![Page 1: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/1.jpg)
Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - FiltrosFiltrosCarlos CardeiraCarlos CardeiraDiapositivos para acompanhamento da bibliografia de base Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base ((Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na informação pública disponível em informação pública disponível em http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.htmlhttp://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.html
![Page 2: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/2.jpg)
DefiniçõesDefinições Convolução:Convolução:
Comutativa : x*y=y*xComutativa : x*y=y*x Homogénea : (ax)*y=a(x*y)Homogénea : (ax)*y=a(x*y) Distributiva : (x+u)*y=(x*y)+(u*y)Distributiva : (x+u)*y=(x*y)+(u*y) Invariante no tempo : (DInvariante no tempo : (DTT(x))*y=D(x))*y=DTT(x*y)(x*y)
dsstysxtyx
knykxnyxk
)()())(*(
)()())(*(
![Page 3: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/3.jpg)
Exemplo (discreto)Exemplo (discreto)
y(n)=1,-2y(n)=1,-2n n 2, else y(n)=02, else y(n)=0
É uma média móvelÉ uma média móvel
)2()1()()1()2(
1)(
)()())(*(
2
2
nxnxnxnxnx
knx
kyknxnyx
k
k
![Page 4: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/4.jpg)
ExemploExemplo
![Page 5: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/5.jpg)
Exemplo (contínuo)Exemplo (contínuo)
2
2
2
2
)()(
)()())(*(
s
t
ts
s
dsstxdssx
dsstysxtyx
t t+2t-2
y(t)=1,-2y(t)=1,-2t t 2, else y(t)=02, else y(t)=0
É uma média móvel (dividindo pela largura É uma média móvel (dividindo pela largura da janela)da janela)
![Page 6: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/6.jpg)
Exemplo (contínuo)Exemplo (contínuo)
Nota: a expressão não é válida para t<0
![Page 7: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/7.jpg)
Exemplo (flip and drag)Exemplo (flip and drag)
1x(t)
1 y(t)
dsstysxtyx )()()(*
1x(s)
y(t-s)
s=t1
t
s
x*y
![Page 8: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/8.jpg)
Delta de KroneckerDelta de Kronecker
![Page 9: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/9.jpg)
Delta de Kronecker é uma Delta de Kronecker é uma basebase
Qualquer sinal x(n) pode ser decomposto numa Qualquer sinal x(n) pode ser decomposto numa combinação linear de Deltas de Kroneckercombinação linear de Deltas de Kronecker
Para os sistemas LTI, se eu souber a resposta ao Para os sistemas LTI, se eu souber a resposta ao delta de Kronecker, por linearidade posso delta de Kronecker, por linearidade posso saber a resposta do sistema a qualquer sinalsaber a resposta do sistema a qualquer sinal
![Page 10: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/10.jpg)
Delta de DiracDelta de Dirac
![Page 11: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/11.jpg)
Explicação intuitiva do delta Explicação intuitiva do delta de Diracde Dirac
x(s)
y(t-s)
1/
)(1
)(
)()(
)(*
)0(txtx
dsstysx
tyx
![Page 12: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/12.jpg)
Resposta Impulsiva e Resposta Impulsiva e Convolução (Discreto)Convolução (Discreto)
![Page 13: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/13.jpg)
Resposta Impulsiva e Resposta Impulsiva e Convolução (contínuos)Convolução (contínuos)
![Page 14: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/14.jpg)
ExemploExemplo
![Page 15: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/15.jpg)
Detalhe do cálculo da Detalhe do cálculo da convoluçãoconvolução
2)(
20)(
00
)()()(
2 1
0 1
tdsstxe
tdsstxe
t
dssxshty
t
t
s
ts
dsstxshty )()()(
![Page 16: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/16.jpg)
Demonstração intuitiva do Demonstração intuitiva do teorema: Sistema Discreto LTIteorema: Sistema Discreto LTI
S(n) h(n)
)()()()()()(
)()()()(
)()(
nymnhmxnxmnmx
mnhmxmnmx
mnhmn
mm
![Page 17: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/17.jpg)
Demonstração intuitiva do Demonstração intuitiva do teorema :Sistema Contínuo teorema :Sistema Contínuo
LTILTI
S(t) h(t)
)()()()()()(
)()()()(
)()(
tysthsxtxstsx
sthsxstsx
sthst
![Page 18: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/18.jpg)
Demonstração intuitiva do Demonstração intuitiva do teoremateorema
Quando se aplicou um x(t) qualquer a saída Quando se aplicou um x(t) qualquer a saída correspondente, tanto no caso discreto correspondente, tanto no caso discreto como no caso contínuo, foi dada pela como no caso contínuo, foi dada pela convolução do sinal de entrada com a convolução do sinal de entrada com a resposta impulsiva do sistema.resposta impulsiva do sistema.
