Download - Skripta 2 Dio Grad
za 2. kolokvij
za Tehničko veleučilište u Zagrebu
Alemka Knapp
Elektrostatika
Coulombov zakon
Izmeñu dva točkasta naboja 1Q i 2Q na meñusobnoj udaljenosti r djeluje električna ili Coulombova sila iznosa:
29 CNm1092 −⋅=k je Coulombova konstanta
Električna sila izmeñu istoimenih naboja je odbojna, a izmeñu raznoimenih privlačna. Coulombova sila nastaje zato što naboj proizvodi električno polje u prostoru oko sebe, a ono djeluje silom na drugi naboj. Električno polje Električno polje je svojstvo prostora da djeluje silom na električne naboje. Jakost električnog polja u nekoj točki jednaka je sili kojom ono djeluje na jedinični pozitivni naboj ako ga stavimo u tu točku:
Q
Fr
r=ε
Električno polje točkastog naboja Q ima iznos:
2r
Qk=ε
Električni potencijal Električni potencijal je svojstvo prostora da u njemu električni naboji imaju potencijalnu energiju. Potencijal neke točke jednak je potencijalnoj energiji koju ima jedinični naboj ako ga stavimo u tu točku:
Q
Ep
=ϕ
Električni potencijal u prostoru oko točkastog naboja Q je (pri čemu je integracijska konstanta izabrana tako da je 0=ϕ na beskonačnoj udaljenosti od naboja):
Potencijalna energija jednog točkastog naboja u polju drugog točkastog naboja na udaljenosti r (pri čemu je integracijska konstanta izabrana tako da je 0=
pE
kada su naboji na beskonačnoj udaljenosti jedan od drugog) iznosi:r
QQkE
p
21=
2
21
r
QQkF
el=
r
Qk=ϕ
4
Rad za premještanje naboja iz točke A u točku B
Da bismo naboj Q premjestili iz točke A u točku B u električnom polju, na naboj ćemo djelovati silom koja je jednaka električnoj, ali suprotnog smjera, tj.
elFFrr
−= . Tako se ne mijenja njegova kinetička energija, pa je rad sile Fr
na putu od A do B jednak promjeni potencijalne energije naboja (koja se računa kao umnožak naboja i potencijala):
)(),( AB
F
BAsBAQWW ϕϕ −==
→
r
Napon Napon izmeñu dviju točaka u električnom polju jednak je radu koji je potreban da bi se jedinični naboj premjestio iz jedne u drugu:
Q
WU =
Iz prethodne jednadžbe vidi se da isto značenje ima i definicija „Napon je razlika potencijala“:
ABU ϕϕ −=
1. Izračunati omjer jakosti električne i gravitacijske sile u vodikovom
atomu.
Vodikov atom sastoji se od jezgre u kojoj se nalazi proton i elektrona koji (u najjednostavnijoj slici atoma) kruži oko jezgre. Izmeñu protona i elektrona djeluju električna sila i gravitacijska sila. Gravitacijska sila izmeñu dva tijela čije su mase 1m i 2m iznosi:
2
21
r
mmGF
Ng=
211 kgNm106762 −−⋅= ,G
N je gravitacijska konstanta
Električna (Coulombova) sila izmeñu dva točkasta naboja iznosi :
p
e
r
5
2
21
r
QQkF
el=
29 CNm1092 −⋅=k je Coulombova konstanta
Omjer električne i gravitacijske sile u vodikovom atomu možemo napisati kao:
epNep
N
g
el
mmG
ke
r
mmG
r
ek
F
F 2
2
2
2
==
C1061 19−⋅= ,e naboj protona i elektrona
kg10671 27−⋅= ,mp
masa protona
kg1019 31−⋅= ,me
masa elektrona
( ) 39
312711
2199
103210191067110676
1061109⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
−−−
−
,,,,
,
F
F
g
el
2. Dva naboja C102,1 7
1
−−−−⋅⋅⋅⋅====Q i C103 7
2
−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====Q nalaze se na udaljenosti 1m.
a) Koliki su potencijal i električno polje u točki A koja se nalazi na
udaljenosti 40 cm od prvog naboja?
b) Koliki je rad potreban za premještanje naboja C1086 7
3
−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,Q iz točke
A u točku B?
