Download - Slide các mô hình toán kinh tế - VCU
Chương 2. Mô hình tối ưu
I. Hàm sản xuất
1. Hàm sản xuất
Giả sử doanh nghiệp có thể sử dụng n loại yếu tố để tạo ra sản phẩm và nếu các yếu tố được sử dụng ở mức ,doanh nghiệp thu được Q đơn vị sản phẩm. Như vậy ta có mối quan hệ giữa mức sản lượng và mức sử dụng các yếu tố qua hàm số:
2. Một số hàm sản xuất phổ biến
Các dạng hàm sản xuất phổ biến:
+ Dạng tuyến tính:
nXXX ,...,, 21
),...,,( 21 nXXXFQ
nn XaXaQ ...11
+ Hàm sản xuất dạng cobb – Douglas với vốn và lao động:
với là các tham số, Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động.
3. Tác động của các yếu tố sản xuất đến sản lượng + Về mặt ngắn hạn, doanh nghiệp chỉ có khả năng thay đổi một số yếu tố có tính lưu động. Ta có thể đo lường hiệu quả của việc sử dụng các yếu tố đó bằng thước đo sau:
- Năng suất biên của yếu tố i:
- Năng suất trung bình của yếu tố i:
- Độ co giãn của Q theo yếu tố i:
- Hệ số thay thế giữa yếu tố i và yếu tố j:
LaKQ 0,, a
ii X
FMP
ii X
XFAP
)(
QX i
i
j
j
i
MP
MP
dX
dX
+ Về mặt dài hạn, doanh nghiệp có thể thay đổi tất cả các yếu tố. Khi tất cả các yếu tố đều thay đổi theo cùng 1 tỉ lệ sẽ tác động đến sản lượng. Đây là vấn đề tăng qui mô và hiệu quả.
4. Ví dụ: Xét hàm sản xuất Cobb – Douglas:
Với hàm này tăng qui mô có hiệu quả không?
II. Cực trị có điều kiện
1. Bài toán
Tìm cực trị hàm với điều kiện .
2. Phương pháp Lagrange
Xét hàm Lagrange
5,07,0 LaKQ
),...,( 1 nxxfz 0),...,( 1 nxxg
),...,(),...,(),,...,( 111 nnn xxgxxfxxL
III. Mô hình tối ưu về kinh tế của quá trình sản xuất
1. Đặt vấn đề
Trong quá trình sản xuất, doanh nghiệp có thể lựa chọn các yếu tố sản xuất sao cho hiệu quả. Ta xét 2 tình huống: một là với mức sản lượng dự kiến doanh nghiệp cực tiểu hóa chi phí; hai là với vốn đầu tư cố định doanh nghiệp tối đa hóa sản lượng.
2. Mô hình hóa
Ta xét mô hình cực tiểu hóa chi phí (mô hình tối đa hóa sản lượng trình bày tương tự).
Gọi Q là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất, các yếu tố được sử dụng ở mức , giá của các yếu tố lần lượt là
. Ta có mô hình cực tiểu hóa chi phí MHIC:
với điều kiện
nXX ,...,1
npp ,...,1
n
iii XpMinZ
1
QXXF n ),...,( 1
3. Phân tích mô hình
Xét hàm Lagrange
Nghiệm tối ưu phải thỏa mãn điều kiện cần:
Suy ra:
với
Trong nhiều dạng hàm F thì điều kiện cần cũng là điều kiện đủ. Gọi chi phí tối ưu là TC, giá trị của nhân tử Larange là
)],...,([),,...,( 11
1 n
n
iiin XXFQXpXXL
),...,1(* niX i
0
0
L
X
Fp
X
L
ii
i
j
i
j
i
XFXF
p
p
ji
*
Khi đó hàm tổng chi phí sẽ phụ thuộc sản lượng và giá các yếu tố: . Để phân tích tác động của sản lượng tới chi phí ta sẽ tính hệ số co giãn của tổng chi phí TC, chi phí trung bình AC, chi phí biên MC theo sản lượng Q.
Ta chứng minh được rằng:
với
Chú ý: nếu giá các yếu tố đều biến động theo cùng một tỉ lệ thì nghiệm tối ưu không thay đổi.
