Download - Seminárna práca z matematiky
Lucia Šimkovičová, 3.A , 2008/2009
Hranaté telesá Oblé telesá Zrezaný ihlan Zrezaný kužeľ Guľa a jej časti Kombinatorika N – faktoriál Kombinačné čísla
Hranol Ihlan
-má dve zhodné podstavy , ktoré ležia v
rovnobežných rovinách Môže byť: kolmý šikmý 3-,4-,5-...n - boký hranol
Kolmý hranol: dolná podstava, horná podstava ... mnohouholník (n-uholník) bočné steny ... každý kolmý hranol má bočné steny tvaru obdĺžnika
alebo štvorca Plášť- tvoria všetky bočné steny výška hranola- vzdialenosť podstáv
bočná stena
horná podstava
dolná podstava
bočná hrana
hrana podstavy
A
Trojboký hranol a sieť hranola :
Podľa toho, aký n-uholník je podstavou hranola, rozlišujeme trojboký hranol (n=3) štvorboký hranol (n=4)
špeciálne prípady štvorbokého hranola◦ kocka - podstavy a bočné steny sú štvorce◦ kváder - podstavy a bočné steny sú štvorce a obdĺžniky
n-boký hranol (n5)
S = 2.Sp + SplSp – obsah podstavySpl – obsah plášťa
V = Sp . v
-má jednu podstavu : 3 – uholník 4 – uholník n – uholník je mnohosten, ktorého podstavou je mnohouholník a bočné
steny sú trojuholníkové; spoločný bod všetkých bočných stien je vrchol ihlanu, vzdialenosť vrcholu od podstavy je výška.
Trojboký ihlan : Podstava – trojuholník -pravidelný trojboký ihlan má sieť zo 4
rovnostranných trojuholníkov – štvorsten.
Kolmý ihlan podstava ... mnohouholník (n-uholník) bočné steny ... trojuholníky plášť ... tvoria všetky bočné stenyV ... vrchol hranola
V ... objem ihlana
S ... povrch ihlana S = Sp + Spl
v ... výška ihlana Sp ... obsah podstavy ihlanaSpl ... obsah plášťa ihlana
bočná stena
podstava
bočná hrana
hrana podstavy
vrchol ihlana
V
trojboký ihlan(štvorsten)
štvorboký ihlan
vSV p .31
Valec Kužel
dolná podstava, horná podstava - kruh
plášť - obdĺžnikv - výška valca
Objem valcaV = r2 v
Sieť valca:
Povrch valcaS = 2 r2 + 2
r v
Kolmý rotačný valec
v
r
v
2r
r
KužeľKolmý rotačný kužeľ podstava - kruh plášť - kruhový výsekV - vrchol kužeľav - výška kužeľa
Objem kužeľa:V = r2 v
Povrch kužeľa:S = r. (r+s)
s
r
v
V
31
– je časť ihlana nachádzajúca sa medzi podstavou a rovinou rovnobežnou s podstavou, ktorá prechádza ihlanom
plpp SSSS 21
vSSSSV pppp )(21
2121
Povrch zrez.ihlana:
Objem zrez.ihlana:
Povrch:
Objem:
srrrrS )( 2122
21
vrrrrV )(31
2122
21
– je časť kužeľa nachádzajúca sa medzi podstava rovinou rovnobežnou s podstavou, ktorá prechádza kužeľom
je rotačné teleso vytvorené rotáciou kruhu okolo jeho priemeru .
r - polomer gule d - priemer gule
Objem gule :
V = r3
Povrch gule:S = 4 r2
rd
34
- je časť gule nachádzajúca sa medzi dvomi rovnobežnými rovinami prechádzajúcimi guľou (guľová vrstva + 2 zhodné podstavy).
Povrch :
Objem :
rvS 222
21
vvV )33(61 22
221
je plášť guľovej vrstvyPovrch :Objem : ––––
GUĽOVÝ VRCHLÍK je prienik polpriestoru, ktorého hraničná rovina prechádza guľou s
guľou
Povrch :Objem: ––––––––
rvS 2
rvS 2
je prienik gule rotačným kužeľom, ktorý má vrchol v strede gule a výšku väčšiu ako r
Povrch:
Objem:
rrvS 2
vrV 2
32
Dôkaz matematickou indukciouMatematická indukcia - je metóda dokazovania
matematických viet a tvrdení, ktorá sa používa, ak chceme ukázať, že dané tvrdenie platí pre všetky prirodzené čísla, prípadne inú, dopredu danú nekonečnú postupnosť.
Typický dôkaz indukciou sa skladá z dvoch krokov:1.Ukážeme, že tvrdenie platí pre najmenšie
číslo z postupnosti n = k .2.Indukčný krok: dokážeme, že ak tvrdenie
platí pre n = k (indukčný predpoklad), tak platí aj pre n = k + 1 (indukčné tvrdenie).
Príklad :
Majme nasledujúce tvrdenie:0+1+2+3+.......+n =
Dôkaz:
Najskôr skontrolujeme, či toto tvrdenie platí pre n = 0. Zrejme áno, pretože súčet prvých 0 prirodzených čísel je 0 a 0(0 + 1)/2=0.
Teraz chceme ukázať, že pokiaľ toto tvrdenie platí pre n = k, platí aj pre n = k + 1.
Predpokladajme teda, že pre n = k tvrdenie platí, čiže
0+1+2+3+....+k=
Čo sa rovná=
a máme teda1+2+....+(k+1)
Toto je tvrdenie pre n = k + 1. Dokázali sme, že je pravdivé, pokiaľ je pravdivé tvrdenie pre n = k.
Tvrdenie teda platí pre všetky prirodzené čísla.
Označenie : n !D(f) = NoDefinované:0 ! = 1Príklad: 1! = 1 5! = 5.4.3.2.1! = 120 6! = 6.5.4.3.2.1! = 720
Nech je daná konečná množina M, ktorá má n prvkov. Každá podmnožina tejto množiny, ktorá má k prvkov, nazýva sa kombinácia k-tej triedy z n .Pritom k , n sú také nezáporné celé čísla, že k ≤ n,
o ≤ k.
Počet všetkých k - prvkových podmnožín množiny
M, t.j počet všetkých kombinácii k - tej triedy z n prvkovej množiny, označujeme symbolom .Tento symbol čítame „en nad ká“.
Význačné hodnoty kombinačných čísel:
( )= 1( )= 1( )= 1
=
Pascalov trojuholník kombinačných čísel- v jednotlivých riadkoch tohto trojuholníka sú čísla udávajúce počet k - prvkových podmnožín n - prvkovej množiny. Pritom v každom riadku trojuholníka nadobúda k hodnoty 0,1,2,....,n
Pascalov trojuholník sa často zapisuje aj v takomto tvare:
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
KONIEC