Download - Sebaran Bentuk Kuadrat
Sebaran Bentuk Kuadrat
1
Pengertian Sebaran
Sebaran Multivariate NormalSebaran Central & Non-Central
X2
Sebaran Central & Non-Central F
Indepedensi Bentuk Kuadrat
Pertemuan-317 April 2013
Pertemuan-418 April 2013
Pengertian Sebaran (Distribution)
2
Sebaran
Group/ Family
Random Variables
FtNormal X2 Lain
Mean Varian dof dof dof
Parameter
Estimasi
Definisi:
Jika y merupakan k x 1 random vektor ~ (µ,1), y’ y ~ distribusi non-central dannon-central parameter: maka suatu variabel random dinyatakan sebagai:
3
Pengertian Sebaran
2kX
'21
2,kX
Implikasi dari definisi:1. Jika y berdistribusi normal dengan rata-rata µ, maka
random variabel juga berdistribusi normal dengan rata-rata
2. Var y = 1, maka dari matriks varian-kovarian dari y adalah matriks identitas
3. Random variabel dari y’y adalah sum squares:
4
Pengertian Sebaran
321 ,, yyy321 ,,
k
iiyyy 2' ~ 2
,kX
Contoh:Jika random variabel ~ (µ,1), dimana:
dan , maka:
Sehingga adalah random variabel ~
5
Pengertian Sebaran
321 ,, yyy
224
1 0 00 1 00 0 1
1var y
122
24
2- 2 4 21'
21
k
iiyyy 2' 2
12,3X
Pengertian Sebaran
SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK@2010 6
Contoh Sebaran X2k:
Sifat Aditif:
1. Penjumlahan independent non-central chi-squared random variable adalah dirinya sendiri
2. Baik degree of freedom (k) maupun non-central parameter (λ) dapat ditambahkan
Sifat Sebaran X2k:
2,
2, k
n
ik XX
ii
nkkkk ...21
n ...21
Perlu Sebaran Multivariate Normal…..
7
Sebaran Multivariate NormalAsumsi Sebelumnya:• Matriks varian-kovarian dari y adalah diagonal• Kovarian bernilai nol• Random variabel yang berdistribusi normal bersifat independen
Bagaimana bila asumsi tidak terpenuhi?
Definisi:Jika merupakan p variabel random dan jika y vektor berukuran p × 1 dari variabel-variabel tersebut, maka:
merupakan fungsi multivariate normal (p-variate) jika kondisi-kondisi berikut terpenuhi:
8
Sebaran Multivariate Normal
1 2 py , y , , y
12
1 2
; 1 2p
i
f y , y , , y Ke
y i , , , p
y μ R y μ
1. R adalah matriks definit positif dengan elemen-elemen rij merupakan konstanta.
2. K adalah konstanta positif.3. µi merupakan elemen-elemen ke – i vektor µ adalah
konstanta.
9
12
22pK
R
: bentuk kuadratik dari
multivariate normal
Q y μ R y μ
1 dan E y μ Σ R
Bentuk multivariate normal menjadi:
atau
dengan adalah matriks varian-kovarian dari vektor y.y ~ Np(μ,Σ)
10
112
1 2 12 2
1
2
; 1 2
p p
i
f y , y , , y e
y i , , , p
y μ y μ
112
12 2
1
2pf e
y μ y μy
Σ
Teorema: MGF Multivariate NormalJika berdistribusi , maka MGF-nya:
Dua sifat penting dari MGF:1. Jika dua vektor random memiliki MGF yang sama,
maka keduanya memiliki pdf yang sama.2. Dua vektor random saling bebas jika dan hanya jika
joint MGF-nya dapat diuraikan menjadi perkalian MGF tiap-tiap vektor random.
11
y pN ,μ Σ
2M e
t Σtt μ
y t
Teorema: Ekspektasi Multivariate NormalJika gabungan dari berdistribusi normal dengan bentuk kuadratik Q, maka vektor rataan adalah vektor yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
misal:
12
1 2 py , y , , y E y μ
Q
0
y
2 22 3 2 4
2 3 02 21 14 2 0
Q x y xy x yQ x y
xxQ yy xy
μ
Sifat-sifat distribusi multivariate normal:1.Diketahui vektor random y ~ Np(μ,Σ),
a vektor konstanta berukuran p×1, dan A matriks konstanta k×p dengan rank k≤p, maka:
z = a’y ~ N (a’μ, a’Σa)z = A’y ~ N (A’μ, A’ΣA)
2. Diketahui y ~ Np(μ,Σ), maka sembarang subvektor berukuran r ×1 (r ≤ p) dari y akan berdistribusi normal r-variate dengan rataan, varians, dan covarians seperti distribusi normal p-variate yang asli.
