Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 1
BE-ETTI 2019-2020
Seminar 14
REGIMUL TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE
METODA OPERAȚIONALĂ BAZATĂ PE TRANSFORMATA
LAPLACE
Curs 13 – slide 22-32 Transformata Laplace a unei funcții f(t) este:
( ) ( ) ( )0
stL f t F s f t e dt
−= =
Ecuațiile integro-diferențiale în urma aplicării transformatei Laplace se transformă
în ecuații algebrice de variabilă s, (polinoame P(s) de ordin egal cu numărul
elementelor reactive din circuit)
Exercițiul 1
Să se aplice transformata Laplace următoarelor funcții:
a) treaptă unitate:
0, pentru 0
(t)1, pentru 0
t
t
=
( ) ( ) ( ) ( )0
0 0
1 1 11 0 1
0
stst st e
L t t e dt e dt e es s s s
−
− − −
= = = = − − = − − =−
( ) 1
L ts
=
b) ( ) , a>0atf t e=
( ) ( ) ( ) ( )0
0 0
1 1 10 1
0
a s t a s tat at stL e e e dt e dt e e ea s a s a s
− −−
= = = = − = −− − −
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 2
1atL e
s a=
−
Similar, 1atL e
s a
−
+=
c) ( ) sinf t t=
Știm că: sin2
jx jxe ex
j
−−=
( )
2
2 2
2 2
2 2 2
1 1sin
2 2
1 1 1 1sin
2 2
1 2sin
sin
2
j t j t j t j tL t L e e L e L ej j
s j s jL t
j s j s j j s
jL
s
ts
L t
j s
− − = − = −
+ − + = − =
− + +
=
=
+
+
=+
d) ( ) cosf t t=
Știm că: cos2
jx jxe ex
−+=
( )
2
2 2
2
2 2 2 2
1 1cos
2 2
1 1 1 1cos
2 2
1 2cos
s
2
co
j t j t j t j tL t L e e L e L e
s j s jL t
s j s j s
s sL t
sL t
s
s s
− − = + = +
+ + − = + =
− + +
=
=+
+
=+
Derivata
( ) ( ) ( )' 0L f t sL f t f −= −
Integrala
( ) ( ) 0
1L f t dt L f t
s
=
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 3
Tabelul 1
Analogie între regimul permanent și regimul tranzitoriu
Rezistorul:
Bobina:
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 4
Condensatorul:
Sursa de tensiune:
Sursa de curent:
Impedanțele:
Metoda operațională bazată pe transformata Laplace presupune următorii pași de
rezolvare:
1 – identificarea numărului de elemente reactive (bobine și condensatoare)
existente în circuit;
2 – desenarea circuitului în regimul permanent (domeniul timp), pentru t<0 și
determinarea condițiilor inițiale pentru elementele reactive din circuit:
(0 ) sau (0 )
u (0 ) sau q(0 )
L
C
i − −
− −
3 – desenarea circuitului în domeniul operațional, pentru t>0 pe baza transformatei
Laplace, respectând analogia între regimul permanent și regimul tranzitoriu și
analiza circuitului în domeniul frecvență, s;
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 5
4 – descompunerea fracțiilor raționale (polinoamelor în s) și aplicarea transformatei
Laplace inverse pentru a trece din domeniul frecvență în domeniul timp (pentru
a găsi funcția original știind imaginea sa).
Problema 1
Să se determine variațiile curenților prin bobine, i1(t) și i2(t), în regimul tranzistorul
creat la închiderea la momentul t=0 a întrerupătorului folosind metoda
operațională bazată pe transformata Laplace. Se dau: 100, V;E = 1
5, Ω;R =
25, Ω;R =
10.4, H;L =
20.2, H.L = Să se traseze graficul de variație al curenților
i1(t) și i2(t).
