![Page 1: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/1.jpg)
SISTEM BILANGAN REALARUM HANDINI PRIMANDARI
![Page 2: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/2.jpg)
Bilangan Real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan Irasional
Berikut adalah Skema Bilangan Real
BILANGAN
Bilangan Real
Bilangan Irasional
Bilangan Rasional
Pecahan
Bulat
Bulat Negatif
Cacah
Asli
Nol
![Page 3: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/3.jpg)
DIAGRAM
R
Bilangan Real
Q
Bilangan Rasional
Z
Bilangan Bulat
N
Bilangan Asli
ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ
![Page 4: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/4.jpg)
Tentukan manakah bilangan rasional atau irasional
LATIHAN 1
![Page 5: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/5.jpg)
SIFAT – SIFAT MEDAN
1. Hukum Komutatif
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
2. Hukum Asosiatif
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
3. Hukum Distribusi
𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
4. Elemen-elemen Identitas
5. Invers
![Page 6: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/6.jpg)
SIFAT-SIFAT URUTAN BILANGAN REAL
1. Trikhotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
2. Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
3. Penambahan
Jika x < y ↔ 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑧
4. Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz.
![Page 7: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/7.jpg)
LATIHAN 2
Sederhanakanlah
1.2𝑥−2𝑥2
𝑥3−2𝑥2+𝑥
2.𝑥2−𝑥−6
𝑥−3
3.2
6𝑦−2+
𝑦
9𝑦2−1−
2𝑦+1
1−3𝑦
4.12
𝑥2+2𝑥+
4
𝑥+
2
𝑥+2
5.
𝑥
𝑥−3−
2
𝑥2−4𝑥+35
𝑥−1+
5
𝑥−3
Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak
diantara kedua bilangan itu.
𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑎 <𝑎 + 𝑏
2< 𝑏
KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL
![Page 8: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/8.jpg)
GARIS BILANGAN (INTERVAL)
Misal dua bilangan a dan b serta berlaku sifat urutan a < b digambarkan pada garis bilangan berikut :
a b
Interval yaitu suatu himpunan bagian dari bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tertentu.
![Page 9: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/9.jpg)
DEFINISI INTERVAL DAN NOTASINYA
Notasi Interval : Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
1. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
2. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
3. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
4. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
5. 𝑎,∞ = 𝑥 𝑥 > 𝑎}
6. 𝑎,∞ = 𝑥 𝑥 ≥ 𝑎}
7. −∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 < 𝑏
8. −∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 ≤ 𝑏
9. −∞,∞ = ℝ
KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL
![Page 10: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/10.jpg)
PERTIDAKSAMAAN REAL
Definisi pertidaksamaan satu peubah yaitu bentuk aljabar dengan satu peubah yang dihubungkan dengan relasi urutan
Bentuk Umum :
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)<𝐶(𝑥)
𝐷(𝑥)
Dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) adalah polinom
B(x), D(x) 0
![Page 11: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/11.jpg)
LATIHAN 3
10𝑥 − 7 < 5𝑥 − 2
−8 ≤ 2𝑥 + 6 < 3
𝑥2 − 2𝑥 < 3
![Page 12: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/12.jpg)
HARGA MUTLAK
Misalkan 𝑥 ∈ ℝ. Harga mutlak dari x, ditulis
𝑥 ≔ ቊ−𝑥 , 𝑥 ≤ 0𝑥 , 𝑥 > 0
Sifat-sifat :
Misalkan x dan y bilangan-bilangan Real,
1. 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦
2.𝑥
𝑦=
𝑥
𝑦
3. 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦
4. |𝑎 − 𝑏| ≥ | 𝑎 − |𝑏||
5. 𝑥 ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
![Page 13: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/13.jpg)
Tentukan himpunan penyelesaian:
LATIHAN 4
2
2
1) 2 1 5
2) 3 14 4
3) 2 4 2 3 0
44) 3 6
25) 4 7
x
x x
x x
x
x
![Page 14: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/14.jpg)
Jika a adalah bilangan real dan p adalah bilangan bulat positif, maka:
𝑎1 = 𝑎, 𝑎𝑝 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙∙∙ 𝑎 ∙ 𝑎 (sebanyak p)
Dimana 𝑎 ≠ 0; 𝑎0 = 1, 𝑎−𝑝 =1
𝑎𝑝
𝑎𝑝+𝑞 = 𝑎𝑝𝑎𝑞, 𝑎𝑝−𝑞 = 𝑎𝑝𝑎−𝑞 , 𝑎𝑞 𝑝 = 𝑎𝑝𝑞
𝑎1
𝑞 =𝑞𝑎, dimana a bilangan non-negatif
PANGKAT DAN AKAR
![Page 15: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/15.jpg)
SISTEM KOORDINATKOORDINAT CARTESIUS DAN KUTUB
![Page 16: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/16.jpg)
KOORDINAT CARTESIUS
![Page 17: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/17.jpg)
RUMUS JARAK
Rumus jarak berkenan dengan Teorema Pythagoras
Misalkan kita memiliki titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2), maka jarak antara P dan Q
2 2 2a b c
y
x
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
R(x2,y1)
2 2
2 1 2 1d P,Q x x y y
![Page 18: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/18.jpg)
JARAK TITIK KE GARIS
Jarak titik A(x0,y0) ke garis g:ax+by+c=0 dirumuskan:
Contoh:
jarak titik D (4,-1) ke garis 3x-4y=5, yaitu
0 0
2 2
ax by cd A,g
a b
3 4 4 ( 1) 5 11d
59 16
![Page 19: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/19.jpg)
SISTEM KOORDINAT KUTUB
Titik P adalah perpotongan antaralingkaran dengan sinar garis O. Jika radalah jari-jari lingkaran dan θ adalah
sudut antara sinar garis dengan sumbu
kutub, maka (r, θ) dinamakan koordinatkutub (polar)
o
𝑃(𝑟, 𝜃)
x
![Page 20: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/20.jpg)
Misalkan sumbu kutub berimpit dengan sumbu X pada koordinat kartesius, makaakan berlaku hubungan berikut:
𝜃
P(x,y)=(r,𝜃)
x
y
ytan
x
ysin
r
xcos
r
2 2 2
x r cos
y r sin
r x y
![Page 21: Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol. DIAGRAM R ... adalah polinom B(x), D(x) 0. ... ᧮ , dimana a bilangan non-negatif](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020115/5c7ed45e09d3f2a03f8bb8f3/html5/thumbnails/21.jpg)
LATIHAN 5
1. Tentukan koordinat kutub dari 3,− 3
2. Tentukan koordinat kartesius dari 4,2
3𝜋
3. Tentukan persamaan kutub dari 2𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0