C1021 7
1
−⋅= ,Q
C103 7
2
−⋅−=Q
C1086 7
3
−⋅= ,Q
a) električni potencijal u prostoru oko točkastog naboja je:
r
Qk=ϕ
29 CNm1092 −⋅=k – Coulombova konstanta
Q1 Q2 A
B
1m
40cm
r1A r2A
r2B r1B
60cm
6
Ukupan potencijal u točki A je zbroj potencijala prvog naboja u točki A i potencijala drugog naboja u točki A:
AA
AAAr
Qk
r
Qk
2
2
1
121 +=+= ϕϕϕ
m401 ,r
A= – udaljenost 1. naboja od točke A
m602 ,rA= – udaljenost 2. naboja od točke A
( )
V18004500270060
103109
40
1021109
79
79 −=−=
⋅−⋅+
⋅⋅=
−
,,
,A
ϕ
Iznos vektora električnog polja u prostoru oko točkastog naboja je:
2r
Qk=ε
Ukupno električno polje u točki A je vektorski zbroj električnog polja prvog naboja u točki A i električnog polja drugog naboja u točki A:
AAA 21 εεεrrr
+= Električno polje oba naboja u točki A je u istom smjeru, pa je iznos ukupnog električnog polja:
2
2
2
2
1
121
AA
AAAr
Qk
r
Qk +=+= εεε
V/m142507500675060
103109
40
1021109
2
79
2
79 =+=
⋅⋅+
⋅⋅=
−−
,,
,Aε
b) Rad za premještanje naboja 3Q iz točke A u točku B je:
)(3 ABBAQW ϕϕ −=
→
Potencijal u točki B je:
BB
BBBr
Qk
r
Qk
2
2
1
121 +=+= ϕϕϕ
m081140 22
1 ,,rB
=+= – udaljenost 1. naboja od točke B
m171160 22
2 ,,rB
=+= – udaljenost 2. naboja od točke B
( )V130823081000
171
103109
081
1021109
79
79 −=−=
⋅−⋅+
⋅⋅=
−
,,
,B
ϕ
J10353))1800(1308(1086 47 −−
→⋅=−−−⋅= ,,W
BA
Q1 Q2 A 1εr
2εr
7
3. Naboji C1065 9
1
−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,Q i C1043 9
2
−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== ,Q smješteni su u dva vrha
jednakostraničnog trokuta stranice 0,2 m. Koliko je rad potreban za
premještanje naboja C104 8
3
−−−−⋅⋅⋅⋅====Q iz točke A u točku B?
C1065 9
1
−⋅= ,Q
C1043 9
2
−⋅−= ,Q
C104 8
3
−⋅=Q m20,a =
Rad za premještanje naboja 3Q iz točke A u točku B je:
)(3 ABBAQW ϕϕ −=
→
Potencijal u točki A je zbroj potencijala prvog naboja u točki A i potencijala drugog naboja u točki A:
AA
AAAr
Qk
r
Qk
2
2
1
121 +=+= ϕϕϕ
Udaljenosti naboja od točke A su: m2021 ,arr
AA===
( )V99153252
20
1043109
20
1065109
99
99 =−=
⋅−⋅+
⋅⋅=
−−
,
,
,
,A
ϕ
Potencijal u točki B je:
BB
BBBr
Qk
r
Qk
2
2
1
121 +=+= ϕϕϕ
Udaljenosti naboja od točke B su:
m1021 ,a
rB
==
m17302
32 ,avrB
===
( )V327177504
1730
104,3109
10
1065109
99
99 =−=
⋅−⋅+
⋅⋅=
−−
,,
,B
ϕ
J10129)99327(104 68 −−
→⋅=−⋅= ,W
BA
Q1
Q2
A B
r1A
r2A r2B
r1B
a
8
4. Kapljica ulja mase kg10353 15−−−−⋅⋅⋅⋅, koja nosi na sebi naboj dva elektrona
lebdi u polju horizontalno postavljenih nabijenih ploča izmeñu kojih je razlika potencijala 820 V. Udaljenost ploča je 8 mm. Izračunati naboj
elektrona!
kg10353 15−⋅= ,m
mm8
V820
=
=
d
U
Električno polje u prostoru izmeñu dviju nabijenih ploča je:
V/m1025000080
820===
,d
Uε
Ukupna sila na kapljicu ulja koja lebdi izmeñu ploča je nula. Na kapljicu ulja djeluje gravitacijska sila prema dolje i električna sila u suprotnom smjeru.
0=+=eluk
FGFrrr
Iznosi ovih sila su jednaki:
elFG =
εQmg = Odavde možemo izračunati naboj kapljice ulja:
C10273102500
1010353 1915
−
−
⋅=⋅⋅
== ,,mg
Qε
Naboj elektrona je:
C106412
10273
219
19−
−
⋅=⋅
== ,,Q
e
εr
G
Fel
+
-_
d
Električne struje
Električna struja Električna struja je usmjereno gibanje naboja. U vodičima, jakost struje I jednaka je brzini protjecanja naboja kroz vodič:
dt
dQ
t
QI
t=
∆
∆=
→∆ 0lim
Kada je struja konstantna u vremenu, jakost struje jednaka je naboju koji proñe presjekom vodiča u jedinici vremena, pa možemo napisati:
t
QI =
Ohmov zakon
Ohmov zakon kaže da je jakost struje I koja teče kroz vodič proporcionalna naponu tj. razlici potencijala U na krajevima vodiča:
gdje je R – električni otpor vodiča. Zbrajanje otpora 1) serijski spojeni otpornici
Kada su otpornici spojeni u seriju kroz njih teče ista struja, a ukupan napon je zbroj napona na pojedinim otpornicima.
