Cours de gestion financière (M1)
Séance du 3 octobre 2014Beta, SML, droite caractéristique
1
S&P500 vs high betastocks
Plan de la séance du 3 octobre 2014 (3)Beta, Security Market Line (SML), droite caractéristique
Espérance de rentabilité et risque (introduction) Beta d’un titre, droite caractéristique d’un titre Estimation des Betas : approches de Bloomberg, Blume et Vasicek Beta ex-ante
Beta d’un portefeuille de titres
Risque systématique (ou de marché) et risque spécifique (ou idiosyncratique), décomposition du risque total
Le modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) De la capital market line à la security market line (SML)
Démonstration intuitive du MEDAF : diversification du risque idiosyncratique
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques Estimation des écart-types des rentabilités
2
Décomposition d’un risque d’un titre
Dans le graphique ci-dessous, on compare les résultats d’un investissement de 1 $ dans l’action McDonald’s et dans le portefeuille S&P 500 Dividendes réinvestis
3
1 $ investi en 1980 dans l’action McDovaut 150 $ en 2012
Si l’on investit dans le portefeuille diversifié S&P 500, on n’obtient que 30 $
Comment expliquer cet écart de rentabilité ?
« chance », « risque » ?
Décomposition d’un risque d’un titre
4
Traders sur le marché des options de Chicago CBOE
Évolution comparée des rentabilités cumulées de Pier Import et de MacDo
Il semble que le cours de Pier Import soit plus volatile que celui
de MacDoEst‐ce que la rentabilité du
premier titre est significativement plus élevée ?
Décomposition d’un risque d’un titre
Variabilité des rentabilités d’Apple supérieure à celle de Clorox Qu’en déduire à propos des rentabilités attendues ?
5
Rentabilités quotidiennes des actions Apple et Clorox de mai 2012 à mai 2013
Droite caractéristique d’un titre
, représente la rentabilité du titre i à la date t Il peut aussi s’agir de la rentabilité d’un portefeuille de titres
, représente la rentabilité d’un indice boursier à la date t, représentant l’évolution du marché boursier
Typiquement CAC40, indice S&P 500 aux États-Unis Pondération par la capitalisation boursière
Décomposition du risque du titre i en risque lié au marché , et un terme résiduel , , , ,
constantes, :beta du titre i Ceci signifie que si le marché augmente de 1%, le titre i
augmente en moyenne de 6
Droite caractéristique d’un titre
, , , :beta du titre i déterminé à partir des rentabilités passées
On parle aussi de beta ex-post
, , ,
et sont les rentabilités moyenne du titre i et du marché sur la période d’estimation, ici de longueur
Propriétés complémentaires , 0 le terme résiduel a une moyenne nulle
, , 0 pas de corrélation entre résidu et rentabilité du portefeuille de marché
équation d’une droite dite caractéristique7
Droite caractéristique d’un titre
Navellier Fundamental A (NFMAX, fonds géré par Navellier) contre Russell 3000 Index
8
Données hebdomadaires
Mai 2005 Juillet 2009
Russell 3000 Indice large98% de la
capitalisation boursière US
Droite caractéristique d’un titre
Quelles données pour déterminer la droite caractéristique ? De nombreux points à préciser concernant les rentabilités
utilisées Prise en compte des dividendes (réinvestis) Opérations sur titres (OST) : division, distribution d’actions gratuites,
augmentation de capital avec droits préférentiels de souscription Périodicité : quotidienne, hebdomadaire, mensuelle Composition des rentabilités : moyenne arithmétique, géométrique Périmètre : choix des marchés sur lesquels les actions sont cotées,
retraits de la côte, différence entre les dates de clôture des différents marchés
Pondérations : par la valeur boursière, par la valeur boursière flottante Période d’observation : date de début, date de fin, prise en compte des
données manquantes (la non cotation
9
Droite caractéristique du titre i : , ,
Ordonnée de la droite caractéristique à l’origine
