SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU
W. Fricke
Zuverlässigkeitsberechnung von schwingbeanspruchten Schweißverbindungen in der Schiffskonstruktion
419 | Mai 1982
Zuverlässigkeitsberechnung von schwingbeanspruchten Schweißverbindungen in der Schiffskonstruktion
W. Fricke, Hamburg, Technische Universität Hamburg-Harburg, 1982
© Technische Universität Hamburg-Harburg Schriftenreihe Schiffbau Schwarzenbergstraße 95c D-21073 Hamburg http://www.tuhh.de/vss
Zuverlässigkeitsberechnung von schwingbe-anspruchten Schweißverbindungen in derSchiffskonstruktion
w. Fricke
Mai 1982 Bericht Nr. 419
Institut für Schiffbau der Universität Hamburg
Zuverlässigkeitsberechnung
von schwingbeanspruchten Schweißverbindungen
in der Schiffskonstruktion
von
w. Fricke
IfS-Bericht Nr. 419
Hamburg, Mai 1982
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
Seite
1
2. Die Bestimmung der Versagenswahrscheinlichkeit 3
3. Versagen bei Schwingbeanspruchung 6
4. Auswahl der Zufallsvariablen X1' X2 und X3 94.1. Parameter X1 und X2 der Wöhlerlinien 9
4.2. Grenzschaden X3 11
5. Sicherheit der einzelnen Kerbfälle
gegen Schwingbruch 13
6. Variation der Parameter für den
Lastspielbereich N ~ 2 . 106 16
7. Vergleichsrechnung mit Wöhlerlinien
konstanter Neigung
Bilder
17
19
21
22
25 - 27
28 - 46
8. Erforderliche Sicherheit
9. Zusammenfassung
Literatur
Tabellen
1
1. Einleitung
Schweißverbindungen sind, bedingt durch ihre geometrische und
metallurgische Kerbwirkung, bei wechselnder Beanspruchung
schwingbruchgefährdet. Im Schiffbau und in der Offshore-Tech-
nik wurde diesem Problem gerade in den letzten Jahren viel
Aufmerksamkeit geschenkt, weil die Konstruktionen leichter -
und oft höherbelastet - und zunehmend auch aus hochfesten
Stählen gebaut wurden, was nicht eine höhere Schwingfestigkeit
bedeuten muß. Hinzu kam, daß der Wechselanteil an der Bela-
stung bei neuen Schiffstypen wie z.B. Containerschiffen oder
bei den in der Nordsee eingesetzten Plattformen eine größere
Rolle spielt.
In den Vorschriften der Klassifikationsgesellschaften spie-
gelt sich diese Entwicklung in der Forderung nach Betriebs-
festigkeitsnachweisen wieder. Der Germanische Lloyd hat 1978
einen derartigen Nachweis in seine Vorschriften für stählerne
Seeschiffe / 1 / aufgenommen. Dieser lehnt sich eng an den
Betriebsfestigkeitsnachweis nach DIN 15018 für Kranbauten an,
wo für verschiedene Lastkollektive und Lastspielzahlbereiche
die zulässigen Spannungsamplituden in Abhängigkeit vom Kerb-
fall angegeben sind. Der Sicherheits faktor dieser zulässigen
Spannungen beträgt 4/3 bezüglich der ertragbaren Spannungen
bei 90%-Uberlebenswahrscheinlichkeit. Durch die Wahl der
90%-Grenze wird dem stark streuenden Charakter der Lebensdau-
erlinien Rechnung getragen.
Bekanntlich ist der Sicherheits faktor nicht unmittelbar mit
einer bestimmten Zuverlässigkeit bzw. Versagenswahrscheinlich-
keit verknüpft. Bedingt durch mehr oder weniger stark streuen-
de Einflußparameter kann die Zuverlässigkeit verschiedener
Konstruktionen bei gleichem Sicherheits faktor unterschiedlich
hoch sein. Einen Fortschritt würde die quantitative Bestimmung
der Zuverlässigkeit und die Forderung eines bestimmten Sicher-
heitsniveaus bringen, das in Abhängigkeit von den Konsequenzen
für das Versagen der jeweils betrachteten Konstruktion zu
definieren wäre.
2
Die hiermit angesprochene Sicherheits theorie hat in den letzten
Jahren entscheidende Fortschritte gemacht, über die in Bezug
auf die Schiffstechnik z.B. in / 2 / und / 3 / berichtet wird.
Zur Ermittlung der Zuverlässigkeit bzw. Versagenswahrscheinlich-
keit sind relativ einfache Näherungsverfahren für zumeist zeit-
invariante Probleme entwickelt worden.
Bei Schwingbeanspruchung kann die Zuverlässigkeitsberechnung
sowohl mit Hilfe der weitverbreiteten Wöhlerlinien und einer
Schadensakkumulationshypothese wie auch mit den Methoden der
Bruchmechanik erfolgen / 4 /. Beispiele für das erstgenannte
Verfahren sind die Arbeiten von WIRSCHING / 5 / aus dem Bereich
der Offshore-Technik sowie QUEL und GEIDNER / 6 / aus dem Stahl-
baubereich. In beiden Arbeiten wird die Zuverlässigkeit unter
Verwendung der PALMGREN-MINER-Regel mit Berücksichtigung der
Streuung der Wöhlerlinien und des Grenzschadens (MINER-Koeffi-
zient) berechnet.
Hier soll an die Arbeit / 6 / angeknüpft werden und die Zuver-
lässigkeit für mehrere der dort untersuchten Kerbfälle auch
bei den schiffstypischen Belastungen, die in der Regel einer
Geradlinienverteilung folgen, ermittelt werden. Damit ist ein
direkter Vergleich der Schiffbauvorschriften mit dem Betriebs-
festigkeitsnachweis nach DIN 15018 möglich. In dem für Schiffe
und Offshore-Konstruktionen wichtigsten Lastspielbereich
N ~ 2 . 106 soll der Einfluß der Kollektivform und der maxi-
malen Spannungsamplitude auf die Versagenswahrscheinlichkeit
untersucht werden.
Zuerst wird jedoch auf das verwendete Berechnungsverfahren zur
Ermittlung der Zuverlässigkeit und auf den Ansatz für die
Schädigung bei Schwingbeanspruchung eingegangen.