III == 21
21 UUU +=
Napone na otpornicima 1R i 2R možemo napisati pomoću Ohmovog zakona kao:
11 IRU = , 22 IRU = Ukupan napon preko oba otpornika želimo napisati u obliku:
IRU = , gdje je R ukupan otpor serijskog spoja. Uvrstimo ove izraze u gornju jednadžbu:
21 IRIRIR += /: I Dobivamo formulu za zbrajanje serijski spojenih otpora: Ista formula vrijedi i za zbrajanje više otpora:
NRRRRR ++++= .....321
R2 I R1
U1 U2
U
R
UI =
21 RRR +=
10
2) paralelno spojeni otpornici Napon na paralelno spojenim otpornicima je jednak jer su otpornici s obje strane spojeni na istu točku:
UUU == 21
U strujnom čvoru gdje se vodič grana na dva vodiča ukupna struja dijeli se na struje 1I i 2I . Ukupna struja koja ulazi u čvor jednaka je ukupnoj struji koja izlazi iz čvora:
21 III +=
Koristeći Ohmov zakon možemo napisati:
1
1R
UI = ,
2
2R
UI =
Ukupnu struju želimo napisati u obliku:
R
UI = , gdje je R ukupan otpor paralelnog spoja.
Uvrstimo ove izraze u gornju jednadžbu:
21 R
U
R
U
R
U+= /:U
Dobivamo formulu za zbrajanje paralelno spojenih otpora:
Ista formula vrijedi i za zbrajanje više otpora:
NRRRRR
1...........
1111
321
++++=
Formulu za zbrajanje paralelno spojenih otpornika možemo napisati i na ovaj način:
21
12
21
111
RR
RR
RRR ⋅
+=+=
21
21
RR
RRR
+
⋅=
I2
R1
I
I1
R2
U
21
111
RRR+=
12. Električne struje
11
5. Izračunati ukupan otpor i jakosti struje u mreži.
Otpornici 2R i 3R spojeni su paralelno, pa je njihov ukupan otpor možemo izračunati po formuli:
32
23
3223
111
RR
RR
RRR ⋅
+=+=
Ω=+
⋅=
+
⋅= 1
22
22
32
3223
RR
RRR
Otpornik 1R spojen je u seriju sa otporom 23R :
Ω=+=+= 211231123 RRR
Otpornici 4R i 5R spojeni su paralelno, pa je njihov ukupan otpor:
Ω=+
⋅=
+
⋅= 2
63
63
54
5445
RR
RRR
Otpori 123R i 45R spojeni su paralelno, pa je ukupan otpor gornje i donje grane:
Ω=+
⋅=
+
⋅= 1
22
22
45123
4512312453
RR
RRR
Otpornik 6R spojen je serijski sa ostalim otpornicima, pa je ukupan otpor jednak:
Ω=+=+= 211612345 RRRuk
Unutarnji otpor izvora možemo promatrati kao da je spojen serijski sa ukupnim vanjskim otporom, pa možemo napisati Ohmov zakon u obliku:
( )unuk
RRI +=ε
V,
,R
R
R
R
RR
R
un
22
20
1
6
3
2
1
6
5
4
32
1
=
Ω=
Ω=
Ω=
Ω=
Ω==
Ω=
ε
I
R1
ε
R4
R5
R2
R3
R6
Ru
I45
I123
I4
I5
I2
I3 A B
C
12
Struja u mreži je:
A1=+
=unuk
RRI
ε
Da bismo izračunali struje u pojedinim granama moramo izračunati napon izmeñu točaka A i B:
V1112012266 =⋅−⋅−=⋅−⋅−=−−= ,,RIRIUUUunRAB un
εε
ili možemo napisati Ohmov zakon za otpor 12345R : VRIU
AB11112345 =⋅=⋅=
Struja koja teče kroz gornju granu je:
A502
1
123
123 ,R
UI AB ===
Struja koja teče kroz donju granu je:
A502
1
45
45 ,R
UI AB === ili
A5,05,0112345 =−=−= III Izračunajmo napon izmeñu točaka C i B:
V50150111231 ,,RIUUUUABABCB
=⋅−=⋅−=−= ili V5,015023123 =⋅=⋅= ,RIU
CB
Struja kroz otpornik 2R je:
A2502
50
2
2 ,,
R
UI CB ===
Struja kroz otpornik 3R je: A2502505021233 ,,.III =−=−=
Struja kroz otpornik 4R je:
A3303
1
4
4
•
=== ,R
UI AB
Struja kroz otpornik 5R je:
A6106
1
5
5
•
=== ,R
UI AB
12. Električne struje
13
6. Odredite ukupan otpor kombinacije otpora u mreži prikazanoj na slici.
Kolika je jakost struje? Kolika je jakost struje kroz otpornik R1 i kolika je
razlika potencijala izmeñu točaka B i C?