Droite caractéristique d’un titre, méthode des moindres carrés
10
À chaque point est associé une date tEn abscisse, la rentabilité du portefeuille de marché à cette date t : ,En ordonnée, la rentabilité du titre i à cette date t : , Pente de la droite
caractéristique
Droite caractéristique du titre i : , ,
Ordonnée de la droite caractéristique à l’origine
Droite caractéristique d’un titre, méthode des moindres carrés
11 , , ,i t i t i i M tR R
À chaque point est associé une date tEn abscisse, la rentabilité du portefeuille de marché à cette date t : ,En ordonnée, la rentabilité du titre i à cette date t : ,La droite caractéristique du titre est obtenu par un ajustement linéaire au nuage de points selon la méthode des moindres carrés
Pente de la droite caractéristique
Distance verticale entre un point et la droite caractéristique
Droite caractéristique du titre i : , ,
Ordonnée de la droite caractéristique à l’origine
Droite caractéristique d’un titre, méthode des moindres carrés
12 , , ,i t i t i i M tR R
La droite caractéristique du titre est obtenu par un ajustement linéaire au nuage de points selon la méthode des moindres carrés :
et minimisent la somme des carrés des écarts , :
∑ , ,
Pente de la droite caractéristique
Distance verticale entre un point et la droite caractéristique
Droite caractéristique d’un titre et beta / la pratique
Beta de l’action Disney (source Bloomberg)
13
Indice S&P 500 retenu pour approcher le portefeuille de
marchéRentabilités
mensuelles sur une période de 5 ans« raw beta »
correspond au Beta historique
« adjusted beta » = 2/3 raw beta + 1/3 x 1
Estimation des betas / retour à la moyenne
Raw beta / beta brut : déterminé comme indiqué précédemment Bloomberg s’appuie sur les travaux de Blume et de Vasicke Blume part de la constatation d’un retour à la moyenne des
betas estimés sur des périodes consécutives
Blume, M. E. (1975). Betas and their regression tendencies. The Journal of Finance, 30(3), 785-795.
Blume, M. E. (1979). Betas and their regression tendencies: some further evidence. Journal of Finance, 265-267. 14
Estimation des betas / retour à la moyenne
Le tableau ci-dessous considère des betas estimés sur une période de 7 ans (1926-1933) et regroupés en 4 groupes Le groupe 1 est constitué des actions avec le Beta le plus faible
et ainsi de suite La dernière colonne représente les betas pour ces titres sur la
période de 7 ans qui suit
On constate un retour à la moyenne (sauf pour la catégorie 3)15
Estimation des betas / biais de sélection
Une partie de l’effet observé est due au biais de sélection Illusion statistique, plus spécifiquement ici de biais de classement
Prenons une série de grandeurs tirées de manière aléatoire, par exemple des tirages de dés
L’observation d’une valeur extrême, disons 6, est (nécessairement) suivie d’une valeur plus proche de la moyenne
Si l’on raisonne en termes de causalité, on dira que les fils des hommes grands ne sont pas aussi grands (relativement à la moyenne de leur génération) que leur père … Ce qui parait d’une logique « évidente » …
En sens inverse, une valeur moyenne, disons 3 ou 4, va être suivie d’une valeur extrême 1,2 ou 5,6 avec une probabilité de 2/3 et on n’a ainsi qu’une probabilité de 1/3 de rester dans la moyenne
On ne va bien sûr pas en déduire que les hommes moyens engendrent souvent des géants ou des nains …
Le sophisme est d’autant plus apparent que la numérotation des faces du dé est arbitraire …
16
Estimation des betas / biais de sélection
Concept de retour à la moyenne attribué à Francis Galton Regression to the mean
Selon les observations de Galton, si les parents mesurent 6 cm de plus que la moyenne, les enfants ne mesurent plus que 2/3 x 6 cm de plus que la moyenne …
Galton, F. (1886). "Regression towards mediocrity in hereditary stature". The Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland 15: 246–263.
