizado
associado ao autovalor repetido.
Autovalores Complexos (
,
onde e , com autovetor
complexo associado.
Imaginários Puro (
).
Fonte: Autor.
Em relação a análise qualitativa, o Quadro 2 mostra as possíveis situações quanto ao
discriminante ser positivo, zero ou negativo, a natureza das soluções de equilíbrio e
respectivas órbitas. Particularmente, na última coluna deste quadro são apresentadas oito
situações relativas a estabilidade ser instável, estável ou assintoticamente estável. Uma
demonstração detalhada destas situações pode ser obtido em Bassanezi e Ferreira Jr (1988) ou
Boyce e Diprima (2010).
19
Quadro 2 – Natureza e estabilidade das soluções de equilíbrio do sistema (11).
Fonte: BASSANEZI, FERREIRA JR., 1988, p.342.
3.2 SISTEMAS AUTÔNOMOS NÃO-LINEARES
Nesta seção é abordado o processo de “linearização” de um sistema autônomo não-
linear, de forma a ser possível visualizar seu comportamento qualitativa de maneira análoga
ao comportamento de sistemas lineares nas vizinhanças das soluções de equilíbrio.
Seja o sistema autônomo não-linear
{
O sistema (13) vai ser localmente linear em uma vizinhança próxima de um ponto
crítico , se as funções F e G tiverem derivadas parciais continuas até a segunda ordem.
20
De fato, usando a expansão em série de Taylor para as funções F e G em termos de
tem-se:
onde √ ⁄ tende a zero, quando tende a
Analogamente para . Ainda, como , ,
e
, substituindo (14) em (13), tem-se:
(
* (
) (
* (
*
Considerando ( ) (
) (
), (
) e (
), tem-se a forma
matricial:
Assim, se F e G forem funções diferenciáveis até segunda ordem, o sistema (13) será
localmente linear e aproximado pela parte linear do sistema (15) ou (16) nas vizinhanças de
, ou seja,
(
) (
) (
)
onde a matriz
(
)
é chamada matriz Jacobiana de F e G aplicada na solução de equilíbrio .
A equação (17) fornece um método simples e geral para obter o sistema linear
correspondente a um sistema localmente linear nas vizinhanças da solução de equilíbrio. É
necessário considerar que , de modo que esta solução seja também uma
solução de equilíbrio isolada do sistema não-linear (13).
21
3.3 MODELO PREDADOR-PRESA
A partir das equações de Malthus e supondo duas espécies x e y, que representam
predador e presa, respectivamente, seus crescimentos populacionais podem ser descritos pelas
equações:
Observa-se que o sinal negativo junto ao parâmetro a na equação (19) ocorre devido
ao predador alimentar-se apenas desta presa e, na falta deste alimento, o predador tenderá a
extinção.
Acrescentando os termos e , que significam a possibilidade de
interação entre as duas espécies, nas equações (19) e (20), respectivamente, tem-se o sistema
autônomo não-linear:
{
Observa-se que o sinal positivo junto ao parâmetro e na primeira equação, significa
que com a interação entre as duas espécies, a população do predador aumentará.
Analogamente, o sinal negativo junto ao parâmetro f na segunda equação, significa que a
população de presas diminuirá. As equações do sistema (21) são chamadas equações
Predador-Presa ou equações de Lotka-Volterra, devido ao biofísico Alfred J. Lotka (1880-
1949)e o matemático Vito Volterra (1860-1940).
A fim de realizar uma análise qualitativa das soluções do sistema (21), este será escrito
da seguinte forma:
{
As soluções das equações algébricas:
22
{
são as soluções de equilíbrio do sistema (21), mostrados no Quadro 3.
Quadro 3 – Soluções de equilíbrio do sistema (21).
Condições em (22) Soluções de equilíbrio de (21)
(
*
Fonte: Autor.
Para classificar estas soluções de equilíbrio quanto à estabilidade, é calculada a matriz
Jacobiana em cada ponto e observada a sua classificação conforme Quadro 3, da seção 3.1.
