Download - SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
![Page 1: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/1.jpg)
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)Bentuk umum :
dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.
SPLMempunyai penyelesaiandisebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaiandisebut TIDAK KONSISTEN
TUNGGAL
BANYAK
![Page 2: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/2.jpg)
ILUSTRASI GRAFIK• SPL 2 persamaan 2 variabel:
• Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.
kedua garis sejajar kedua garis berpotongankedua garis berhimpitan
![Page 3: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/3.jpg)
PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS
SPL BENTUK MATRIKS
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyaipenyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yanglebih sederhana.
![Page 4: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/4.jpg)
TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL
SPL1. Mengalikan suatu
persamaan dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu
persamaan ke persamaan lainnya.
MATRIKS1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua baris sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu
baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder-hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris
![Page 5: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/5.jpg)
CONTOH
DIKETAHUI
kalikan pers (i) dengan (-2), kemu-dian tambahkan kepers (ii).
kalikan baris (i)dengan (-2), lalutambahkan kebaris (ii).
…………(i)…………(ii)…………(iii)
kalikan pers (i) dengan (-3), kemu-dian tambahkan kepers (iii).
kalikan baris (i)dengan (-3), lalutambahkan kebaris (iii).
kalikan pers (ii) dengan (1/2).
kalikan baris (ii)dengan (1/2).
![Page 6: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/6.jpg)
kalikan pers (iii)dengan (-2).
kalikan brs (iii) dengan (-2).
LANJUTAN CONTOH
kalikan pers (ii) dengan (1/2).
kalikan baris (ii)dengan (1/2).
kalikan pers (ii) dengan (-3), lalutambahkan ke pers(iii).
kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii).
kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).
kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).
![Page 7: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/7.jpg)
Lanjutan CONTOH
kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).
kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).
kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii)
kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii)
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasimatriksnya. Metoda ini berikutnya disebut denganMETODA ELIMINASI GAUSS.
KERJAKAN EXERCISE SET 1.1
![Page 8: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/8.jpg)
BENTUK ECHELON-BARISMisalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:
maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.
Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian
bawah.3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada
leading 1 baris berikut.4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.
![Page 9: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/9.jpg)
Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi
Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebutbentuk echelon-baris. CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:
CONTOH bentuk echelon-baris:
![Page 10: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/10.jpg)
Bentuk umum echelon-baris
dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.
![Page 11: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/11.jpg)
Bentuk umum echelon-baris tereduksi
dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.
![Page 12: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/12.jpg)
Penyelesaian SPL melalui bentuk echelon-baris
Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:
Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas.
![Page 13: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/13.jpg)
METODA GAUSS-JORDAN
Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah
matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi.
CONTOH: Diberikan SPL berikut.
Bentuk matriks SPL ini adalah:
![Page 14: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/14.jpg)
-2B1 + B2B2
5B2+B3 B3
6 18 0 8 4 0 00 0 0 0 0 0 01- 3- 0 2- 1- 0 00 0 2 0 2- 3 1B4 B4+4B2
B3 ⇄ B4 B3 B3/3
-3B3+B2B2
2B2+B1B1
![Page 15: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/15.jpg)
Akhirnya diperoleh:
Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperolehpenyelesaian:
dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai takberhingga banyak penyelesaian.
![Page 16: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/16.jpg)
METODA SUBSTITUSI MUNDURMisalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:
Bentuk ini ekuivalen dengan:
LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:
LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh
![Page 17: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/17.jpg)
LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDURLANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:
LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:
![Page 18: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/18.jpg)
Eliminasi GaussianMengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur.
CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian
PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:
Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut:
![Page 19: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/19.jpg)
• Kerjakan Exercise set 1.2 No. 1 – 11.
![Page 20: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/20.jpg)
SPL HOMOGEN• Bentuk umum:
• Penyelesaian trivial (sederhana):
• Bila ada penyelesaian lain yang tidak semuanya nol maka disebut penyelesaian taktrivial.
![Page 21: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/21.jpg)
SPL HOMOGEN
pasti ada penyelesaian trivial
penyelesaian trivial +takberhingga banyakpenyelesaian taktrivial
atau
ILUSTRASI:
![Page 22: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/22.jpg)
Syarat cukup SPL homogen mempunyai penyelesaian taktrivial
• Bila banyak variabel n lebih dari banyak persamaan m maka SPL homogen mempaunyai penyelesaian taktrivial.
• CONTOH:
• Bentuk matriks:
# variabel = 5# persamaan = 4.
![Page 23: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/23.jpg)
Bentuk akhir echelon-baris tereduksi:
PENYELESAIAN UMUMNYA :
.,0,,, 54321 txxtxsxtsx dimana penyelesaian trivialnya terjadi pada saat s=t=0.
