Download - SANDY S. PRAYOGO, ST., MT
SANDY S. PRAYOGO, ST., MT.
1. Deret Fourier§ 1.1. Fungsi Periodik
§ 1.2. Fungsi Genap dan Ganjil,
§ 1.3. Deret Trigonometri,
§ 1.4. Bentuk umum Deret Fourier,
§ 1.5. Kondisi Dirichlet,
§ 1.6. Deret Fourier sinus atau cosinus separuh jangkauan.
2. Integral Fourier
§ 3.1. Fungsi Gamma
§ 3.2. Fungsi Beta
§ 3.3. Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta
4. Transformasi Laplace § 4.1. Definisi dan sifat Transformasi Laplace
§ 4.2. Invers dari transformasi Laplace
§ 4.3. Teorema Konvolusi
§ 4.4. Penerapan transformasi Laplace dalam penyelesaian P. D. dengan syarat batas.
UTS
UAS
Grafik fungsi gamma,
fungsi gamma Γ(n), merupakan ekstensi atau perluasan dari fungsi faktorial,
dengan argumennya digeser turun oleh 1, ke bilangan real dan kompleks.
Γ(n) = (n−1)!
Fungsi gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks, kecuali
bilangan bulat negatif dan nol.
Untuk bilangan kompleks yang bagian realnya positif, fungsi gamma
terdefinisi melalui sebuah integral takwajar (improper integral) yang
konvergen:
Γ(n) = t z−1e− t dt0
∞
∫
Improper integral limit form,
Konvergen untuk n > 0
Γ(n) = t z−1e− t dt0
∞
∫ = limb→∞
xn−1e− x dx0
b
∫
Contoh: Γ(1) = x1−1e− x dx0
∞
∫ =
= limb→∞
x1−1e− x dx0
b
∫
= limb→∞
e− x dx0
b
∫= limb→∞
−e− x⎡⎣ ⎤⎦0b= limb→∞
−e−b + e0⎡⎣ ⎤⎦
= −1e∞
+1= 0+1= 1
Soal: Γ(2) = x2−1e− x dx0
∞
∫ =
Jawab: Γ(2) = x2−1e− x dx0
∞
∫ =
= limb→∞
xe− x dx0
b
∫= limb→∞
x.− e− x +1.e− x⎡⎣ ⎤⎦
= limb→∞
−x.e− x +1.e− x⎡⎣ ⎤⎦0b
= limb→∞
−b.e−b + e−b( )− 0+ .e0( )⎡⎣
⎤⎦
= limb→∞
−b+1eb
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ − limb→∞
1⎡⎣ ⎤⎦ = 1
Rumus Rekursi dari Fungsi Gamma
Contoh,
Γ(n+1) = nΓ(n)dimana Γ(1) = 1
Γ(2) = Γ(1+1) = 1.Γ(1) = 1Γ(3) = Γ(2+1) = 2.Γ(2) = 2.1= 2Γ(4) = Γ(3+1) = 3.Γ(3) = 3.2 = 6Γ(3 / 2) = Γ( 12 +1) = 1
2 .Γ( 12)
n bilangan bulat
Contoh,
1.
2.
3.
Γ(n+1) = n!
Γ(2) = Γ(1+1) = 1!Γ(3) = Γ(2+1) = 2!Γ(4) = Γ(3+1) = 3!
Soal,
Γ(6) =Γ(5)
Γ(3) =
Γ(7)3Γ(4) =
n bilangan pecahan positif
dimana 0<α<1
Contoh
Γ(n) = (n−1).(n− 2)...aΓ(a)
Γ( 32) = 12Γ( 12)
Γ( 52) = 32 . 12 .Γ( 12)
Γ(113 ) = 83 . 53 . 2 3 Γ( 23 )
n bilangan pecahan negatif
dimana 0<α<1
Contoh
Γ(n) = Γ(n+1)n
Γ − 32( ) = Γ − 3
2 +1( )− 32
=Γ − 1
2( )− 32
=Γ − 1
2 +1( )− 32 .− 1
2
=Γ 1
2( )34
= 43Γ 1
2( )
Soal
Γ − 52( ) = Γ − 5
2 +1( )− 52
=Γ − 3
2( )− 52
=Γ − 3
2 +1( )− 52 .− 3
2
=Γ − 1
2( )154
=Γ − 1
2 +1( )154 .− 1
2
=Γ 1
2( )− 158
= − 158 .Γ 1
2( )
Beberapa hubungan dalam fungsi gamma
Γ 12( ) = π
Γ n( ) = (n−1)!Γ n( ) = Γ n+1( )
n
Γ n( )Γ 1− n( ) = πsinnπ
Soal
Γ 52( )
Γ − 12( ) Γ − 1
2( )Γ 1
2( )
Γ 52( )
Γ 12( )
Γ 3( )Γ 2.5( )Γ 5.5( )
6Γ 83( )
5Γ 23( )
Dinyatakan dalam bentuk,
Dimana m > 0, dan n > 0
B(m,n) = xm−1(1− x)n−1 dx0
1
∫
HUBUNGAN Fungsi Beta dengan Fungsi Gamma
B(m,n) = Γ(m).Γ(n)Γ(m+ n)
Soal
B(3,5) =B(5,2) =B( 13 , 2 3 ) =B( 32 ,2) =