TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM THÁI NGUYÊN
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN: TOÁN LÝ
PHẠM THANH HIẾU
SÁCH GIAO BÀI TẬP
Học phần : Toán cao cấp
Số tín chỉ : 02
Mã số : MAT121
Thái Nguyên, 2017
1
CHƯƠNG I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
1. Nêu khái niệm các loại ma trận, cho ví dụ?
2. Nêu các phép toán về ma trận và các tính chất?
3. Khái niệm định thức và các tính chất, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận và
các bước tính?
4. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính, các loại hệ phương trình tuyến tính đặc
biệt (hệ thuần nhất, hệ Cramer, …).
5. Nêu phương pháp biến đổi sơ cấp để giải hệ phương trình tuyến tính?
II. BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài tập 1: Thực hiện phép nhân hai ma trận:
60
53
74
5124
159)
72
510
611
43) ba
04
91
75
563
704
175
)c
Bài tập 2: Tính các định thức sau:
631
723
510
);
613
200
352
);
420
310
121
);
111
143
021
);
143
301
121
)
edcba
Bài tập 3: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận (nếu có):
121
011
322
;
211
331
521
;
321
504
321
CBA
6183
3422
4083
2121
;
3212
4311
0023
0012
;
3000
0200
4210
4321
FED
Bài tập 4: Giải phương trình ma trận:
3
2
0
214
112
211
)1 X ;
114
302
511
231
113
012
)2 X
014
302
511
231
113
012
)3 X ;
1
2
1
093
172
021
)4 X
2
8710
7210
031
012
423
321
)5 X ;
521
234
311
111
012
111
)6 X
2112
3210
1021
120
112
011
)7 X ;
13215
726
211
101
111
)8 X
Bài tập 5: Tìm hạng của ma trận:
212
121
311
)1
11314
33232
10322
23114
)2
192483
3254
4653
3411
)3
32101
22330
32321
21211
)4
Bài tập 6: Giải hệ phương trình:
)(
12
12
12
12
)1
4321
4321
4321
4321
I
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
)(
432
632
423
132
)2
4321
4321
4321
4321
I
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
3 2 3
3) 2 3 6
3 4 11
x y z
x y z
x y z
2 3 1
4) 3 4 2 3
5 2 2
x y z
x y z
x y z
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 5 1
5) 3 0
2 3 8 3 3
x x x x
x x x x
x x x x
4 1
3 2 06)
5 2 0
7 7 4 2
x y z
x y z
x y z
x y z
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 2
2 37)
3 2 5
3 2 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 5 2 4 2
8) 7 4 3 5
5 7 4 6 3
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 5 2
9) 3 2.5 4 10
4 3 2 2
x x x
x x x
x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 7
10) 2 5 2 22
3 8 24
x x x x
x x x x
x x x x
3
11)
3442
364
6252
322
4321
421
4321
4321
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
12)
5234
1223
1322
5432
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
13)
0343
23
0
232
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
14)
74
11332
2
724
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
15)
32
7722
02
2
321
4321
431
4321
xxx
xxxx
xxx
xxxx
CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT 1. Nêu định nghĩa giới hạn và các tính chất?
2. Nêu một số giới hạn cơ bản và một số dạng giới hạn vô định?
3. Định nghĩa sự liên tục của hàm số? Mối liên hệ với giới hạn?
4. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và các quy tắc tính đạo hàm của một số hàm sơ cấp?
5. Nêu khái niệm hàm số nhiều biến, so sánh với khái niệm hàm số một biến, cho ví
dụ?
6. Nêu khái niệm đạo hàm riêng của hàm số 2 biến? So sánh với đạo hàm của hàm số
một biến?
