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Sistemas continuos
Francisco Carlos Calderón
PUJ 2010
Objetivos
Definir las propiedades básicas de los sistemas continuos
Analizar la respuesta en el tiempo de un SLIT continuo
Definición y clasificación
Puede verse un sistema como un proceso que transforma señales de entrada en otras a la salida, mediante la interconexión de componentes, dispositivos o subsistemas.
Sistemas en tiempo continuo Sistemas en tiempo discreto
tx ty ][nx ][nyH H
)(tx )(tyH
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo
Sistemas lineales y no lineales:Un sistema lineal es aquel que cumple la
propiedad de superposición.
1. La respuesta a x2(t)+ x1(t) es y1(t)+ y2(t)
2. La respuesta a
Conocidas como las propiedades de aditividad y escalamiento u Homogeneidad
)( es )( 11 taytax
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo
Si el sistema es lineal, una entrada que sea cero todo el tiempo resulta en una salida que sea cero todo el tiempo.
0)(0)(00
)()(
tytx
tytx
Sistemas lineales “deben cumplir”
tx1
tx 2
H
H
a
b
a
b
tx1
tx 2
H ty 3
tx 3
Que sean iguales
ay1 t by 2 t
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo Sistemas con y sin memoria Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para
cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento.Ej
Si entrada es la salida es: . De donde se aprecia que la salida depende de entradas a tiempos diferentes de t0. Por lo tanto el sistema es Con Memoria.
0tx 00 22 txtx
txtxty 22
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo
Invertibilidad y sistemas inversos Sistema Invertible: Si un sistema es invertible
debe existir un sistema inverso, tal que al interconectarlo en cascada con el sistema original produce una salida igual a la entrada del primer sistema.
tx tx ty
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo Causalidad Sistema Causal: Si su salida en cualquier
instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).
CAUSAL:
NO-CAUSAL:
txty
txty
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo
Estabilidad Sistema Estable: Es aquel que a entradas
acotadas produce salidas que no divergen. ESTABLE: sen(t). NO-ESTABLE: 1/t ,
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo
Invariante en el tiempo Sistema Invariante en el tiempo: Si el
comportamiento y características del mismo están fijos en el tiempo.
Sistemas Invariantes “deben cumplir”
tx1 otty 1H
0t
tx1 ty 2H0t
tx 2
ty1
Que sean iguales
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo “continuos y discretos” Este tipo de sistemas son conocidos como
SLIT o LTI(ingles). Muchos fenómenos físicos pueden
modelarse mediante estos sistemas. El análisis matemático del comportamiento
de estos sistemas puede desarrollarse a través de procedimientos directos.
anaxannx
x[n] puede escribirse como una suma de impulsos desplazados
k
knkxnx
Dada una señal discreta x[n]
SLIT discretos.Las señales discretas pueden representarse por medio de una secuencia de impulsos, aplicando la propiedad:
...11011... nxnxnxnx
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos
][ kn ][ny
H
H
][nh k ][kx
k
knkxnx
k
k nhkxny
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos
El sistema además de ser lineal también es invariante en el tiempo entonces:
][][ 0 knhnhk
][1 nx][1 kny H
0t][1 nx
][2 nyH0t][2 nx
][1 ny
][ kn H
][nh k
k
k nhkxny
k
knhkxny 0
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos
Este resultado se conoce como la suma de convolución “suma de superposición” También representada como:
nhnxny
Un sistema SLIT discreto puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso unitario.
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuosDe una manera parecida al caso discreto, se puede encontrar una caracterización para los SLIT en término de su respuesta al impulso unitario.
k
ktkxtx
k
ktkxlímtx 0
dtxtx
La salida y(t) puede verse como una combinación lineal de respuestas a las señales impulso
)( tH
),( th
Y como mi sistema es invariante en el tiempo se tiene que:
][][ 0 knhnh k )(),( thth
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos
Este resultado se conoce como la integral de convoluciónTambién representada como:
)()()( thtxty
Un sistema SLIT continuo puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso.
y t =∞
−∞
x h t ,d
y t =∞
−∞
x h t−d
nhnxnhnxny 21 ** nhnhnxny 21*
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Propiedad distributiva
nhnhnxny 21 **
nhnhnxny 21 **
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Propiedad asociativa
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
nhnhnxny 21 ** nhnhnxny 12 **
nhnxny * nxnhny *
Propiedad conmutativa
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
SLIT con y sin memoria.Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento.
En el caso discreto esto se cumple si:
0 p a ra 0][ nnh
][][ nK xny
Por lo que la suma de convolución se reduce a:
Donde K= h[0]
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Causalidad para los SLITSi su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).La respuesta impulso de un SLIT causal discreto, basándose en la definición debe ser de la forma:
00 h para n < 0 que a su vez implica:
0
0k
knhkxny
Invertibilidad de los SLITSi el sistema es invertible, posee un sistema inverso, de tal forma que si el sistema es un SLIT se cumple que:
Figura 38. SLIT invertible y su sistema inversoEs decir, para el caso continuo:
De forma análoga se puede concluir una expresión para el caso discreto.
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
tthth 21
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Estabilidad para los SLITAquel que a entrada limitadas en amplitud produce salidas limitadas en amplitud
Puede encontrarse “ver Oppenheim pag 113” que el sistema es estable si la respuesta al impulso unitario es absolutamente sumable
k
kh
Referencias
Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 2
Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 1 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