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Scambio termico per convezione
La convezione forzata
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Equazione di Newton
v∞TsT∞
Ts >T∞
*q
( )∞−⋅⋅= TTAhq sc
( )∞−⋅= TThq sc*
Equazione di Newton
Flusso
Flusso specifico
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FenomenologiaIl meccanismo di scambio termico convettivo risulta, di fatto, generato da due meccanismi che operano insieme:
• Un primo apporto è legato alla conduzione;
• Un secondo apporto è legato al moto del fluido.
v∞TsT∞
Ts >T∞
q *
( )∞−⋅= TThq sc*
massaditrasportoqq kc += **
),,,.,,,( , Tvgeomcfh ffffp μρλ ∞=
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Moto del fluido: lastra piana
strato limitelaminare
regionedi
transizione
xc
v∞
x
v(x,y)
strato limiteturbolento
zona turbolenta
buffer layer
sottostrato laminare
Valutiamo più nel dettaglio questa zona…
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Moto del fluido: lastra piana
v∞
δ(x)
v(x,y)
x
yv∞
Bordo d’attacco
Caratteristiche strato limite laminare
Spessore strato laminare
Profili di velocità nello strato laminare a diverse distanze dal bordo d’attacco
Profilo di velocità dello strato limite oltre il quale il fluido assume la velocità v∞
Velocità di fluido indisturbato
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Moto del fluido: lastra piana
strato limitelaminare
regionedi
transizione
xc
v∞
xv(x,y)
strato limiteturbolento
zona turbolenta
buffer layer
sottostrato laminare
Chi determina la transizione dei vari strati?
La transizione è strettamente collegata all’effetto di due diverse tipologie di forze:
• le forze d’inerzia;
• le forze viscose.
A seconda che predomini l’una sull’altra è possibile avere un moto laminare o un moto turbolento.
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Moto del fluido: lastra piana
strato limitelaminare
regionedi
transizione
xc
v∞
xv(x,y)
strato limiteturbolento
zona turbolenta
buffer layer
sottostrato laminare
Sembra allora conveniente fare un confronto tra queste due forze in gioco, in particolare andremo a definire il loro rapporto:
viscoseFFinerzia
Tendono ad accelerare il fluido
Tendono a rallentare il fluido
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Moto del fluido: lastra piana
strato limitelaminare
regionedi
transizione
xc
v∞
xv(x,y)
strato limiteturbolento
zona turbolenta
buffer layer
sottostrato laminare
evis
inerzia
FF
cos νL⋅∞v
Lunghezza della lastra [m]
Viscosità cinematica [m2/s] ρμ
=νViscosità dinamica [Paּs]
0
v
=
⋅=ydy
dμτ
Proprietà del mezzo che lega linearmente sforzo tangenziale e gradiente di velocità
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Moto del fluido: lastra piana
strato limitelaminare
regionedi
transizione
xc
v∞
xv(x,y)
strato limiteturbolento
zona turbolenta
buffer layer
sottostrato laminare
νL⋅∞v
ρμν = μ
ρ⋅⋅∞ Lv Per come abbiamo definito questo numero (rapporto tra due forze), esso è una quantità adimensionale che chiamiamo:
NUMERO DI REYNOLDS (Re)
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Moto del fluido: lastra piana
strato limitelaminare
regionedi
transizione
xc
v∞
xv(x,y)
strato limiteturbolento
zona turbolenta
buffer layer
sottostrato laminare
μρ⋅⋅
= ∞ LvReEsiste, per ogni geometria, un Reynolds particolare, detto Reynolds critico, oltre il quale il moto è turbolento; mentre per valori inferiori ad esso il moto è laminare.
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Moto del fluido: lastra piana
strato limitelaminare
regionedi
transizione
xc
v∞
xv(x,y)
strato limiteturbolento
zona turbolenta
buffer layer
sottostrato laminare
Nel caso della lastra piana la lunghezza per la quale avremo il Reynolds critico viene definita lunghezza critica (xc).