Observa-se que para o sistema predador-presa é possível utilizar a linearização indicada nesta
seção, pois as funções F e G são diferenciáveis até segunda ordem e para qualquer ponto
a matriz Jacobiana associada ao sistema (21) é
(
*
Assim, aplicando na solução de equilíbrio tem-se
(
)
Logo, os autovalores associados a esta matriz são e e como e
, então e . Logo, pela classificação do Quadro 3, a solução de equilíbrio é
um ponto de sela.
Analogamente, para a solução de equilíbrio (
), segue que:
23
(
* (
)
Os autovalores desta matriz são os imaginários puros √ e √ e pela
classificação do Quadro 3, a solução de equilíbrio é um centro, cujas trajetórias são elipses.
De fato, considerando a mudança de variável proposta no sistema (16), tem-se:
⁄
⁄
⁄
⁄
ou
Em consequência,
que corresponde a equação reduzida de uma elipse, para qualquer k positivo.
Voltando ao sistema não-linear (21), este pode ser reduzido à equação diferencial
⁄
⁄
que é separável e tem a solução implícita
onde k é uma constante de integração.
Na equação (23) as variáveis x e y não podem ser explicitadas em termos de funções
elementares, sendo possível apenas ser visualizado no espaço tridimensional, que não é o
objetivo central deste trabalho.
A seguir será considerado um sistema predador-presa em particular, para ilustrar as
análises quantitativa e qualitativa associadas a este tipo de interação entre duas espécies.
24
Seja o sistema:
{
As solução de equilíbrio são e e na Figura 3(a) pode ser visualizado
o campo de direções e algumas soluções do sistema (24), cujas trajetórias se assemelham a
uma elipse, onde a solução de equilíbrio é um centro. Na Figura 3(b) é
apresentado um par de soluções , com condição inicial
Percebe-se que as populações oscilam ao longo do tempo, característica de soluções analíticas
que envolvem combinações lineares das funções trigonométricas seno e cosseno, mostrando
uma tendência ao equilíbrio entre as espécies. Destaca-se que para a construção das figuras
no WxMaxima e maior compreensão dos sistemas dinâmicos, utilizou-se a referência Villate
(2007).
Figura 4 – Campo de direções e um par de soluções do sistema (24).
(a)
(b)
Fonte: Gerado pelo autor no WxMaxima.
25
3.4 MODELO DE ESPÉCIES EM COMPETIÇÃO
A partir do modelo logístico descrito na seção 2.2 e supondo duas espécies x e y que se
alimentam da mesma fonte, seus crescimentos serão descritos pelas equações logísticas:
Agora, havendo a possibilidade de interação entre as duas espécies, deverão ser
considerados os termos , nas equações (25) e (26), respectivamente,
obtendo:
{
Observa-se que os sinais negativos junto aos parâmetros e e f se justificam, pois
como as duas espécies se alimentam da mesma fonte, a tendência é que ocorra uma
diminuição das respectivas populações. O sistema (27) é chamado Espécies em Competição.
Segundo Bassanezi e Ferreira Jr (1988) este sistema de equações diferenciais não tem
necessariamente uma solução analítica. Por isso, um estudo qualitativo das soluções é
imprescindível. A fim de realizar esta análise, o sistema (27) será reescrito da seguinte forma:
{
As soluções do sistema algébrico
{
,
são as soluções de equilíbrio do sistema (28), visualizadas no Quadro 4.
26
Quadro 4 – Soluções de equilíbrio do sistema (28).
Condições em (29) Soluções de equilíbrio de (28)
(
)
(
)
(
*
Fonte: Autor.
Analogamente ao modelo predador-presa, o modelo espécie em competição pode ser
“linearizado” conforme descrito na seção 3.1, pois as funções F e G são diferenciáveis até
segunda ordem. Nesta situação, a matriz Jacobiana associada a estas funções em qualquer
ponto é
(
*
A seguir serão analisados qualitativamente o comportamento das soluções de
equilíbrio descritas no Quadro 4.
A solução de equilíbrio será um nó instável, independente dos valores dos
parâmetros do sistema (28), pois a matriz Jacobiana associada é:
(
) ,
cujos autovalores são e .
Para a análise de (
), calculando a matriz Jacobiana, tem-se:
(
) (
)
Logo,
e .
