![Page 1: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/1.jpg)
Sistemas compartimentalesSistemas compartimentales
Modelización de Sistemas Biológicos (por Computadora)
FIUNER
![Page 2: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/2.jpg)
Organización
• Parte I
– Introducción: concepto de modelo
– Etapas de la modelización
– Modelos Compartimentales– Modelos Compartimentales
– Modelos Poblacionales
– Modelos por Analogías
![Page 3: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/3.jpg)
Objetivos
• Repasar las bases de la modelización.
• Distinguir las características de la
Modelización Compartimental
• Aplicar las etapas implicadas en el proceso • Aplicar las etapas implicadas en el proceso
de modelización.
• Aprender a modelizar sistemas biológicos
de diferentes naturalezas.
• Analizar algunos ejemplos de
modelos biológicos.
![Page 4: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/4.jpg)
Modelos compartimentales
• Repaso
• Conceptos y definiciones.
• Etapas de la modelización en modelos • Etapas de la modelización en modelos
compartimentales
• Del modelo conceptual al físico
• Del modelo físico al matemático
• Ejemplos
• ¿Las poblaciones como compartimentos?
![Page 5: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/5.jpg)
Clasificación de modelos
De acuerdo a la estrategiade resolución del sistema
• Compartimentales
• Poblacionales
• Analogías• Analogías
• Autómatas – Determinísticos
– Probabilísticos
»Agentes
![Page 6: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/6.jpg)
Cuándo usar una determinada
estrategia de modelización
Compartimental: – El sistema puede ser subdividido en un conjunto
acotado de subsistemas (variables endógenas)
– Sistemas estables– Sistemas estables
– Existe una ley de cierre o conservación
![Page 7: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/7.jpg)
Repaso
Definición alternativa de Modelo
• Modelo: una descripción de un sistema
– Sistema: cualq. colección interrelacionada de objetos
• Objeto: unidad elemental sobre la que se pueden hacer • Objeto: unidad elemental sobre la que se pueden hacer
observaciones, pero cuya estructura interna no se conoce o
es ignorada (caja negra)
– Descripción: es una señal que puede ser decodificada
o interpretada por los humanos.
J.W. Haefner: “Modeling Biological Systems”, Springer, NY, 2005
![Page 8: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/8.jpg)
Compartimental: Concepto
• Es posible subdividir conceptualmente el sistema en un número acotado de subsistemas (compartimentos)
• Es posible determinar un conjunto de propiedades cuantificables (señales) en
cada uno de los subsistemas
El concepto de sistema compartimental tiene aplicación en una gran variedad de campos
![Page 9: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/9.jpg)
Definiciones Compartimento...
• 1948: Sheppard estudia problemas de cinética química y define compartimento como: “volumen fijo de material homogéneo”. homogéneo”.
• Posteriormente: “Cantidad de algún material que actúa cinéticamente, tanto si está mezclado como si forma parte de una reacción química ó en transporte de material entre dos regiones.”
![Page 10: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/10.jpg)
Compartimentodefinición actual
Regióno volumen cuya distribución de distribución de
sustancia o energíaes uniforme
y que además actúa cinéticamente…
![Page 11: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/11.jpg)
Definiciones Compartimento...
I. Cantidad de un material en un espacio
físico.
x1
II. Diferentes sustancias en un mismo espacio
físico.
x2
x3
![Page 12: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/12.jpg)
Compartimento: características
• Diferentes compartimentos pueden ser
diferentes sustancias, energías, materiales, etc.
• El transporte de flujo de uno a otro significa • El transporte de flujo de uno a otro significa una transformación que no necesita estar acompañada de otro volumen, es decir, esta
transformación puede ocurrir en un mismo espacio físico.
• Existe una ley de conservación de alguna cantidad (masa, energía o cualquier otra entidad física).
![Page 13: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/13.jpg)
Ejemplos
tejidosangre
lagunabosque
Farmacología EcologíaFarmacología Ecología
Otros:Cinética de Reacciones Químicas, Economía,Física Nuclear, etc
x1 x2
![Page 14: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/14.jpg)
Observación
• El problema de cinética de poblaciones
parece estar en desacuerdo con nuestra
definición anterior, por eso es que se trata
por separado.por separado.
No es homogéneo
No hay conservación
![Page 15: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/15.jpg)
Disparador: Difusión
• La difusión es un proceso por el
cual diversas partículas
materiales se esparcen de
forma homogénea en un
medio.medio.
