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Schrodinger Wave Equation
tixV
xm
)(2 2
22
Davos, Swiss 1925
A total of five papers in 1926
薛丁格證明了波動力學與矩陣力學數學上是等價的!因此以波來描述電子成為最簡單方便的辦法。第一步就是要猜出波動方程式。
Rosetta StoneIt was created in 196 BC, discovered by the French in 1799 at Rosetta
找物質波的波方程式如同解讀一個古老的失傳的語言
hfE
hp
E
kp
粒子與波的翻譯表
找尋波方程式的線索正弦波對應於一個不受力的自由粒子
tkx cos0
2h
hfE
hp
hfhm
2
21
波的頻率與波長的關係,一般稱為色散關係:對一般的波來說 vf
E
kp
2
2
2k
m
粒子與波的翻譯表
對一個自由粒子來說,能量與動量是有關係的:
因此,這個關係也就翻譯為波長與頻率的關係:E
mp
2
2
一般的色散關係,來自傳統的波方程式,那麼是否可由電子波的色散關係追溯電子波的波方程式?
我們以下先以正弦波為對象來找一個它所滿足的波方程式。畢竟所有週期波都是正弦波的疊加!一般的波方程式至少必須要先適用於正弦波。
22
2 1 v
k
tkx cos0
22
2
kx
22
2
-t
2
2
22
2 1tvx
代入波方程式即給出色散關係 2
22 1
vk
vf
考慮正弦波一般波如何得出色散關係?
ω 的二次方,翻譯為時間的二次微分
k 的二次方,翻譯為位置的二次微分
這個翻譯方式,對物質波卻行不通:
2
2
2k
m
22
2 1 v
k
-kx-ωx-t
sin
或者也可以繼續這個翻譯的辦法,但以新的波函數來取代傳統的正弦波這個新函數,它的一次微分與自己成正比,但又必須振盪!需要一個函數又是指數函數又是三角函數!
右方的 ω是一次方,表面上似乎翻為時間的一次微分
我們當然可以選擇放棄這套翻譯法! ?cos0 tkx
cossin ' sinsin ''
axax ae'e axax ea''e 2
iesin此定義對一次微分不成立,但如果比較它們的一次微分,竟然也非常類似
ixix ie'e 虛數指數函數的一次微分是自己乘上 i 將實數部及虛數部互換
ie
要同時是指數與正弦函數,並不是不可能。如果只看二次微分,可以假設: iaa 1,12
cossin ' sincos '
一次微分將 cos與 sin 互換
何不假設 的實數部與虛數部分別是正弦與餘弦?
找一個函數,又是指數函數又是三角函數!
sincos iei
ii iei'e cossin
iii eiei''e 2sincos
i
ii
ei
iiiee
sincos
sincoscossinsinsincoscossincossincos
此定義滿足指數函數所有重要性質!
正好是我們期待指數函數必須滿足的微分關係。
正好是我們期待指數函數必須滿足的乘積關係。
sincos iei
sincos ieeee aiaia
在複數平面上表示, a 決定絕對值, θ 決定幅角
θ
aeaia ee
Re
Im
找到又是指數函數又是三角函數的函數了!
1ie
mnnm
我們可以更進一步定義複數的指數函數:
對電子波而言:色散關係:?
ti
xm
2
22
2
Schrodinger Wave Equation
tkxitkxe tkxi sincos0)(
0
2
2
2k
m
考慮複數的波函數
ikx
it
2iik
x
fiit
2
如我們所預期,這個波函數的一次微分與自己成正比
時間微分翻譯為 ω ,位置微分翻譯為 k
tkxitkxe tkxi sincos0)(
0
ikx
it
2
2
22
2 1ty
vxy
2iik
x
fiit
2
波方程式即給出色散關係2
22 1
vk
同樣的邏輯也是用於一般的波:
但此時波函數的實數部與虛數部可以分開,一開始起始條件沒有虛數部,以後也就沒有虛數部。
tkxitkxe tkxi sincos0)(
0
以此指數三角函數來嘗試構造自由電子的波函數
波函數疊加時實數部虛數部分別疊加!實數部是破壞性干涉時,虛數部也是!因此干涉條紋與古典波類似!
電子波波方程式?
Schrodinger Wave Equation
如果電子不是自由粒子,而是受到一個位能的影響呢?