Rec ≅ 5 ⋅105 Noto questo valore insieme alle altre caratteristiche fisiche del fluido in moto sopra la lastra si può calcolare la lunghezza caratteristica.
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Moto del fluido: lastra piana
strato limitelaminare
regionedi
transizione
xc
v∞
xv(x,y)
strato limiteturbolento
zona turbolenta
buffer layer
sottostrato laminare
Se la lunghezza della lastra è tale che il Rec raggiunge e supera significativamente il valore limite di 3,5ּ105 si avrà la transizione a moto turbolento
Se la lastra non è sufficientemente lunga da raggiungere il valore critico di Re si avrà solamente il regime laminare, non seguito da regime turbolento
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Moto del fluido: lastra piana
T∞
T (x,y)
v∞
v(x,y)
T∞
v∞
δ(x) δt(x)x
y
Ts
Analogamente allo strato limite della velocità è definibile lo STRATO LIMITE TERMICO.
Si vuole identificare la zona del fluido che risente del fatto che la lastra è a una temperatura diversa da quella del fluido indisturbato.
Al di fuori dello strato limite termico il flusso è praticamente isotermo.
All’interno dello strato limite termico il profilo della temperatura ha gradienti significativi.
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Natura del fluidoLa tipologia di fluido che, interagendo con il solido, determina la convezione, è indicato mediante un determinato paramento che ne mette in evidenza le caratteristiche termofisiche.
NUMERO DI PRANDTL
λρ
ρμ pc⋅⋅=Pr
λμ pc⋅
=Pr
Viscosità cinematica
Inverso della diffusività termica aν
=Pr
termicamolecolareàdiffusivitmotodiquantitàdellamolecolareàdiffusivit
=Pr
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Natura del fluido
termicamolecolareàdiffusivitmotodiquantitàdellamolecolareàdiffusivit
=Praν
=Pr
La viscosità cinematica esprime come si diffonde a livello molecolare la quantità di moto.
aν
=Pra è la caratteristica del fluido a far diffondere la potenza termica per conduzione all’interno del sistema.
GAS 1Pr ≈ Il trasporto di energia termica e di quantità di moto sono confrontabili
LIQUIDI
METALLI LIQUIDI
Il trasporto di quantità di moto è maggiore di quello di energia termica.
Il trasporto di energia termica è maggiore di quello di quantità di moto
1Pr >>
1Pr <<
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Scambio termico
strato limitelaminare
regionedi
transizione
xc
v∞
xv(x,y)
strato limiteturbolento
zona turbolenta
buffer layer
sottostrato laminare
Le considerazioni che faremo riguardo allo scambio termico vengono effettuate prendendo in esame questa zona di fluido, nella quale è possibile fare la seguente posizione:
**ck qq =
Tale posizione è valida se consideriamo il sistema al caso stazionario e se prendiamo in esame la zona evidenziata per la quale vale la relazione v = 0 m/s per il fluido a contatto con la parete.
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Scambio termico
Fluido fermo a contatto con la parete
Primo strato di fluido in moto
qk*qc*
0
*
=
⋅−=y
fk dydTq λ
Ts
y
x
( )∞−⋅= TThq sc*
0=∞
⋅−
−=ys
f
dydT
TTh
λ
0=∞
⋅−
−=⋅
ysf dydT
TTHHh
λ
H
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Il Numero di Nusselt
0=∞
⋅−
−=⋅
ysf dydT
TTHHh
λ 0=∞
⋅−
−=ys dy
dTTT
HNu
Ponendo quindi:
∞
∞
−−
=TTTyTT
s
)(*
Hyy =* 0
*
*
*=
−=y
dydTNu
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Il Numero di Nusselt
Il numero di Nusselt può essere ulteriormente sviluppato ed approfondito, evidenziando la seguente uguaglianza:
*
*
k
c
qqNu =
( )( )
HTTTThNu
s
s
∞
∞
−⋅−⋅
= λ
1≥⋅
=f
HhNuλ
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Determinazione del numero di Nusselt
0=∞
⋅−
−=ys dy
dTTT
HNu
Tengo fisse le seguenti grandezze:
• V∞;
• L (lunghezza della lastra);
• Pr.