V12
Ω250
Ω2
Ω3
Ω1
4
3
2
1
=
=
=
=
=
U
,R
R
R
R
Otpornici 1R i 2R spojeni su paralelno, pa je njihov ukupan otpor:
Ω=+
⋅=
+
⋅= 750
31
31
21
2112 ,
RR
RRR
Otpornici 3R i 4R spojeni su serijski s otporom 12R , pa je ukupan otpor:
Ω=++=++= 325.0275.04312 RRRRuk
Ukupna struja u mreži je:
A43
12===
ukR
UI
Napon na otpornicima 1R i 2R je :
V375041221 =⋅=⋅=== ,RIUUUAB
Struja kroz otpornik 1R je:
A31
3
11
11 ====
R
U
R
UI AB
Napon izmeñu točaka B i C je: V82433 =⋅=⋅== RIUU
BC
R4 I2
R1
B A C
I
R3
U
I1
R2
14
7. Koliki je ukupan otpor kombinacije otpora u mreži prikazanoj na slici!?
Kolika je jakost struje? Kolika struje teče kroz otpornik R2, ako je napon
izvora 18 V?
V18
4
3
4
2
4
3
2
1
=
Ω=
Ω=
Ω=
Ω=
U
R
R
R
R
Otpornici 1R i 2R spojeni su serijski, pa je njihov ukupan otpor:
Ω=+=+= 6422112 RRR Otpornik 3R spojen je paralelno s otporom 12R , pa je njihov ukupan otpor:
Ω=+
⋅=
+
⋅= 2
36
36
312
312123
RR
RRR
Otpornik 4R spojen je serijski s otporom 123R , pa je ukupan otpor: Ω=+=+= 6424123 RRR
uk
A36
18===
ukR
UI
Napon izmeñu točaka A i B je
V623123 =⋅=⋅= RIUAB
Napon
ABU možemo izračunati i kao:
V6431844 =⋅−=⋅−=−= RIUUUUAB
Struja kroz otpornik 2R je:
A16
6
12
1212 =====R
UIII AB
R2
R4
R3
U
I
R1
I2
B A
Hidrostatika Tlak Tlak je omjer sile i površine na koju ta sila djeluje okomito.
S
Fp =
Hidrostatski tlak U tekućinama djeluje hidrostatski tlak koji dolazi od težine tekućine iznad mjesta na kojem mjerimo tlak. Tlak u tekućini na dubini h ispod površine iznosi:
ghptekρ=
gdje je: h – dubina ispod površine
tekρ – gustoća tekućine g – gravitacijsko ubrzanje Hidrostatski tlak u tekućini djeluje jednako na sve strane. Uzgon
Uzgon je sila kojom tekućina djeluje na tijelo koje je u nju uronjeno. Na tijelo u tekućini djeluje hidrostatski tlak sa svih strana. Tlakovi s bočnih strana su istog iznosa, te se poništavaju. Tlak koji djeluje s donje strane je veći od tlaka s gornje strane, pa je ukupna sila na tijelo prema gore.
Ukupna sila na tijelo je: gVhgShhgSSghSghSpSpU
tektektektektekρρρρρ =∆=−=−=−= )( 122112
p2
p1 h1 h2
h∆
h∆
S
16
Općenito formulu za uzgon možemo napisati u obliku:
gdje je: V ′ – uronjeni dio volumena ili volumen istisnute tekućine
tekρ – gustoća tekućine g – gravitacijsko ubrzanje U slučaju kada je tijelo djelomično uronjeno u tekućinu volumen V ′ koji dolazi u formuli za uzgon se razlikuje od volumena tijela V . U slučaju šupljeg tijela volumen V ′ najjednostavnije je odrediti kao volumen istisnute tekućine.
Prividna težina
Na tijelo uronjeno u tekućinu djeluju gravitacijska sila G i uzgon U . Ukupna sila na tijelo u tekućini se naziva prividna težina G′ .
UGG −=′ Koristeći izraze za težinu, uzgon, i gustoću tijela
V
m=ρ , ovu formulu možemo napisati u obliku:
gVgVgVmgGtektijtekρρρ ′−=′−=′
U G
V ′
V ′
gVUtek
ρ′=
13. Hidrostatika
17
8. U cijev oblika slova U nalivena je živa, a u drugi krak tekućina gustoće
1200 kg/m3. Visina stupca žive mjerena od dodirne površine je 2,5 cm.
Kolika je visina stupca tekućine?