3
2. Die Bestimmung der Versagenswahrscheinlichkeit
Die Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit erfolgt nach
der IIZuverlässigkeitsmethode 1. Ordnung", die auch als
"Advanced-First-Order-Second-Moment-Method" bekannt ist und
zu den sogenannten "Level-II-Methodenll gehört. Sie wurde in
der ersten Hälfte der 70er Jahre aus den Momentenmethoden
entwickelt (siehe z.B. / 7 /, / 8 /, / 9 /, / 10 /) und kann
heute als ein weitverbreitetes und anerkanntes Näherungsver-
fahren zur Bestimmung der Versagenswahrscheinlichkeit bzw.
Zuverlässigkeit angesehen werden.
Das Bild 1 zeigt das Prinzip der Methode an einem einfachen
Beispiel, einer längsgedrückten, beulgefährdeten Platte. Das
Versagen tritt ein, wenn die Druckspannung ~x die kritische
Beulspannung K. oe (K = Beulfaktor, (Je = Eulersche Knick-
spannung) überschreitet. Die Strukturfunktion Z für die
Fehlerform "Beulversagen" lautet
z =TC?' E. t'L
K'oe.-a;= K'Af)L'2IA ,,2) - (Jx (2.1)
mit dem unsicheren Bereich Z < 0 und dem sicheren Bereich
Z > 0 sowie der Versagensgrenze bei Z = O. Dabei bedeuten
E = Elastizitätsmodul des Materials
t = Plattendicke
b = Plattenbreite
V = Querkontraktionszahl.
Aus Vereinfachungsgründen sei angenommen, daß nur zwei der
Parameter Zufallsgrößen sind, nämlich die Blechdicke t und
die Druckspannung crx' die im folgenden mit X1 und X2 be-
zeichnet werden. In Bild 1 oben ist die gemeinsame Dichtefunk-
tion f (X1' X2) dargestellt. Dabei wird angenommen, daß
beide Größen voneinander unabhängig sind und daß die Blech-
dicke t (= X1) eine geringere Streuung besitzt als die
Längsspannung OX (= X2). Die Versagensgrenze Z = 0, hier
4
eine Parabel, trennt den sicheren Bereich (Z > 0) vom
unsicheren Bereich (Z < 0). Die Versagenswahrscheinlich-
keit ergibt sich als das Volumen unter der gemeinsamen
Dichtefunktion f (X1' X2) im Bereich Z < 0 (der grau
angelegte Bereich im Bild 1).
Bei n Zufallsvariablen Xi (i = 1,n) erhält man die Ver-
sagenswahrscheinlichkeit mit Hilfe des Volumenintegrals über
den Bereich Z < 0 in einem n-dimensionalen Raum, wobei
die Versagensgrenze Z = 0 eine Hyperebene in diesem Raum
darstellt.
Die Integration ist i.a. nicht mehr geschlossen, sondern nur
noch numerisch und zumeist mit hohem Aufwand durchführbar.
Die "Zuverlässigkeitsmethode 1. Ordnung" umgeht die Integra-
tion durch das folgende Verfahren: Durch eine geeignete
Transformation werden die Variablen Xi in jeweils standard-
normalverteilte Variablen Yi mit dem Mittelwert mYi = 0
und der Standardabweichung SYi = 1 überführt. Die gleiche
Transformation wird für die Strukturfunktion Zangesetzt.
Für das Beispiel der druckbelasteten Platte zeigt das Bild 1
unten die transformierte Dichtefunktion f (Y1' Y2) und die
transformierte Versagensgrenze Z = o.
Eine besondere Bedeutung hat nun derjenige Punkt auf der Ver-
sagensgrenze, der den kleinsten Abstand ß zum Koordinaten-
ursprung besitzt. An diesem sogenannten "Entwurfspunkt" oder
"Bemessungspunkt" mit den Koordinaten Y1~ Y; Y: wird
die Versagensgrenze Z = 0 linearisiert. Für die lineari-
sierte Versagensgrenze kann die Versagenswahrscheinlichkeit
Pf unmittelbar aus der Häufigkeitsverteilung ~ der Stan-dardnormalverteilung angegeben werden:
Pf = <f> (-ß) (2.2)
Mit der Linearisierung der Versagensgrenze nimmt man einen
Fehler in Kauf, der um so größer ist, je stärker die Grenz-
kurve oder -ebene Z = 0 im Y-Raum gekrümmt ist. In dem
5
Beispiel Bild 1 ist die exakte Versagenswahrscheinlichkeit
um das Volumen unter der Dichtefunktion, das zwischen der
exakten und der linearisierten Versagensgrenze liegt, über-
schätzt worden. Es sind auch Versagensgrenzen denkbar, bei
denen die Linearisierung Ergebnisse auf der unsicheren Sei-
te ergibt.
Bei der "Zuverlässigkeitsmethode 1. Ordnung" gilt es also,
den "Entwurfspunkt" bzw. den kleinsten Abstand ß zwischen
dem Ursprung und der Versagensgrenze zu finden. Das geschieht
im allgemeinen iterativ, wobei man sich zunutze macht, daß
am Entwurfspunkt der Ortsvektor senkrecht auf der Hyper-
ebene Z = 0 steht.
Der Abstand ß ist ein Maß für die Zuverlässigkeit und wird
daher auch "Sicherheitsindex" genannt. In zunehmendem Maße
wird bei Zuverlässigkeitsbetrachtungen dieser Index an Stelle
der absoluten Versagenswahrscheinlichkeit Pf verwendet. Zur
Umformung von Pf in ß und umgekehrt nach Gleichung (2.2)
kann Bild 2 dienen.
Die Berechnungen zu dieser Arbeit erfolgten mit Hilfe des
Programms FORM I 11 I, das im Sonderforschungsbereich 96
"Sicherheit der Bauwerke" entwickelt wurde. Das Programm
arbeitet nach der oben beschriebenen Methode. Die Anzahl der
Zufallsvariablen kann beliebig vorgegeben werden. Vom Anwen-
der muß ein Steuerprogramm und eine Subroutine mit der Struk-
turfunktion Z bereitgestellt werden. Es können verschiedene
Verteilungstypen für die Zufallsvariablen Xi ausgewählt
werden. Bei der Transformation in den Y-Raum ist, sofern die
Basisvariablen nicht normal- oder log-normalverteilt sind,
eine Anpassung an eine "gleichwertige" Normalverteilung er-
forderlich. Gerade bei Zuverlässigkeitsbetrachtungen sind
die Enden der Dichtefunktion von großer Wichtigkeit. Deshalb
werden in dem Programm die Parameter der Normalverteilung so
ausgewählt, daß am Entwurfspunkt Yi* die gleiche Fraktile
wie bei der Ausgangsverteilung bei Xi* vorliegt. Damit
können auch unstetige Dichtefunktionen verarbeitet werden.