Tutto ciò può essere riassunto dicendo che rimangono costanti:
• il numero di Reynolds;
• il numero di Prandtl
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Determinazione del numero di Nusselt
x1
y
x
V∞
Sperimentalmente fissato un x1 lungo l’asse delle ascisse sulla lastra, vado a misurare, medianti opportuni dispositivi (termocoppie, tecniche interferometriche non invasive…), le temperature nei punti evidenziati.
Avrò quindi, a partire dalla temperatura della piastra che è nota, una serie di temperature che decresceranno a mano a mano che mi allontano dalla parete fino a raggiungere il valore della temperatura del fluido indisturbato.
H
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Determinazione del numero di Nusselt
L’analisi così condotta mi permette di fare un grafico della distribuzione di temperatura nello strato di fluido di altezza H.
T
y
Ts
T∞
Con i punti misurati sperimentalmente vado a costruire una curva interpolante che chiamo T(y).Facendo quindi la derivata in y=0 della funzione T(y), riesco a calcolarmi il valore del Nusselt locale, ossia che vale per x=x1
T=f(y)
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Determinazione del numero di Nusselt
y
xx1
V∞
H
x2 x3
Ripetendo quindi lo stesso procedimento per altri valori della x come mostrato in figura riesco a calcolarmi tanti numeri di Nusselt locali distribuiti lungo tutta la lunghezza L della lastra piana.A questo punto passo alla costruzione di un grafico in cui:• lungo l’asse delle ascissa ho la coordinata x che mi individua la posizione lungo la lastra piana;• lungo l’asse delle ordinate ho i numeri di Nusselt locali calcolati alle rispettive x.
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Determinazione del numero di Nusselt
Nux
x
Nux =f(x)
x1 x2 x3 xn=L
∫⋅=L
dxxNuL
Nu0
)(1
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Determinazione del numero di Nusselt
∫⋅=L
dxxNuL
Nu0
)(1
Così facendo ho calcolato il Nusselt medio lungo la lastra piana per un determinato numero di Reynolds ed un determinato numero di Prandtl.Posso ora procedere variando il numero di Reynolds e riconducendo l’analisi sperimentale appena descritta.Questo potrò costruire un nuovo grafico con, in ascissa in numeri di Reynolds testati, ed in ordinata, i numeri di Nusselt medi calcolati per i rispettivi Re.
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Determinazione del numero di Nusselt
Re1 Re2 Re3 RenRe
Nu
La relazione ottenuta sarà del tipo:
baNu Re⋅=
valida per un determinato numero di Prandtl, ossia per un determinato fluido.
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Determinazione del numero di Nusselt
Se, infine, testo diversi fluidi con le stesse modalità descritte, posso ottenere la relazione sperimentale completa del tipo:
cbaNu PrRe ⋅⋅=
Noto così il numero di Nusselt è possibile ottenere il coefficiente di scambio termico convettivo mediante la formula:
HNu
h fλ⋅=
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Scambio termico per convezione
La convezione naturale
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Fenomenologia
v=0 v∞=0
Ts T∞T(x,y)
v(x,y)
y
g F
x
elementodi fluido
Si parla di CONVEZIONE NATURALE o LIBERA quando il campo di moto è determinato dall’effetto di variazioni di densità in seno al fluido, prodotte da gradienti termici, in presenza di un campo di forze di massa.
Il caso più frequente, che sarà qui considerato, è quello in cui il campo di forze è quello gravitazionale.
La risultante tra la forza di galleggiamento e la forza peso determina l’andamento del moto. Il moto è verso l’alto o il basso a seconda che il fluido lambisca un corpo a temperatura maggiore o minore.
Il moto tende pertanto ad avvenire in direzione verticale.
Un fluido riscaldato tende a muoversi verso l’alto; se è raffreddato verso il basso
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Fenomenologia
Ts>T∞
v
T∞
Ts
lam
inar
e
g
turb
olen
to Nella CONVEZIONE FORZATA la velocità è una variabile INDIPENDENTE.