Vk
m2
2
2tixV
xm
)(2 2
22
EVm
p
2
2
此時動量與能量的關係要修改為:
Schrodinger Wave Equation
因為有虛數係數,波函數必須是複數!波函數的實數部與虛數部無法分開。電子波函數必須是複數波函數無法觀測,波強度正比於振幅平方,則是實數,應可觀測。
)(0
tkxie 22
0 ),( txI
tixV
xm
)(2 2
22
dxtxdxxP 2),()( 時間為 t 時在 x 與 x+dx 之間發現該粒子的機率
b
a
dx2 在 a 與 b 之間發現該粒子的機率
計算函數的絕對值平方振幅平方,這可以用波物質波的強度是正比於 2
x dxx
雖然薛丁格期望電子是由一個連續的實質的波來描述!但每一個電子都是明顯的顆粒,部分電子從未被看到過!
薛丁格方程式的解固定能量解
我們通常對於能量為一定值 E 的解最有興趣,畢竟獨立系統都遵守能量守恆:這些解因為能量固定,因此具有固定頻率: hEf /
固定能量解
其與時間關係很簡單:波函數的變化率正比於波函數本身
tiikxtkxi eee 0)(
0
以自由電子為例:
),(),(),( txEtxtxt
i
薛丁格方程式一般來說很難解,但在某些特殊情況下是可以解的:
),(),( txEtxt
i
ExVmdxd
)(222
2
此常微分方程式有時也稱為與時間無關之薛丁格方程式。
),(),( txEtxt
i
波函數的變化率正比於波函數本身
具有這個性質的波函數,其能量的測量,沒有不確定性! 0E
滿足此條件的波函數與時間的關係,可以很容易被解出來(指數函數)!
代入薛丁格方程式,位置函數 ψ(x) 則滿足一常微分方程式:
tixV
xm
)(2 2
22
titEiexextx
)()(),(
解出位置函數 ψ(x) 整個波函數就都知道了!
機率密度 22
22
2 )()()( xexexPtEitEi
與時間無關
tEiextx
)(),(
可以證明其他物理測量的期望值與時間無關!
固定能量解正好描述穩定態
旅行波
當電子受力為零時,位能 V 是一常數, 0)( VxV
ikxikx BeAex )(
22
02 VEmk
)()()(),( tkxitkxiti BeAeextx
2022
2 2 kEVmdxd
這方程式與簡諧運動相同,其解很簡單:
分別對應於向 +x與 -x 方向運動的正弦電子波
自由電子
02
2 VEmk
波速不是定值
動能 2
2
2
kdxd
這正是德布羅意所猜到的波長與動量及能量的關係。
假設 0VE
電子顯微鏡
22
02 VEmk m1028.7 11
以 0.1c光速移動的電子 遠小於可見光,故鑑別度高於可見光顯微鏡!
22),( AtxP
單一方向傳播的電子波機率密度為一常數
tkxitkxAeA tkxi sincos)(
動量完全確定,位置完全不確定,波狀的態的波函數
單一方向傳播的電子波,波長確定,動量確定:
與一般的波不同,它有虛數部!
粒子總是有一些區域性,需要一系列的電子波的疊加:波包。
Beat
動量不可能完全精確,若將波長有些微差距的兩個波疊加,結果振幅會出現忽大忽小的周期變化。
如果進一步疊加波長在一個範圍內的正弦波,波函數的振幅會集中在一個區域之內,稱為波包。
21
kx 測不準原理可由波包的傅利葉分析推導出來
波包的寬度 如果動量(波長)的分布是高斯分布,平均值即是粒子的動量,寬度即是動量不準度。
Δk
Δx
波強度的分布也會是一個高斯分布,寬度即是位置測量的不準度。
波包波函數的實部與虛部
波包不是固定能量態,而是能量相近的固定能量波的疊加,不是穩定態,所以波包會擴散!
Δk Δx
波包即是一個位置與動量同時都有不準度的粒子狀態的波函數。
粒子狀的態的波函數
面積不變0a
波狀的態的波函數x
兩者都是波包的極端情況
階梯狀位能,反射與透射
階梯狀位能
0for 0for 0
0
xVVxV
0VE
反射與透射
入射波
反射波
透射波
2
02
21
/2
/2
VEmk
Emk
21 kk
21
xikCex 2)(
xikxik BeAex 11)( 0x
0x
機率分布
反射的波與入射波疊加干涉!強度與位置有關。
以波包來描述粒子的反射與透射!
波包在撞擊位階後會分裂為二!透射與反射。古典粒子碰到這樣的位能是不會有反射的!一個粒子分成兩個?