6
Darüberhinaus kann das Programm Korrelationen zwischen nor-
malverteilten und/oder log-normal verteilten Zufallsvariablen
berücksichtigen. Hierzu wird bei der Transformation in den
Y-Raum das Koordinatensystem soweit gedreht, bis die Variab-
len Yi voneinander unabhängig werden, zu Einzelheiten sei
auf / 12 / und / 13 / verwiesen. Einzugeben sind jeweils die
Korrelationskoeffizienten ~ij für die Abhängigkeit zwischen
den Zufallsvariablen Xi und Xj (-1~ 9ij s +1). Die Kor-relationskoeffizienten berechnen sich aus den Varianzen
und VAR'J und der Kovarianz COVij über
qij = COVl1
-V VARi . VARjI
(2.3)
3. Versagen bei Schwingbeanspruchung
Die klassische und weit verbreitete Methode zur Vorhersage
der Lebensdauer bei Schwingbeanspruchung ist die sogenannte
PALMGREN-MINER-Regel. Sie besagt, daß jedes Lastspiel ober-
halb der Dauerfestigkeit einen Teilschaden ~S (Ci) hervor-
ruft, der umgekehrt proportional zur Bruchlastspielzahl Ni
im Einstufenversuch auf dem Spannungshorizont ~i ist. Der
Bruch tritt dann ein, wenn bei ni Lastspielen je Horizont
die Schadenssumme S gerade 1 ist, d.h.
5 = ~ .6S (01)~
= ~i.
= 1 (3.1)
Die Ergebnisse von Schadensrechnungen streuen sehr stark, was
sicherlich mit dieser sehr einfachen, linearen Hypothese zu-
sammenhängt. Zusätzlich wirkt sich die Streuung der Ergebnis-
se aus den Einstufenversuchen aus. Hier bieten sich Zuverläs-
sigkeitsberechnungen nach der oben beschriebenen Methode an,
7
wodurch der Zufallscharakter aller wichtigen Einflußgrößen
berücksichtigt werden kann.
Für das Versagen infolge Schwingbeanspruchung ist eine der
PALMGREN-MINER-Regel entsprechende Strukturfunktion Z zu
definieren. Eine derartige Funktion ist in / 6 / angegeben,
die für diese Arbeit übernommen wird und deren Herleitung
hier gezeigt werden soll. Als Zufallsvariablen Xi werden
die Parameter der Wöhlerlinie und der Grenzschaden (MINER-
Koeffizient) eingeführt.
Abweichend von der PALMGREN-MINER-Regel wird angenommen, daß
auch die Spannungsspiele unterhalb der Dauergrenze einen Bei-
trag zur Schädigung liefern (modifizierte Schadensrechnung).
Es wird von einer Wöhlerlinie ausgegangen, die keinen Ab-
knickpunkt besitzt, sondern die mit konstanter Neigung bis
6~= 0 verlängert wird, Bild 3. Jeder der Spannungsanstiege
6<Ji ruft damit einen Teilschaden 6si (6()i, R) hervor, der
von 6cri und auch von dem Grenzspannungsverhältnis R des
Spannungsanstiegs 6Of. abhängen soll. Die Teilschäden addie-
ren sich zum Momentanschaden S (t), und der Bruch tritt ein,
wenn der Momentanschaden S (t) einen definierten Grenzscha-
den X3 überschreitet (Bild 4).
Die PALMGREN-MINER-Regel läßt sich dann ausdrücken durch
+ ~ 00
) JR=-~ A(i'=O
n (t,6cr,R) = die zufällige Zahl der
im Bereich 6<7= :!: d~o-
bis zum Zeitpunkt t
5 (t) = rt ( t,6o-; R)N(6cr;R) d6cr' dR (3.2)
mit Spannungsanstiege
d R -+d.Run - - 2
N (6~,R) = die zufällige Zahl der ertragbaren Span-
nungsspiele mit der Spannungsdifferenz 6~
und dem Grenzspannungsverhältnis R im
Einstufenversuch.
Die ertragbaren Lastspiele N im Einstufenversuch können
durch die Wöhlerlinie dargestellt werden (Bild 3):
8
N (6(J, R) = L.10b. (~~R))Xl
(3.3)
mit X2 = der Steigungskoeffizient
der Wöhlerlinie
6 a" D (R)= die "Dauerfestigkeit" für ein bestimmtes
Grenzspannungsverhältnis R (Ordinate
der Wöhlerlinie bei N = 2 . 106)
Die Abhängigkeit
nungsverhältnis
ben werden:
der Dauerfestigkeit 6C1D vom Grenzspan-
R soll durch eine Funktion 'A(R) beschrie-
6<JD(R) :: A (R) .
X"(3.4)
mit X1 = Dauerfestigkeit bei R = -1.
Die Gleichung (3.2) wird damit zu
+-1 00 Xl
S(t ) =f ( n.(t,6<T;R).
(
6(J) d6<JdRJ) 2.~O ~ A(R).X1
R=-1 Arr:Q
(3.5)
Für eine große Nutzungsdauer tND kann von einem stationä-
ren Spannungsprozeß ausgegangen werden und die zufällige
Zahl der Spannungsanstiege n (t,6<J,R) kann mit der Dichte-
funktion f Aa- der Spannungsdifferenz 6<J ausgedrückt werden
n. (tN1),6a-; R) = NNü' fACT(6o-:R) (3.6)
wobei NND die erwartete Lastspielzahl während der Nutzungs-
dauer tND ist. Am Ende der Nutzungsdauer tND wird die
Schadenssumme S(tND) zu
+-1 00 X
S( )~ ( N~'ID.ft1a-(6<r;R)
(60-
)
1
tND = J J 2.10".
i\.(R).X"d6(j dR (3.7)
R=-1 AtT'=O
Durch eine Näherung läßt sich das Doppelintegral auf ein ein-
faches Integral zurückführen. Hierzu nimmt man an, daß sich
die Dauerfestigkeiten 6C1D (R) für die meisten vorkommenden
Grenzspannungsverhältnisse R nicht wesentlich von der
9
Dauerfestigkeit 6crD (R) für das mittlere Grenzspannungsver-
hältnis R der auftretenden Spannungsanstiege unterscheiden.