• Existe balance de masa pero
hay aumento de entropía del
sistema conjunto, siendo un
proceso físico irreversible.
• Normalmente los procesos de
difusión están sujetos a la Ley
de Fick.
![Page 16: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/16.jpg)
Difusión: Ley de Fick
• En honor del médico
alemán Adolf Eugen
Fick (1829-1901).
• Estudio la difusión y • Estudio la difusión y
osmosis de un gas a
través de una
membrana.
• En 1855 derivó sus
leyes de la difusión.
![Page 17: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/17.jpg)
Difusión: Ley de Fick
• El paso aleatorio de las moléculas se lleva a cabo desde las regiones con mayor concentración hacia las de menor concentración. menor concentración.
• El flujo de sustancia irá en el sentido opuesto del gradiente de concentración (en las
soluciones el disolvente se mueve en el
sentido del gradiente).
![Page 18: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/18.jpg)
Difusión: casos
• Libre.
• Por membrana:
–Biológica.–Biológica.
–Artificial.
![Page 19: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/19.jpg)
Membranas biológicas: células y epitelios
• Una membrana permeable puede permitir el paso selectivo de partículas o gases.partículas o gases.
• La difusión es frecuente como forma de transporte entre las células.
![Page 20: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/20.jpg)
Ley de Fick
• Ley de Fick (para flujos pequeños): q número efectivo de
partículas que atraviesan en la unidad de tiempo un área A
perpendicular a la dirección en la que tiene lugar la difusión
dcDA
dq −=
siendo D el coeficiente de difusión de la especie de
concentración c y dx es el espesor de la membrana.
dx
dcDA
dt
dq −=
![Page 21: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/21.jpg)
Ley de Fick en compartimentos
• Si suponemos volúmenes constantes y distribución
homogénea (y el resto de las condiciones anteriores):
iijjjijii qkqk
v
q
v
q
dx
DA
dx
dcDA
dt
dq −=
−−=−= iijjjiji
qkqkvvdxdx
DAdt
−=
−−=−=
kq
iq j
kij
ji
Vi Vj
qiqj
![Page 22: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/22.jpg)
Difusión: modelo matemático
x i xj
kij
φoi φoj
ioiijjjioii xkxk
dt
dx φφ −−+= ∑∑
kx i xj
ji
φ io φjo
![Page 23: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/23.jpg)
Enfoque Intuitivo
kxi xj
kij
ji
φoi
φio
φoj
φjo
Modelo físicodiagramático
• La diferencia entre lo que sale y lo que entra al compartimento (por
unidad de tiempo) es la tasa de cambio
Balance de Masa
• Lo que hizo al análisis compartimental particularmente atractivo en
ciencias físicas o biológicas es su “intuitiva razonabilidad”.
φio φjo
![Page 24: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/24.jpg)
Enfoque Analítico...
• El modelo matemático al que arriban
los modelos compartimentales son
normalmente representados
mediante sistemas de ecuaciones mediante sistemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer
orden.
==
==
==
0,021
0,2022122
0,1012111
)();,...,,,(
)();,...,,,(
)();,...,,,(
NNNNN
N
N
qtqqqqtfdt
dq
qtqqqqtfdt
dq
qtqqqqtfdt
dq
M
![Page 25: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/25.jpg)
Enfoque Analítico...
• La construcción del modelo matemático se
lleva a cabo en base a las relaciones entre
las variables, que se obtienen a partir de las variables, que se obtienen a partir de
resultados experimentales, de
simplificaciones de estas relaciones o de
suposiciones.Parámetros
![Page 26: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/26.jpg)
Etapas de la modelización
Sistema
real
Modelo Conceptual
(MC)
Datos del
sistema real
Datos del
sistema real
diseñodiseño
experimentalexperimental
Modelo Físico
(MF)
(MC)
Modelo Matemático
(MM)
Resolución o
Simulación
Datos de la
simulación
Datos de la
simulación
????
predicción,
nuevas hipótesis e
investigaciones
iintegraciónntegración
numéricanumérica
![Page 27: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/27.jpg)
MC → MF: sistemas catenarios
• Los compartimentos están conectados en
serie y cada compartimento intercambia
exclusivamente con el precedente y con el
siguiente
kxi xj
kij
ji
φoi
φio
φoj
φjo
![Page 28: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/28.jpg)
MC → MF: sistemas mamilares
• Un compartimento central (madre) está rodeado por compartimentos
compartimentos periféricos (hijos) que intercambian exclusivamente con el compartimento central
![Page 29: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/29.jpg)
MC → MF: otras topologías
• Existe la posibilidad de diseñar topologías arbitrarias que se ajusten al problema ajusten al problema bajo estudio…
![Page 30: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/30.jpg)
MF → MM: ley de conservación
• Los sistemas compartimentales son sistemas
en los cuales la ley básica que los gobierna
es la de la conservación de una cantidad: es la de la conservación de una cantidad:
masa, energía o cualquier otra entidad física.