3
3
kg/m1200
kg/m13600
cm52
=
=
=
tek
Hg
Hg,h
ρ
ρ
Promatrat ćemo živu koja se nalazi u cijevi s jedne i druge strane do iste visine. Kada je živa u ravnoteži tlakovi koji djeluju s lijeve i desne strane na gornju površinu žive su isti:
21 pp =
Tlak 1p je zbroj hidrostatskog tlaka žive koja se nalazi iznad dodirne površine i atmosferskog tlaka (hidrostatski tlak zraka). Tlak 2p je zbroj hidrostatskog tlaka tekućine i atmosferskog tlaka.
attektekatHgHgpghpgh +=+ ρρ
Možemo uzeti da je atmosferski tlak jednak s obje strane isti jer je razlika visina stupca zraka s lijeve i desne strane zanemariva u odnosu na visinu atmosfere.
tektekHgHgghgh ρρ =
Iz ove jednadžbe možemo izračunati visinu stupca tekućine:
m28301200
025013600,
,hh
tek
HgHg
tek=
⋅=
⋅=
ρ
ρ
Hg
hHg
htek p1 p2
tek
18
9. U cijev oblika slova U polumjera 1 cm nalivena je živa. U jedan krak
dolijemo 40 g vode, a u drugi 100 g alkohola.
a) Kolika je razlika visina stupca žive u dva kraka?
b) Kolika je razlika gornjih nivoa vode i alkohola?
a) Promatrat ćemo živu koja se nalazi u cijevi s jedne i druge strane do iste visine. Tlakovi koji djeluju s lijeve i desne strane na gornju površinu žive su isti:
21 pp =
Tlak 1p je zbroj hidrostatskog tlaka žive koja se nalazi iznad dodirne površine, hidrostatskog tlaka vode i atmosferskog tlaka. Tlak 2p je zbroj hidrostatskog tlaka alkohola i atmosferskog tlaka.
atalkalkatOHOHHgHgpghpghgh +=++ ρρρ
22
Nakon što kratimo atmosferski tlak i podijelimo jednadžbu s g dobivamo:
alkalkOHOHHgHghhh ρρρ =+
22
Visinu stupca vode i alkohola možemo izračunati iz njihove mase: hrVm ⋅⋅=⋅= πρρ 2
m12700101000
04022
2
2
2,
,
,
r
mh
OH
OH
Oh=
⋅=
⋅=
ππρ
m3980010800
1022
,,
,
r
mh
alk
alk
alk=
⋅=
⋅=
ππρ
Visine stupca vode i alkohola možemo uvrstiti u gornju jednadžbu i izračunati visinu stupca žive:
39808001270100013600 ,,hHg
⋅=⋅+⋅
m0140,hHg=
b) Razlika gornjih nivoa žive i alkohola je:
m2570)127,0014,0(398,0)(2
,hhhhOhHgalk
=+−=+−=∆
cm1
g100
g40
kg/m800
kg/m1000
kg/m13600
2
2
3
3
3
=
=
=
=
=
=
r
m
m
alk
OH
alk
OH
Hg
ρ
ρ
ρ
h
r
Hg
Hgh
alkh
p2
alk
p1 oH
h2
OH2
r
13. Hidrostatika
19
10. Kolika je težina mramorne kuglice mase 10 g u eteru?
3
3
kg/m730
kg/m2800
g10
=
=
=
et
mr
m
ρ
ρ
Na kuglicu koja se nalazi u tekućini djeluju težina i uzgon. Ukupna sila na kuglicu (prividna težina) G′ je:
gVmgG
UGG
etρ′−=′
−=′
Možemo najprije izračunati volumen kuglice (u ovom slučaju je VV =′ ):
36 m105732800
010 −⋅=== ,,m
Vmr
ρ
Zatim možemo izračunati prividnu težinu kuglice: N0740107301057310010 6 ,,,gVmgG
et=⋅⋅⋅−⋅=′−=′ ⋅−ρ
11. Komad željeza pliva u živi. Koliki je dio njegovog volumena uronjen u
živu?
3
3
kg/m7900
kg/m13600
=
=
Fe
Hg
ρ
ρ
Kada tijelo pliva u tekućini njegova prividna težina jednaka je nula:
UG
UGG
=
=−=′ 0
Uvrstimo izraze za težinu i uzgon:
gVmgHg
ρ′=
gVgVHgFe
ρρ ′=
HgFeVV ρρ ′=
Udio volumena uronjen u tekućinu dobivamo kao:
58013600
7900,
V
V
Hg
Fe ===′
ρ
ρ
U živu je uronjeno 58% volumena željeza.
U G
G U
V ′
20
12. Koliki teret možemo staviti na drvenu splav mase 1500 kg, a da pri tom
teret ostane iznad vode?