Damit vereinfacht sich die Gleichung (3.7) zu00
5 (t ND) = ') ~~~~11r;))( JXl j fAo-(6O-)6""X~o' (3.8)" ~q-= 0
Das Versagen tritt ein, wenn S (tND) größer als der Grenz-
schaden X3 ist, so daß die Strukturfunktion Z lautet
Z = 9 (X1, X2, X3) = X3 - S (tND)00
= X - NND (
f ( )X2
3 'J.~{)6rA(Q).'x']X2'J ACT 6cJ .6cJ cL6CJ1 t::.cr=0
(3.9)
mit dem unsicheren Bereich Z < O.
4. Auswahl der Zufallsvariablen X1, X2 und X1
~~1__E~f~m~~~f_~1_~B9_~2_9~f_~Qh!~f!!B!~B
Die Zufallsvariablen X1 und X2 beschreiben die Ordinate
und Neigung der Wöhlerlinie (3.3) und werden aus Versuchen
ermittelt. Aufgrund einer statistischen Analyse von Schwing-
festigkeitsversuchen für verschiedene Kerbfälle lassen sich
nach QUEL / 14 / beide Variablen gut durch log-Normalvertei-
lungen beschreiben. Für acht Kerbfälle sind die Verteilungs-
parameter (Mittelwert m, Standardabweichung sund Varia-
tionskoeffizient V) aus / 14 / in der Tabelle 1 aufgeführt,
wobei betont werden muß, daß sich alle Spannungsangaben auf
Doppelamplituden beziehen.
Die statistische Auswertung der Schwingfestigkeitsversuche
erfolgte mit Hilfe der linearen Regression für die einzel-
nen Versuchsreihen. Vereinzelt aufgetretene Durchläufer wur-
den mit der Lastspielzahl, bei welcher der Versuch
10
abgebrochen wurde, in die Regressionsanalyse einbezogen. Für
jeweils einen Kerbfall ergab sich die Verteilung der Dauer-
festigkeit X1 (bei N = 2 . 106) und der Neigung X2 aus
den Ergebnissen der Regressionsanalysen aller zu diesem Kerb-
fall gehörenden Versuchsreihen.
Bemerkenswert bei den Werten nach Tabelle 1 ist die starke
Streuung s der Neigung X2. Offenbar traten bei einzelnen
Versuchsreihen relativ steile und auch flache Wöhlerlinien
auf. Es soll nicht Aufgabe dieser Arbeit sein, in die Diskus-
sion um die statistische Auswertung von Schwingfestigkeits-
versuchen einzutreten. Die Ergebnisse in Tabelle 1 werden
für die hier vorgestellten Berechnungen übernommen. Wesent-
lich ist, daß die Verteilungsparameter eine große Zahl von
Schwingfestigkeitsversuchen ~epräsentieren und daß sie in
dieser Form direkt für Zuverlässigkeitsbetrachtungen verwen-
det werden können.
Ein Punkt, auf den allerdings noch eingegangen werden soll,
ist die statistische Abhängigkeit zwischen der Dauerfestigkeit
X1 und der Neigung X2. Mit der Annahme, daß beide Variab-
len Zufallsgrößen sind, ergibt sich für die möglichen WÖhler-
linien ein Streuband, wie es qualitativ in Bild 5 oben darge-
stellt ist und das an die Konfidenzbereiche für Schätz geraden
erinnert. Setzt man, wie nach I 14 I, statistische Unabhängig-
keit zwischen X1 und X2 voraus, hat das Streuband seinen
engsten Bereich bei N = 2 . 106, (durchgezogene Linien in
Bild 5 oben). Es wäre besser, die engste Stelle nicht bei der
willkürlich gewählten Dauergrenze N = 2 . 106, sondern in
Höhe des Spannungsmittels 6~m aller ausgewerteten Versuchs-
reihen anzuordnen oder mit anderen Worten, die Ordinate der
Schätzgerade "Wöhlerlinie" wie üblich beim Mittelwert anzu-
geben. Liegen der Mittelwert 6C1m und die mittlere Dauer-
festigkeit 6<JD auf unterschiedlichem Niveau, ergeben sich
statistisch abhängige Größen X1 und X2.
Um die Auswertung der Versuche I 14 I weiterzuverwenden, wurde
die statistische Abhängigkeit zwischen X1 und X2 ermittelt.
11 -
Aus einem Teil der vom Verfasser zur Einsicht überlassenen
Versuchsergebnisse konnte der Mittelwert 6C1m der Versuchs-
reihen abgeschätzt werden. Mit Hilfe von Monte-Carlo-Simula-
tionen wurde daraufhin die Lage der kleinsten Streubandbrei-
te b für verschiedene Korrelationskoeffizienten 9 berechnet.
Für kleine Werte von9 ergibt sich in etwa eine lineare Ab-
hängigkeit, Bild 5 unten. Mit den geschätzten Mittelwerten
6ffm der Versuchsreihen können damit Korrelationskoeffizien-
ten für X1 und X2 angegeben werden, Tabelle 1 (rechts).
Für die Funktion A = f (R) zur Beschreibung der Abhängig-
keit der Dauerfestigkeit 6C1D vom Grenzspannungsverhältnis
R (Gleichung (3.4» kann nach I 14 I für R S 0.5 gut
die Beziehung
A(R) -5E>
5.R4.R (4.1)
angesetzt werden, die aus der Kranbaunorm DIN 15018 stammt
und für das Konzept der Doppelamplituden umgeformt wurde.
Lediglich für den Kerbfall "Stumpfnaht-Normalgüte" wurde eine
andere Abhängigkeit festgestellt, die mit der Beziehung
A (R) - 34
3.R2.R (4.2)
angenähert wurde.
1~~__9~~~~§~h~g~~_~3
Der Grenzschaden X3, bei dem der Bruch eintritt, beträgt
nach der Originalarbeit von MINER genau S = 1. Streng
genommen müssen dabei sämtliche auftretenden Spannungsampli-
tuden oberhalb der Dauerfestigkeit liegen.