• Proses OBE dalam untuk menghasilkan bentuk echeleon-baris tereduksi tidak mempengaruhi kolom akhir matrik.• Bila banyak persamaan awal n maka banyak pers. akhir r tidak melebihi n, yaitu r ≤ n.
![Page 24: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/24.jpg)
PENYELESAIAN SPL PADA KOMPUTER
• Software komputasi yg dilengkapi alat (tool) untuk menyelesaikan SPL:– MATLAB, - MAPLE, – MATHCAD, -MATHEMATICA, DLL.
• Umumnya menggunakan algoritma:– Eliminasi Gauss, atau eliminasi Gauss-Jordan
• Prinsip penulisan program:– menekan kesalahan pembulatan, minimalisasi
memori komputer, memaksimumkan speed.
![Page 25: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/25.jpg)
SPL PADA MATLAB
• Diperhatikan SPL AX = b, mis A bujur sangkar, i.e. #pers = #var.
• LANGKAH-LANGKAH:– didefinisikan matriks A:
>>A=[a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]– didefinisikan vektor ruas kanan b:
>>b=[b1;b2;b3]– panggil penyelesaiannya:
>>X=A\b
![Page 26: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/26.jpg)
• CONTOH: diperhatikan SPL• Telah diketahui SPL ini mempunyai
penyelesaian• Menggunakan MATLAB:
>> A=[1 1 2;2 4 -3;3 6 -5];>> b=[9;1;0];>>X=A\b>>X = 1.0000 2.0000 3.0000
• Penyelsaian yang diperoleh sama dengan hasil manual kita.
![Page 27: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/27.jpg)
• Bila A invertibel, yaitu A-1 ada maka berlaku AX = b X = A-1b.
• Perintah pada MATLAB sbb:>>X = inv(A)*b
X = 1.0000 2.0000 3.0000• Bila A tidak mempunyai invers, SPL AX=b masih
memungkinkan penyelesaian. Akan dibahas kelak.
![Page 28: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/28.jpg)
Membentuk echelon-baris tereduksi dengan MATLAB
>>A=[1 3 -2 0 2 0;2 6 -5 -2 4 -3;...0 0 5 10 0 15;2 6 0 8 4 18];
>>b=[0;-1;5;6];>>rref([A b])ans = 1.0000 3.0000 0 4.0000 2.0000 0 0 0 0 1.0000 2.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 0 0
Bandingkan dengan hasil yang sudah kita peroleh.
![Page 29: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/29.jpg)
SPL tidak bujur sangkar
• Ubah menjadi bentuk echelon-baris tereduksi dengan fungsi rref.
• Selesaikan dengan cara manual.• CONTOH: diberikan SPL
• Dengan menggunakan rref pada MATLAB diperoleh bentuk echelon-baris sbb:
![Page 30: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/30.jpg)
1 0 0 -4 0 1 0 2 0 0 1 7 0 0 0 0• Diperoleh x3 = 7, x2 = 2 dan x1 = -4.• Bandingkan dengan hasil manual
yang sudah anda peroleh.• SPL Homogen dilakukan dengan cara
yang sejalan.TUGAS: Kerjakan Exercise 1.2 No. 12 s.d. 28
![Page 31: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/31.jpg)
MATRIKS
• MATRIKS adalah array bilangan dalam bentuk persegi panjang.
• CONTOH:
![Page 32: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/32.jpg)
• Ukuran matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolomnya. Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom dikatakan berukuran m x n.
• Elemen pada baris ke i dan kolom ke j matriks A ditulis aij. Bentuk umum:
• Notasi lain elemen aij adalah
atau
![Page 33: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/33.jpg)
Matriks mempunyai
Bentuk-bentuk matriks khusus:1. Vektor baris: matriks dengan 1 baris, Vektor kolom: matriks dengan 1 kolom.
2. Matriks bujursangkar: banyak baris = kolom atau m=n.
Diagonal utama d=[a11, a22, . . . ,ann]
![Page 34: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/34.jpg)
OPERASI MATRIKS• Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A=B jika atau • Jumlahan A+B matriks yang diperoleh dengan menjum-
lahkan elemen-elemen yang bersesuaian pada A dan B. Dua matriks dapat dijumlahkan jika ukurannya sama. DKL,
• Perkalian AB didefinisikan sbb:
![Page 35: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050709/56816096550346895dcfbe99/html5/thumbnails/35.jpg)
Agar matriks A dan B dapat dikalikan maka haruslah banyak kolom A sama dengan banyak baris B.