Nella CONVEZIONE NATURALE il campo di velocità dipende SOLTANTO da quello termico e NON è quindi è una variabile INDIPENDENTE.
La velocità dipende da:
• la differenza di temperatura (Ts-T∞);
• il modulo della accelerazione di gravità (g);
• il coefficiente di dilatazione cubica del fluido (β).
β dà un’idea di come vari il volume specifico, e quindi la densità, in relazione a sollecitazioni termiche a pressione costante.
pp T1
Tv
v1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂ρ∂
ρ−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=βGas ideale [ ]-1K 1
T=β
Quanto maggiore è il suo valore, più pronunciata, a parità di altre condizioni, è la convezione naturale.
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Fenomenologia
v=0 v∞=0
Ts T∞T(x,y)
v(x,y)
yFp
Fg
x
elementodi fluido
Facciamo l’equilibrio delle forze in gioco:
pg FFR −=
elemelemfluidofluido VgVgR ⋅⋅−⋅⋅= ρρ
( ) elemelemfluido VgR ⋅−= ρρ
Quindi la forza che determina il moto è proporzionale alla variazione di densità.
Nel nostro caso da cosa è determinata questa variazione?
pp T1
Tv
v1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂ρ∂
ρ−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=βpT⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ΔΔ
−=ρ
ρβ 1
TΔ⋅⋅−=Δ ρβρ
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Fenomenologia
Ts>T∞
v
T∞
Ts
lam
inar
e
g
turb
olen
to
T s <T ∞
v
T∞
Ts
lam
inar
e
g
turb
olen
to
All’interno dello strato limite la velocità è nulla a contatto della lastra, ed è nulla all’estremità opposta dello strato limite.
Al di fuori dello strato limite il campo di moto non risente della presenza della lastra.Se la lastra è sufficientemente estesa nella direzione del flusso, il regime di moto, inizialmente LAMINARE per gli effetti viscosi presenti, diventa instabile e passa a TURBOLENTO, caratterizzato dalla presenza di vortici che causano mescolamenti estesi, macroscopici, delle particelle di fluido.
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Fenomenologia
Ts>T∞
v
T∞
Ts
lam
inar
e
g
turb
olen
to Nella CONVEZIONE FORZATA la velocità è una variabile INDIPENDENTE.
Nella CONVEZIONE NATURALE il campo di velocità dipende SOLTANTO da quello termico e NON è quindi è una variabile INDIPENDENTE.
La velocità dipende da:
• la differenza di temperatura (Ts-T∞);
• il modulo della accelerazione di gravità (g);
• il coefficiente di dilatazione cubica del fluido (β).
β dà un’idea di come vari il volume specifico, e quindi la densità, in relazione a sollecitazioni termiche a pressione costante.
pp T1
Tv
v1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂ρ∂
ρ−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=βGas ideale [ ]-1K 1
T=β
Quanto maggiore è il suo valore, più pronunciata, a parità di altre condizioni, è la convezione naturale.
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Fenomenologia
v=0 v∞=0
Ts T∞T(x,y)
v(x,y)
yFp
Fg
x
elementodi fluido
Facciamo l’equilibrio delle forze in gioco:
ga FFR −=
elemfluidoelemelem VgVgR ⋅⋅−⋅⋅= ρρ
( ) elemfluidoelem VgR ⋅−= ρρ
Quindi la forza che determina il moto è proporzionale alla variazione di densità.
Nel nostro caso da cosa è determinata questa variazione?
pp T1
Tv
v1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂ρ∂
ρ−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=βpT⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ΔΔ
−=ρ
ρβ 1
TΔ⋅⋅−=Δ ρβρ
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Fenomenologia
v=0 v∞=0
Ts T∞T(x,y)
v(x,y)
yFp
Fg
x
elementodi fluido
( ) elemfluidoelem VgR ⋅−= ρρ
TΔ⋅⋅−=Δ ρβρ
TR Δ∝Δ∝ ρ
Quindi ancora una volta abbiamo dimostrato che il motore dello scambio termico, in questo caso la convezione naturale, è la differenza di temperatura.