Mehrere Untersuchungen, z.B. I 15 I und I 5 I, bestätigen
einen mittleren Grenzschaden von etwa S = 1, sie zeigen
aber auch, daß eine erhebliche Streuung vorhanden ist und
daß Werte von 0.1 oder 10 nicht selten sind. Es sind eine
12
Reihe von möglichen Ursachen hierfür bekannt (z.B. Anwendung
der PALMGREN-MINER-Regel auch bei Lastkollektiven mit Span-
nungsamplituden unterhalb der Dauerfestigkeit; Einfluß der
Belastungsfolge; Eigenspannungen).
Bei Anwendung der bereits oben erwähnten modifizierten Schadens-
rechnung, bei welcher die Wöhlerlinie mit konstanter Neigung
bis zur Spannungsamplitude 60- = 0 verlängert wird (Bild 3),
ergibt sich nach SCHUTZ und ZENNER / 15 / eine praktisch unver-
änderte Streuung des Grenzschadens. Allerdings erhält man einen
größeren Mittelwert S als 1, weil auch die Spannungsamplitu-
den unterhalb der Dauerfestigkeit Beiträge zur Schadenssurnrne
liefern. Der praktische Vorteil der modifizierten Rechnung
liegt darin, daß die Summation bzw. die Integration in (3.9)
bei 60-= 0 und nicht bei der Zufallsvariablen 600 = X1 . A (R)
beginnen kann.
Eine statistische Auswertung von mehr als 100 Schadens rechnungen
/ 15 / ergab für den Werkstoff Stahl bei axialer Beanspruchung
und einern Lastkollektiv p = 0 (Bild 6) einen Mittelwert (Me-
dian) von S = 1.60 bei einer Streuspanne TS = 4.2 zwischen
der 10%- und der 90%-Summenhäufigkeit. Unterstellt man für den
Logarithmus des Grenzschadens Y3 = log X3 eine Gaussvertei-
lung, erhält man die folgenden Parameter:
mY3 = 0.204}
(für das Lastkollektiv p = 0).sY3 = 0.243
Für andere Lastkollektive als p = 0 stellt sich die Frage,
inwieweit die Kollektivform die Verteilungsparameter des Grenz-
schadens beeinflußt. In / 15 / ist kein signifikanter Unter-
schied zwischen der Verteilung p = 0 und der Geradlinienver-
teilung festgestellt worden, so daß die obigen Parameter auch
hierfür übernommen werden. Andererseits muß beim Kollektiv
p = 1 (Einstufenbelastung) der Grenzschaden den Mittelwert 1
und die Streuung Null besitzen. Wegen fehlender Informationen
wird für die Lastkollektive p > 0 der Mittelwert und die
Standardabweichung des Grenzschadens X3 durch lineare Inter-
polation zwischen p = 0 und p = 1 angesetzt:
13
rY\X3 (p) = [mX3(p~o)-1Jo(~-p)+1 (4.3)
SX3(P) = [1-p] °5X3(P=O) (4.4)
5. Sicherheit der einzelnen Kerbfälle qeqen Schwinqbruch
Für die in der Tabelle 1 aufgeführten sechs Schweißverbindun-
gen wurde nach der oben beschriebenen Methode der Sicherheits-
index ß bzw. die Versagenswahrscheinlichkeit Pf abgeschätzt.
Für die Belastung wurden die Lastkollektive nach Bild 6 ange-
nommen. Die Kurven zwischen p = 0 und p = 1 entsprechen
den Lastkollektiven SO bis S3 nach der Kranbaunorm
DIN 15018. Die Geradlinienverteilung GV wird in dem Betriebs-
festigkeitsnachweis des Germanischen Lloyd verwendet.
Je nach erwartetem Lastspielzahlbereich gelten für die einzel-
nen Kollektive unterschiedliche Beanspruchungsgruppen (B1 - B6),
in denen die zulässigen Spannungen für die verschiedenen Kerb-
fälle (KO - K4) zusammengefaßt sind. Für die DIN 15018 und die
Vorschriften des Germanischen Lloyd sind die zulässigen Span-
nungen (Amplitudenwerte) in der Tabelle 2 aufgelistet.
Als Werkstoff wurde St.37 bzw. bei Verwendung der Geradlinien-
verteilung normalfester Schiffbaustahl (NF-Stahl) betrachtet.
Die Berechnungen wurden auf ein mittleres Grenzspannungsver-
hältnis R = -1 beschränkt. Für -1 $ R $ 0 ergeben sich
praktisch unveränderte Sicherheiten, da für die Ordinaten der
Wöhlerlinien mit Ausnahme des Kerbfalls "Stumpfnaht-Normalgüte"
die gleiche Abhängigkeit von R wie bei den zulässigen Span-
nungen nach den Vorschriften angenommen wurde. Uberdies ist
festgestellt worden, daß beim Ubergang von Kleinproben zu
14
Großbauteilen praktisch nur noch die Doppelamplitude 6~
(Schwingbreite) der Spannung unabhängig vom dem Grenzspan-
nungsverhältnis R maßgebend ist, siehe z.B. / 16 / und
/ 17 /.
Bei der iterativen Bestimmung der Sicherheitsindizes ß
mußte sorgfältig darauf geachtet werden, daß nicht ein Neben-
minimum gefunden wurde. Denn bei den Kollektiven p*
1 kann
die Versagensgrenze Z = 0 der Struktur funktion (3.9) einen
Verlauf mit zwei möglichen Entwurfspunkten ergeben. Bild 7
zeigt ein Beispiel der Versagensgrenze Z = 0 in der
X1-X2-Ebene vor der Transformation in den Y-Raum. Die beiden
möglichen Entwurfspunkte kennzeichnen das Versagen bei einer
Wöhlerlinie mit
a.) einer kleinen Dauerfestigkeit X1 und einer
großen Neigung X2 (flacher Verlauf) bzw.
b.) einer ebenfalls kleinen Dauerfestigkeit X1
und einer kleinen Neigung X2 (steiler Verlauf).
Bei kleineren Nutzungsdauern liegt der Entwurfspunkt zumeist
bei a.), bei großen Nutzungsdauern dagegen bei b.). Durch
sorgfältige Auswahl der Startpunkte für die Iteration mußte
besonders bei den mittleren Nutzungsdauern sichergestellt
werden, daß auch wirklich der kleinste Sicherheits index ß
gefunden wurde.
