-
1
Seria Fourier. Analiza spectrală a
semnalelor periodice
http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ssist/Cap4.pdf
Daca descompunem semnalul de intrare periodic intr-o serie
de componente mai simple, putem calcula raspunsul la
fiecare componenta si face sinteza raspunsurilor partiale.
In domeniul frecventa: seria Fourier.
1
h(t) 0j tx t e 0j ty t h e d
dehety jtj 00
H(0). Transformata Fourier a raspunsului la impuls h,
calculata in 0: depinde de 0 si h
Răspunsul sistemelor continue liniare şi invariante în
timp la exponenţiala complexă de modul unitar
2
http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ssist/Cap4.pdf
-
2
h(t) 0j tx t e 0 0
j ty t e H
Functie proprie a SLIT Valoare proprie a SLIT
0 00 0 0
jj
j tj t
H h e d H e
y t e H H e
h(t)
k
tjk
keatx k k
k
kj ty t a H e
k kj t j tk k kk k
y t a S e a H e
Daca semnalul de intrare este o combinatie liniara de exponentiale
complexe iesirea : o combinatie liniara de exponentiale
complexe
3
Transformari ortogonale
• Produsul scalar al vectorilor
1 2 1 2 ... ; ... T T
n nx x x y y y x y
*
1
*
* * *2
1 2 1 1 2 2
*
, ... ... ...
n n n
n
y
yx x x x y x y x y
y
x y
•Produsul scalar al functiilor din L2 [a,b]
*,b
ax t y t x t y t dt
4
-
3
• Se observa ca se indeplinesc urmatoarele conditii:
• Norma ||x|| este finita (spatiul L2):
*
*
*
1 1 1 1
i) , , ,
ii) , , , ,
iii) , , ,
iv) , , ,
v) , , .n m n m
k k l l k l k l
k l k l
x y y x
x y z x y x z
x y x y
x y x y C
x y x y
2 2 2 2 2
1 1 1
1
22
, ...n
k
k
b
a
x x x x
x x t dt
x x x
Un spatiu vectorial cu norma definita prin produsul scalar
este un spatiu Hilbert (teoria aproximarii) 5
• Pentru doi vectori bidimensionali
• Produsul scalar :
-unghiul dintre vectori
Vectori ortogonali (perpendiculari)
1 2 1 2 ;
, cos
x x y y
x i j y i j
x y x y
,cos
x y
x y
, 0 x y x y
Conditia de ortogonalitate : Produsul scalar sa fie zero
6
-
4
Functii ortogonale
• Vom considera doua semnale definite pe
(0,T0), cu T0=2/0 – spatiul L2
[0,T0]
• Produsul scalar este:
0 0cos ; sinx t t y t t
0 0
0
0 0 0 0 0
0 0
0
0 00
1cos ,sin cos sin sin 2
2
cos 2 1 cos 40
4 4
T T
T
t t t t dt t dt
t
7
Spatiul Hilbert
• Un sistem U={uk} de vectori ortogonali doi cate doi se
spune ca este complet in spatiul Hilbert, H, daca nu exista nici un vector xH-U, care sa fie ortogonal pe toti vectorii din U (doar vectorul 0):
• Un sistem complet U formeaza baza ortogonala in
spatiul Hilbert. Pentru orice element x din H, exista o
dezvoltare unica de forma
, 0 0, if .ku x x x H U
, .k kk
x H x a u 8
-
5
• Daca multimea elementelor din U, n, este finita:
spatiu Hilbert finit dimensional, cu dimensiunea n.
• Daca multimea este numarabila dar infinita: spatiu
Hilbert infinit dimensional.
• Versorii {i, j, k} formeaza o baza in spatiul
tridimensional, cu n=3.
• Multimea functiilor {e jk0t}|kZ cu frecventa k0 – o baza infinit dimensionala pentru semnale
periodice in timp continuu, de perioada T0
Exemple
9
Teorema lui Pitagora in spatiul Hilbert. Relatia dintre distanta si produsul scalar
• Fie diferenta intre doi vectori din spatiul Hilbert
• “Distanta” dintre ei:
• Avem in general:
d x y
22 ,d x y x y
22
2 2
,
2Re ,
d x y x y
x x y y
• Daca x si y sunt ortogonali 2 22 ,d x y x y
10
-
6
Exemple, L2 [0,T0]
• Norma pentru semnalele ortogonale
• Distanta dintre semnale este (cf. teoremei lui Pitagora)
• Semnalele ce nu sunt ortogonale nu satisfac teorema lui
Pitagora. Ex:
0 0cos si sint t
0 0
0 02 02 0
0 0 0 0
00 0
1 cos 2 1 1cos sin 2
2 2 2 2 2
T T
T Tt Ttx t t dt dt t
2 0 00 0 0cos ,sin .2 2
T Td t t T
0 0cos si cost t 0
2
0 0 0 0
0
cos , cos cos / 2.