( ) elemfluidoelem VgR ⋅−= ρρ elemVgR ⋅⋅Δ= ρ
elemVTgR ⋅⋅Δ⋅⋅−= ρβ
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Gruppi adimensionali
Ts>T∞
v
T∞
Ts
lam
inar
e
g
turb
olen
to Nella CONVEZIONE FORZATA il campo di moto viene messo in conto attraverso la velocità v; in particolare attraverso le forze d’inerzia.
Nella CONVEZIONE NATURALE alla velocità si sostituisce il gruppo:
Tg Δ⋅β⋅ Forza di galleggiamento
Al NUMERO DI REYNOLDS nella convezione forzata sostituiamo il numero di Grashof:
μρ L⋅⋅
=vRe ( )
2
3LTgGrν
Δ⋅β⋅=
evisForzeentogalleggiamdiForzeGr
cos=
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Gruppi adimensionali
Ts>T∞
v
T∞
Ts
lam
inar
e
g
turb
olen
to Con considerazioni analoghe a quelle già viste nella convezione forzata, la relazione per il calcolo del numero di Nusselt (necassario per ottenere il coefficiente di scambio termico convettivo), sarà del tipo:
Nu=f(Gr,Pr)
Le velocità associate alla convezione naturale sono di norma molto basse (raramente superano i 2 m/s).
I valori di h sono quindi, di norma, molto più bassi di quelli riscontrabili nella convezione forzata.
cbGraNu Pr⋅⋅=
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Gruppi adimensionali
Ts>T∞
v
T∞
Ts
lam
inar
e
g
turb
olen
to Altro gruppo adimensionale molto usato nella convezione naturale è il NUMERO DI RAYLEIGH:
( ) ( )λμβρ
λμ
μβρ
⋅
Δ⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅
Δ⋅⋅⋅=⋅=
32
2
32
PrLTgccLTgGrRa pp
Per cui la relazione sperimentale diventa:
Nu= a1 ⋅Rab1
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Esempi Convezione ForzataConvezione forzata: Lastra piana
cbaNu PrRe ⋅⋅=
Rec ≅ 5 ⋅105
μρ⋅⋅
= ∞ LvRe
Re = v∞ ⋅Lν
T∞
T (x,y)
v∞
v(x,y)
T∞
v∞
δ(x) δt(x)x
y
Ts
Poiché la temperatura nello strato limite varia da Ts a T∞ leproprietà del fluido vengono valutate alla temperatura media
Tm =Ts +T∞
2
λμ pc⋅
=Pr
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Attrito
T∞
T (x,y)
v∞
v(x,y)
T∞
v∞
δ(x) δt(x)x
y
Ts
Il coefficiente di attrito Cx come il coefficiente di scambio termico convettivo h variacon la distanza x dal bordo di attacco. Il valore medio si determina con:
Cf =1L
Cf ,xX=0
x=L
∫ ⋅dx Permette di calcolare la forza di trascinamento
Fτ =Cf ⋅A⋅ρ ⋅V∞
2
2N
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Caso: Flusso Laminare
Se il numero di Reynolds è minore del Rec per tutta la lastra allora il moto laminare siestende per tutta la lunghezza L della stessa e Reynolds verrà indicato con ReL.Diversamente il moto la minare si estende per una lunghezza inferiore e Reynoldsverrà indicato con Rex; questo caso verrà affrontato più avanti.
Cf =1,328 ⋅ReL−1/2
Rec ≅ 5 ⋅105
Nu= 0, 664 ⋅ReL1/2 ⋅Pr1/3
Le correlazioni che verranno indicate si riferiscono ad una lastra isoterma; possono essere applicate anche se la temperatura non è proprio uniforme. In questo caso va considerata la temperatura media della lastra.