In den Bildern 8 bis 13 sind die berechneten Sicherheitsindi-
zes ß für die sechs Kerbfälle dargestellt. Je nach Kombina-
tion der Lastkollektive mit jeweils einer der Beanspruchungs-
gruppen (B1 - B6) und einem Lastspielbereich (N1 - N4) erge-
ben sich stark unterschiedliche Sicherheitsindizes ß. Der
unstetige Verlauf ist mit dem Wechsel der Beanspruchungsgrup-
pe beim Übergang in den nächst höheren Lastspielbereich zu
erklären.
Die extrem niedrigen Sicherheitsindizes für völlige Kollek-
tive (p > 0) im Lastspielbereich N4 (N ~ 2 . 106)
15
dürften unrealistisch sein. Hier verliert die modifizierte
Schadens rechnung mit ihrer Annahme, daß auch die Lastspiele
unterhalb der Dauerfestigkeit schädigen, ihre Gültigkeit.
Denn es liegen alle Spannungsamplituden unterhalb der Dauer-
festigkeit.
Einen direkten Vergleich der verschiedenen Kerbfälle ermög-
lichen die Bilder 14 und 15, wo jeweils für die Beanspruchungs-
gruppen B4 und B3 die Bandbreiten dargestellt sind, in denen
sich die Sicherheitsindizes in den einzelnen Lastspielberei-
chen bewegen. Am ungünstigsten stellt sich der Kerbfall
IIStumpfnaht-Normalgüte" dar, worüber auch schon an anderer
Stelle / 18 / berichtet wurde.
Aufgrund neuer Schwingfestigkeitsversuche mit dem Geradlinien-
kollektiv / 19 / werden in der jüngsten Ausgabe der Klassifi-
kationsvorschriften des Germanischen Lloyd / 20 / die zuläs-
sigen Spannungen in Verbindung mit der Geradlinienverteilung
um eine Beanspruchungsgruppe hochgestuft. Die hierfür ermit-
telten Sicherheitsindizes sind ebenfalls in den Bildern 8
bis 13 mit gestrichelten Linien dargestellt. Bei den ersten
beiden Kerbfällen (Stumpfnah~ Bild 8 und 9) fallen diese
wegen der unveränderten zulässigen Spannungen in den oberen
Beanspruchungsgruppen mit den Sicherheiten der früheren Vor-
schriften zusammen.
Besonders interessant dürfte der Vergleich der Sicherheitsin-
dizes für das Lastkollektiv p = 0 und die Geradlinienver-
teilung im Lastspielbereich N ~ 2 . 106 nach der erwähnten
Höherstufung der Beanspruchung sein. Hierzu soll Bild 16
dienen. Abgesehen vom Bereich kleinerer Lastspielzahlen, bei
denen mit p = 0 beachtliche Sicherheiten auftreten, sind
mit der Geradlinienverteilung höhere Sicherheiten zu ver-
zeichnen.
16
6. Variation der Parameter für den Lasts ielbereich N ~ 2.106
Für den in der Schiffstechnik wohl interessantesten Lastspiel-
bereich N ~ 2 . 106, der z.B. für die Seegangs lasten wäh-
rend der Nutzungsdauer eines Schiffes maßgeblich ist, wurden
einige Parameterstudien durchgeführt. Dabei wurden die zuläs-
sigen Spannungen aus den neuen Vorschriften des Germanischen
Lloyd / 20 / angesetzt, nach denen dem Geradlinienkollektiv
die Beanspruchungsgruppe B2 zugeordnet wird.
Es stellt sich z.B. die Frage, wie groß der Abfall der Sicher-
heit ist, wenn an Stelle des Geradlinienkollektivs ein völlige-
res Lastkollektiv bei gleicher Maximalamplitude der Spannung
wirkt. Für die sechs betrachteten Kerbfälle zeigt Bild 17 den
Abfall der Sicherheit, wenn man von der Geradlinienverteilung
auf das Kollektiv p = 0 übergeht. Der Rechnung lagen jeweils
drei Lastspielzahlen (N = 2 . 106, 107 und 5 . 107 ) zugrunde.
Die Unterschiede zwischen den beiden Kollektiven sind sehr groß.
Einen erheblichen Einfluß hat auch die erwartete Nutzungsdauer.
Besonders bei den Kerbfällen K3 und K4 ist mit zunehmender
Lastspielzahl ein Abfall zu sehr geringen Zuverlässigkeiten
zu erkennen.
Neben der Kollektivform wurde der Einfluß der maximalen Span-
nungsamplitude ~o-max untersucht. Diese wurde bisher als deter-
ministische Größe behandelt. Auch sie kann starken Streuungen
unterliegen, die z.B. mit den Berechnungsverfahren und Lastan-
nahmen zusammenhängen. Hinzu kommen Einflußfaktoren wie das
Einsatzgebiet und die Handhabung der Schiffe, denn je nach
Schiffs führung wird beispielsweise die Geschwingigkeit in
schwerem Seegang früher oder später gedrosselt. Für die
maximale Spannungsamplitude ~~ax = X4 wurde im folgenden
eine Normalverteilung mit der zulässigen Spannung nach den
Vorschriften als Mittelwert m angesetzt. Der Variations-
koeffizient V, das Verhältnis von Standardabweichung s
zum Mittelwert m, wurde mit 0, 0.1 und 0.25 angenommen.
17
In Bild 18 sind die Sicherheitsindizes ß für die sechs
untersuchten Kerbfälle bei Lastspielzahlen N = 2 . 106,
107 und 5. 107 angegeben. Selbst bei einem Variations-
koeffizienten von V = 25% ist der Abfall der Zuverlässig-
keit nicht so stark wie bei der Änderung der Form des Last-
kollektivs von GV nach p = o.
Zum Vergleich zeigt Bild 19 die entsprechenden Werte für
das Lastkollektiv p = 0 und den zulässigen Spannungen
nach DIN 15018 (Beanspruchungsgruppe B4).
7. Ver leichsrechnun mit Wöhlerlinien konstanter Nei un
Bei den Berechnungen zeigte sich, daß die Haupteinflußgröße
für das Versagen häufig die Neigung X2 der Wöhlerlinie ist,
die nach Tabelle 1 sehr große Variationskoeffizienten be-
sitzt. Hierzu seien einige kritische Anmerkungen erlaubt.