Pasul 1: identificarea elementelor reactive: L1 și L2;
Pasul 2: desenarea circuitului în domeniul timp, t<0 și determinarea condițiilor
inițiale pentru elementele reactive:
Curenții prin cele două bobine înainte de comutație sunt:
1 2
1
1 2
2
100 100(0 ) (0 )
5 5
A(0 ) (0 ) 10,
10
Ei
R
i i
iR
−
− −
−
= =
=
=+ +
=
=
Pasul 3: desenarea circuitului în domeniul frecvență s, t>0 (transformata Laplace),
respectând analogia și analiza circuitului în domeniul frecvență s pentru
determinarea curenților I1(s), respectiv I2(s):
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 6
După închiderea întrerupătorului rezultă două circuite distincte, parcurse de
curenții, I1(s), respectiv I2(s):
1 1
1
1 1
1
100(0 ) 0.4 10
100 4 1 4(25 )( )
5 0.4 0.4
A
(
250 10(
( 12.5) 0.
2
4 12.5
) , ( 1 .5)
)
EL i
s ss sI sR sL s s s s
sI s
s s
s
−+ + + +
= = = =+
+
+ +
+
=
+
2
2
2
2 2
2
(0 ) 0.2 10 2( )
5 0.2 0.2
10( ) , A
2
( )
5
25
L iI s
R sL s
I ss
s−
= = =
+
+
=
+ +
Pasul 4: descompunerea polinoamelor (fracțiilor raționale) obținute și aplicarea
transformatei Laplace inverse pentru a trece din domeniul frecvență în
domeniul timp
Am obținut curentul I1(s):
1
250 10( )
( 12.5)
sI s
s s
+=
+
Descompunem fracția rațională:
1 2
1 2
250 10
( 12.5) 12.5
10 250 (s 12.5)
s A A
s s s s
s A A s
+= +
+ +
+ = + +
Determinăm constantele A1 și A2:
-pentru: 1 1 1
2500 250 1 02.5 0
12.52s AA A= = + = =
-pentru: 2 22
12512.5 10( 12.5) 250 12 0.5
12.51s A A A= − − + = − = − = −
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 7
250 10 20 10
( 12.5) 12.5
s
s s s s
+ = −
+ +
1
20 10(s)
12.5I
s s= −
+
Aplicăm transformatei Laplace inversă pentru trecerea din domeniul frecvență (s)
în domeniul timp (t):
( )
( )
1 1 1
1 1
1 1
1
20 10(s)
12,5
1 120 10
12,5
i t L I L Ls s
i t L Ls s
− − −
− −
= = −
+
= −
+
Se identifică funcțiile original (vezi Tabelul 1):
( )1
1 12.5
11
1
12.5
t
L ts
L es
−
− −
= =
=
+
12.5
1( ) 20 10 , Ati t e−= −
similar:
( )
2
1 1
2 2
1
2
25
25 A
10( )
25
1(s) 1
( ) 10 ,
025
1
25
t
t
I ss
i t L I Ls
L es
i t e−
− −
− −
=+
= =
+
=
+
=
Trasăm variațiile curenților i1(t) și i2(t):
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 8
Problema 2
În momentul t=0 întrerupătorul k se închide. Să se determine variația în timp a
tensiunilor și curenților prin condensatoare utilizând metoda transformatei Laplace.
Date numerice: 1 2 1 2R=6, Ω; R =2, Ω; R =4, Ω; C =3, μF; C =1; μF și E=24, V.