27
Se , implica em e a solução de equilíbrio será um ponto de
sela. Caso contrário, se , implica e será um nó assintoticamente
estável.
Analogamente, para o ponto (
), a matriz Jacobiana é:
(
) (
)
Logo, e
.
Se , então e a solução de equilíbrio será um ponto de sela.
Caso contrário, se , implica e será um nó assintoticamente estável.
Para o ponto (
), que é o ponto de intersecção das retas
e , com coeficientes angulares
e
, a análise
será subdividida em dois momentos, onde no primeiro será considerado e no
segundo momento será considerado pertencente aos demais quadrantes.
No Quadro 5 são apresentadas as duas situações possíveis quanto a posição relativas
das retas e e respectivas análises, para . Observa-se que em cada uma das
visualizações gráficas também estão representadas as três soluções de equilíbrio ,
(
) e (
), analisadas anteriormente.
28
Quadro 5 – Posições relativas das retas com ponto de intersecção .
Posições relativas Considerações
(a)
Nesta situação observa-se que:
(eixo x) e
(eixo y)
A partir destas condições, tem-se . Ou
seja,
ou ainda
. Assim,
, implicando a condição:
onde os coeficientes b e d se referem ao fator de
inibição do crescimento associado a própria espécie
e os coeficientes e e f se referem ao fator de inibição
do crescimento associado a interação entre as
espécies. Como a diferença acima é negativa,
considera-se que nesta situação as espécies estão em
“competição forte”. Neste caso, o que ocorre com
as espécies x e y?
(b)
Nesta situação observa-se que:
(eixo x) e
(eixo y)
A partir destas condições, tem-se . Ou
seja,
ou ainda
. Assim,
, implicando a condição:
Como esta diferença é positiva, considera-se que
nesta situação as espécies estão em “competição
fraca”. Neste caso, o que ocorre com as espécies x
e y?
Fonte: Construído pelo autor com gráficos no GeoGebra.
29
A fim de responder o questionamento “o que ocorre com as espécies x e y?” nas
duas situações descritas no Quadro 5, será realizada uma análise do comportamento da
solução de equilíbrio (
), que será denotado por , através da teoria
associada a matriz Jacobiana aplicada neste ponto, a saber:
(
*
Ou ainda,
(
*
Como , segue:
(
*
O polinômio característico associado a esta matriz é
cujas raízes são
⁄
e
⁄
Considerando o discriminante
,
tem-se dois casos a analisar:
1º Caso: Descrito pela situação do Quadro 5(a), onde . Neste caso,
e , ou seja, a solução de equilíbrio é um ponto de sela, conforme
classificação do Quadro 2.
30
2º Caso: Descrito pela situação do Quadro 5(b), onde . Neste caso,
e , ou seja, a solução de equilíbrio é um nó assintoticamente
estável, conforme classificação do Quadro 2.
O Quadro 6 apresenta um resumo sobre as quatro soluções de equilíbrio , , e
quanto as condições sobre os parâmetros do sistema (28), bem como suas naturezas e
estabilidade, quando .
Quadro 6 – Natureza e estabilidade das soluções de equilíbrio de (28), com .
Soluções de equilíbrio de
(28) Condições Natureza e estabilidade
- Nó instável
(
)
Ponto de sela
Nó assintoticamente
estável
(
)
Ponto de sela
Nó assintoticamente
estável
(
*
Nó assintoticamente
estável
Ponto de sela
Fonte: Autor.
De modo geral, o comportamento destas soluções de equilíbrio pode ser visualizado
através de controles deslizantes para os seis parâmetros e f no software
WxMaxima, com a linha de comando:
31
A seguir serão exemplificadas cada uma das duas situações associadas às posições
relativa das retas descritas no Quadro 5 e realizadas as análises qualitativa e quantitativa das
soluções do sistema.
Exemplo 1: Seja o sistema
{
As soluções de equilíbrio do sistema (30) são e
. Na Figura 5 pode ser visualizado o campo de direções associado ao sistema e na
Figura 6 o comportamento de algumas soluções do sistema (30), considerando a condição
inicial em (a) e em (b).
