1
Semnale aleatoare
Valoarea lor instantanee nu poate fi prezisa, pentru ca nu au expresii analitice. Astfel de semnale pot fi analizate pe baza
proprietatilor lor statistice.
Cateva definitii utile pentru teoria probabilitatilor
Experiment aleatorEfectuand acelasi experiment aleator in
conditii diferite se obtin rezultate diferite.ZarulΩ- multimea tuturor rezultatelor posibile
pentru un experiment aleator – SPATIUL EVENIMENTELOR.
2
ω-un rezultat posibil-EVENIMENT ELEMENTAR.
O submultime a lui Ω compusa din cateva evenimente elementare -EVENIMENT.
Fie evenimentul: A=ω1, ω2, ω3. Spunem ca acest eveniment a aparut daca in urma efectuarii experimentului aleator s-a obtinut unul dintre rezultatele ω1, ω2, sau ω3.
Ω-EVENIMENTUL SIGUR
Ø-EVENIMENTUL IMPOSIBIL
Daca intersectia a doua evenimente este Øatunci acestea sunt EVENIMENTE INCOMPATIBILE.
Evenimentele Ai a caror reuniune este egala cu Ω formeaza un GRUP COMPLET DE EVENIMENTE.
Ele realizeaza PARTIA τ a SPATIULUI EVENIMENTELOR.
Spatiul evenimentelor Ω asociat cu partitia τreprezinta SPATIUL PROBABILIZABIL (Ω,τ).
3
Exemplu. Zarul.
Evenimentul sigur: 1,2,3,4,5,6.
Evenimentul imposibil: 7.
Aceste doua evenimente sunt incompatibile.A1=1, A2=2, A3=3, A4=4, A5=5, A6=6 -
grup complet de evenimente incompatibile.
Definitia probabilitatii
O functie definita pe (Ω,τ) cu valori in [0, 1], notata cu P, avand urmatoarele proprietati:
• P(Ø)=0,• P(Ω)=1,• Daca evenimentele Ai sunt incompatibile 2
cate 2 atunci:
( )∑=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
iii APA
i
nP
11
U
4
Spatiul (Ω,τ) asociat cu probabilitatea Preprezinta un spatiu PROBABILIZAT (Ω,τ,P).
Cateva reguli pentru calculul probabilitatilor.
unde ultimul termen din membrul drept reprezinta probabilitatea comuna a celor doua evenimente.
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=U
Daca evenimentele A si B sunt incompatibile atunci:
Daca aparitia evenimentului A esteconditionata de aparitia evenimentului Batunci se spune ca EVENIMENTUL Aeste conditionat de evenimentul B si se foloseste notatia A/B.
( )( ) ( ) ( )BPAPBAP
BAPBA+=
=⇒∅=U
II ;0
5
Regula lui Bayes
Daca:atunci evenimentele A si B se numesc
INDEPENDENTE si regula lui Bayesdevine: P(A/B)=P(A).
( ) ( )( )BP
BAPBAP I=/
( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=I
Variabile aleatoareO VARIABILA ALEATOARE REALA este o functie
definita pe un spatiu probabilizat cu valori intr-o multime de numere reale.
Daca multimea valorilor este finita sau numarabila atunci variabila aleatoare reala se numeste DISCRETA.
Varaibila aleatoare X pune in corespondentaevenimentul Ai (care apare cu probabilitatea P(Ai) )
cu valoarea xi. Deci, valoarea xi apare cu probabilitatea P(Ai)=Pi.
6
Asocierea valorii xi evenimentului Ai
Este descrisa de:• FUNCTIA DE REPARTITIE;• DENSITATEA DE PROBABILITATE;• FUNCTIA CARACTERISTICA;a variabilei aleatoare considerate.
Functia de repartitie a unei variabile aleatoare discrete
Reprezinta probabilitatea ca variabila aleatoare considerata sa ia o valoare mai mica decat valoarea x specificata.
E usor de observat ca:si ca:Fie multimea valorilor
variabilei aleatoare, X considerate si fie .