13
→ jika y ~ Np(μ,Σ), maka setiap individual variabel yi dalam y berdistribusi .
3. Jika , maka y dan x independen jika
→ jika y ~ Np(μ,Σ), maka setiap dua variabel individu yi dan yj independen jika .
→ jika y ~ Np(μ,Σ) dan jika maka Ay dan By independen.
14
i iiN ,
0yxΣ
0ij 0cov , Ay By AΣB
,~
xy
v qpN
Definisi:Diketahui y vektor random berukuran p×1 berdistribusi normal dengan rataan dan varians I. Maka berdistribusi non-central chi-kuadrat dengan derajat bebas p dan parameter non-central yang dinotasikan dengan
15
Distribusi Non Central Chi-Kuadrat
μ y y12
μ μ2p ,
Fungsi probabilitas :
MGF:
Mean dan Varians:
16
2p ,
1 112 2
1 10 2
0!
22
p i vi
p ii
v ef v e , vi p i
11 1 221 2p t
vM t t e
2 var 2 8E v p v p
........ 1
........ 2
Sifat additive:
Jika masing-masing independen dengan
fungsi distribusi , maka:
Jika maka berdistribusi .
Jika masing-masing independen dengan
fungsi distribusi , maka:
17
1 2 nv ,v , ,v2
i ip ,
0 2p , 2
p
1 2 nu ,u , ,u2
ip
n
i
n
iiip
n
iivW
1 1
,1
2 ~
2
11
~
n
iip
n
iiuU
Jika , , dengan dan saling bebas,
maka
berdistribusi non-central F dengan parameter non-central
18
Distribusi Non Central F
u v2,~ pu 2~ qv
,, ~ //
qpFqvpuw
pdf, mean, dan varians distribusi non-central F
19
1 112 2 12
1 10 2 2
1 12 2
1 12 2
0
p k qp kk
p q kk
p q p q ke wf w
k ! q pwp k q
w
212
qE wq p
22
2
22 42 2 4 4
pq pvar wp q q q q
........ 3
........ 4
Double non central F:
Jika dan dengan dan saling
bebas, maka
20
1 1 2 2
1 11 21 2 1 2
1 21 2
1 112 2 11 2 1 2 2
1 21 1
0 0 1 2 2 21 21 1 2 2
1 12 2
1 12 2
0
n k n kn kk k
p q k kk k
n n n n k ke vf v
k ! k ! n p nn k n k
v
1u 2u
2121 ,,,22
11 ~ //
nnFnunuv
2,1 11
~ pu 2,2 22
~ pu
Teorema
Jika , maka jika & hanya jika A adl
matriks idempoten dengan rank k .
Jika , maka dengan
jhj A matriks idempoten dengan rank k.
◦ Jika , maka dengan
jhj A matriks idempoten dengan rank k.
DISTRIBUSI BENTUK KUADRAT
12
μ Aμ
22 μ Aμ
y ~ Nk(0,I) 2~A' kyy
y ~ Nk(µ,I) 2,~A' kyy
y ~ Nk(µ,σ2I) 2,2 ~A'
kyy
Jika , maka jhj
idempoten dengan rank k.
Jika , maka dengan
dan k adalah rank dari A, jhj matriks idempoten.
22
AΣ
AΣ
12
μ Aμ
y ~ Nk(0,Σ) 2~A' kyy
y ~ Nk(µ,Σ)2,~A' kyy
Teorema: Independensi dua bentuk kuadrat
Jika , A dan B matriks konstanta maka
dan independen jhj
( ).
23
INDEPENDENSI BENTUK KUADRAT
y Ayy By
AΣB 0 ,covAΣB Ay By
y ~ Nk(µ,Σ)
Teorema: Independensi bentuk kuadrat dan linier
Jika B dan A matriks konstanta dengan ukuran berturut-
turut k×p dan p×p serta maka dan
independen jhj
( ).
24
INDEPENDENSI BENTUK KUADRAT
y AyBy
BΣA 0 ,covBΣA By Ay
y ~ Np(µ,Σ)