II. BÀI TẬP CHƯƠNG 2:
Bài tập 1: Tính các giới hạn sau:
1)
23
2
3lim
x
x x
x;
15
2
2
23
22)3;
1
2)2
2
x
x
x
x x
xLim
x
xLim ;
;3
12lim)6;
2
8)5;
1
1)4
2
3
3
2
3
1
x
xx
x
xLim
x
xLim
xxx
.2
2)9;
2
2)8;
11)7
220
x
xLim
x
xLim
x
xLim
xxx
10)
2
1
1lim
2
2x
x x
x
2
2
2
2
3lim)11
x
x x
x
13)
1
32
12lim
x
x x
x
4
14)
12
32
31lim
x
x x
x
x
x x
x31
12
52lim)15
12
2
2
32
12lim)16
x
x x
x
17)
32
54
14lim
x
x x
x 18)
32
2
22
54
14lim
x
x x
x
19)
32
3
33
54
14lim
x
x x
x
20)
12
3
33
32
31lim
x
x x
x21) 2
2 12
031lim x
x
xx
22)
3
3 23
0 31lim
x
x
x
x
23)
x
x x
x31
52
52lim
24)
231
2
2
52
52lim
x
x x
x
25)
x
x x
x35
14
74lim
26)
235
2
2
14
74lim
x
x x
x
27)
331
3
3
52
52lim
x
x x
x
28)
335
3
3
14
74lim
x
x x
x
29)
45
57
27lim
x
x x
x 30)
425
2
2
57
27lim
x
x x
x
Bài tập 2: a) Tìm giới hạn của hàm số (nếu có):
.1
1)3;
1
1)2;
2
5lim)1
12
x
xLim
x
xLim
x xxx
b) Vẽ đồ thị của các hàm số .1
1;
2
5
x
xy
xy Sau đó giải thích kết quả giới hạn
trên dựa vào đồ thị hàm số.
Bài tập 3: Chi phí của việc loại bỏ đi p% tác nhân gây ô nhiễm nguồn nước trong hồ
nhỏ được tính bởi hàm số:
;1000;100
.25000
p
p
pC
Trong đó: C là chi phí (tính bằng đôla); p là phần trăm của tác nhân.
a) Để loại bỏ 50% tác nhân gây ô nhiễm nguồn nước trên cần chi phí hết bao
nhiêu?
b) Nếu chi phí 100.000$ thì loại bỏ được bao nhiêu phần trăm tác nhân gây ô
nhiễm nguồn nước.
c) Tính .100
CLimp
Giải thích kết quả đó.
Bài tập 4: a) Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó.
;53,14
31,2)()2;
32,1
215)()1
22
xx
xxxfy
xx
xxxfy
5
;2)()4;3)()3 xxfyxxfy
b) Vẽ đồ thị mỗi hàm số trên và giải thích tính liên tục trên đồ thị hàm số.
Bài tập 5: Chi phí của việc bỏ đi %x tác nhân gây ô nhiễm môi trường từ các ống khói
của các nhà máy có thể mô hình bằng:
.100
2
x
xC
Trong đó: C là chi phí (tính bằng Triệu đôla), x là phần trăm của tác nhân.
a) Tìm miền xác định của hàm số trên. Miền xác định trên cho chúng ta biết gì về
mức độ ô nhiễm?
b) Vẽ đồ thị hàm số trên. Hàm số đó có liên tục trên miền xác định của nó không?
Giải thích kết quả đó.
c) Để loại bỏ được 75% tác nhân gây ô nhiễm cần chi phí hết bao nhiêu?
Bài tập 6: Tính đạo hàm cấp 1 của các hàm số sau đây:
.)1ln(
)18;ln.1)17;ln)13()16
);(2
1)15;1)14;)1()13
;cottan)12;1
cos)11;1sin)10
;tan21)9;sin
sin)8;
cossin
cossin)7
;cot.)6;52)5;1
1)4
;1
2)3);35)(1()2;)5()1
2222
422
222
2
2
22327
x
xyxxyxxy
eeyexyexy
xxyx
xyxy
xyx
x
x
xy
xx
xxy
xxyxxyx
xy
x
xyxxyxxy
xxxx
Bài tập 7: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:
.2sin)42()9;)2()8;).123()7
;12
5)6;
32
2)5;
32
1)4
;)1)(1(
1)3;
1
1)2;
1
1)1
22332
222
xxxyexxyexxy
xxy
xx
xy
xxy
xxy
xy
xy
xx
Bài tập 8: Hệ số góc của tiếp tuyến (hay còn gọi là độ dốc) của hàm số tại một điểm
cho biết gì? Nêu các cách tính hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số tại một điểm.
Áp dụng giải bài toán thực tế sau:
Từ năm 1998 đến năm 2003, doanh thu R ( Triệu đôla/năm) của công ty
Microsoft Corporation được mô hình bởi hàm số:
.138,635,2188,6302945,5630343,174 23 ttttR
Khi t=8 chỉ ra là năm 1998. Doanh thu của công ty đã thay đổi với tốc độ như
thế nào vào thời điểm năm 1999?
Bài tập 9: Ta biết rằng vận tốc trung bình của một vật mà di chuyển trong khoảng thời
gian xác định được đo bởi:
vtb= (quãng đường vật đi được)/ (thời gian để đi được quãng đường trên).