T
t t tdt T
2 0 0 0 0 0 0cos , cos / 2 / 2 2 / 2 2 .d t t T T T T 11
0 0 0 0cos ,sin cos , cos .d t t d t t
12
-
7
• Semnale ortogonale L2 [0,T0]
• Produsul normelor este:
• Inegalitate 0
-
8
• Fie H-spatiu Hilbert, Hs –subspatiu Hilbert. Oricare ar fi
vectorul x din H, exista un vector din Hs care este cea
mai buna aproximare a sa
1. Distanta de la , este mai mica decat distanta de
la x la oricare alt vector din Hs
2. Eroarea de aproximare este ortogonala pe
subspatiul Hs
Teorema proiectiei
2 22
min
2 2 2 2 2 2
,d x x x x
x x x x x x x x
x~
la x x
e x x
15
e x x x
x1 1a u2 2a u
2u
1u
3u
A
B
ABe,BOx~,AOx H = spatiul 3D
Hs= Planul orizontal (spatiul 2D)
16
-
9
Spatiul Hilbert infinit dimensional
• baza ortogonala finita.
Descompunerea semnalului se face:
• Aproximarea se face tot prin trunchiere:
• cu eroare minima
• Cu cat mai multi termeni (N mare): eroarea scade
, , N kU u t k N N
2
,, with
k
k k k
kk
x t u tx t c u t c
u t
N
N k k
k N
x t c u t
2 2 22
N
N k k
k N
x t x t x t c u t
17
• Eroarea devine :
• Inegalitatea lui Bessel
• Semnalul de aproximare converge in medie patratica
catre x(t)
2 22
k k
k
x t c u t
2 2 2 22 2 2
N
N k k k k k k
k k N k N
x t x t c u t c u t c u t
Relatia lui Parseval
2 22 2
N
N k k
k N
x t c u x t
Nx t
2 2
,
22 2
< fiindca
lim 0 lim 0
a b
k k NN N
k N
x t x t L
c u x t x t
18 l.i.m. N
Nx t x t
-
10
1. Avem
Teorema lui Pitagora: ortogonalitate intre cea mai buna
aproximare si eroarea de aproximare
2. Relatia lui Parseval ( teorema energiei,
Rayleigh)
3. Cea mai buna aproximare se obtine prin
trunchierea seriei
Remarci
2 2 2
N Nx t x t x t x t
, 0N Nx t x t x t
2 22
k k
k
W x t c u t
19
Seria Fourier exponentiala
• In spatiul consideram baza ortogonala:
• Pentru un semnal periodic x(t)=x(t+T0)
0
2
0,TL
0 , jk tku t e k Z
0
00 02
0
00
0,, ; Norma
,
T
j k l tjk t jl t
k
k le e e u t T
T k l
0 0
0
0
0
1 2,
jk t jk t
k k
k T
x t c e c x t e dtT T
20
-
11
Seria Fourier trigonometrica
• Relatiile lui Euler
• O baza ortogonala :
• Orice semnal periodic, de perioada T0 poate fi
exprimat sub forma
0 0
2 22 0
0 0 0
1 cos , sin
1 ; cos sin2
k NU , k t k t
TT k t k t
0 0 0 00 01 1
cos ; sin2 2
jk t jk t jk t jk tk t e e k t e e
j
1
000 sincos1k
kk tkbtkaatx
21
Seria Fourier trigonometrica
• Coeficientii seriei sunt:
0
0
0
0 2
0
0
02
00
0
02
00
,1 1, componenta continua
1
,cos 2cos ,
cos
,sin 2sin .
sin
T
k
T
k
T
x ta x t dt
T
x t k ta x t k t dt
Tk t
x t k tb x t k t dt
Tk t
22
-
12
Cateva observatii
1. a0 - componenta continua DC a semnalului x(t)
2. Semnalul fara componenta continua (a0 =0) are
numai componente “oscilante” :
3. Pentru semnale reale:
0 01
cos sin ;k kk
x t a k t b k t
impar 0; par 0;k kx t a x t b
0 0
0 0
*
*
0 0
1 1jk t jk tk k
T T
c x t e dt x t e dt cT T
* *k kx t x t c c
23
4. Puterea semnalului x(t) – relatia lui Parseval:
• O alta forma:
0
2 22 2
0
10
1
2 2
k k
Tk
a bP x t dt a
T
0
2 2 20
0 0 0
1k k
k k T
TWP c P c x t
T T T
24
-
13
Seria Fourier armonica
• Folosind relatia:
• Seria Fourier trigonometrica devine:
• Forma armonica.