),...,,( 1 nppQTCTC
*)( QMC
*i
i
Xp
TC
ni ,...,1
),...,1(* niX i
Ví dụ. Hàm sản xuất của doanh nghiệp có dạng
trong đó Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động. Biết giá vốn là
, giá lao động , .
a) Xác định chi phí nhỏ nhất để sản xuất sản lượng .
b) Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản lượng tại .
c) Nếu giá vốn và lao động đều tăng 15% thì mức sử dụng vốn và lao động tối ưu sẽ thay đổi thế nào?
d) Phân tích tác động của giá vốn, lao động tới tổng chi phí.
LKQ 5,020
14Kp 7Lp 100000 Q
0QQ
0Q
Giải: Theo mô hình MHIC ta có bài toán:
với điều kiện .a) Giải hệ phương trình điều kiện ta được:
)714( LKMin 1000020 5,0 LK
1050)(;100;25 0** QTCLK
b) Hệ số co giãn là:
c) Các yếu tố tăng cùng 1 tỉ lệ thì không đổi.
d) Do
nên khi giá vốn và lao động tăng thì chi phí sẽ tăng.
105
70
1050.100
10000.7
)(),()()(
)(
0**
0
*
0
0 QACLKMP
p
QACQAC
QMC
L
LTCQ
**, LK
0100,025 **
Lp
TCK
p
TC
LK
IV. Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp
1. Đặt vấn đề
Doanh nghiệp cần tính toán mức cung sản phẩm cho thị trường và giá bán để đạt được lợi nhuận tối đa. Ta sẽ xét hai loại hình doanh nghiệp: cạnh tranh hoàn hảo và độc quyền.
2. Mô hình hóa
Gọi lần lượt là doanh thu và chi phí khi doanh nghiệp cung ứng và tiêu thụ trên thị trường mức sản lượng Q.
Lợi nhuận là:
Ta có mô hình:
3. Phân tích mô hình
Điều kiện cần tối ưu là:
)(),( QTCQTR
)()()( QTCQTRQ
)(QMax
)()( QMCQMRdQ
dTC
dQ
dTR
+ Trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo:
Doanh thu: với p cố định. Khi đó, ta có:
+ Trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh độc quyền:
Do không có sản phẩm thay thế nên
Như vậy
Điều kiện cần trở thành:
Gọi lần lượt là mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và lợi nhuận tối đa. Với doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo thì
pQQTR )(
)()()( QMCpQMCQMR
)(Qpp QQpQTR )()(
)()( QMCQdQ
dpQp
**,Q
**
Qdp
d
Ví dụ 1. Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu
và hàm tổng chi phí trong đó Q là sản
lượng và FC là chi phí cố định.
a) Hãy xác định lợi nhuận tối đa khi .
b) Phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức lợi nhuận tối đa và sản lượng của mức lợi nhuận tối đa.
Ví dụ 2. Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có chi phí biên
, chi phí cố định là FC=25, giá bán sản phẩm là p.
c) Khi p=108, hãy xác định mức lợi nhuận tối ưu.
d) Nếu giá p tăng 10% thì mức sản lượng và lợi nhuận tối ưu sẽ biến động như thế nào?
QQTR 532
FCQQQTC 832
15
3
1 23
5FC
36153 2 QQMC
CHƯƠNG III: BẢNG VÀO – RA
1. SƠ LƯỢC VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN
2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG PHÁP LUẬN
XÂY DỰNG BẢNG VÀO – RA
3. BẢNG VÀO – RA DẠNG HIỆN VẬT
4. BẢNG VÀO – RA DẠNG GIÁ TRỊ
5. HỆ SỐ CHI PHÍ TOÀN BỘ
6. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẢNG VÀO – RA
TRONG PHÂN TÍCH VÀ DỰ BÁO KINH TẾ
1. SƠ LƯỢC VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN
- Năm 1758, Fr. Quesnay – nhà kinh tế học người Pháp
nghiên cứu quá trình phân phối sản phẩm giữa nông dân,
địa chủ và tiểu thương. Ông đặt nền móng tư tưởng thể
hiện việc lưu thông hàng hóa giữa người sản xuất và tiêu
dùng dưới dạng con số.