6
= t
s
.
)()(
0
0
tt
tsts
Khi đó vận tốc tức thời của vật tại 1 thời điểm (đặc trưng cho mức độ chuyển
động nhanh hay chậm của vật tại 1 thời điểm đó) là giới hạn hữu hạn:
).(')()(
lim)( 0
0
00
0
tstt
tststv
tt
Gia tốc tức thời của vật tại 1 thời điểm (đặc trưng cho tốc độ biến thiên của vận
tốc) là giới hạn hữu hạn:
).('')('lim)(0
tstvt
vta
t
Áp dụng giải bài toán sau:
Một vật rơi tự do theo phương trình ,2gts trong đó 2/8,9 smg là gia tốc
trọng trường.
a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t=5s)
đến tt , trong các trường hợp .001.0;05.0;1.0 ststst
b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=5s.
c) Tìm gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t =5s.
Bài tập 10: Khái niệm tỷ lệ biến đổi còn được dùng trong kinh tế học. Các nhà kinh tế
học đã chỉ ra rằng lợi nhuận biên, doanh thu biên, chi phí biên (phản ánh tốc độ biến
thiên của lợi nhuận, doanh thu, chi phí đối với x đơn vị sản phẩm được sản suất hay
được bán ra) . Do đó nó được đo bằng giới hạn của tỷ số giữa sự thay đổi về tổng lợi
nhuận (hay tổng doanh thu, tổng chi phí) và sự thay đổi về tổng số đơn vị sản phẩm
được sản suất hay được bán ra, tức là:
Nếu kí hiệu P = tổng lợi nhuận; R = tổng doanh thu; C = tổng chi phí thì ta có:
P = R - C;
và
Lợi nhuận biên = dx
dP
x
PLim
x
0;
Doanh thu biên = dx
dR
x
RLim
x
0;
Chi phí biên = dx
dC
x
CLim
x
0
Áp dụng làm bài toán sau:
Lợi nhuận thu được từ bán x cái đồng hồ báo thức được mô hình bởi hàm số:
P = xx 100002.0 3 .
a) Tìm lợi nhuận biên cho mức sản suất của 50 chiếc.
b) Lợi nhuận thực tế tăng lên bao nhiêu khi tăng mức sản suất từ 50 đến 51
chiếc. So sánh con số đó với lợi nhuận biên và rút ra kết luận.
Bài tập 1: Tính các đạo hàm riêng cấp 1 :
1) 2 3( , ) sin(2 ) xyf x y x y e ; 2) 22 4( , ) os( ) xf x y c x y e ;
3) 2 4 5( , ) 3x yf x y e x y ; 4)
3 3 4 2( , ) 5x yf x y e x y ;
5) 3 3 2( , ) cos(5 )x yf x y e x ; 6) 2 2 2( , ) cos(5 ) (3 )f x y y x y y ;
7) 2 5( , ) ( 3 )f x y x y ; 8) ( , ) 2 3f x y x y ;
7
9) ;.),(2yxexyxf 10) ;),(
22 yx
xyyxf
;ln),()12;ln),()11 22 yxyxf
yx
yxyxf
);ln(),()14;),()13 2
22yxyxf
yx
xyyxf
15) 2)(
ln),(yx
yxyxf
; 16)
22
4),(
yx
xyyxf
;
17) yx
xyyxf
ln),( ; 18) 22arctan),( yxyxf ;
19) 2)()(),( yxeyxyxf ;
Bài tập 12: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số :
);ln()6;.)5;)4
;)3;9)2;4)1 2223
yxzeyxezyx
xz
yx
xyzyxzyxz
xy
;2
)9);1ln()8;)()722
223222
xy
yxzyxzyxz
10) z = xyyxf arcsin),( ; 11) yx
eyxf
),( ;
12) yx
xyxf
),( ; 13) )ln(),( 22 yxyxf ;
14) 221),( yxyxf ; 15) )arctan(),( yxyxf ;
Bài tập 13: Tìm vi phân toàn phần của các hàm số hai biến số :
1) )cos(),( xyxyeyxf ; 2) )sin(),( xyxyeyxf ; 3) yxxyxf .ln),( ;
4) 22ln),( yxyxf ; 5) 22
),(yx
eyxf
; 6) yxxeyxf 32sin),( .