古典粒子會直接穿越,只是速度變慢。 電子卻有一個反射回來的波包!
這就是一維的散射,所以散射後測量該電子,有可能發現它往右運動,也有小部分機率會發現它往左,但發現是永遠是一顆電子。如果式一束電子,波的強度就是電子數的分布!
oVE 如果Tunneling effect
xx BeAex )(
EVm 02
2
如果 E < V0 ,波數 為虛數,古典的粒子根本不能存在這樣的區域,然而在量子力學中,波函數還是有解,只是此時不再是正弦波,而是指數函數
2022
2 2 EVm
dxd
oVE
xBe 會往右一直增加,對左邊來的波是不可能的!
22
2
dxd
xikx eeik
xAex )( 指數遞減
202 /2 VEmk
xCex )(
EVm 02
2
xikxik BeAex 11)( 0x
0x
電子波會以指數遞減的程度滲入古典粒子無法進入的區域!
能量較低的波包撞擊位階,波會滲入禁止區,但長期而言,反彈如同古典粒子。
但如果這位能只持續很小一個範圍,位能很薄,粒子便能滲透過去:
穿隧效應 Tunneling Effect
穿牆人 Le Passe-MurailleMarcel Aymé, 1943
xAex )(
xtix eAeAe 2222
LeT 2
Tunneling effect
機率密度穿透機率
在位壘中 EVm 02
2
Scanning Tunneling Microscope 穿隧顯微鏡 STM
LeT 2
駐波
有限範圍的駐波態振盪,頻率都不是連續的
x
LnCxn sin)( 1 n
L2
有邊界之自由電子 22022
2 22 kEmEVmdxd
kxCkxCx cossin)( 21
0)0( 2 C kxCx sin)( 1
0)( L
nkL
0sin)( 1 kLCL
0)0( 0)( L
ikxikx BeAex )(
邊界條件:
無限大位能井,在井中如自由電子
x
LnCxn sin)( 1 n
L2
有邊界之自由電子形成駐波駐波能量不傳播,為穩定態
穩定態
mEh
ph
2
22
2
8n
mLhEn
基態的動量不為零
nL2
能量量子化
電子是靜不下來的!這是測不準原理的結果。
Ehf
能階躍遷
粒子狀態隨時間的演化即為能階穩定態之間的躍遷。
量子物理可以計算躍遷發生的機率!但無法預測何時確定會發生!
x
LnAdxxxP n 222 sin)()(
量子趨近古典n
節點節點處 P 永遠為零,在節點處永遠不可能發現該電子!
機率密度
電子被拘限於一定區域時,能量為離散的能階電子不被拘限於一定區域時,能量為連續
有限大位能井
氫原子中的電子狀態
氫原子系統的電子穩定態能量
)()()(),,( mlmnlnlm rRr
im
m e21)(
12 ime
integerm
這些標記粒子狀態的數多為整數或半整數,稱為量子數。
以極座標表示,波函數可分解為三個部分的乘積。
量子化條件
)()()(),,( mlmnlnlm rRr
量子化
的多項式cossin)( mlm
,.........2,1, mmml
integer positive ml
的多項式)( / rrerR lncrnl
..........3,2,1 llln
ln
才有解
才有解
)()()(),,( mlmnlnlm rRr
2
eV6.13n
E
能量只與 n 有關
每一個能階,包含多個能量相等的能態!
)()()(),,( mlmnlnlm rRr
ml
ln
integerm
integern
1.....3,2,1,0 nl
llllm ,1.....0,....1,
Principal Quantum Number
Orbital Quantum Number
Orbital Magnetic Quantum Number
決定能量
由量子數 n 出發來分類較容易;能量只與 n 有關
週期表
基態 Ground State
0
30
110,0,1 a
r
s ea
mln
nm053.02
2
0 ekm
aee
Radial probability density
drrdrrP 22 4)(
n=2, l=0
有 1 個節點
1,0,1,2 mln
s pz
py px
44,45 ln
量子數的物理意義
22 )1( llL mLz
yzx pzpyL ˆˆˆˆˆ
zxy pxpzL ˆˆˆˆˆ
xyz pypxL ˆˆˆˆˆ ),,( rnlm 為角動量大小及 z 方向角動量的本徵態
本徴值2222 ˆˆˆˆzyx LLLL
nlmnlm llL 22 )1(ˆ nlmnlmz mL ˆ
氫原子核對電子不作力矩,故電子的角動量守恒能量的本徵態也會是角動量的本徵態不過!…… .