- Sau đó, Karl Marx nghiên cứu quá trình tái sản xuất xã
hội. Đến năm 1927, Wassily Leontief đưa ra bảng I/O.
Bảng này ghi lại việc phân phối sản phẩm của các ngành
trong nền kinh tế quốc dân và quá trình hình thành sản
phẩm của mỗi ngành.
- Tại Việt Nam, mô hình I/O được đưa vào giảng dạy ở các
trường ĐH từ năm 1960.
- Năm 1980, tổng cục thống kê xây dựng bảng I/O cho 24
ngành. Hiện nay, hàng năm tổng cục thống kê và một số cơ
quan đều nghiên cứu xây dựng và thực hiện các phân tích
kinh tế trên bảng I/O.
2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG PHÁP LUẬN XÂY
DỰNG BẢNG VÀO – RA
2.1. Ngành thuần túy (ngành sản phẩm)
Sản xuất ra sản phẩm giống nhau về công dụng kinh tế có
thể thay thế hoàn toàn cho nhau.
2.2. Giá trị sản xuất GO (Gross Output)
Giá trị sản xuất được tính bằng sản lượng của tất cả các
ngành. Khi tính riêng từng ngành ta sẽ có giá trị sản xuất của
từng ngành
2.3. Nhu cầu (chi phí) trung gian (intermediate demand)
Hàng hóa và dịch vụ được sử dụng cho mục đích của sản xuất được gọi là nhu cầu trung gian. Nhu cầu trung gian bao gồm nguyên, nhiên, vật liệu, bán thành phẩm và các dịch vụ làm đầu vào cho sản xuất, hỗ trợ mua, bán, vận tải, bưu điện…
2.4. Nhu cầu cuối cùng (final uses or final demand)Tiêu dùng (TDCC): Hàng hóa và dịch vụ dùng để đáp
ứng nhu cầu ăn, mặc, ở, đi lại... gọi là tiêu dùng cuối cùng.
Tích lũy tài sản (TLTS) gồm: tích lũy tài sản cố định, hàng tồn kho, tích lũy tài sản quý hiếm.
Xuất khẩu (XK): Bao gồm xuất khẩu hàng hóa và dịch vụ.
2.5. Giá trị gia tăng
Giá trị gia tăng là phần còn lại của giá trị sản xuất sau khi trừ đi chi phí trung gian.
2.6. Các giả thiết cơ bản- Đồng nhất về mặt công nghệ- Đồng nhất về mặt sản phẩm- Công nghệ tuyến tính cố định- Hiệu quả dây chuyền
2.7. Phân loại bảng vào – ra Căn cứ vào các hình thái biểu hiện của các chỉ tiêu có bảng cân đối
dạng hiện vật hoặc giá trị. Căn cứ yếu tố thời gian có hay không có trong mô hình có bảng cân
đối tĩnh hoặc động. Căn cứ vào phạm vi địa lý, xây dựng có bảng cân đối khu theo vùng
lãnh thổ, theo ngành hoặc xí nghiệp... Ngoài ra còn nhiều loại bảng khác: Bảng I/O đóng mở, ngắn hạn,
dài hạn...
3. Bảng vào – ra dạng hiện vật
Số TT
Sản lượng
Đơn vịSản phẩm trung
gianSản phẩm cuối
cùng
1 Q1 tấn q11q12.................q1n q1
2 Q2 kw q21q22.................q2n q2
. . .
. . .
n Qn m3 qn1qn2.................qnn qn
Q0 Ng*ng q01q02.................q0n q0
Trong đó:
Qi : Sản lượng sản phẩm ngành thứ i;
qi: Sản phẩm cuối cùng của ngành i;
qij: Số sản phẩm ngành j mua từ ngành i;
Q0: Tổng số lao động (đơn vị quy đổi – chẳng hạn người – ngày);
q0j: Lượng lao động được sử dụng trong ngành j;
q0: Số lao động sử dụng trong các lĩnh vực khác.
Từ (1) suy ra:
trong đó
là hệ số chi phí trực tiếp dạng hiện vật.
Nó cho biết để có 1 đơn vị sản phẩm ngành j thì ngành i phải cung cấp trực tiếp cho ngành này lượng sản phẩm là .