2 20 0 0cos sin cosk k k k ka k t b k t a b k t
2 2tg . kk k k kk
bA a b
a
0
0cosk
kk tkAtx
25
Relatii intre coeficienti
• Pentru semnale reale
2 2
0 0 0
1 , 1
2
, 1;
arg , 1 ;
arg , 1;
; arg 0.
k k k k
k k
k k
k k
c a b A k
c c k
c k
c k
c a c
26
-
14
Diagrame spectrale pentru
semnalele reale
• Semnalele periodice se pot reprezenta in
domeniul frecventa.
0
00
2, 02
0,2
Tt
x tT
t T
Semnal rectangular, factor de umplere (duty cycle) 0.5 27
• Componenta continua DC:
• Partea oscilanta este impara
0
1
00
1, 02
1,2
Tt
x tT
t T
00 kak
0
0
2
0 0 0
0 0 0
1 12 1;
T
T
a x t dt dt A aT T
0
0
2
00
0 0 0 0 00
1 1cos2 4 4sin ; 1
T k
k
T
k tb x t k tdt k
T T k T k
2 14
; 1,2,3,...2 1
kb kk
2 0kb 28
-
15
• Forma armonica
01
41 sin 2 1
2 1kx t k t
k
01
41 cos 2 1
2 1 2kx t k t
k
2 1
0
,
armonica de ordinul 2 1 , frecventa 2 1
kA
k k
29
Diagrama spectrala de amplitudini (k0, Ak)
Componenta
continua
Fundamentala
frequency 2/T0
Armonica
de ordinul
2
Armonica
de ordinul
3
Seria Fourier armonica 30
-
16
Diagrama spectrala de faze (k0, k)
Seria Fourier armonica
31
Diagrama spectrala de modul (k0, |ck|)
• Se porneste de la seria Fourier exponentiala
• Coeficientii ck sunt:
0
0
0 0
0
0 0
0
2
0 0 0
2 22 1 2 1
2
11
1 11 12 ; 0
2 2; 1; ; 1
2 1 2 1
0, 0
T
kT
jk t jk t
k
T
j j
k k
k
c x t dt aT
c x t e dt e dt kT T jk
c e k c e kk k
c k
32
-
17
Diagrama spectrala de modul (k0, |ck |)
Frecvente negative
Functie para
2 1
2
2 1kc
k
33 Seria Fourier exponentiala
Diagrama spectrala de faze, pentru
ω>0 si ω
-
18
Alte forme ale relatiei lui Parseval
• Seria Fourier exponentiala :
• Forma trigonometrica si armonica
• Exemplu. Puterea semnalului rectangular:
0
2 2 2 2
0
00
12k k
k kT
P x t dt c c cT
0
2 2 222 2
0 0
1 10
1
2 2 2
k k k
Tk k
a b AP a x t dt A
T
0
0
/ 22
0 0
1 14 2
4
T
T
P x t dt dtT
35
Diagrama spectrala de putere folosind
seria Fourier armonica (k0, Ak2/2)
Semnalul rectangular
Frecvente exclusiv pozitive
Se recomanda folosirea unei reprezentari logaritmice pentru putere ce avantajeaza
reprezentarea puterilor mai putin semnificative 36
-
19
Diagrama spectrala de putere folosind
seria Fourier exponentiala (k0, |ck|2)
Frecvente pozitive si negative 37
• Pentru semnale de banda nelimitata :
– Banda de frecventa este infinita.
– Puterea scade cu cresterea frecventei, tinde spre zero pt frecvente ce tind la infinit
• Banda efectiva de frecvente = gama pozitiva de frecvente ce contin un procentaj semnificativ al puterii semnalului.
• In acest caz, in banda 90 se gaseste 96,5% din puterea semnalului.
38
-
20
Fenomenul Gibbs
•Fizicianul Albert Michelson a construit un
analizor de spectru in 1898.
•La iesirea filtrelor analizorului, a masurat
amplitudinile componentelor spectrale, conform
teoriei
•Cand a incercat sa recompuna prin insumare,
semnalul initial, a observat ca apare o “problema”,
la semnal anume. L-a rugat pe Gibbs sa ii explice
acest fenomen. 39
Semnalul analizat (de banda nelimitata): rectangular
cu factor de umplere 0.5, fara componenta
continua
0 0 04 1 1
sin sin3 sin 5 ...3 5
x t t t t
Printr-o trunchiere in frecventa, pastrand primele n armonici, de ordin
impar, semnalul este aproximat cu unul de banda limitata:
0 0 0 04 1 1 1
sin sin3 sin5 ... sin 2 13 5 2 1
x t t t t n tn
40
-
21
• Si(x) – sinus integral, functie impara
http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
/2
-/2
0
0
0
22 sin 2
Si 2
n tu
x t du n tu
0
sinSi ; Si Si
xu
x du x xu
limSi2x
x
41
Fenomenul Gibbs
• Gibbs a aratat ca trunchiind semnalul rectangular
cu factor de umplere 0.5, si pastrand n armonici
de ordin impar,
• Se obtine
• Semnalele de banda nelimitata nu pot fi perfect
aproximate cu semnale de banda limitata.