( ) ( )xXPxFX ≤=( ) ( ) 0=−∞≤=∞− XPFX
( ) ( ) 1=∞≤=∞ XPFX
nv xxxX ,..., , 21=
mm xxx <<−1
7
Evenimentul apare daca:
Acestea sunt evenimente incompatibile. Deci:
X poate lua valori doar din Xv. Deci evenimentul
este identic cu evenimentul
In consecinta:
xX ≤
1 1 2 2 1 sau sau,..., sau .m mX x x X x x X x− −≤ < ≤ < ≤
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2 1
1 0
... ;
, unde .
k
m m
X k kk
x x
P X x P X x P x X x P x X x
F x P x X x x− −
−
≤
≤ = ≤ + < ≤ + + < ≤
= < ≤ = −∞∑
kk xXx ≤<−1 .kxX =
( ) ( ) ( ).
k
xxk
kX xxxXPxFk
−σ== ∑
≤
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ).;
bFaFbaaFbFbXaP
aXPbXPbXaPbXaPaXPbXP
xx
XX
<⇒<−=≤<
⇒≤−≤=≤<⇒≤<+≤=≤
Functia de repartitie a unei variabile aleatoare este crescatoare.
8
Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare
Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare reprezinta derivata I a functiei sale de repartitie.
Daca variabila aleatoare este discreta atunci:
( ) ( )( )xFdxdxp XX =
( ) ( ) ( ).
k
xxk
kX xxxXPxpk
−δ⋅== ∑
≤
9
Cazul variabilelor aleatoare continue
• Multimea valorilor unei variabile aleatoare continue nu este numarabila, ea poate fi de exemplu un interval de numere reale. Evenimentului Ai i se asociaza intervalul Ii.
• Functia de repartitie a unei variabile aleatoare continue este continua.
( ) ( ) ( ). .0 iiii APIXPIxXP =∈=∈=
Un exemplu. Repartitia uniforma
( )
( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
><
≤≤−−
==
⎪⎩
⎪⎨⎧ <<
−=
∫∞− bx
ax
bxaabax
duupxF
bxaabxp
x
XX
X
,1,0
,
restin ,0
,1
10
Cazul variabilelor aleatoare mixte
Multimea valorilor unei variabile aleatoare mixte este reuniunea unui interval cu o multime numarabila.
( ) ( ) ( ) ( )∑
<
−δ⋅=+=xx
kkkX
k
xxxXPxfxp
11
Cazul variabilelor aleatoare bi-dimensionale
O variabila aleatoare bi-dimensionala este un cuplu de variabile aleatoare unidimensionale, (X,Y).
FUNCTIA DE REPARTITIE COMUNA
DENSITATEA DE PROBABILITATE COMUNA( ) ( )yYxXPyxF YX ≤≤= ,,,
( ) ( )yx
yxFyxp YX
YX ∂∂∂
=,
, ,2
,
DENSITATILE DE PROBABILITATE MARGINALE
( ) ( )
( ) ( )
,
,
si sunt variabile aleatoare continue
,
,
X X Y
Y X Y
X Y
p x p x y dy
p y p x y dx
∞
−∞
∞
−∞
=
=
∫
∫
( ) ( )
( ) ( )
si sunt variabile aleatoare discrete , ;
, .
X i i kk
Y i k ik
X Yp x P X x Y y
p y P X x Y y
= = =
= = =
∑
∑
Variabilele aleatoare X si Y suntindependente daca densitatea lor de probabilitate comuna este egala cu produsul densitatilor lor de probabilitate marginale.
12
Un Exemplu
Variabilele aleatoare X si Y nu sunt independente.
Caracterizarea numerica avariabilelor aleatoare
MOMENTUL DE ORDINUL k al variabilei aleatoare discrete X este definit de:
Momentul de ordinul I al variabilei aleatoare reprezinta media sa statistica.
MOMENTUL CENTRAT DE ORDINUL k alvariabilei aleatoare discrete X este definit de:
[ ] ( )∑ =⋅=i
iki
k xXPxXM
[ ] ( )∑ =⋅==i
iiX xXPxXMm
[ ] ( ) ( )∑ =⋅−=i
ik
Xik xXPmxXM &&
13
Momentul centrat de ordinul doi se numesteDISPERSIE.
σX – abatere standard.
In cazul variabilelor aleatoare continue:
[ ] ( ) ( )ii
XiX xXPmxXM =⋅−==σ ∑ 222 &&
[ ] ( ) [ ] ( ) ( )
[ ] ( ) [ ] ( ) ( )∫∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−==σ==
−==
dxxpmxXMdxxxpXMm
dxxpmxXMdxxpxXM
XXXXX
Xk
Xk
Xkk
222 ;
;
&&
&&
Cazul variabilelor aleatoare bi-dimensionale
• Momentul de ordinul I: M[XY]- CORELATIAvariabilelor aleatoare X si Y.
• Momentul centrat de ordinul I: -COVARIANTA variabilelor aleatoare X si Y.