: ma trận hệ số chi phí hoặc ma trận hệ số kĩ thuật.
Khi đó:
: véctơ hệ số sử dụng lao động
với
niqQQn
jijiji ,...,1,
1
j
ijij Q
q
ijnnij )(
),...,( 001 n
jQ
q
j
jj ,0
0
qQE
Ví dụ. Cho bảng vào ra dạng hiện vật năm 2014 gồm 4 ngành như sau:Sản lượng Sản phẩm trung gian Sản phẩm cuối
cùng
150 25 20 10 15 80
80 10 15 5 5 45
100 20 10 10 15 45
50 10 5 2 6 27
Lao động 15 10 8 4
1. Tính ma trận hệ số chi phí trực tiếp. Từ đó giải thích ý nghĩa kinh tế của .
2. Tính véc tơ hệ số sử dụng lao động.34
4. Bảng vào – ra dạng giá trị
Các yếu tố bảng vào – ra dạng giá trị:
: giá trị sản xuất ngành thứ i;
: giá trị sản phẩm ngành i dùng sản xuất trong ngành j
: giá trị sử dụng cuối cùng của ngành i;
: giá trị sử dụng cuối cùng của ngành i dùng cho mục đích tiêu dùng thứ k;
: giá trị đầu vào yếu tố sơ cấp thứ h;
: giá trị của yếu tố đầu vào sơ cấp h được sử dụng hoặc nhận được của ngành j.
- Phương trình phân phối giá trị sản phẩm:
(3)
iX
ijx
ix
ikf
hY
hjy
nixxXn
jiiji ,...,1,
1
- Phương trình hình thành giá trị sản phẩm:
(4)
Như vậy, bảng vào – ra dạng giá trị cho biết quá trình phân phối giá trị sản phẩm đồng thời cho biết quá trình hình thành giá trị sản phẩm.
Từ (3) và (4) ta suy ra:
(5)
njyxXh
hj
n
iijj ,...,1,
4
11
n
j hhj
n
ii yx
1
4
11
Từ (3) suy ra:
trong đó:
: hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị.
Nó cho biết để có được 1 đơn vị giá trị sản phẩm ngành j thì ngành i phải cung cấp trực tiếp cho ngành này một lượng sản phẩm có giá trị là .
Đặt
: ma trận đầu vào các yếu tố sơ cấp
Suy ra:
xXAExAXX )(
nnij
Tn
Tn aAxxxXXX
,),...,(,),....,( 11
j
ijij X
xa
ija
j
hjhj X
yb
nhjbB
5
BXY
Đặt:
D: gọi là ma trân nhu cầu cuối cùng.
: cho biết để có một đơn vị nhu cầu cuối cùng thứ k thì ngành i phải đóng góp .
Suy ra:
Ví dụ 2. Cho bảng vào – dạng giá trị:
3321 ;;),,( nikk
ikik
T dDV
fdVVVV
ikdikd
DVx
DVXAEDVAXX )(
5. Hệ số chi phi toàn bộ
Các phương trình phân phối sản phẩm dạng hiện vật và dạng giá trị:
Từ đó ta suy ra:
Trong đó
: ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng hiện vật.
: ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị.
xXAEqQE )(;)(
CxxAEX
qqEQ
1
1
)(
)(
nnijE )()( 1
nnijcAEC )()( 1
Hệ số cho biết: để tạo ra một đơn vị sản phẩm cuối cùng
của ngành j thì ngành i phải sản xuất một lượng sản phẩm .
Hệ số cho biết: để sản xuất ra một đơn vị giá trị nhu cầu
cuối cùng của ngành j thì ngành i phải sản xuất ra một lượng
sản phẩm có giá trị .
Chú ý. Các hệ số trong bảng vào – ra có tính chất:
ij
ij
ijc
ijc
;10;10;10 hjijij ba1,;0;0 iiiiijij cc
15
11
h
hj
n
iij ba
6. Một số ứng dụng của bảng vào – ra trong phân tích và dự báo kinh tế
6.1. Lập kế hoạch sản xuất
6.1.1. Xác định mức sản xuất của các ngành
Giả sử rằng trong năm báo cáo t, các ma trận hệ số chi phí trực tiếp và ma trận đầu vào các yếu tố sơ cấp là với bảng vào – ra dạng giá trị ( với bảng hiện vật). Bây giờ chính phủ xây dựng kế hoạch cho năm t+1 với yêu cầu về giá trị sản phẩm cuối cùng. Khi đó các ngành sẽ phải sản xuất thế nào để đáp ứng yêu cầu?