Valida per Re < Rec e Pr ≥ 0, 6
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Caso: Flusso Turbolento
Cf = 0, 074 ⋅ReL−1/5
Re ≥ Rec
Nu= 0, 037 ⋅ReL4/5⋅Pr1/3 Valida per
Valida per 5 ⋅105 ≤ ReL ≤107
5 ⋅105 ≤ ReL ≤107
0, 6 ≤ Pr ≤ 60
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Caso: Flusso Laminare e Turbolento
Cf = 0, 074 ⋅ReL−1/5−1742 ⋅ReL
Rec = 5 ⋅105
Nu= 0, 037 ⋅ReL4/5−871( ) ⋅Pr1/3 Valida per
Valida per 5 ⋅105 ≤ ReL ≤107
5 ⋅105 ≤ ReL ≤107
0, 6 ≤ Pr ≤ 60
In alcuni casi la lunghezza della lastra piana risulta tale da produrre un flussoturbolento senza, però poter trascurare la parte interessata da flusso laminare. Inquesto caso i valori medi del coefficiente di attrito e del numero di Nusselt siottengono per somma delle integrazione della parte di flusso laminare più la parte delflusso turbolento.
Le correlazioni fornite dipendono dal valore del Rec ; Nel nostro caso si ipotizza:
I valori medi valgono per l’intera lunghezza L della lastra
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Caso: Lastra Piana a Flusso Termico Costante
Se la lastra piana anziché essere a temperatura costante è sottoposta a flussotermico uniforme i numeri di Nusselt sono dati dalle correlazioni:
Nu= 0, 453⋅Re1/2⋅Pr1/3Moto Laminare
Moto Turbolento Nu= 0, 0308 ⋅Re0,8 ⋅Pr1/3
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Convezione Forzata. Modo di Procedere
Determinare la Temperatura media Tm per valutare le proprietà termofisiche delfluido
Determinare le proprietà termofisiche del fluido a Tm
Determinare il ReL e confrontarlo con il Rec in modo da stabilire il regime di moto
Trovare le correlazioni adatte
Determinare i valori medi del Coefficiente di attrito e del Numero di Nusselt
Determinare il flusso termico specifico o il flusso termico scambiato perconvezione e la forza di trascinamento
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Esempio 1
Un olio lubrificante non usato alla temperatura di 30°C, scorre con una v∞ di 3 m/ssopra una lastra piana lunga L = 6 m e larga b = 1 m e la cui temperatura è di 80°C.Si calcoli il flusso termico scambiato e la forza di trascinamento
Calcolo della Tm Tm = 55°C
Calcolo delle proprietà termofisiche del fluido: Bibliografia Tab. A.18
T (°C) ρ (kg m-3) λ (W m-1 k-1) ν (m2 s-1) Pr
40 876 0,144 2,420E-04 287055 867 0,141 1,234E-04 150560 864 0,140 8,390E-05 1050
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Esempio 1
Calcolo del Numero di ReL
Correlazioni per valide per il moto laminare e per il nostro numero di Pr = 1505
ReL =v∞ ⋅Lν