A diferença é que nos sistemas discretos se A diferença é que nos sistemas discretos se usa o delta de Kronecker para definir a usa o delta de Kronecker para definir a resposta impulsiva enquanto que nos resposta impulsiva enquanto que nos sistemas contínuos se usa o delta de Dirac.sistemas contínuos se usa o delta de Dirac.
![Page 19: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/19.jpg)
ExemplosExemplos
)1()1()()(
)1()1()()(
nnnnh
nxnxnxny
h(n)
0 1-1
x(n)
0 1-1
Nota: sistema LTI mas não causal
![Page 20: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/20.jpg)
ExemplosExemplos
x(t) DT y(t)
h(t)=(t-T)
![Page 21: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/21.jpg)
Relação entre Resposta Relação entre Resposta Impulsiva e Resposta em Impulsiva e Resposta em
FrequênciaFrequência
dseshwH
ewHdsstxshtxhty
txhtytx
ewHe
jws
jwt
e
jwtjwt
stjw
)()(
)()()())(*()(
))(*()()(
)(
)(
![Page 22: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/22.jpg)
Exemplo:Exemplo:
jwTjws edseshwH
Ttth
)()(
)()(
Obtivemos o mesmo H(w) que em temposobtiveramos por outro método
![Page 23: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/23.jpg)
Exemplo:Exemplo:
01
021
00
)()()(
)()(
)()(
t
t
t
dssdssxty
ttx
txty
tt
![Page 24: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/24.jpg)
Filtro genéricoFiltro genérico
Y(n)=x(n)+0.5x(n-1)+0.7x(n-2)+y(n-1) + Y(n)=x(n)+0.5x(n-1)+0.7x(n-2)+y(n-1) + 0.2y(n-2)0.2y(n-2)
D
D
D
D
+ +
0.5
0.7
x(n)
x(n-1)
x(n-2)
y(n)
y(n-1)
y(n-2)
1
0.2
Quatro variáveis de estado mas poder-se-ia ter feito com menos
![Page 25: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/25.jpg)
w(n)
Filtro genéricoFiltro genérico
Podemos definir que são dois sistemas em Podemos definir que são dois sistemas em cascatacascata
D
D
D
D
+ +
0.5
0.7
x(n)
x(n-1)
x(n-2)
y(n)
y(n-1)
y(n-2)
1
0.2
![Page 26: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/26.jpg)
Filtro genéricoFiltro genérico A ordem pode ser invertida porque são A ordem pode ser invertida porque são
sistemas LTIsistemas LTI
D
D
+
1
0.2
D
D
+
0.5
0.7
x(n)y(n)
![Page 27: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/27.jpg)
Filtro genérico – número de Filtro genérico – número de estadosestados
De uma forma geral, se houver k De uma forma geral, se houver k atrasos de y(n) e m atrasos de x(n), atrasos de y(n) e m atrasos de x(n), o número de atrasos necessário é o número de atrasos necessário é max (k,m)max (k,m)
![Page 28: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/28.jpg)
Projecto de um filtro idealProjecto de um filtro ideal
1 04( )
04
wH w
w
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
w
|H(w
)|
Filtro Ideal
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
0
2
w
Fase
pi/4
Para implementar este filtrorealizando a convolução emtempo real num DSP pretende-se saber osprimeiros 128 pontosda resposta impulsiva.
Filtro Ideal
x(t) y(t)
127
0
(0), (1), (2),..., (127)
( ) ( ) ( )m
h h h h
y n h m x n m
![Page 29: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/29.jpg)
Resposta em FrequênciaResposta em Frequência
127
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
m
jwn jwn
jwn
y n h m x n m
x n e y n H w e
H w e
(( ) jw nh m e127 127
)
0 0
( )m jwm
m m
h m e
Como sabemos o H(w) que pretendemos “só” teremos que resolver o sistema com 128 incógnitas para calcular os 128 valores de h(n). Este cálculo só se faz uma vez, porquedepois são carregados em registos e em tempo real só énecessário efectuar a convolução.
![Page 30: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062407/56812be0550346895d905149/html5/thumbnails/30.jpg)
Cálculo da resposta Cálculo da resposta impulsivaimpulsiva
O filtro verdadeiramente vertical será impossível, O filtro verdadeiramente vertical será impossível, mas é possível aproximarmo-nos dele. mas é possível aproximarmo-nos dele.
Se chamarmos HSe chamarmos Hdd à resposta em frequência à resposta em frequência desejada, e Hdesejada, e Hhh à resposta em frequência que se à resposta em frequência que se pode obter através da resposta impulsiva h, o pode obter através da resposta impulsiva h, o problema de optimização a resolver é:problema de optimização a resolver é:
Se usarmos o critério do desvio máximo.Se usarmos o critério do desvio máximo. Há outros critérios e uma quantidade grande de Há outros critérios e uma quantidade grande de
filtros já predefinidos (em Matlab, por exemplo)filtros já predefinidos (em Matlab, por exemplo)
max ( ) ( )dhH w H w