Figura 5 – Campo de direções para o sistema (30).
Fonte: Gerado pelo autor no WxMaxima.
32
Figura 6 – Soluções para o sistema (30).
(a)
(b)
Fonte: Gerado pelo autor no WxMaxima.
Observa-se que o comportamento das trajetórias na Figura 5 ou 6, tendem para a
solução de equilíbrio (0,5;0,5), caracterizando como um nó assintoticamente estável, pois
, enquanto que é um nó instável e e são pontos de sela, pois
e , respectivamente, conforme Quadro 6. Neste
caso, ocorre a coexistência das espécies, tendendo para a solução de equilíbrio .
Exemplo 2: Seja o sistema
{
Os pontos críticos do sistema (31) são e . Na
Figura 7, pode ser visualizado o campo de direções associado ao sistema e na Figura 8 o
comportamento de algumas soluções sistema (31), considerando a condição inicial
em (a) e em (b).
33
Figura 7 – Campo de direções para o sistema (31).
Fonte: Gerada pelo autor no WxMaxima
Figura 8 – Algumas soluções para o sistema (31).
(a)
(b)
Fonte: Gerado pelo autor no WxMaxima.
A Figura 7 representa o campo de direções e a Figura 8 algumas soluções do sistema
(31), onde algumas tendem para a solução de equilíbrio e outras para , dependendo das
regiões onde são consideradas as condições iniciais. Na Figura 8(a) é mostrada uma solução
que tende para , caracterizando a sobrevivência de x e extinção de y. Ao contrário, na
Figura 8(b) é mostrada uma solução que tende para , caracterizando a sobrevivência de y e
extinção de x. Além disso, observa-se as condições do Quadro 6, onde
e , caracterizando que e são nós assintoticamente estáveis e é
34
um ponto de sela, pois . Esta última condição estabelece que o produto
dos valores de interação entre as espécies é maior que o valor de inibição do próprio
crescimento das populações e quando isso ocorre a competição é dita “forte”. Desta forma,
dependendo da condição inicial considerada, uma ou a outra espécie irá sobreviver, mas não
ambas.
A seguir, será descrita a posição relativa das duas retas e
, quando o ponto de intersecção não pertencer ao 1º quadrante. Nesta
situação há duas possibilidades, descritas no Quadro 7.
Quadro 7 – Posições relativas das retas com ponto de intersecção .
Posições relativas Considerações
(a)
1)
2)
(eixo x) e
(eixo y)
A partir desta situação, tem-se , que
analogamente a situação do Quadro 5, implica na
condição:
Novamente, caracteriza uma situação em que as
espécies estão em “competição fraca”. O que
ocorre com as espécies x e y?
(b)
1)
2)
(eixo x) e
(eixo y)
A partir desta situação, tem-se , que
analogamente a situação anterior, implica na
condição:
Novamente, caracteriza uma situação em que as
espécies estão em “competição fraca”. O que
ocorre com as espécies x e y?
Fonte: Construído pelo autor com gráficos no GeoGebra.
35
A fim de ilustrar as duas situações do Quadro 7, serão considerados os seguintes
exemplos.
Exemplo 3: Seja o sistema:
{
As soluções de equilíbrio de interesse para o sistema (32) são
e , visto que . Na Figura 9(a) é apresentado o campo de
direções e algumas trajetórias e em (b), o comportamento de uma solução para o sistema
(32), considerando Para outras condições iniciais, o comportamento
das soluções é análogo ao da solução mostrada.
Figura 9 – Campo de direções e uma solução para o sistema (32).
(a)
(b)
Fonte: Gerada pelo autor no WxMaxima
A Figura 9(a) mostra o campo de direções e algumas trajetórias, onde todas
tendem para a solução de equilíbrio , caracterizando a sobrevivência da espécie x e
extinção de y. Na Figura 9(b) é mostrada uma solução em particular, que apresenta este
mesmo comportamento. Além disso, observa-se as condições do Quadro 6, onde
36
e , caracterizam que é um ponto de sela e é
um nó assintoticamente estável, como pode ser observado na Figura 9(a). Desta forma,
independentemente da condição inicial considerada, a espécie x irá sobreviver e y irá a
extinção.