= 3⋅61, 234 ⋅10−4 =1, 459 ⋅105
ReL < Rec
Regime di moto Laminare
Cf =1,328 ⋅ReL−1/2 Nu= 0, 664 ⋅ReL
1/2 ⋅Pr1/3 ReL < Rec e Pr ≥ 0, 6
Cf =1,328 ⋅ 1, 459 ⋅105( )−1/2 Cf = 3, 477 ⋅10−3
per
Fτ =Cf ⋅A⋅ρ ⋅V∞
2
2Fτ = 3, 477 ⋅10−3 ⋅ 6 ⋅1( ) ⋅ 867 ⋅32
2= 81,39 N
Calcolo di Cf e Fτ
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Esempio 1
Calcolo del Numero di Nu medio
Nu= 0, 664 ⋅ReL1/2 ⋅Pr1/3 ReL < Rec e Pr ≥ 0, 6per
Nu= 0, 664 ⋅ReL1/2 ⋅Pr1/3 = 0.664 ⋅ 1, 459 ⋅105( )0,5
⋅ 1505( )1/3 = 2, 907 ⋅103
Nu= h ⋅Lλ
h= Nu⋅ λL
h= 2,907 ⋅103⋅ ⋅0,1416
= 68,30 Wm2 ⋅K
q* = h⋅ TS −T∞( ) = 68,30 ⋅50 = 3415 Wm2
Calcolo del flusso
q= q* ⋅A= 3415 ⋅ 6 ⋅1( ) = 20490 W
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Esempio 2
Un flusso d’aria alla temperatura di 16°C e alla pressione P≅ 101 kPa, scorre conuna v∞ di 2 m/s sopra una lastra piana lunga L = 3 m e larga b = 1 m e la cuitemperatura è di 58°C. Si calcoli il flusso termico scambiato e la forza ditrascinamento
Calcolo della Tm Tm = 37°C = 310 K
Calcolo delle proprietà termofisiche del fluido: Bibliografia Tab. A.19
T ρ λ ν Pr(K) (kg m-3) (W m-1 k-1) (m2 s-1)
310 1,143 0,0268 1,67E-05 0,712
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Esempio 2
Calcolo del Numero di ReL
Correlazioni per valide per il moto laminare per Rec = 5 105
ReL =v∞ ⋅Lν
= 2 ⋅31, 67 ⋅10−5 = 3, 593⋅105
ReL < Rec
Regime di moto Laminare
Cf =1,328 ⋅ReL−1/2 Nu= 0, 664 ⋅ReL
1/2 ⋅Pr1/3 ReL < Rec e Pr ≥ 0, 6
Cf =1,328 ⋅ 3, 593⋅105( )−1/2 Cf = 2, 216 ⋅10−3
per
Fτ =Cf ⋅A⋅ρ ⋅V∞
2
2Fτ = 2, 216 ⋅10−3 ⋅ 3⋅1( ) ⋅1,143⋅22
2=1, 519 ⋅10−2 N
Calcolo di Cf e Fτ
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Esempio 2
Calcolo del Numero di Nu medio
Nu= 0, 664 ⋅ReL1/2 ⋅Pr1/3 ReL < Rec e Pr ≥ 0, 6per
Nu= 0, 664 ⋅ReL1/2 ⋅Pr1/3 = 0.664 ⋅ 3,593 ⋅105( )0,5
⋅ 0, 712( )1/3 = 3, 554 ⋅102
Nu= h ⋅Lλ
h= Nu⋅ λL
h= 3, 554 ⋅102⋅ ⋅0, 7123
= 84,35 Wm2 ⋅K
q* = h ⋅ TS −T∞( ) = 84,35 ⋅ 42 = 3543 Wm2
Calcolo del flusso
q= q* ⋅A= 3415 ⋅ 3⋅1( ) =10628 W
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Esempio 3
Si consideri un’abitazione mantenuta a temperatura costante e pari 22°C. Sulla parete di tamponamento cisono tre finestre ciascuna alta h= 1,5 m e larga L = 1,2 m. Le finestre sono a vetro singolo (λv = 0,78 W m-1 K-1)dello spessore di 0,5 cm. Il coefficiente di scambio termico convettivo all’interno dell’ambiente sia hi = 8 W m-2 K-
1, quello esterno sia he = 10 W m-2 K-1 e la temperatura esterna Te = - 2 °C. Ora comincia a soffiare un vento a60 km/h, si determini il flusso disperso attraverso le tre finestre.