Es ist bekannt, daß die Neigung der Regressionsgeraden
einzelner Versuchsreihen recht breite Konfidenzbereiche be-
sitzen, besonders wenn nur wenige Proben zu einer Versuchs-
reihe gehören. Möglicherweise haben "weniger glaubhafte"
Regressionsgeraden bei der statistischen Auswertung / 14 /
die Streuung der Neigung X2 stark beeinflußt. Hinzu kommen
die Durchläufer, die ebenfalls die Neigung der Wöhlerlinie
verändern, wenn das Versuchsende als Bruchzeitpunkt angese-
hen wird.
Es ist anzunehmen, daß weniger stark streuende Neigungen X2
der Wöhlerlinien und eine andere Betrachtung der Durchläufer
die berechneten Sicherheitsindizes ß erhöhen. Ein Indiz
dafür ist der Vergleich der beiden, zu K4 gehörenden Kerb-
fälle "Kreuzstoß-Kehlnaht" und "Längssteife II" (Bild 12
und 13). Beim letzteren besitzt die Neigung X2 nur einen
etwa halb so großen Variationskoeffizienten V. Die Sicher-
18
heitsindizes ß liegen bis zu Lastspielzahlen von N ~ 107
deutlich über denjenigen des Kerbfalls "Kreuzstoß-Kehlnaht",
wobei natürlich auch die kleinere Streuung der Dauerfestig-
keit X1 eine Rolle spielt.
Um den Vergleich der Sicherheiten zwischen der Kranbaunorm
DIN 15018 und den Vorschriften des Germanischen Lloyd abzu-
sichern, wurde eine Vergleichsrechnung mit Wöhlerlinien-
parametern aus den Wöhlerlinienkatalogen / 21 / durchge-
führt, von denen derzeit drei Bände vorliegen.
In den Wöhlerlinienkatalogen / 21 / werden die Ergebnisse
von Schwingfestigkeitsversuchen für jede einzelne Versuchs-
reihe in ein einheitliches Streuband nach HAIBACH / 22 /
eingeordnet. Dieses ist gekennzeichnet durch eine konstante
Neigung von 3.75 (50% - Linie), durch einen Abknickpunkt bei
N = 2 . 106 und durch eine Streuspanne T6~ (zwischen der
90% - und der 10% - Linie), die z.B. bei N = 105 einen
Wert von 1 : 1.35 und bei N = 2 . 106 von 1 : 1.5 bzgl.
der Spannungsamplituden besitzt.
Für die Dauerfestigkeit (bei N = 2 . 106) der zu einem
Kerbfall zusammengefaßten Versuchsreihen sind in / 21 / die
Parameter der sich ergebenden log-Normalverteilung angegeben.
Die Tabelle 3 zeigt für drei Kerbfälle die entsprechenden
Werte sowie die Verteilungsparameter der auf das Konzept der
Doppelamplituden umgeformten Dauerfestikeit X1 = ~cr(R = -1).
Nimmt man nun an, daß die Neigung mit X2 = 3.75 konstant
ist und daß für die jeweils betrachtete Wöhlerlinie eine
zusätzliche, aus Vereinfachungsgründen konstante Streuung
mit einer Streuspanne TAO- = 1 : 1.5 (entsprechend demeinheitlichen Streuband bei N = 2 . 106) vorhanden ist,
lassen sich auch hierfür mit dem oben beschriebenen Ansatz
Zuverlässigkeitsbetrachtungen anstellen. Es wird wiederum
die modifizierte Schadens rechnung (Wöhlerlinie ohne Abknick-
punkt) mit dem entsprechend höheren Grenzschaden X3
durchgeführt.
19
Bild 20 zeigt für die drei betrachteten Kerbfälle unter b.)
die Ergebnisse im Vergleich zu den Ergebnissen a.) aus Ab-
schnitt 5. Betrachtet wurde der Lastspielbereich N ~ 2 . 106.
Die Sicherheitsindizes ß bei Verwendung der Geradlinienver-
teilung und der Beanspruchungsgruppe B2 liegen jetzt durchweg
über denjenigen mit dem Lastkollektiv p = 0 und der Bean-
spruchungsgruppe B4. Die Streuung der Wöhlerlinienneigung X2
beeinflußt den Sicherheits index ß besonders stark bei
Lastspielzahlen N < 5 . 106.
8. Erforderliche Sicherheit
Uber die erforderliche Sicherheit von Konstruktionen, deren
Festlegung eine klassische Aufgabe der Aufsichtsbehörden
und Klassifikationsgesellschaften ist, gibt es derzeit nur
wenige quantitative Angaben. Grundsätzlich hängt die erfor-
derliche Sicherheit von der Versagensform und von den Konse-
quenzen des Vers agens ab. Existieren z.B. parallelgeschaltete
Konstruktionselemente, die bei Versagen eines Elements die
Last mitübernehmen (Fail-Safe), kann die Zuverlässigkeit
eines Elementes geringer sein, als wenn während der gesamten
Nutzungsdauer ein unbedingt sicheres Arbeiten des Elements
gefordert werden muß (Safe-Life). Natürlich spielen auch
Inspektionsintervalle und die Zugänglichkeit der Konstruk-
tion eine große Rolle.
In Empfehlungen für die Vorschriften von Bauwerken, z.B. in
/ 23 /, findet man für den Sicherheits index ß Werte zwi-
schen 3 und 6, je nach Fehlerform und Konsequenz des Versa-
gens. Die oben berechneten Zuverlässigkeiten liegen bis zu
Lastspielzahlen von N ~ 107 zumeist in diesem Bereich,
obwohl bei Schwingbruch eher die höheren Zuverlässigkeiten
maßgebend sein dürften.
20
Die oben beschriebene Vergleichsrechnung mit veränderten
Ausgangswerten für die Beschreibung der Wöhlerlinien zeigt
allerdings, wie stark die Ergebnisse von der statistischen
Aufbereitung der Ausgangsdaten abhängen und daß quantita-
tive Aussagen nur mit großer Vorsicht getroffen werden kön-
nen. Qualitative Aussagen wie zum Beispiel der Vergleich
der Sicherheiten in verschiedenen Vorschriften sind dagegen
eher möglich.
21
9. Zusammenfassung
Zur Berechnung der Zuverlässigkeit von schwingbeanspruchten
Konstruktionen wurde eine aus der Literatur stammende Struk-
turfunktion auf der Basis der modifizierten Schadensrechnung
nach der PALMGREN-MINER-Regel hergeleitet. Zufallsvariablen
waren die Parameter der Wöhlerlinie (Ordinate und Neigung)
und der Grenzschaden (MINER-Koeffizient).