![Page 31: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/31.jpg)
MF → MM: ecuaciones
• Los modelos compartimentales son normalmente representados mediante sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
==
==
0,2022122
0,1012111
)();,...,,,(
)();,...,,,(
N
N
qtqqqqtfdt
dq
qtqqqqtfdt
dq
• Por convención se asume que las constantes son no negativas
• Generan sistemas estables
== 0,021
0,202212
)();,...,,,( NNNNN
N
qtqqqqtfdt
dq
dtM
![Page 32: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/32.jpg)
Resolución o Simulación
La resolución puede abordarse de distintas formas:
1. Utilizando autovalores y autovectores: Casos de entradas puntuales (i(t)=0, en t=0) o continuas constante (i(t)= i ).
2. Utilizando la transformada de Laplace:2. Utilizando la transformada de Laplace:Cuando las entradas i(t) son variables en el tiempo.
3. Utilizando métodos de simulación numérica:Cuando los procedimientos 1 y 2 son difíciles de utilizar o se prefiere la simulación numérica.
4. Aplicación de fórmulas que dan la solución directa:
Obtenidas por algunos de los métodos anteriores, a sistemas que
cumplen determinadas condiciones.
![Page 33: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/33.jpg)
Resolución por autovalores y
autovectores
• El MM (lineal) con el que estamos tratando:
=++= 0,10111212111
1 )();(,..., NN qtqtbqkqkqkdt
dq
puede re-escribirse en forma matricial.
=++=
=++=
0,02211
0,202222221212
)();(,...,
)();(,...,
NNNNNNNNN
NN
qtqtbqkqkqkdt
dq
qtqtbqkqkqkdt
dqdt
M
![Page 34: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/34.jpg)
• Como:
q'(t) = K q(t) + B(t)
Resolución por autovalores y
autovectores
• donde:
– K es la matriz (N x N) de los coeficientes de trasferencia { kij}, que los consideramos constantes.
– q(t)= { q1, q2, ...,qN} T es el vector columna que indica la variable en cada compartimento en función de t.
– B(t)= { b1(t), b2(t), ..., bN(t)} T es el vector columna que indica las incorporaciones desde el exterior y las salidas al exterior desde cada compartimento.
![Page 35: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/35.jpg)
• La solución completa, o general, es la suma de
la solución del sistema homogéneo:
q'(t) = K q (t)
más la solución particular.
Resolución por autovalores y
autovectores
más la solución particular.
• Cuando los elementos de K son constantes, el
sistema admite soluciones de la forma:
q = v eα.t
siendo α los autovaloresde K y v los
autovectores asociados.
![Page 36: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/36.jpg)
• Estos autovalores y autovectores de la
matriz K se obtienen a partir de la
solución de la siguiente ecuación:
Resolución por autovalores y
autovectores
|K - α I | v = 0
siendo I la matriz identidad.
![Page 37: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/37.jpg)
• La solución del sistema anterior (diferente de la
trivial v = 0) para el caso en que los α sean
reales y diferentes conduce a la solución
general:
Resolución por autovalores y
autovectores
general:
• donde c1, ..., cn , son constantes arbitrarias que
se determinan a partir de las condiciones
iniciales.
tnn
t ncc 11 ev ...e v 1 αα rr ++=q
![Page 38: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/38.jpg)
Ej.1: Sistema catenario elemental
2b1Q a21
1a02
> >
(Q ) ( )
( ) ( )tqatqadt
dq
tqatdt
dq
2021212
12111
−=
−=b
![Page 39: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/39.jpg)
Ej.1: Sistema catenario elemental
• Supongamos que:
– b =0,
( )
( ) ( )tqatqadt
dq
tqadt
dq
2021212
121 11
−=
− + (Q )tb=
(Q )t(a) Los elementos no diagonales son no negativos.
– b1
=0,
– q1(0)=b
1,
– q2(0)=0.
• entonces: ( )
2102
121
2
11
)( )(
2102
21
aa
eebatq
ebtqtata
ta
+−−
−=
=−−
−
(Q )t no negativos.(b) Los elementos diagonales son negativos.(c) La suma de cualquier columna, sea la j-ésima, es el número no positivo -a0j.