3
3
kg/m1000
kg/m700
kg1500
2=
=
=
OH
drv
splm
ρ
ρ
Teret i splav plivaju na vodi, pa je njihova prividna težina jednaka nula:
UG
UGG
=
=−=′ 0
Uvrstimo izraze za gravitacijsku silu i uzgon:
gVgmmOHspltspl 2
)( ρ=+
Uzgon djeluje samo na splav jer se teret nalazi izvan vode. Najprije možemo izračunati volumen splavi:
3m142700
1500,
mV
drv
spl
spl===
ρ,
te zatim masu tereta: kg64015001000142
2=−⋅=−= ,mVm
splOHspltρ
G U
mt
mspl
Toplina i temperatura
Unutar čvrstih tijela i fluida molekule i atomi se gibaju i meñusobno djeluju silama. Unutarnja energija je zbroj kinetičkih energija unutarnjega gibanja molekula i atoma te potencijalnih energija njihova meñudjelovanja u nekom tijelu ili volumenu fluida. Toplina je dio unutarnje energije koji može prijeći s jednoga tijela na drugo zbog razlike u temperaturi. Kad su dva tijela u kontaktu, toplina prelazi s toplijeg na hladnije dok se ne uspostavi ravnoteža. Temperatura je mjera odstupanja od toplinske ravnoteže. U idealnom plinu, u kojemu se unutarnja energija sastoji samo od kinetičke energije molekula, temperatura je proporcionalna prosječnoj kinetičkoj energiji po molekuli. Temperatura izražena u Celzijevim stupnjevima i u Kelvinima je povezana na slijedeći način:
15273C)((K) ,tT +°= Toplinsko rastezanje čvrstih tijela i tekućina
Kada ih zagrijavamo, većina čvrstih tijela i tekućina se rasteže, tj. povećavaju im se dimenzije, odnosno volumen. Linearno rastezanje tijela Ako se promatra rastezanje tijela ili tekućine samo u jednoj dimenziji, ono se naziva linearnim rastezanjem. Rastezanje ovisi o vrsti materijala i približno je proporcionalno povećanju temperature za manje temperaturne intervale: l - duljina tijela na temperaturi T
0l - duljina tijela na temperaturi 0T
0TTT −=∆ - promjena temperature α - koeficijent linearnog rastezanja materijala Volumno rastezanje tijela
Volumen tijela ili tekućine na temperaturi T jednak je:
)1(0 TVV ∆+= γ
)1(0 Tll ∆+= α
22
V - duljina tijela na temperaturi T
0V - duljina tijela na temperaturi 0T
0TTT −=∆ - promjena temperature
γ - koeficijent volumnog rastezanja Za čvrsta tijela koeficijent volumnog rastezanja možemo dobiti iz koeficijenta linearnog rastezenja:
Kad je član 1ppT∆α , druga dva člana u gornjem izrazu možemo zanemariti , te izraz za volumen napisati u obliku:
Odavde vidimo da vrijedi: αγ 3=
13. Čeličnu šipku čija je duljina na temperaturi 0ºC jednaka 3 metra zagrijemo do temperature 60ºC. Koliko je relativno produljenje šipke? Kolika je duljina šipke na 60ºC? Koeficijent linearnog rastezanja za čelik je 16 K1012 −−⋅ .
16 K1012 −−⋅=α m30 =l
K6012 =−=∆ ttT Duljinu šipke pri promjeni temperature za T∆ dobivamo po formuli:
)1(0 Tll ∆⋅+= α Relativno produljenje šipke je:
000720601012 6
0
0
0
0
0
,Tl
Tl
l
ll
l
l=⋅⋅=∆⋅=
∆⋅⋅=
−=
∆ −αα
ili %0720,
Duljina šipke na temperaturi 60ºC je: m0023)0007201(3)1(0 ,,Tll =+⋅=∆⋅+= α
))()(331()1()1()1()1( 323
0
33
0000 TTTlTlTlTlTlV ∆+∆+∆+=∆+=∆+∆+∆+= λαααααα
)1()31( 0
3
0 TVTlV ∆+=∆+≈ γα
23
14. Staklena boca ima volumen 2000 cm3 pri temperaturi 0ºC. Na temperaturi 0ºC boca je do ruba napunjena alkoholom. Koliko će alkohola isteći iz boce kad ju ugrijemo na 40ºC.
3
0 cm2000=V K40=∆T
13 K101351 −−⋅= ,alkγ
15 K1090 −−⋅= ,st
α 15 K10723 −−⋅=⋅= ,
ststαγ
Volumen alkohola na temperaturi 40ºC dobivamo po formuli:
33
0 cm2091)401013511(2000)1( =⋅⋅+⋅=∆⋅+= −,TVValk
γ Volumen stakla na na temperaturi 40ºC je:
35
0 cm2002)4010721(2000)1( =⋅⋅+⋅=∆⋅+= −,TVVst
γ Volumen alkohola koji će isteći iz boce je:
3cm8920022091 =−=−=∆stalk
VVV
24
Količina toplina. Specifični toplinski kapacitet Toplina koju trebamo dovesti (ili odvesti) tijelu mase m da bismo mu povisili (ili smanjili) temperaturu za T∆ jednaka je:
,
gdje je c specifični toplinski kapacitet tijela. Kada su dva (ili više) tijela u kontaktu toplina će prelaziti s jednog na drugo tijelo dok se ne postigne termička ravnoteža. U izoliranom sustavu ukupna izmjena topline izmeñu tijela je nula.