Für mehrere Kerbfälle wurden mit Parametern der Wöhlerlinien
aus der Literatur die Sicherheiten entsprechend den Betriebs-
festigkeitsnachweisen aus der Kranbaunorm DIN 15018 und den
Vorschriften des Germanischen Lloyd mit der"Zuverlässigkeits-
methode I. Ordnung" abgeschätzt. Es ergaben sich vergleichbar
hohe Zuverlässigkeitsindizes ß. Für die kürzlich in den
Schiffbauvorschriften erfolgte Höherstufung der zulässigen
Beanspruchung in Verbindung mit der Geradlinienverteilung
ermöglichen die Berechnungen einen Vergleich mit den bisheri-
gen Vorschriften und mit den Sicherheiten in der Kranbaunorm
DIN 15018 für das ebenfalls "leichte" parabelförmige Lastkol-
lektiv p = O. Danach ergibt sich auch nach der Höherstufung
eine vergleichbare Sicherheit.
Für hohe Lastspielzahlen N > 2 . 106 wurde der Einfluß der
Lastkollektivform und der maximalen Spannungsamplitude auf
die Zuverlässigkeit untersucht. Besonders groß ist der Einfluß
der Kollektivform, wenn man z.B. von der Geradlinienverteilung
auf das Lastkollektiv p = 0 übergeht.
Die Ergebnisse hängen stark von den Parametern zur Beschrei-
bung der Wöhlerlinien ab. Für Zuverlässigkeitsuntersuchungen
nach der gezeigten Methode besteht ein Bedarf an statistischen
Analysen der in großer Zahl zur Verfügung stehenden Versuchs-
reihen. Für die Belange der Schiffs- und Offshore-Technik ist
besonders der Lastspielbereich N ~ 2 . 106 mit der Erfassung
eines eventuellen Abknickpunktes sowie der statistischen Be-
handlung der Durchläufer von unveränderter Wichtigkeit.
Literatur
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Kerbfall KO K1 K2 K3 K4
Beanspr. -gruppe Zulässige Sparmung [N/nm2J für R = -1
B1 180 180 180 180 (152.7)
B2 180 180 180 (180) 108
B3 180 180 (178.2) 127.3 76.4
B4 (168) (150) 126 90 54
B5 118.8 106. 1 89.1 63.6 38.2
B6 84 75 63 45 27
Kerbfall KO K1 K2 K3 K4
Beanspr .-gruppe Zulässige Sparmung [N/nm2J für R = -1
B1 160 160 160 160 150
B2 160 160 160 160 105
B3 160 160 150 120 75
B4 150 140 120 90 55
B5 120 105 90 65 40
B6 85 75 65 45 30
Kerbfall KO K1 K2 K3 K4
Beanspr. -gruppe Zulässige Sparmung [N/nm2J für R = -1
B1 160 160 160 160 150
B2 160 160 160 150 100
B3 160 160 150 120 75
B4 150 140 120 90 55
B5 120 105 90 65 40
B6 85 75 65 45 30
26
DIN 15018 (für St37 )
GL 1978 / 1 / (für NP-Stahl)
GL 1982 / 20 / (für NP-Stahl)
Tabelle 2: Zulässige Spannungen (Amplitudenwerte)
verschiedener Betriebsfestigkeitsnachweise
27
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Z=OZL (Iinearisierte
Strukturfunktion )
Entwurfspunkt( vtV2*
)
BILD 1: BEISPIEL ZUR ZUVERLÄSSIGKEITSMETHODEI. ORDNUNG
- 29 -
a:-
10 0
o 1 2 3 4 5ß
6 7
BILD 2: RELATION ZWISCHEN DER VERSAGENSWAHRSCHEINLICHKEIT Pf
UND DEM SICHERHEITSINDEX 'ß
- 30 -
tog 60-
-----------
logN
BILD 3: BESCHREIBUNG DER WÖHLERLINIE
Spannung (j
.......
Zeit t
Schaden S
I
~Sn I
- - - - - - - - - - - - - -~6Sn_1~
I III
Bruchzeitpunkt:
"",
. . . . . . . .
- ------
Zeit t
BILD 4: SPANNUNGSVERLAUF UND ANGENOMMENERSCHADENSANSTIEG
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0,4 // // I +/ //,
++ ++0,3 11
// +/+/++0,2 11 // /1 / 1\++ ++0,1 ;; /1{ /f It ----L0 ++ # I -f MittelwertA~
31
90% - Überschreitungshäufigkeit....
"für 9 ·0
"f" 0 ..Aur ~> ,
log N · log (2.10&) - X2 [lOg60" - log X,]
mit X". Dauerfestigkeit 6 on bei N. 2.10'
X2 · Neigung der Wöhlerlinie
~ =Korrelationskoeffizient zwischen
X" und X1
10gAcr
10% - Überschreitungshäufigkeit
für 9. 0,.,.
- _ für 0> 0--~
}--
2.10' logN
100 150 200 250 300 350 400 450
BILD 5: EINFLUSS DES KORRELATIONSKOEFFIZIENTEN 9 AUF DAS
STREUBAND DER WÖHLERLINIE (OBEN) UND SPANNUNGSHORI-
ZONT I:::.(J FÜR DIE KLEI NSTE STREUBANDBREI TE b (UNTEN)
Kollekti\i Vorschritt 2 .104< N 2.105< N 6 ,105< N N> 2.106
:s 2.105 ~6.105 oS2.106'..,
p=o 81 82 83 84
p = 1/3 DIN 82 83 84 85
~P=2/3 15 018 83 84 85 86
p = 1 84 85 86 86J
GV GL19781) 81 82 82 83
GV GL19822)
81 81 81 82
- 32 -
1
13
53p=1
1
p=~32
3
~I~
b~p=o
GV
oo 1/6 2/6 3/6 4/6
~"log N
5/6 6/6
--
BILD 6: LAST KOLLEKTIVE UND ZUGEORDNETE BEANSPRUCHUNGSGRUPPEN( 1): GL 1978 /1/; 2): GL 1982 / 20 / )
- 33
10gÄO"' a.) b.)log Ä 0"'
20log N log N
10
5
N
XcnC:Jcn<11Z
2
1
0,5
I200 500
Dauerfestigkeit X1 _50 100
BILD 7: BEISPIEL EINER VERSAGENSGRENZEZ = 0 IN DER
XI-X2-EBENE
t'-(Y)-::::::""0C.f)NL- _
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