III. CÂU HỎI THẢO LUẬN: Chia nhóm thảo luận, dùng ứng dụng của
đạo hàm, mỗi nhóm thực hiện một vấn đề thực tế sau 1. Một người nông dân cần quây 3 chuồng nuôi bò liền nhau có cùng diện tích là
15m2 bằng dây thép gai. Hỏi người nông dân nên quây chuồng có kích thước
như thế nào để vừa đủ yêu cầu về diện tích mỗi chuồng mà tốn ít dây thép nhất?
2. Một người chăn nuôi bò sữa có 200m rào để quây hai chuồng bò bằng nhau
hình chữ nhật. Hỏi người đó nên quây chuồng có kích thước như thế nào để
diện tích mỗi chuồng là lớn nhất?
3. Một công ty vừa xác định tổng doanh thu (đôla) cho một sản phẩm được cho
bởi hàm số sau:
xxxR 52500450 23
8
Trong đó x là số lượng sản phẩm được sản xuất )0( x . Hỏi công ty nên đưa
ra mức sản suất là bao nhiêu sản phẩm để có được doanh thu lớn nhất.
4. Sự lây lan của virut có thể được mô hình bởi:
.120,12 23 tttN
Với N là số lượng người bị nhiễm (hàng trăm người), t là thời gian tính bằng
tuần.
a) Theo anh (chị) dự đoán tối đa có bao nhiêu người bị nhiễm virut trên?
b) Virut sẽ lây lan nhanh nhất vào thời điểm nào?
5. Giá dâu tây trong tuần đầu tiên của vụ thu hoạch là 4$ trên một thùng dâu tây (1
thùng =36 lít). Trong mỗi tuần tiếp theo giá sẽ giảm đi 0,1$ trên mỗi thùng.
Người trồng dâu tây ước tính rằng hiện tại tuần đầu có khoảng 120 thùng dâu
tây trên cánh đồng có thể thu hoạch được và lượng dâu tây đến kì thu hoạch
đang tăng lên với tỷ lệ 4 thùng trên một tuần. Hỏi người trồng dâu tây nên thu
hoạch vào thời điểm nào để nhận được khoản tiền lớn nhất? Thời điểm đó
người ta thu được bao nhiêu thùng dâu tây? Và số tiền lớn nhất mà người trồng
dâu tây có thể nhận được là bao nhiêu?
6. Khi rác thải đổ xuống ao, sự phân hủy của rác thải tiêu hao oxy. Mức oxy có
trong ao khi rác thải bị oxy hóa được mô hình bởi:
.0;1
12
2
t
t
ttO
Với t là thời gian tính bằng tuần.
a) Khi nào mức oxy là thấp nhất? Mức đó là bao nhiêu?
b) Khi nào mức oxy là cao nhất? Mức đó là bao nhiêu?
CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT:
1. Nêu khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định, cho ví dụ?
2. Nêu các phương pháp tính tích phân (tính trực tiếp, tích phân từng phần, đổi
biến)
3. Nêu định nghĩa và các tính chất của tích phân xác định, cho ví dụ?
4. Nêu các phương pháp tính tích phân xác định và so sánh với các phương pháp
tính tích phân bất định?
5. Nêu các ứng dụng của tích phân xác định trong hình học, vật lý, kinh tế,...?
II. BÀI TẬP CHƯƠNG 3:
9
Bài tập 1: Tính các tích phân
;
12)3;
6
7)2;
1
11)1
3
424
22
dx
x
xdx
xx
xdx
x
xx
;)13()6;
)21(
4)5;2)4 243
22
3 32 dxxxx
xdxdxxx
;
1)9;
43
1)8;
41
3)7
34
3
3
2
2dx
xx
xxdx
xx
x
x
xdx
;54
)12;43
)11;51)1022
4
x
dx
x
dxdxx
dxex
x
xdxxdxe xx 06.02 .5)15;
cos1)14;cos.)13
;
1)18;
4)17;
23)16
2
2
2
2
2dx
x
xdx
x
x
x
dx
x
dx
x
xdxdx
xx
xx32
3
3 sin)21;
sin
cos)20;
cossin
cossin)19
;
ln.)24;
2)23;
1)22
23
3
2 xx
dxdx
e
e
e
dxx
x
x
x
dxxex
x
dxxx
x
dxx
x x ).5()27;
sin
)cos()26;
ln
)1
(ln
)25352
2
22
xdx
xx
4
22
1
11 28)
241
3
x
xdx 29) xdxe x cos.2
30)
dx
xx
x
43
1
3
2
31) dxex x06.0.5
10
Bài tập 2: Tính các tích phân:
.1.