Pasul 1: identificarea numărului elementelor reactive: C1 și C2;
Pasul 2: desenarea circuitului în domeniul timp, t<0 şi determinarea condițiilor
inițiale pentru elementele reactive:
Se aplică teorema divizorului de tensiune:
2
2
1
1
1(0 )
1 2
2(0 )
(
1
0 )
(0 )
2
224
12
424
4,
8,
12
C
C
C
C
u V
u V
Ru E
R R R
Ru E
R R R
−
−
−
−
= = + +
= =+
=
=
+
Pasul 3: desenarea circuitului în domeniul frecvență s, t>0 (transformata Laplace) și
analiza circuitului în domeniul frecvență:
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 9
Aplicăm metoda potențialelor nodurilor (sursă ideală de tensiune ne impune
restricții)
- ne obligă să alegem nodul de referință la una din bornele ei;
- ecuația din sistem corespunzătoare celuilalt nod al sursei se va înlocui cu expresia:
valoarea potențialului nodului egală cu+ sau- valoarea sursei de tensiune
Analizăm topologic circuitul: n=3,
l=5,
b=l-n+1
b=5-3+1
b=3 bucle independente
Scriem sistemul specific metodei pentru n-1=3-1=2 noduri independente, rezultă că
vom avea 2 ecuații în sistem:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
sc
sc
Y V Y V I
Y V Y V I
+ =
+ =
Avem sursa ideală de tensiune care impune restricții și în scrierea sistemul, astfel a
doua ecuație din sistem se va înlocui cu expresia: valoarea potențialului nodului
egală cu +sau - valoarea sursei de tensiune:
11 1 12 2
2
1scY
V
V Y I
E
s
V + = = −
Explicităm termenii din sistem:
1 2
11 1 2
1 2
6 6
11
6
11
12 21 2
2
6
12 21
1 1 2
1 1
1 13 10 1 10
2 4
34 10 , S
4
1
11 10 , S
4
(0 ) (0 )C C
sc
Y sC sCR R
Y s s
Y s
Y Y sCR
Y Y s
u uI sC sC
s s
− −
−
−
− −
= + + +
= + + +
= +
= = − +
= = − +
= − +
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 10
6 6
1
6 6
1
6
1
4 83 10 1 10
12 10 8 10
4 10 , A
sc
sc
sc
I s ss s
I
I
− −
− −
−
= − +
= − +
= −
Înlocuim în sistem:
1
2
6 6 6
2
2
3 14 10 1 10 4 10
4 4
4, V
s V s V
Vs
− − − + − + = −
= −
6 6 6
1
6 6 6
1
6 6 6
1
3 1 244 10 1 10 4 10
4 4
3 1 24 244 10 1 10 4 10
4 4
3 64 10 24 10 4 10
4
s V ss
s V ss s
s Vs
− − −
− − −
− − −
+ − + − = −
+ + + = −
+ + + = −
6 6 6
1
3 64 10 4 10 24 10
4s V
s
− − − + = − − −
( )
6 6
1
6
16
6
1 6
66
6
1 666
6
1 6
3
V
64 10 28 10
4
628 10
34 10
4
28 10 6 4
3 16 10
3 1016 10 7
2112 10 24
3 103 16 10
3 107
2 , 3
6
16 106
10
1
1
s Vs
sV
s
sV
s s
ss
Vs s
s s
sV
s s
− −
−
−
−
−
−
−
−−
+ = − −
− −
=
+
− −=
+
− +
− − = =
− −
=
+
+
+
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 11
Pasul 4: descompunerea polinoamelor (fracțiilor raționale) și aplicarea
transformatei Laplace inverse pentru a trece din domeniul frecvență în
domeniul
Descompunem fracția rațională obținută pentru V1:
6
1 2
66
3 107
233 10 10
1616
sA A
sss s
− −
= + ++
66
1 2
3 10 37 10
2 16s A s A s
− − = + +
-pentru: 0s =
6
6 66
1 1 166
3 103 10 3 3 10 16210 0 8
32 16 2 3 1010
16
A A A
− = + = − = − = −
-pentru: 6 6 6 6
2
3 10 3 10 3 10 3 107