D’où l’origine du terme “regression” Galton, inventeur des concepts d’écart-type et ayant retrouvé celui
de corrélation (une invention française) … Indispensable pour corriger du biais de sélection précédent
L’artéfact précédent survient dès que le coefficient de corrélation est inférieur à 1
Pour en revenir aux betas estimés, ils ne sont déterminés qu’avec un bruit statistique et donc imparfaitement corrélés
17
Pour aller plus loin, voir Kahneman, p. 219‐225
Galton
Estimation des betas / biais de sélection
Revenons maintenant aux betas ajustés et à l’étude de Blume Le beta moyen étant de 1, la formule du beta ajustée: 2/3 betaestimé sur la période précédente + 1/3 x 1
On pourrait penser qu’il y a un problème statistique de même nature dans le phénomène de retour à la moyenne des Betas
Blume avait heureusement conscience de ce phénomène Il s’agit en fait de ce qu’on appelle un problème d’erreur sur la
variable explicative Qui tend à biaiser le coefficient reliant le beta d’une période au
beta de la période précédente Selon Blume, le phénomène subsiste même après les correctifs
adaptés Il n’y a bien sûr aucune raison pour que le coefficient 2/3 ne
dépende pas de la période d’estimation et du titre considéré
18
Estimation des betas / approche de Vasicek
« Adjusted Beta » (Vasicek) Vasicek, O. A. (1973). A NOTE ON USING
CROSS‐SECTIONAL INFORMATION IN BAYESIAN ESTIMATION OF SECURITY BETAS. The Journal of Finance, 28(5), 1233-1239.
L’idée est différente de celle de Blume Vasicek propose une approche bayésienne, selon laquelle, en
l’absence d’information, on suppose que le beta est égal à un L’estimateur du beta à partir de données historiques va être une
moyenne pondérée du beta estimé et du beta déterminé a priori Poids dépendant du degré de précision des beta estimé et a priori Comme dans le cas de Blume, on ne voit pas pourquoi, on en resterait
à des poids de 2/3 et 1/3 dans tous les cas de figure … http://www.stat.ucla.edu/~nchristo/statistics_c183_c283/vasicek_betas.pdf
http://guides.lib.byu.edu/content.php?pid=53518&sid=401576
19
O. Vasicek
Beta (ex-ante) d’un titre, d’un portefeuille
On s’intéresse maintenant aux rentabilités à venir et
, Beta (ex-ante) du titre i
Si augmente de %, augmente en moyenne de % Cov , covariance entre et variance de la rentabilité du portefeuille de marché : espérance de rentabilité du titre i et sont des variables aléatoires : on ne connaît pas les
rentabilités à venir
risque spécifique ou risque idiosyncratique du titre i De moyenne nulle Non corrélé avec
20
La théorie du marché du capital Risque de marché et risque idiosyncratique
Décomposition du risque associé à la rentabilité du titre i
D’où :
On a utilisé Var Var si a est constant.
risque spécifique ou idiosyncratique dû à des événements propres au titre 21
i i i M M iR E R E
Var Var Vari i i M M i i M iR E R E R
2 Cov , 0Var
Var Var 2Cov , Vari M ii M
i M i i M i M i i
RR
R R R
2 2 2
risque total risque de marché risque spécifique
Vari i M i ,Cov , 0 ?i ji j
Beta d’un actif sans risque, du portefeuille de marché, d’un portefeuille de deux titres
Actif sans risque ,
Portefeuille de marché ,
Beta d’un portefeuille de titres ,
, ,
22
1 21P X X Beta d’un portefeuille : moyenne pondérée des betas des titres le
constituant.Coefficients de pondération : fraction de la richesse investie dans chaque titre
Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)
Relation entre l’espérance de rentabilité d’un titre i et son Beta MEDAF : modèle d’évaluation des actifs financiers
: espérance de rentabilité (ou « rentabilité attendue ») du titre i
taux d’intérêt sans risque D’un placement dont l’écart-type du taux de rentabilité = 0
: espérance de rentabilité du portefeuille de marché : prime de risque (positive)
Le MEDAF établit une relation affine entre les betas des titres et leur espérance de rentabilité
23
Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)
Équation fondamentale du MEDAF MEDAF : Modèle d’Évaluation Des Actifs Financiers
Concerne tous les titres i Relie espérance de rentabilité, beta du titre, taux sans
risque et espérance de rentabilité du portefeuille de marché
24
i f i M fE R E R
prime de risque
i f i M fE R E R
risque de marché
prix de marché du risque
M fi f i M
M
E RE R
Seul le risque de marché est rémunéré
Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)
MEDAF : Modèle d’Évaluation Des Actifs Financiers CAPM : Capital Asset Pricing Model
Prime de risque :écart entre la rentabilité du portefeuille de marché et le taux sans risque
Dans l’équation , est le seul terme qui dépend du titre i.