0...21 =+++N
QQQ 15. Komad bakra mase 500 g i temperature 200ºC baci se zajedno s komadom željeza mase 1 kg i temperature 250ºC u litru vode temperature 20ºC. Za koliko će porasti temperatura vode? Specifični toplinski kapacitet bakra je 380 J/K, specifični toplinski kapacitet željeza je 460 J/K, a vode 4190 J/K. Cu Fe H2O Masu vode možemo dobiti iz volumena i gustoće. Gustoća vode je 3kg/m1000=ρ .
gk1101000 3
33 =⋅=⋅= −Vm ρ Ukupna izmjena topline izmeñu ova tri tijela (koja smatramo izoliranim sustavom) je nula.
0321 =++ QQQ Uvrštavanjem izraza za toplinu potrebnu za zagrijavanje tijela dobivamo:
0333222111 =∆+∆+∆ TcmTcmTcm Konačnu temperaturu smjese označit ćemo sa τ , pa ovaj izraz možemo napisati u obliku:
0)()()( 333222111 =−+−+− tcmtcmtcm τττ Uvrstimo zadane veličine u gornji izraz:
0)20(41901)250(4601)200(38050 =−⋅+−⋅+−⋅⋅ τττ, Odavde možemo izračunati konačnu temperaturu smjese:
C, °= 948τ Temperatura vode povisi se za C,t °=∆ 9283
J/K460
C250
kg1
2!
2
2
=
°=
=
c
t
m
J/K4190
C20
1011
3
3
333
3
=
°=
=== −
c
t
mdmlV
J/K380
C200
kg50g500
1!
1
1
=
°=
==
c
t
,m
TmcQ ∆=
25
Prijenos topline
Energija se prenosi iz područja više u područje niže temperature na 3 načina:
voñenje topline (kondukcija) strujanje (konvekcija) zračenje (radijacija)
Voñenje topline
Kod voñenja topline samo sredstvo miruje, energija se prenosi od molekule do molekule. Toplina se voñenjem prenosi u čvrstim tijelima. Fourierov zakon voñenja topline Promatramo stacionarno voñenje topline kroz štap duljine x∆ i poprečnog presjeka S . Pretpostavljamo da temperatura duž štapa od jednog do drugog kraja linearno pada. Temperature na krajevima štapa su 1T i 2T .
Toplina koja proñe kroz poprečni presjek štapa u vremenu t jednaka je:
Stx
TQ
∆
∆−= λ ,
gdje je: λ – koeficijent toplinske vodljivosti materijala
12 TTT −=∆ – razlika temperatura na krajevima štapa Predznak – je zbog toga što se toplina prenosi u smjeru suprotnom od smjera
porasta temperature, tj. 0>Q za 0<∆
∆
x
T.
1T
2T
T
xx∆
x∆
1T 2TQ
S
26
Toplinski tok Toplinski tok je toplina koja proñe presjekom štapa u jedinici vremena:
Sx
T
t
Q
∆
∆−==Φ λ
Gustoća toplinskog toka Gustoća toplinskog toka je toplinski tok po jedinici površine:
x
T
Sq
∆
∆−=
Φ= λ
Izraz za toplinski tok možemo napisati i u obliku:
S
x
TS
x
T
λ
λ∆
∆−=
∆
∆−=Φ ,
R
T∆−=Φ
gdje ćemo veličinu:
S
xR
λ
∆=
nazvati toplinskim otporom.
27
16. Betonski zid debeo 30 cm prekriven je s unutrašnje strane izolacijskim slojem debljne 2 cm i toplinske vodljivosti W/mK0502 ,=λ . Kolika je gustoća toplinskog toka kroz zid ako je temperatura unutrašnje površine zida 20ºC, a vanjske 0ºC? Toplinska vodljivost zida je W/mK311 ,=λ .
Ct
Ct
°=
°=
20
0
2
1
W/mK050
W/mK31
2
1
,
,
=
=
λ
λ
cm2
cm30
2
1
=∆
=∆
x
x
Gustoća toplinskog toka je dana izrazom:
x
Tq
∆
∆−= λ
a) Gustoća toplinskog toka kroz zid jednaka je gustoći toplinskog toka kroz izolacijski sloj:
21 qq =
2
22
1
11
x
T
x
T
∆
∆−=
∆
∆− λλ
2
22
1
11
)()(
x
tt
x
tt
∆
−=
∆
−λλ ,
gdje je t temperatura na graničnoj površini zida i izolacijskog sloja. Uvrstimo zadane veličine u gornju formulu:
020
)20(050
30
)0(31
,
t,
,
t,
−=
−
Odavde možemo izračunati temperaturu na graničnoj površini: C327 °= ,t
Gustoća toplinskog toka kroz zid je jednaka:
2
1
111 W/m731
30
)0327(31
)(,
,
,,
x
ttq −=
−−=
∆
−−= λ
b) Zadatak možemo riješiti i pomoću toplinskog otpora:
S
xR
⋅
∆=λ
1x∆ 2x∆
1t 2tt
28
Toplinski tok Φ kroz sloj toplinskog otpora R na čijim je površinama temperaturna razlika T∆ se može napisati u obliku:
R
T∆=Φ
Toplinski tok je jednak kroz oba sloja:
21 Φ=Φ
2
2
1
1
R
T
R
T ∆−=
∆−
2
121R
RTT ∆=∆
Zbroj promjena temperature na pojedinim slojevima jednak je ukupnoj razlici temperature izmeñu vanjske i unutrašnje strane zida.