)24;1
)23;cos1
2cos2sin)22
;cos1
sin)21;
ln1)20;)19
.1
12)18;
cos1
sin)17;
ln)16
;32
)15;cossin
cossin)14;ln)13
;cos.)12;)11;1
)10
;2sin
)9;cos1
)8;sin1
cos)7
;2
24)6;
1
2)5;ln)4
;)3;1
3)2;
1)1
2
1
21
0
32
0
3
2
0
3
12
0
22
1
0
3
22
01
3
0
12
2
03
1
2
2
0
1
0
1
0
3
4
2
0
2
0
12
10
2
1
0
3
2
1
3
1
231
0
21
0
2
x
xexdx
e
xxedx
x
xx
dxx
xx
xx
dxdxxa
dxx
xxdx
x
xxdx
x
xxxx
x
dxdx
xx
xxxdxx
xdxedxee
e
x
xdx
x
dx
x
dx
x
xdx
dxxx
xdx
x
xdxx
dxx
xxxdx
xedx
xx
x
x
x
ea
e
e
x
xx
x
e
e
x
25)
1
02
2
1
3dx
xxe x ; 26) dx
xx
x
12
102 2
14; 27)
2/
0sin1
cos
dxx
x
28)
2/
03 cossin
cossin
dxxx
xx; 29)
2
0
cos
xdxex ; 30)
e
dxxx
dx
12ln1
31)
1
0
dxee
e
xx
x
; 32)
1
0 1dx
x
x 33)
e
xdxx1
2 ln ;
34)
1
03
2
1dx
x
x
11
Bài tập 3: Tính các tích phân suy rộng:
0
2
222 2
04
2
0232
22
.)6;1
)5;1
)4
;1
1)3;
)1(
arctan)2;
1sin.
1)1
dxexxx
dx
xx
dx
dxx
xdx
x
xdx
xx
x
a
Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu )(xf liên tục trên [-a; a] thì
a) 0)(
a
a
dxxf , nếu )(xf là hàm lẻ;
b)
aa
a
dxxfdxxf
0
)(2)( , nếu )(xf là hàm chẵn.
Bài tập 4: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ;4xy trục
hoành và hai đường thẳng .2;1 xx
Bài tập 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 432 xxy và trục
Ox.
Bài tập 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 22 xy và .xy
III. CÂU HỎI THẢO LUẬN: Chia nhóm thảo luận, dùng ứng dụng của
tích phân xác định, mỗi nhóm thực hiện một vấn đề thực tế sau
1. Tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn theo một đơn vị thời gian t được đo
bởi:
;25.01
3000
tdt
dP
Trong đó, t là thời gian tính bằng đơn vị ngày. Khi t = 0 thì số vi khuẩn p =
1000.
a) Viết phương trình mô tả số lượng vi khuẩn theo thời gian t.
b) Số vi khuẩn là bao nhiêu sau 3 ngày.
c) Sau bao lâu số vi khuẩn sẽ lên đến 12 000 con.
2. Doanh thu biên cho việc bán một sản phẩm được mô hình bởi:
,1
10002,050
xx
dx
dR
Với x là số lượng hàng hóa đã bán.
a) Tìm hàm doanh thu R biết khi .00 Rx .
b) Tìm tổng doanh thu khi bán được 1500 sản phẩm.
c) Phải bán được bao nhiêu sản phẩm để tổng doanh thu đạt 60230 đôla.
3. Mức lương trung bình cho một người quản lý ( S đôla) ở Mỹ được thay đổi với
tỷ lệ:
;.7,2621 07,0 tedt
dS
12
Với t = 5 tương ứng với năm 1995. Năm 2001, mức lương trung bình cho người
quản lý đã là 118,496 đôla.
a) Tìm hàm số mô tả mức lương trung bình của người quản lý mỗi năm.
b) Năm 1999, mức lương trung bình của người quản lý là bao nhiêu?
4. Do sự cung cấp thiếu oxy nên cá hồi trong hồ đang bị chết dần. Tỷ lệ thay đổi
của số lượng cá hồi trong hồ được đo bởi:
20.125
t
edt
dP
.
Với t là thời gian tính bằng ngày. Khi t =0 thì số cá hồi trong hồ là 2500.
a) Viết phương trình mô tả số lượng cá hồi theo thời gian t.
b) Số lượng cá hồi còn là bao nhiêu sau 15 ngày.
c) Sau bao lâu thì toàn bộ số cá hồi bị chết.