Matríz Compartimental
![Page 40: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/40.jpg)
Ej.1: Sistema catenario elemental
0.6
0.8
1
q1 (t)>>
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
q2 (t)
(para b1=1 y a21 > a02)
2b1(t) a21
1a02
![Page 41: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/41.jpg)
knkn-1
n-1 n
Ej. I: Sistema catenario
elemental
1b1(t)
−= ∑
∏Π
=
≠=
−−
=
n
jn
jiiji
tk
j
n
jn
kk
ekbtq
j
1
,1
1
11
)()(
![Page 42: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/42.jpg)
Ej.2: Difusión por Membrana
Consideraciones:
• El volumen de cada compartimento permanece constante.
• Cualquier sustancia que ingresa a un
compartimento se distribuye compartimento se distribuye instantáneamente (homogeneidad).
Lejos del punto de saturación
• La cantidad de materia que egresa por
unidad de tiempo es proporcional a la cantidad total en el compartimiento (conservación).
![Page 43: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/43.jpg)
Ej.2: consideraciones
• La membrana porosa ofrece resistencia al
pasaje de fluido.
• No hay reacción entre los elementos de cada
compartimento.compartimento.
• El transporte es pasivo en la dirección del
gradiente de concentración.
![Page 44: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/44.jpg)
Fenómenos de difusión por
membrana
Transporte de nutrientes Transporte de
oxígenoTransporte de fármacos Transporte de
desechos
![Page 45: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/45.jpg)
Ej. 2: Difusión por membrana:
Intercambio de gases inertes en
mamíferos
– Absorción y eliminación de N2 por parte de los
distintos tejidos del organismo a través de los
pulmones y la circulación.
Y(t) = A(1 - e-kt)
(Rosen, Cap. 5, pp. 255)
Y(t) = A(1 - e-kt)
![Page 46: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/46.jpg)
Intercambio de gases inertes en
mamíferos
• La medición experimental de la eliminación de N2, respirando O2 puro, puede expresarse según:
Y(t) = A(1 - e-kt) (1)
donde:
• Y(t) es la cantidad de N2 eliminado hasta el tiempo t,
• A es la cantidad total -?- de N2 contenida por el cuerpo en t=0,
• t=0 es el instante en que comienza la inspiración de O2 puro.
Y(t) = A(1 - e-kt)
![Page 47: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/47.jpg)
Intercambio de gases inertes en
mamíferos• Las suposiciones implícitas en la
expresión de este modelo, se ponen en evidencia en la ecuación diferencial, de la cual es solución la expresión (1), N disuelto2
kdY/dt = -k.Y, Y(0) = 0
donde k es una constante de velocidad de eliminación del nitrógeno.
• Esto implica un sistema cerrado de dos compartimentos con transporte en un solo sentido.
Atmósfera
k
![Page 48: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/48.jpg)
Intercambio de gases inertes en
mamíferos
• Podría proponerse que la curva es la
superposición de dos procesos:
1. La eliminación del nitrógeno de los tejidos
acuosos donde el LEC es más abundante.acuosos donde el LEC es más abundante.
2. La eliminación del tejido adiposo y de otros
componentes del cuerpo.
• Esto implicaría la utilización de un
sistema cerrado tri-compartimental como
modelo.
![Page 49: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/49.jpg)
Intercambio de gases inertes en
mamíferos
• Esto abre dos posibles MF:
Z
(tejido adiposo)
X
(LEC)
Y
(medio ambiente)
Y
(medio ambiente)
k2 k1
Z
(tejido adiposo)
X
(LEC)
Y
(medio ambiente)
Y
(medio ambiente)
k3
k4
![Page 50: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/50.jpg)
Intercambio de gases inertes en
mamíferos
• Y sus correspondientes MM:MODELO EN SERIE MODELO EN PARALELO
dY/dt = k1 X dY/dt = k3 Z + k4 X
Z
(tejido adiposo)
X
(LEC)
Y
(medio ambiente)
Y
(medio ambiente)
k2 k1
Z
(tejido adiposo)
X
(LEC)
Y
(medio ambiente)
Y
(medio ambiente)
k3
k4
dX/dt = k2 Z - k1 X dX/dt = -k4 X
dZ/dt = -k2 Z dZ/dt = -k3 Z Condiciones InicialesX(0)=Xo Z(0)=ZoY(0)=0 Xo+Zo=A
Condiciones InicialesX(0)=Xo Z(0)=ZoY(0)=0 Xo+Zo=A
![Page 51: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/51.jpg)
Intercambio de gases inertes en
mamíferos
• Las soluciones Y(t), la variable en estudio, para cada
uno de los sistemas son ambas de la forma:
Y = A + B e-λ1t + C e-λ
2t (2)Y = A + B e 1 + C e 2 (2)
donde los λi es combinación lineal de las constantes
ki (constantes de velocidad de 1er orden entre los
compartimentos).