[ ]YXM &&&&
[ ] ( )
( )( ) ( )
,
,
si variabile aleatoare continue
, ;
,
XY X Y
XY X Y X Y
X Y
R M XY xyp x y dxdy
C M XY x m y m p x y dxdy
∞ ∞
−∞ −∞
∞ ∞
−∞ −∞
−
= =
⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫&&&&
( )
( )( ) ( )
si - variabile aleatoare discrete
, ;
,
XY i j i ji j
XY i x j y i ji j
X Y
R x y P X x Y y
C x m y m P X x Y y
= ⋅ = =
= − − ⋅ = =
∑∑
∑∑
14
YXXYXY mmCR +=
COEFICIENTUL DE CORELATIE
Daca ρXY=0 atunci variabilele aleatoare X siY sunt necorelate.
1 ; ≤ρ+σσ
=ρ XYYXYX
XYXY mmC
Functii aleatoare
• Variabile aleatoare →Functii aleatoare→Semnale aleatoareTransformarea functionala a unei variabile
aleatoare
Daca variabila aleatoare X este discreta densitatea sa de probabilitate nu este afectata de nici o transformare functionala.
( ) ( ) ( )? ; ypxpXfY YX →=
( ) ( )xpxp XY =
15
Transformarea functionala a unei variabile aleatoare continue
Dar:
Deci:
Daca f are N intervale de monotonie atunci
Un exempluFie X o variabila aleatoare uniform distribuita in intervalul
[-π,π] si f(x)=Asinx. Aceasta functie are doua intervale de monotonie, ea este crescatoare pe [-π/2, π/2] si descrescatoare in rest.
( ) ( ) ( )22
2
2
1
1
2
2
yAdxdy
xp
dxdy
xpyp XXY
−π=+=
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥∫−π
<≤−∫−π
−<
=
=∫=
−
−
∞−
AyuA
du
AyAuA
duAy
duupyF
A
A
y
A
yYY
,
,
,0
22
22
16
Functia caracteristica a unei variabile aleatoare
Se noteaza cu si reprezinta media variabilei aleatoare unde:
Functia caracteristica a variabilei aleatoare Xreprezinta transformata Fourier reflectata a densitatii sale de probabilitate.
17
Functia caracteristica a unei variabile aleatoare se foloseste la calculul momentelor sale.
Operatii cu variabile aleatoare
Variabila aleatoare Z, rezultatul unei operatii in care sunt implicate variabilele aleatoareX si Y poate fi privita ca si rezultatul aplicarii functiei de doua variabile f cuplului de variabile aleatoare (X,Y):
Deci:
19
Daca X si Y sunt necorelate:
Functii aleatoare in timp
T – multime de momente,O functie aleatoare de timp este o aplicatie
a produsului in R, .O functie aleatoare de timp este o colectie
de variabile aleatoare indexate deelementele unei multimi T.
20
Un semnal aleator obtinut prin achizitionarea zgomotului termic de la nrezistoare avand aceasirezistenta.
- variabila aleatoare,
- semnal, zgomotultermic al primului rezistor, prima realizare asemnalului aleator,
- numar.
Caracterizarea statistica a semnalelor aleatoare
Functia de repartitie de ordinul I a semnalului aleator :
Densitatea de probabilitate de ordinul I a semnalului aleator :
21
Media semnalului aleator :
Dispersia semnalului aleator :
Cuplul de variabile aleatoare si
reprezinta variabila aleatoare bidimensionala Folosind-o putem defini statisticile de ordinul 2 ale semnalului aleator considerat.
Functia de distributie de ordinul 2 a semnalului aleator este functia de repartitie comuna a variabilei aleatoare bidimensionale:
22
Momentul de ordinul 1 al variabilei aleatoare bidimensionale reprezinta corelatia statistica a semnalului aleator ,
Multimea de variabile aleatoare
reprezinta o variabila aleatoare n-dimensionala. Alocarea proprietatilor statistice ale acestei variabile aleatoare semnalului aleator permite analiza sa statistica de ordinul n.
Functia de repartitie de ordinul n a semnalului aleator este definita cu:
23
Caracterizarea temporala a semnalelor aleatoare
Semnalul reprezinta cea de a k-arealizare a semnalului aleator. Media sa temporala este data de:
Media sa patratica temporala este:
si este egala cu puterea realizarii.
Corelatia temporala a celei de a k-a realizari a semnalului aleator este exprimata de:
Valoarea este egala cu puterea celei de a k-a realizari.
24
Semnale aleatoare stationare
Un semnal aleator este strict stationar daca toate caracteristicile sale statistice sunt invariante in timp. De exemplu densitatea sa de probabilitate de ordinul n are proprietatea:
Caracteristicile statistice de ordinul I ale unui semnal aleator strict stationar au urmatoarele proprietati :
25
Caracteristicile statistice de ordinul doi nu mai sunt funcţii de doua momente t1 si t2, ele sunt functie doar de diferenta τ =t1-t2.