25
du titre taux sans risque prime de risque
i f i M f
i
E R E R
i f i M fE R E R
Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)
Rappel : décomposition du risque d’un titre
Implications pour la stratégie des entreprises Le MEDAF donne la rentabilité attendue par les investisseurs Le risque spécifique non pris en compte par les investisseurs
Conglomérats, assurance de la part des entreprises, de la gestion des risques par les banques ?
26
risque de marché
prix de marché du risque
M fi f i M
M
E RE R
2 2 2
risque total risque de marché risque spécifique
Vari i M i
Pente de la CML
Seul le risque de marché est rémunéré
Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) /Security Market Line (SML) On se place dans un plan où le beta des portefeuilles
est porté en abscisse Pour la CML, c’est l’écart-type des rentabilités
L’espérance des rentabilités en ordonnées
27
Security Market Line
Beta des portefeuilles de titres
Espérance de rentabilité
Portefeuille de marchéActif sans
risque
Pente de la SML=
i f i M fE R E R
Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)
Relation entre l’espérance de rentabilité d’un titre i et son niveau de risque MEDAF : modèle d’évaluation des actifs financiers
Précise le risque à prendre en compte Uniquement le risque de marché Relation affine entre espérance de rentabilité et beta
Le Médaf va servir de critère pour l’évaluation : De la performance d’un titre De la performance d’un portefeuille de titres De la performance de projets d’investissement
28
Le modèle d’évaluation des actifs financiers
On va d’abord donner l’intuition du résultat fondamental,
En cherchant au préalable à indiquer pourquoi le risque spécifique n’est pas rémunéré Il « disparaît » dans les portefeuilles détenus par les investisseurs
Une démonstration rigoureuse est donnée en annexe Elle fait intervenir des raisonnements financiers et des résultats sur
les dérivées des fonctions La démonstration ne présente pas de difficulté particulière mais est
trop longue pour être présentée en amphi. Elle est recommandée pour ceux qui veulent poursuivre des études
en finance Elle ne fera pas l’objet de question au partiel
29
La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line)
La démonstration intuitive part de la décomposition des rentabilités
Où est associé au risque de marché et est le risque spécifique
Une première approche consiste à supposer que le risque spécifique est « diversifiable »
Si les ne sont pas corrélés entre eux, si leur variance est constante et si les différents titres sont équipondérés, la variance du risque spécifique du portefeuille tend vers 0 Quand le nombre de titres tend vers l’infini
Ce risque pouvant être éliminé par les investisseurs, il n’est demandé aucune prime de rentabilité pour ce risque
30
La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line)
Démonstration intuitive (suite) L’espérance de rentabilité du portefeuille
Est donc identique à celle du portefeuille
Ce second portefeuille est colinéaire au portefeuille de marché
Comme tous les portefeuilles situés sur la CML et combinant portefeuille de marché et actif sans risque Voir transparent suivant
On sait que pour un portefeuille sur la CML :
31
La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line)
Démonstration intuitive (suite)
Comme , Ce qui donne la relation annoncée
On notera que seul le beta du titre, et pas la volatilité de la rentabilité détermine l’espérance de rentabilité
Le raisonnement précédent a deux faiblesses Il suppose que les risques spécifiques sont peu corrélés entre eux Prenons l’exemple de Peugeot et de Renault : ce n’est pas le cas Même en l’absence de corrélation, les risques spécifiques ne
disparaissent que pour des portefeuilles comportant une infinité d’actifs
32
La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line)
Démonstration intuitive (suite) Le raisonnement précédent a deux faiblesses … Même en l’absence de corrélation, les risques spécifiques
ne disparaissent que pour des portefeuilles comportant une infinité d’actifs
Or le MEDAF vaut même pour un petit nombre d’actifs On peut améliorer le raisonnement intuitif en revenant à
l’équilibre des marchés financiers À l’équilibre les investisseurs ne demandent que de l’actif
sans risque et du portefeuille de marché La demande de risque spécifique est nulle Par ailleurs, l’offre agrégée de risques spécifiques est nulle
33
La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line)
On peut améliorer le raisonnement intuitif en revenant à l’équilibre des marchés financiers Par ailleurs, l’offre agrégé de risques spécifiques est nulle En effet (aux constantes près), ,
D’où Comme , et L’offre de risque spécifique est également nulle On peut donc « oublier » la présence de ce risque On remarque que l’équation montre que le
risque spécifique est plus que « diversifié » au niveau agrégé, il n’existe tout simplement pas.