![Page 52: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/52.jpg)
Intercambio de gases inertes en
mamíferos
Y = A + B e-λ1t + C e-λ
2t (2)
MODELO EN SERIE MODELO EN PARALELO
B=k2/(k1-k2) Z0-X0 B= -X0
Z
(tejido adiposo)
X
(LEC)
Y
(medio ambiente)
Y
(medio ambiente)
k2 k1
Z
(tejido adiposo)
X
(LEC)
Y
(medio ambiente)
Y
(medio ambiente)
k3
k4
B=k2/(k1-k2) Z0-X0 B= -X0
C=k1/(k2-k1) Z0 C= -Z0
![Page 53: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/53.jpg)
Ej.3: Incorporación de plomo
Ambiente
IL µg/ diaAlimetos, aire, agua.
3
Huesos
x3 (t)
2
Tejidos superf
x2 (t)
1
Sangre
x1 (t)
a13
a31
a21
a12
a41Orina a42Pelos. Ropas.
4
Exterior
![Page 54: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/54.jpg)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )txaatxadt
dx
Itxatxatxaaadt
dxL
212421212
31321213121411
+−=
+++++−=
Ej.3: Incorporación de plomo
( ) ( ) ( )
( ) ( )txatxadt
dx
txaatxadt
3131313
21242121
−=
+−=Ambiente
3
Huesos
x3
(t)
2
Tejidos
x2
(t)
1
Sangre
x1
(t)
a13
a31
a21
a12
IL
µg/ diaAlimetos, aire, agua.
a41
Orina a42
Pelos. Ropas.
4
Exterior
![Page 55: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/55.jpg)
Ej.3: Incorporación de plomo
2000
x1
(t)
x3
(t)
Ambiente
3Huesos
x3(t)
2Tejidos
x2(t)
1Sangre
x1(t)
a13
a31
a21
a12
IL µg/diaAlimetos, aire, agua.
a41Orina a42Pelos. Ropas.
4Exterior
100 200 300 400
500
1000
1500
x1
(t)
x2
(t)
![Page 56: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/56.jpg)
Ej. 4: Regulación de la Glucosa en
Sangre
![Page 57: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/57.jpg)
Ej. 4: Regulación de la glucosa en
sangre
Gs<Gn n
k3(Gs-Gn)
k2(Gs-Gn)
Gs<Gn
Gs>Gn
n
n
![Page 58: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/58.jpg)
Regulación de Glucosa en Sangre
![Page 59: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/59.jpg)
Otros ejemplos...
• Competencia de Gases
• Anestesia por inhalación
• Isótopos trazadores
• Transporte de O2 en Microcirculación
• …………………..
![Page 60: Sistemas compartimentales - FIUNERmodelizacion-fiuner.wdfiles.com/local--files/teorias/Compartimental... · propiedades cuantificables (señales) en cada uno de los subsistemas El](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042208/5eab12008370be201c32a313/html5/thumbnails/60.jpg)
Bibliografía
• "Foundations of Mathematical Biology", Rosen, Vol II.
• "Introducción a la Bioingenieria", Marcombo-Boixareu Editores, 1988.
• “Physiological Control Systems”, Michael C. Khoo, IEEE Press, 2000.
• “Modeling Biological Systems”, J.W. Haefner, Springer, NY, 2005
• "Modelling with Diferencial Equations", Burghes-Borrie.
• "Computer Modelling of Complex Biological Systems", S. SitharamaIyengar, CRC Press.Iyengar, CRC Press.
• "Modelling and Control in Biomedical Systems", Cobelli-Mariani, 1988.
• "Matemáticas para Biólogos", Hadeler
• "Farmacocinética Clínica", John G. Wagner, Ed. Reverté, S.A., 1983.
• "Drugs and Pharmaceutical Sciences", Gibaldi
• "An introduction to Mathematical Modelling", Bender.
• "Elementos de Biomatematica", Engel, Sec Gral de la OEA., Programa Regional de Desarrollo Científico, 1979.