Un semnal aleator este stationar in sens larg daca sunt satisfacute doar ultimele cinci conditii.
Semnale aleatoare stationare
Ergodicitatea specifica o legatura intre caracteristicile statistice si temporale ale semnalului aleator.
Semnalul aleator este ergodic in sens largdaca mediile sale temporale si nu depind de evenimentul
26
Daca semnalul aleator ergodic este si stationar atunci:
si
Deci analiza statistica a unui semnal aleator ergodic si stationar poate fi realizata in domeniul timp folosind oricare dintre realizarile sale.
Un exemplu de semnal aleator ergodic si stationar
Se considera semnalul aleator ale carui realizari sunt semnale armonice deamplitudine A, pulsatie ω0 si faza initiala distribuita uniform in intervalul [-π, π]:
La momentul t=0, semnalul separticularizeaza la variabila aleatoare pe care am studiat-o deja.
27
Media statistica a variabilei aleatoare X0 este nula deoarece densitatea sa de probabilitate este functie para.
Media temporala:
Suma suprafetelor marcate cu albastru este practic egala cu suma suprafetelor marcate cu verde.
Deci:
28
Considerand:
Primul termen nu este aleator. De aceea media sa statistica este egala cu el insusi.
Dispersia variabilei aleatoare este:
Se calculeaza corelatia statistica a semnalului aleator considerat:
Semnalul este o variabila aleatoare de acelasi tip ca si Deci media sa statistica este egala cu 0.
In consecinta:
29
Deoarece media statistica si corelatia statistica sunt invariante in timp rezulta ca semnalul considerat este stationar in sens larg. Autocorelatia temporala:
Suma suprafetelor marcate cu albastru este practic egala cu suma suprafetelor marcate cu verde.
Deci: si
Deoarece mediile si corelatiile temporale nu depind de realizare semnalul aleator considerat este si ergodic in sens larg.
Puterea sa este egala cu:
In consecinta semnalul aleator considerat este ergodic si stationar in sens larg.
30
Analiza spectrala a semnalelor aleatoare
Se considera semnalul aleator cu realizarile Acestea nu sunt semnale de energie finita deoarece durata lor este infinita. Se considera restrictiile lor la intervalul . Deoarece aceste restrictii au energii finite le putem calcula transformatele Fourier precum şi puterile.
Se noteaza cu densitatile spectrale de putere ale fiecarei realizari. Ele reprezinta valorile unei variabile aleatoare. Pentru a defini densitatea spectrala de putere a semnalului aleator trebuie sa calculam media acestei variabile aleatoare. Densitatea spectrala de putere a semnalului aleator considerat este exprimata prin:
31
Se calculeaza limita cand T tinde la infinitpentru a reveni la semnalul aleator original ale carui realizari pot fi de durata infinita.
Teorema Wiener-Hincin
Densitatea spectrala de putere si corelatia statistica ale unui semnal aleator formeaza o pereche Fourier:
Deci densitatea spectrala de putere a semnalului aleator din ultimul exemplu este:
32
Zgomotul alb
Densitatea spectrala de putere a zgomotului alb este constanta. Denumirea acestui semnal aleator vine de la asocierea cu lumina alba care contine componente spectrale cu toate lungimile de unda.
Variabilele aleatoare si obtinuteprin particularizarea zgomotului alb la momentele sunt ne-corelate.
O realizare a unui zgomot alb
33
( )( )2
2212
X
X
x
XX
p x e−μ
−σ=
πσ
Densitatea de probabilitate a unui zgomot alb Gaussian
Densitatea spectrala de putere a unui zgomot alb
34
Zgomotul alb in timp discret
Este obtinut prin esantionarea uniforma a zgomotului alb in timp continuu. Esantioanele sale sunt ne-corelate.
Zgomotul rozDensitatea sa spectrala de putere scade cu
10 dB/dec.
0 1 2 3 4 5 6 750
60
70
80
90
100
110
120
130
Log(frecventa)
Den
sita
tea
spec
trala
de
pute
re (W
/Hz)
Densitatea spectrala de putere a zgomotului roz
35
Raspunsul sistemelor liniare si invariante in timp la semnale
aleatoare stationare
Un exempluSe calculeaza raspunsul unui sistem liniar si
invariant in timp la un zgomot alb in timp continuu.
Efectul prelucrarii zgomotului alb este corelarea variabilelor aleatoare si .