16 16 2 16s A
= − − − − = −
6 6 6
2
21 10 24 10 3 10
16 16 16A
− = −
6
2 26
3 10
16 13 10
16
A A
−
= =
−
16
8 1
310
16
Vs
s
−= +
+
16
2
8 1, V
310
16
24, V
Vs
s
Vs
= +
= −
−
+
Determinăm tensiunea pe condensatorul C1 ca diferența de potențiale:
1 0 1 16
0
8 1( ) ( ) ( ) ( ) , V
310
16
CU s V s V s V ss
s=
= − = − = −
+
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 12
Aplicăm transformata Laplace inversă pentru a revenii în domeniul timp:
( ) ( ) 1
1 1 1
6
8 1
310
16
Cu t L I s L Ls
s
− − −
= = − +
( )1
1 1
6
1 18
310
16
Cu t L Ls
s
− −
= − +
( )
6
1
310
1 16
6
11
1
310
16
t
L ts
L e
s
−
−−
= =
= +
6
1
310
16( ) 8 ,t
Cu t e V−
= −
Acum tensiunea pe condensatorul C2 se poate determina direct în domeniul timp:
1
6
2
6
2 1
310
16
310
16( ) 1
4
6
( ) ( ) 24
,
( ) 2 8t
C C C
t
C
u
V
t E u t u e
u t e
t−
−
= − = − = − −
= +
Determinarea curenților:
( )( )
1
11
1 1 1
1
1
0( )01
( ) ( ) ( )1
C
CC
C C C
uU su sU s I s I s
sC s
sC
−
−−
= + =
1
6
6 6
6 6
8 1 4
310
16( ) 12 10 3 101 3
10 103 16
C
s ss
sI s
ss
− −
− −
+ = = −
+
( )1
6 6
6 6 6
6 6
3 310 10
9 116 1612 10 3 10 9 103 316
10 1016 16
C
sI s
s s
− − −
+ − = − = +
+ +
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 13
( ) ( ) 1 1
1 6 1
6
9 19 10
31610
16
C Ci t L I s L
s
− − −
= = + +
6
1
310
6 169
( ) 9 10 ,16
t
Ci t e A−
−= +
Analog: 6
2
310
6 163
( ) 9 10 ,16
t
Ci t e A−
−= −
Problema 3
Să se determine variația curenților 1 2( ), ( ), ( )i t i t i t , dacă la momentul t=0,
întrerupătorul k se mută de pe poziția (1) pe poziția (2) folosind metoda
operațională bazată pe transformata Laplace. Se dau: E=12, V; R=20, Ω; L=10, mH și
C=10, μF.
Pasul 1: identificarea numărului elementelor reactive: C și L;
Pasul 2: desenarea circuitului în domeniul timp, t<0 și determinarea condițiilor
inițiale pentru elementele reactive:
(0 ) 12, V
(0 ) 0
C
L
u E
i
−
−
= =
=
Pasul 3: desenarea circuitului în domeniul frecvență s, t>0 (transformata Laplace) și
analiza circuitului în domeniul frecvență
- (0 ) 0Li − = (0 ) 0LL i − = rămâne doar o singură sursă în circuit
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 14
Calculăm curentul total din circuit, I(s), calculând impedanța echivalentă a
circuitului și apoi folosind Legea lui Ohm, rezultă:
( ) ( )
2
22 2
2
2
(0 )
( )
(0 )
( )1
( )1 1
( )1
C
e
C
u
sI sZ
u E E
s s sI sR sL R sL sCR sL R sL s CRL
sC R sL sC R sL sC R sL
E E E
s s sI ss sR sL s CRL
CRL s R sLC RC LC RCsCR s CL
R RsCL s s s
L L
Rs s
E LI s
ssR s
LC RC
−
−
=
= = = + + + +
++ + +
= = =+ +
+ + + + +
+ +
+
=
+ +
( )
( )
2 2
33
3
4 92 2
6 3 6
2 7 2 7
( )1
1 1 11
12 12 10( 10 10 20) 0.01 20
20 10 10 200( )1 1 10 10
20 10 10 10 10 10 10 2 100
60 0.01 20 0.6 1200( )
5000 10 5000 10
0.6 15( )
R sL EsL R
E L RLsR
s s sLC RC RC LC
s sI s
s s s s
s sI s
s s s s
sI s
−
−
− − −
++
= =
+ + + +
+ +
= =
+ + + +
+ += =
+ + + +
+=
2
2 2A
0
.