Exemplo 4: Seja o sistema:
{
As soluções de equilíbrio de interesse para o sistema (33) são e
, visto que . Na Figura 10(a) é apresentado o campo de
direções e algumas trajetórias e em (b), o comportamento de uma solução para o sistema
(33), considerando . Para outras condições iniciais, o comportamento
das soluções é análogo ao da solução mostrada.
Figura 10 – Campo de direções e uma solução para o sistema (33).
(a)
(b)
Fonte: Gerada pelo autor no WxMaxima.
A Figura 10(a) mostra o campo de direções e algumas trajetórias, onde todas
tendem para a solução de equilíbrio , caracterizando a sobrevivência da espécie y e
extinção de x. Na Figura 10(b) é mostrada uma solução em particular, que apresenta este
37
mesmo comportamento. Além disso, observa-se as condições do Quadro 6, onde
e , caracterizam que é um nó assintoticamente
estável e é um ponto de sela, como pode ser observado na Figura 10(a). Desta forma,
independentemente da condição inicial considerada, a espécie y irá sobreviver e x irá a
extinção.
38
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Inicialmente, foi analisada a modelagem matemática associada ao crescimento de
populações através do modelo de Malthus, onde foram constatadas as limitações do mesmo,
pois não descreve satisfatoriamente situações da realidade. Assim, a partir deste modelo foi
analisado o modelo proposto por Verhulst, que tenta contornar as dificuldades apresentadas
no modelo de Malthus e se mostra um modelo mais realista. Em um segundo momento, foi
questionada a influência destes modelos na constituição de modelos de crescimento quando
duas espécies estão envolvidas. Assim, a partir do modelo de Malthus tentou-se compreender
o comportamento do modelo predador-presa e, analogamente, a partir do modelo de Verhulst,
compreender o modelo de espécies em competição. Para a efetiva compreensão destes dois
últimos modelos foi necessário retomar a teoria relacionada ao tratamento de sistemas
autônomos lineares e não-lineares, de forma a compreender as classificações decorrentes e
realizar a análise qualitativa dos sistemas.
Quanto aos recursos tecnológicos, destaca-se a importância da utilização dos softwares
GeoGeobra e WxMaxima, os quais foram fundamentais na exploração do comportamento das
soluções dos respectivos modelos, possibilitando uma integração entre os tratamentos
algébrico e geométrico.
Quanto aos desdobramentos futuros deste trabalho, há várias possibilidades, como por
exemplo analisar o modelo de Verhulst associado ao sistema predador-presa com mais
predadores e presas ou o modelo espécies em competição com mais espécies, caracterizados
por um sistema de n equações diferenciais autônomas e verificar em quais condições o
sistema se tornaria caótico.
Este trabalho proporcionou ao acadêmico uma maior compreensão do processo de
construção e análise de um modelo autônomo de crescimento populacional, percebendo as
limitações de cada um, tanto nos modelos a uma variável dependente, quanto nos modelos
associados a um sistema. Além disso, através desta pesquisa e aprofundamento dos
conhecimentos relacionados às equações diferenciais ordinárias, o acadêmico tem a pretensão
de posteriormente ingressar em um programa de pós-graduação.
39
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BASSANEZI, R. C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo:
Contexto, 2010.
BASSANEZI, R. C.; FERREIRA JR. ,W. C. Equações Diferenciais com Aplicações. São
Paulo: Harbra, 1988.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Valores de Contorno. 9ª Edição. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2010.
SOUZA, I. L. B. Estudo da Dinâmica Populacional do Bicho-Mineiro via Equações
Diferenciais Ordinárias, Jequié-BA, 2012. Disponível em:
<http://www2.uesb.br/matematicajq/images/TCC1.pdf>. acesso em: 20 out. 2015
VILLATE, J. E. Introdução aos Sistemas Dinâmicos: uma abordagem prática com
Maxima, Versão 1.2, 2007. Disponível em:
<http://www.villate.org/doc/sistemasdinamicos/sistdinam-1_2.pdf27>. Acesso em: 20 out.
2015.