34
La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line)
Rappel : portefeuilles sur la CML
35
P
PE
M
Titre i
Portefeuilles combinant i et M
Frontière efficiente des actifs risqués
ME
iE
fR
Mi
La CML représentée à droite est dans un plan (écart‐type, espérance)
Idée de la démonstration rigoureuse :
La courbe bleue représente les portefeuilles combinant le titre i et le portefeuille de
marché
Les courbes bleues et rouges sont tangentes en M
Voir transparents complémentaires en annexe
La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line)
Rentabilité d’un portefeuille de titres
Linéarité de l’espérance
MEDAF appliqué aux titres 1 et 2 :
D’où :
Ceci est cohérent avec Voir transparents sur la décomposition du risque
36
1 1 2 2,f M f f M fE R E R E R E R
1 21P f M f f M fE X R E R X R E R
1 21P f M fE R X X E R
Capital Market Line et Security Market Line
Les portefeuilles sur la CML sont constitués d’actif sans risque et de portefeuille de marché en quantité positive.
Remarques : Le risque spécifique au portefeuille RP est nul : Beta du portefeuille :
Lien entre espérance et écart-type des rentabilités pour les portefeuilles sur la CML
On retrouve directement la relation entre espérance et beta (SML)37
M FP F P
M
E RE R
1 , 1 0P F MR XR X R X
22 2=Var Var 1 1 1P P M M P MR X R X X
1P F M F F P M FE R X E R R E R
Security Market Line (SML) À l’équilibre, tous les titres et tous les portefeuilles de
titres devraient être situés sur la SML Les betas sont représentés sur l’axe des abscisses
38
Beta des portefeuilles de titres
Espérance de rentabilité
Portefeuille de marché
Actif sans risque
Security MarketLine
i
CML et SML : Récapitulatif et notations
Pour les portefeuilles situés sur la CML uniquement C’est-à-dire ceux qui combinent actif sans risque et portefeuille de
marché
Poly d’exercices
Pour tous les titres et tous les portefeuilles
Comme ,
est le risque de marché ( )
Poly d’exercices
39
La théorie du marché du capital mesures de performance
Alpha de Jensen À l’équilibre, tous les alpha devraient être nuls
40
Ji i f i M fE R E R
Alpha de Jensen négatif
Alpha de Jensen positif
L’alpha de Jensen est une mesure de la distance à la SML
Si , titre isous‐évalué.
Devrait être acheté
Michael Jensen
La théorie du marché du capitalmesures de performance
Indice de Treynor maximal pour les portefeuilles efficients
41
BEAE
A f
A
E R
B f
B
E R
Jack L. Treynor
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Rappel des notations i : titre de rentabilité
ou dans l’ouvrage de référence M : portefeuille de marché de rentabilité (ou ) : espérances de rentabilité du titre
i et du portefeuille de marché Variances et covariances
On rappelle que la rentabilité d’un portefeuille constitué d’actif sans risque et de portefeuille de marché dans les proportions et est égale à
42
2 2Var ,Var ,Cov ,i i M M i M iM i M iMR R R R C
Notation du livre
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Les portefeuilles efficients sont composés du placement sans risque et de portefeuille de marché : : constante (quantité non aléatoire), notée : constante noté
Considérons un titre de rentabilité Il est naturel de s’intéresser à l’écart entre la rentabilité de ce titre et
les portefeuilles sur la frontière d’efficience
Si le titre est sur la frontière efficiente, cet écart est nul Le titre est sur ou en-dessous de la frontière efficiente Comment mesurer cette « distance » ?