0 300
0 6( 2500) 300( ) ,
( 2500) 19
0
4
5 00 6250000
0
3750000
sI s
s
s s
+ −=
+ +
+
−
+
+
Aplicăm divizorul de curent pentru a determina curenții I1(s) și I2(s):
12 2
1 2 7 2 7 2 2
( )( ) ( )
1 1 1 1
120.6 2500 250020( ) 0.6
5000 10 5000 10 ( 2500) 1940
E EsL R s
sL sL RL RI s I ssL R sL R
s s s sRC LC RC LC
ss s
I ss s s s s
+= = =
+ ++ + + +
+ −= = =
+ + + + + +
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 15
1 2 2
2500 1.29 1940( ) 0.6 , A
( 2500) 1940
sI s
s
+ − =
+ +
2
2
22 2
3
2 2 2
2 2
2
1940(
2
( )( ) ( )
1 1 1 1
121 0010 10( )
( 2500) 1940 ( 2500) 1
A) 0.61 , ( 2500) 1940
940
E EsL R
R R RL LI s I sR sL R sL
s s s sRC LC RC L
s
I s
C
s
Is s
−
+= = =
+ ++ + + +
= =
+
+
+
+
=
+ +
Pasul 4: aplicarea transformatei Laplace inversă pentru trecerea din domeniul
frecvență în domeniul timp:
2 2 2 2 2 2
0.6( 2500) 300 0.6( 2500) 300( ) , A
( 2500) 1940 ( 2500) 1940 ( 2500) 1940
s sI s
s s s
+ − += = −
+ + + + + +
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2
0.6( 2500) 1940( ) 0.15
( 2500) 1940 ( 2500) 1940
0.6( 2500) 1940( ) 0.15
( 2500) 1940 ( 2500) 1940
( 2500) 1940( ) 0.6 0.15
( 2500) 1940 ( 2500) 1940
sI s
s s
si t L L
s s
si t L L
s s
− −
− −
+= −
+ + + +
+= −
+ + + +
+= −
+ + + +
( )
( )
1 2500
2 2
1 2500
2 2
1 2 2
2500
1
2500( ) 0.6
5
( 2500)cos 1940
( 2500) 1940
1940sin 1940
( 2500) 1940
2500 1.29 1940( ) 0.6 , A
( 2500) 1940
0.6( 2(
1cos(1940 ) 0. 5 sin(1940 ),
)
t
t
t ti t e t
sL e t
s
L e ts
sI s
s
e
s
I s
t A− −
− −
− −
+=
+ +
=
+ +
+ − =
+ +
−
+
=
=2 2 2 2
1 1
1 2 2 2 2
1 1
1 2 2
1
2 2
0
.
0) 0.77 1940
( 2500) 1940 ( 2500) 1940
0.6( 2500) 0.77 1940( )
( 2500) 1940 ( 2500) 1940
( 2500) 1940( ) 0.6 0.77
( 2500) 1940 ( 2500) 1940
( ) 0
s s
si t L L
s s
si t L
s
t
Ls
i
− −
− −
−
+ + + +
+ = −
+ + + +
+= −
+ + + +
=
2500 25006 cos(1940 ) 0.77 sin(1940 ), t te t e t A− −−
Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 16
2 2 2
1
2
2500
2
2 2
1
2 2 2
( ) 0.61 s
4
1940( ) 0.61
( 2500) 1940
1940( ) 0.61
( 2500) 1940
9
in(19 )
1940( ) 0.61
( 2500) 1 0
40 , t
I
A
i
i t e
ss
i t Ls
t Ls
t−
−
−
=+ +
=
+ +
=
+
=
+
TEMĂ
Circuitul schema electrică din figură funcționează în regim permanent cu
întrerupătorul k închis. Să se determine expresia curentului prin bobină, i(t) după
deschiderea la momentul t=0 a întrerupătorului k folosind metoda operațională
bazată pe transformata Laplace. Se dau: E=6, V; 1, ΩR = și 1, mH.L =
R: ( ) 20001,5 2,5 , Ati t e−= − +