Model Matematis Sistem
• Persamaan matematis yang menunjukkan hubunganantara input dan output sistem.
• Dengan mengetahui model matematisnya, maka tingkahlaku sistem dapat dianalisa
G(s)INPUT OUTPUT
U(S) Y(S)
( )( ) = ( ) Transfer Function / Fungsi Alih
Transfer Function/Fungsi Alih
)(,
01
11
1
)(,
01
11
1 ......tuInput
mm
mm
tyOutput
nn
nn ububububyayayaya
nolawalkondisi
nolawalkondisi
tuL
tyLsG
_
_
)(
)()(
• Persamaan differensial suatu sistem yang menghubungkanoutput dengan input
• Transformasi Laplace terhadap output dan input persamaan diatas dengan kondisi awalsama dengan nol
011
1
011
1
...
...
)(
)()(
asasasa
bsbsbsb
sU
sYsG
nn
nn
mm
mm
FungsiTransfer
4
Transformasi Laplace PersDifferensial
• Linieritas
sFsFtftfL
saFtafL
2121
dt
dffsFs
dt
tfdL
fssFdt
tdfL
00
0
22
2
dt
s
f
s
sFdttfL
0
ssFtfst limlim
0
ssFtfst 0limlim
sFetfL s
• Differensiasi
• Integrasi
• Nilai awal
• Nilai akhir
• Pergeseran waktu
5
Contoh:Solusi Persamaan Differensial
s
sYyssYysysYs1
5)(2)0(33)0´(02
tftydt
tdy
dt
tyd523
2
2
Diberikan persamaan differensial sbb:
Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2.Transformasi Laplace menghasilkan:
)23(
5)(
5)()23(
5)(2332
2
2
22
2
sss
sssY
sssYsss
ssYssYssYs
Fungsi unit step dari tabeltransformasi Laplace
Menggunakan teoremadifferensiasi transformasi
Laplace
Solusi dalam domain tdiperoleh dengan invers
transformasi Laplace
6
)2)(1(
5
)23(
5)(
2
2
2
sss
ss
sss
sssY
2
3
)1(
5)]()2[(
5)2(
5)]()1[(
2
5
)2)(1(
5)]([
2
2
2
1
2
0
ss
sssYsC
ss
sssYsB
ss
ssssYA
s
s
s
Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator)dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:
)2)(1(
5
)2()1()(
2
sss
ss
s
C
s
B
s
AsY
Ekpansi dalam pecahan parsial,
Dimana A, B dan C adalah koefisien
7
)2(2
3
)1(
5
2
5)(
ssssY
Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi
Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktuy(t) menjadi
tt eety 2
2
35
2
5)(
Dengan t≥0
8
Diagram Blok
Hubungan antara output dan input suatu sistem dapat digambarkandengan suatu blok (=diagram blok) yang mengandung fungsi transfer.
Diagram Blok merupakan “technical drawing” (atau standard drawing)suatu sistem kontrol
Dengan representasi diagram blok, keserupaan (similarity) berbagaitipe sistem kontrol dapat dipelajari.
G(s)U(s) Y(s)
)(
)()(
sU
sYsG
Fungsi Transfer,
Diagram Blok suatu sistem
9
Diagram Blok sistem tertutup:Ideal
G(s)E(s) Y(s)
-+
H(s)
R(s)
B(s)
Titik PenjumlahanTitik Percabangan
R(s)=Referensi sinyal inputE(s)=Sinyal error [E(s)=R(s)-B(s)]G(s), H(s)=Fungsi TransferB(s)= Sinyal feedbackY(s)=Sinyal output
10
)()(
)(sG
sE
sYFFTF
)()()(
)(sHsG
sE
sBOLTF
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sYCLTF
)()()(1
)()( sR
sHsG
sGsY
Feed-forward Transfer Function, FFTF
Open-Loop Transfer Function, OLTF
Closed-Loop Transfer Function, CLTF
Hubungan Input Output (LihatDiagram Blok):
Y(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)B(s)=H(s)Y(s)
AtauY(s)=G(s)[R(s)-H(s)Y(s)]Y(s)+G(s)H(s)Y(s)=G(s)R(s)(1+G(s)H(s))Y(s)= G(s)R(s)
Atau,
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 11
Diagram Blok sistem tertutupdengan gangguan
G1(s)E(s) Y(s)
-+
H(s)
R(s)
B(s)
Jika dalam suatu sistem terdapat dua input (reference input dan gangguan), makatiap input dapat diperlakukan independen, output yang berkorespondensi pada tiapinput dapat dijumlahkan untuk menentukan output sistem keseluruhan.
++
D(s)
G2(s)U1(s) U2(s)
12
)()()(1
)(
)(
)(
21
2
sHsGsG
sG
sD
sYD
)()()(1
)()(
)(
)(
21
21
sHsGsG
sGsG
sR
sYR
)]()()([)()()(1
)()()()( 1
21
2 sDsRsGsHsGsG
sGsYsYsY DR
Response Y(s) terhadap gangguan D(s),
Response Y(s) terhadap referensi input R(s), dengan measumsikan gangguansama degan nol
Total Response Y(s),
* Persamaan Sistem
idtC
eR
eei i
1; 0
0
* Transformasi Laplace dari persamaan
R
sEsEsI i )()()( 0 )(
1)(0 sI
CssE
16
Diagram Blok: Seri
G1(s)R(s) Y(s)
G2(s) Gk(s)
G(s)
)()...()()()( 211
sGsGsGsGsG k
k
ii
Fungsi Transfer
17
Paralel
R(s) Y(s)G2(s)
G(s)
)(...)()()()( 211
sGsGsGsGsG k
k
ii
Fungsi Transfer hubungan paralel:
G1(s)
Gk(s)
+++
22
Contoh1
)()()()(
)(sHsGsC
sE
sBOLTF
+-U
C
H
YR
B
EG
Diagram blok dari suatu sistem diberikan seperti gambar berikut, Tentukan:a). Open-Loop Transfer Function, OLTFb). Closed-Loop Transfer Function, CLTF
Jawaba). Open-Loop Transfer Function, OLTF
)()()(1
)()(
)(
)(
sHsGsC
sGsC
sR
sYCLTF
b). Closed-Loop Transfer Function, CLTF