5. Một vườn ươm cây xanh thường bán một loại cây bụi sau 5 năm trồng và chăm
sóc. Tỷ lệ phát triển của cây sau 5 năm được đo bởi:
16,17
6,17
2
t
t
dt
dh,
Với t là thời gian tính bằng năm, h là chiều cao của cây tính bằng cm. Biết mầm
cây t rước khi đem ươm cao 6 cm.
a) Tìm hàm số mô tả chiều cao của cây.
b) Khi cây được đem bán thì chúng cao bao nhiêu?
6. Lợi nhuận biên cho một loại sản phẩm được mô hình bởi: .2,120005,0 xdx
dP
a) Lợi nhuận tăng lên bao nhiêu khi bán hàng tăng từ 100 đến 101 đơn vị sản
phẩm.
b) Lợi nhuận tăng lên bao nhiêu khi bán hàng tăng từ 100 đến 110 đơn vị sản
phẩm.
7. Một tổ chức bảo tồn động vật hoang dã đã công bố rằng có 100 động vật của
một loài động vật nguy hiểm được đưa vào khu vực bảo tồn. Tổ chức này tin
tưởng rằng số lượng động vật của loài sẽ tăng lên với tỷ lệ:
,).91(
.1252125,0
125,0
t
t
e
e
dt
dN
Với N là số động vật, t là thời gian tính bằng tháng. Biết tại t=0 thì N
=100, hãy tìm số động vật của loài sau thời gian 2 năm.
8. Tổng chi phí mua và bảo dưỡng một bộ phận của một thiết bị trong x năm
được mô hình bởi hàm
số
Tìm tổng chi phí sau:
,.325.50000
4
1
x
dttC
13
a) 1 năm;
b) 5 năm;
9. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc
)./(3)( 22 smttta Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10
(s) kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT: 1. Nêu các khái niệm phương trình vi phân, nghiệm của phương trình vi
phân? 2. Nêu khái niệm phương trình vi phân cấp 1 và dạng tổng quát của một
số phương trình vi phân với biến số phân ly, đẳng cấp, tuyến tính cấp
1? 3. Nêu khái niệm phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 và các bước
giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổi?
II. BÀI TẬP CHƯƠNG 4:
Bài tập 1 : Giải các phương trình vi phân cấp 1
).1()8;0')4()7
;1)1'()6;1
)5
;3
2)4;0'..)3
;02)2;0)1()1
2
2
2
2
2
yxdx
dyyyx
yeydx
dyx
y
x
dx
dyyyex
xdxdyedyyxdx
x
x
y
;1')1()20;5')19
;3)18;ln')17
;2')16;43)15
);'()14;')13
;')1(1)12;')11
;03'2)10;2')9
25
32
13
23
232
2
xyyxeyy
eydx
dyxxyxy
eyyxxx
y
dx
dy
yyxxyxyxy
yxyxeyxy
yyxxxyxy
x
x
x
x
14
;1
1)24;
5
43)23
;3
132)22;)21
yx
yx
dx
dy
yx
yx
dx
dy
yx
yx
dx
dy
yx
yx
dx
dy
Bài tập 2: Tìm nghiệm riêng (tích phân riêng) của phương trình vi phân
;4)0(;0')1 yeyy x
;4)1(;0')2 yyyx
;0)0(;)1()7
;1)1(;0)2()1(
)6
;2
)(;lnln
')5
;0)1(;3')4
;0)0(;1')1()3
22
2
4
2
ydxedyye
yxy
dy
yx
dx
eeyxx
xx
yy
yxyxy
yxyyx
xx
Bài tập 3 : Giải các phương trình vi phân cấp 2
..2''')14;)61616(9'6'')13
;16'8'')12;18'3'')11
;4'4'')10;2411'10'')9
;)1(4'')8;29'6'')7
;.913'4'')6;.124'2'')5
;'3'')4;6''')3
;.6'5'')2;4612'4'')1
22
43
2
3
22
32
2
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
x
exeyyyexxyyy
eyyyxeyy
eyyyeyyy
exyyeyyy
exyyyexyyy
eyyeyyy
exyyyxxyy
Bài tập 4 : Tìm nghiệm riêng (tích phân riêng) của phương trình vi phân
.4)0(';1)0(;)1315(15'2'')3
;9)0(';3)0(;3'4'')2
;6)0(';1)0(;.6'7'')1
2
5
yyexyyy
yyeyyy
yyexyyy
x
x
x