43
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Comment mesurer la « distance » entre et On considère l’écart entre les valeurs prises par les rentabilités
Pour différentes dates ou différentes valeurs possibles des rentabilités Comme on s’intéresse à la distance, il est logique de considérer la valeur
absolue | | La distance entre 2 et 3 est 1 et pas -1
Pour des raisons de simplicité mathématique, on choisit souvent des écarts quadratiques
→ est dérivable en 0, ce qui n’est pas le cas de → | |
On va ensuite pondérer ces écarts Par les probabilités d’occurrence des écarts
Approche prospective / utilisation de l’espérance / régression linéaire Par le nombre de dates où on observe un écart donné
Approche historique / écart quadratique moyen / moindre carrés ordinaires
44
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Régression linéaire : modalités et résultats
Utilisation du critère rentabilité du titre i, rentabilité du portefeuille de marché Quantité toujours positive ou nulle Nulle si
On va chercher de manière à réduire au maximum l’écart entre et ,
On trouve :
, Beta du titre
par rapport au portefeuille
On notera 45
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
, ∈
Ajustement de par une fonction affine de Conditions du premier ordre les dérivées du critère par rapport à et sont nulles
Dérivée par rapport à : Ce qui donne
46
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Combinons les résultats précédents :
Permet d’écrire
Il reste donc à minimiser en b :
On obtient un polynôme de degré 2 en b
Cov47
2 22i i M M i i M ME R E b E R E R E b E R E
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Valeur du coefficient de régression minimise
Le minimum s’obtient en dérivant par rapport à Cov
, ou avec les notations du livre
coefficient de régression de par rapport à
En finance, on parle de Beta du titre i et on le note
,
La référence au portefeuille de marché est implicite 48
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Avec : ,
« erreur », « résidu » En finance, risque spécifique ou risque
idiosyncratique. L’espérance du risque spécifique est nulle :
Démonstration : Partons de la première équation. égalité des variables aléatoires implique égalité des espérances
linéarité de l’espérance :
D’où la nullité de l’espérance du risque spécifique49
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Le coefficient de corrélation linéaire entre le risque idiosyncratique et la rentabilité du portefeuille de marché
est égal à 0. En d’autres termes, le risque spécifique est non corrélé avec et
d’espérance nulle C’est un « bruit »
Vérifions cette propriété à titre d’exercice D’après la définition du coefficient de corrélation
Il suffit de montrer que: ,
Ou, en revenant à la définition du risque spécifique, que :
50
constante
Cov , 0i i M i i M MR R E E R
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Cov Cov Cov
bilinéarité de la covariance covariance entre une variable aléatoire et une constante est
nulle Cov Cov car :
51
2
Cov , Cov ,Cov ,
i M i Mi
M M M
R R R RR R
constante
Cov , 0?i i M i i M MR R E E R
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
La régression linéaire fait intervenir des espérances mathématiques Au niveau de la fonction objectif
Au niveau des résultats
Comment déterminer des espérances mathématiques ?
52
2
,mina b i ME R a bR
22 2
Cov , i M i Mi Mi
M M M
i i i M
E R R E R E RR Rb
E R E R
a E R E R
Calcul des espérances de rentabilité de titres ? Rentabilité entre t et t+1 du titre i ,
, , ,
,
, variable aléatoire
Notations du livre : , ,
On cherche à évaluer
Mais aussi ,
Il faut calculer pour déterminer Utilisation d’observations passées des rentabilités
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
53
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Rentabilités courante et passées du titre i , , , ,
, rentabilités moyenne ou glissante
Calculée entre la date courante et la date
Intervalle de temps de longueur
Pour simplifier les notations, il n’est fait référence dans ni à la date courante, ni au nombre d’observations
De même, on peut calculer la rentabilité moyenne du portefeuille de marché
54
Rentabilité passées indice S&P500
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
La moyenne des rentabilités passées est une bonne approximation de l’espérance de la rentabilité sur la période à venir…
Quand la moyenne des rentabilités historiques est prise sur une « longue période » Plus précisément quand → ∞
Formellement → ,
Une des variantes de la loi des grands nombres Nombreuses hypothèses, pas forcément vérifiées!