Calcolo della temperatura della superficie del vetro nelle condizioni iniziali
q* = Ti −Te
1hi
+ sλv
+ 1he
q* = 22+ 20,125+ 0, 006+ 0,1
≈104 Wm2
Tsv =Ti −q* 1hi
+ sλv
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 22−104 ⋅ 0,125+ 0, 006( ) = 8, 4°C = 281, 4K
Nelle condizioni iniziali le tre finestre disperdono q= q* ⋅A⋅3=104 ⋅1,8 ⋅3 ≈ 562W
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Esempio 3
Calcolo della TmTm = 3,32°C = 276,5K
Calcolo delle proprietà termofisiche del fluido: Bibliografia Tab. A.19
T ρ λ ν Pr(K) (kg m-3) (W m-1 k-1) (m2 s-1)
250 1,413 0,0223 1,14 10-5 0,724
276,5 1,288 0,0243 1,37 10-5 0,718
280 1,271 0,0246 1,40 10-5 0,717
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Esempio 3
Calcolo del Numero di ReL
ReL =v∞ ⋅Lν
= 16, 67 ⋅1, 21,37 ⋅10−5 =1, 46 ⋅106 ReL> Rec
Determiniamo la lunghezza critica
Rec =v∞ ⋅Lc
νLc =
Rec⋅νv∞
= 5 ⋅105 ⋅1,37 ⋅10−5
16, 67= 0, 41 m
Regime di moto misto
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Esempio 3
Correlazioni per valide per moto misto
Nu= 0, 037 ⋅ReL4/5−871( ) ⋅Pr1/3 Valida per 5 ⋅105 ≤ ReL ≤107
0, 6 ≤ Pr ≤ 60
Nu= 2, 05 ⋅103 h= Nu⋅ λL
= 41, 51 Wm2 ⋅K
Calcolo del flusso
q* = h ⋅ TS −T∞( ) = 41,51⋅42 ≅ 432 Wm2
q= q* ⋅A⋅3= 432 ⋅ 1, 5 ⋅1, 2( ) ⋅3= 2331 W
Le tre finestre disperdono
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Esempio 3
Nu= h ⋅Lλ
h= Nu⋅ λL
h= 57,31 Wm2 ⋅K
q* = h ⋅ TS −T∞( ) = 596 Wm2 q= q* ⋅A⋅3= 3218 W
Se si fossero usate le equazioni per il moto turbolento
Nu= 0, 037 ⋅ReL4/5⋅Pr1/3
Nu= 2830
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Esempio 4Si consideri una latra piana sottile di sezione quadrata di lato L = 0,8 m. Una faccia della lastra sitrova a 65°C ed è rivolta verso un ambiente la cui temperatura di fluido indisturbato è 19°C.L’altra faccia della lastra è isolata. Si trovi il flusso termico scambiato quando la lastra è postaverticalmente, orizzontalmente con la superficie calda verso l’alto e con la superficie calda verso ilbasso.
Calcolo dei parametri termofisici
ΔT = 35°C Tm =Ts +T∞
2= 65+19
2= 42°C = 315K β = 1
Tm
= 3,175 ⋅10−3
Dalla Tab. A19
T ρ λ ν Pr(K) (kg m-3) (W m-1 k-1) (m2 s-1)
310 1,143 0,0268 1,67 10-5 0,711
315 1,127 0,0272 1,72 10-5 0,7105
320 1,110 0,0275 1,77 10-5 0,710
Convezione naturale
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Esempio 4
Calcolo del numero Ra
Ra=Gr ⋅Pr = g⋅ β ⋅ΔT ⋅L3
ν 2 ⋅Pr =ρ 2 ⋅ g⋅ β ⋅ΔT( )L3
μ2 ⋅Pr
Ra=Gr ⋅Pr = g⋅ β ⋅ΔT ⋅L3
ν 2 ⋅Pr =1,339 ⋅109
Correlazioni per superfici verticali
Nu= 0,1⋅Ra1/3 Per 10 9 < Ra < 10 13
Nu=110 h= Nu⋅ λL
= 3, 747 q* = h ⋅ TS −T∞( ) =131 Wm2
q= q* ⋅A= 83, 94 W
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Esempio 4
Correlazioni per superfici orizzontali con superficie calda verso l’alto
Nu= 0,15 ⋅Ra1/3Per 10 7 < Ra < 10 11 Nu=165,3
h= Nu⋅ λL
= 56, 21 q* = h ⋅ TS −T∞( ) =196, 7 Wm2
q= q* ⋅A=126 W