0
0
0
22 sin 2
Si 2
n tu
x t du n tu
0 0 0 04 1 1 1
sin sin3 sin5 ... sin 2 13 5 2 1
x t t t t n tn
42
http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
-
22
O unda rectangulara cu T0=1s, cu 2nf0=80f0
Asimptote orizontale: 1, -1
43
• Prima supracrestere (maximul oscilatiei), de
1.18 V apare la momentul tm=6,25ms
-
23
Semnale trunchiate pentru 21 si
respectiv 45 armonici
Se poate observa ca oscilatiile nu scad ca si amplitudine,
dar frecventa lor creste. Semnalul de aproximare converge
in medie patratica catre semnalul x(t). 45
Distributia Dirac periodica
• Pentru [-T/2,T/2] , T(t)= (t).
0
1T k
k
t t kT cT
46
01 jk t
T
k k
t t kT eT
22 2
2 2
1 1 1T Tjk t
Tk T
T T
c t e dt t dtT T T
-
24
Proprietatile seriei Fourier exponentiale
• Coeficientii seriei Fourier a semnalului x, de
perioada T
• Descompunerea Fourier
xkx t c
01
k
T
jk tc x t e dt
T
0 a.p.t.(aproape peste tot)kk
jk tx t c e
47
1. Liniaritatea • semnalele x(t) si y(t) periodice cu perioada T :
, x yk k
x y
k k
x t c y t c
ax t by t ac bc
48
2. Deplasarea în timp 0 00 jk t xkx t t e c
0 00 0 001 1 jk tjk t jk t x
k k
T T
c x t t e dt x e d e cT T
• Deplasarea in timp modulatie cu exponentiala complexa
-
25
3. Conjugarea complexă • Conjugarea complexa in timp reflectarea in domeniul
frecventa si conjugarea complexa
*
* x
kx t c
000 0
*
**
0 0
1 1 j k tjk tk k
T T
c x t e dt x t e dt cT T
49
4. Reflectarea semnalului
001 1 j kjk t x
k k
T T
x
k
c x t e dt x e d cT T
x t x t c
• Reflectarea in timp reflectare in frecventa
5. Scalarea variabilei timp • x(t) - perioada T x(at), perioada T/|a|.
0
0
0 0
/
1 2;
/
1
k
T a
x
k k
T
x
k
jk t
jk
c x at e dt aT T a
c x e d cT
x at c
50
6. Modularea semnalului
0 00 0 0
0
0 0
0
1 1 k kk
T T
j tjk t jk t xk k
jk t xk k
c x t e e dt x t e dt cT T
x t e c
• Modulatia in timp deplasare in domeniul frecventa
-
26
Dualitatea timp-frecventa
• O operatie in timp alta operatie in frecventa:
– De exemplu: modulatie in timp deplasare in
frecventa
• A doua operatie in timp prima operatie in
frecventa.
– Deplasare in timp modulatie in frecventa
• Acest comportament este numit dualitate.
• Reflectarea este o operatie auto-duala
51
7. Produsul a două semnale • Convolutia coeficientilor.
x yk n nn
x yk kx t y t c c c c
52
8. Convoluţia periodică a semnalelor • Semnalele periodice nu au energie finita, si convolutia nu se
poate defini. Se foloseste convolutia circulara sau periodica,
definita pe o perioada.
• Operatii duale: inmultirea ↔ convolutia
x yk kT
z t x y t d x t y t Tc c
-
27
Convoluţia periodică a doua semnale
rectangulare, cu factor de umplere diferit
• Efect de circularitate.
53
9. Derivarea semnalului • Dupa diferentiere, componenta continua=0. Semnalul ramane
periodic. Derivarea in timp inmultirea spectrului cu jkω0.
0 xkdx t
jk cdt
54
00
0
t xxkcx d c
jk
• Pentru ca semnalul sa ramana periodic dupa integrare,
componenta continua trebuie sa fie nula. Integrarea in timp
inmultirea spectrului cu 1/jkω0.
10. Integrarea semnalului
-
28
11. Semnale reale. Seriile
componentelor para si impara
• x(t) semnal real;
• Componentele para xp(t) si impara xi(t).
• Spectrul componentei pare xp(t) –real
• Spectrul componentei impare (semnal real) xi(t) –
pur imaginar
Re2
x
kp
x t x tx t c
Im2
x
ki
x t x tx t j c
55
*
k kc c