55
1
, , 10
1 T
i i t n i tn
R R E RT
Logiciel R
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Sous certaines hypothèses sur les rentabilités , , , , ont la même loi de probabilité
Les lois de probabilité ne changent pas au cours du temps Rentabilités future, courante et passées non corrélées
Coefficients de corrélation entre rentabilités égaux à 0 Il s’agit des rentabilités du titre i à différentes périodes
Hypothèses facilement compréhensibles Quelques points de statistique sont laissés de côté
56
, 1 , 1Cov , 0, , 0, , 1, i t n i t mR R n m T n m
1
, , 10
1 T
i i t n i tn
R R E RT
Approximation de l’espérance par la
moyenne historique
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Revenons au problème de la régression linéaire
Approximation de l’espérance par la moyenne :
Estimation d’un modèle linéaire par la méthode des moindres carrés Les critères de l’espérance et de la moyenne historique étant
proches Les valeurs obtenues pour et seront proches Pour des grandes valeurs de
57
2
,mini i i i i ME R R
1 2
, , ,0
1minT
a b i t n M t nn
R a bRT
Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques
Deux approches complémentaires Droite caractéristique, moindres carrés
Ex-post, rentabilités historiques ou réalisées, rétrospectif (tourné vers le passé)
Données disponibles : calculs faciles, moyennes historiques
Régression linéaire Ex-ante, prospectif (tourné vers le futur) Ce qu’il faut pour la prise de décision Données non disponibles, espérance mathématique
Approche statistique « classique » universitaire Stationnarité : le futur reproduit le passé On peut alors utiliser les données passées pour estimer les données
ex-ante Statistique inférentielle
58
Validation empirique du MEDAF
Dans notre approche, les rentabilités des investissements sont aléatoires
Leurs lois de probabilités ne changent pas au cours du temps
“I, at any rate, am convinced that Hedoes not throw dice.” Albert Einstein, 1926
59
A. Einstein (1921)
Niels Bohr
Einstein, stop telling God what to do!”
Niels Bohr
Estimation des écart-types des rentabilités
Bloomberg fournit d’autres informations sur les titres notamment des mesures de l’écart-type des taux de rentabilité Approches historiques, basées sur des moyennes glissantes
Comme pour les espérances de rentabilité
Approches prospectives Utilisant les prix des options financières qui dépendent de la
volatilité future telle que perçue par les opérateurs de marché
On donnera également un aperçu d’autres méthodes couramment utilisées pour évaluer ces écart-types Bourses : calcul de dépôts de garantie ou marges initiales Banques : mise à l’échelle des données pour l’évaluation des
risques de marché (Value at Risk)
On donne alors plus de poids aux observations récentes
60
Estimation des écart-types des rentabilités
Volatilité de l’action Disney
61
Périodicité hebdomadaireVolatilités glissantesPlusieurs longueurs de
fenêtres10, 30, 50, 100 semainesPlus grande stabilité
temporelle avec des longues fenêtres
Ici, écart‐type des rentabilités de l’ordre de 28% À droite, volatilités
déterminés à partir des marchés d’options
Source Bloomberg
Estimation des écart-types des rentabilités
Volatilité ou écart-type de la rentabilité d’un titre rentabilité aléatoire espérance de rentabilité écart-type (ou volatilité) de la rentabilité
Utilisation de données historiques pour déterminer Comme pour la détermination des Beta Ou de l’espérance de rentabilité (rappel)
∑ → rentabilité observée à la date moyenne empirique (ou historique) des volatilités
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Estimation des écart-types des rentabilités
On peut définir une volatilité historique
Avec les mêmes hypothèses que précédemment
Plusieurs périodicités peuvent être envisagées pour Quotidienne, hebdomadaire, mensuelle, … Fenêtres glissantes, …
Moyennes pondérées (Lissage exponentiel, filtrage) EWMA : Exponential Weighted Moving Average
Couramment utilisé pour la prévision de la volatilité (JP Morgan)
: facteur d’amortissement (decay factor)
Estimation ponctuelle : 63
Estimation des écart-types des rentabilités
L’approche EWMA a pour effet de donner plus de poids aux observations récentes
Elle va de pair avec l’idée que les volatilités fluctuent au cours de temps La volatilité n’est plus alors un paramètre (constant) L’approche EWMA va avoir pour objet de déterminer la
volatilité aujourd’hui Dans ce cas comme quand on utilise des périodes
d’estimation glissantes pour les betas, on ne pense pas que les « paramètres » du modèle restent constants au cours du temps
Le futur ne reproduit pas nécessairement le passé qui est « mouvant »
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