TTT ∆=∆+∆ 21 Uvrstimo 1T∆ u gornji izraz:
TTR
RT ∆=∆+∆ 2
2
12
Iz ovog izraza možemo izraziti 2T∆ :
TRR
RT ∆
+=∆
21
22
Toplinski tok možemo napisati u obliku:
2121
2
22
2 1
RR
TT
RR
R
RR
T
+
∆−=∆
+⋅−=
∆−=Φ
ukR
T∆−=Φ
Toplinski tok možemo izračunati kao omjer ukupne razlike temperature preko oba sloja i ukupnog toplinskog otpora koji je zbroj toplinskih otpora pojedinih slojeva. Isti rezultat vrijedi iza više slojeva. Izračunajmo gustoću toplinskog toka:
)()()(
2
2
1
1
2
2
1
121
λλλλ
xx
T
S
x
S
xS
T
RRS
T
RS
T
Sq
uk∆
+∆
∆−=
∆+
∆
∆−=
+
∆−=
⋅
∆−
Φ=
2W/m731)
050
020
31
30(
20,
,
,
,
,q −=
+
−=
29
17. Kolika količina topline proñe kroz betonski zid površine 20 m2 i debljine 10 cm na čijim se objema stranama nalazi sloj žbuke debljine 2 cm za 30 minuta? Temperaturna razlika izmeñu vanjske i unutrašnje površine zida je 20ºC. Toplinska vodljivost betona je W/mK31,
b=λ , a toplinska vodljivost žbuke je
W/mK80,ž=λ .
m020cm2
m10cm10
31
2
,xx
,x
==∆=∆
==∆
W/mK31,b=λ
W/mK80,ž=λ
CT °=∆ 30 2m20=S
s1800min30 ==t Gustoća toplinskog toka je jednaka kroz sva tri sloja:
321 qqq ==
3
33
2
22
1
11
x
T
x
T
x
T
∆
∆−=
∆
∆−=
∆
∆− λλλ
Budući da je
žλλλ == 31 i 31 xx ∆=∆ iz jednadžbe:
3
33
1
11
x
T
x
T
∆
∆=
∆
∆λλ dobivamo da je 13 TT ∆=∆ .
Iz jednadžbe:
2
22
1
11
x
T
x
T
∆
∆=
∆
∆λλ
možemo izraziti 1T∆ :
22
2
2
1
121 3250
10
31
80
020T,
,
,
,
,T
x
xTT ∆=⋅∆=
∆⋅
∆∆=∆
λ
λ
Zbroj promjena temperature na pojedinim slojevima jednak je ukupnoj razlici temperature izmeñu vanjske i unutrašnje strane zida.
TTTT ∆=∆+∆+∆ 321 Uvrstimo u ovaj izraz 13 TT ∆=∆ i 21 3250 T,T ∆=∆ :
TTT ∆=∆+∆ 212 TTT, ∆=∆+∆⋅ 2232502
Odavde možemo izračunati: C2182 °=∆ ,T
2x∆ 3x∆
3t∆
1x∆
1t∆ 2t∆
30
C9513 °=∆=∆ ,TT Gustoća toplinskog toka se može izračunati iz izraza:
2
2
22 W/m3236
10
21831 ,
,
,,
x
Tq −=−=
∆
∆−= λ
Toplina koja proñe kroz betonski zid za 30 min jednaka je:
J105181800203236 6⋅=⋅⋅== ,,qStQ
b) Zadatak možemo riješiti i pomoću toplinskog otpora:
S
xR
⋅
∆=λ
Toplinski tok Φ kroz sloj toplinskog otpora R na čijim je površinama temperaturna razlika T∆ se može napisati u obliku:
R
T∆=Φ
Kada imamo više slojeva, njihovi se toplinski otpori mogu zbrojiti i toplinski tok možemo napisati u obliku:
321
321
RRR
TTT
R
T
uk++
∆+∆+∆=
∆=Φ ,
gdje je T∆ ukupna temperaturna razlika izmeñu vanjske i umutarnje površine zida. Možemo izračunati toplinski otpor za svaki pojedini sloj:
K/W00125,0208,0
02,0131 =
⋅=
⋅
∆==
S
xRR
žλ
K/W0038,0203,1
1,022 =
⋅=
⋅
∆=
S
xR
bλ
K/W0405,0321 =++= RRRRuk
Toplinski tok kroz zid je jednak:
W47270405,0
30==
∆=Φ
ukR
T
Toplina koja prolazi kroz zid za 30 min je: J1051818004727 6
⋅=⋅=⋅Φ= ,tQ