+) Đối với dạng hiện vật:
)();( tt )();( tBtA
)1()1()1(
)1()1()1(
)1()1()1()1()1(
00
11
tQttq
tQttq
tqttqtEtQ
jjj
jijij
+) Đối với dạng giá trị
+) Cho trước yêu cầu về nhu cầu cuối cùng năm t+1 là:
Khi đó:
Ví dụ 3. Cho bảng như ví dụ 2 và giả thiết rằng:
Hãy lập các dự án kế hoạch cho năm t+1 biết rằng:
)1()1()1(
)1()1()1(
)1()1()1()1()1( 11
tXtbty
tXtatx
txtCtxtAEtX
jhjhj
jijij
TtVtVtVtV )1(),1(),1()1( 321
)1()1()1()1()1()1( 11 tVtDtAEtxtAEtX
)()1();()1(;)()1( tDtDtBtBtAtA
Ttx )150;160;200()1(
6.1.2. Xác định giá trị sản xuất và nhu cầu cuối cùng của một số ngành
Tình huống đặt ra là Chính phủ ấn định mức sản xuất và nhu cầu cuối cùng một số ngành và cần xác định mức sản xuất và nhu cầu cuối cùng của các ngành còn lại.
6.1.3. Xác định nhu cầu cuối cùng
6.2. Xác định giá sản phẩm và chỉ số giá
6.2.1. Xác định giá sản phẩm
Xét trường hợp bảng vào – ra dạng hiện vật với là giá 1 đơn vị sản phẩm ngành j. Trong giá trị mỗi đơn vị sản phẩm ngành j gồm 2 phần:-Chi phí nguyên vật liệu:- Giá trị gia tăng tính trên một đơn vị sản phẩm:
jp
n
iijip
1
jw
Khi đó:
Kí hiệu:
Từ đó, suy ra giá sản phẩm của các ngành là:
Nếu ở năm t+1, véc tơ w thay đổi một lượng
Khi đó, giá sản phẩm các ngành sẽ thay đổi:
6.2.2. Xác định chỉ số giá trên cơ sở bảng I/O dạng giá trị
j
n
iijij wpp
1
Tn
Tn wwwppp ),....,(;),....,( 11
TTT wEpwpE )()(
1)( Ewp TT
)()1( twtww
1)( Ewp TT
CHƯƠNG IV. MÔ HÌNH TỐI ƯU TUYẾN TÍNH1. Một số tình huống trong kinh tế dẫn đến bài toán QHTT
1.1. Tình huống đầu tư tài chính
Một công ty dự định dùng 900 triệu đồng để đầu tư mua cổ phiếu trên thị trường chứng khoán. Công ty đưa ra giới hạn mua của từng loại chứng khoán nhằm đa dạng hóa danh mục mua để phòng ngừa rủi ro theo bảng số liệu sau:
Để phòng ngừa rủi ro công ty còn quy định khoản đầu tư cổ phiếu A, B chiếm ít nhất 50%; cổ phiếu D chiếm ít nhất 12%. Hãy xác định danh mục đầu tư không vượt dự tính mà đảm bảo đa dạng và mức lãi suất cao nhất?
Loại cổ phiếu Lãi suất (%/năm) Giới hạn mua (triệu đồng)
A 5 300
B 7,3 400
C 8 450
D 9,1 550
1.2. Tình huống phân công lao động
Một phân xưởng có 4 dây chuyền sản xuất khác nhau có thể sản xuất 3 loại sản phẩm. Lượng sản phẩm mỗi loại sản xuất ra được khi sử dụng 1 dây chuyền sản xuất trong 1 giờ và chi phí sản xuất ở dây chuyền đó sau 1 giờ hoạt động cùng với nhu cầu tối thiểu về các sản phẩm cho trong bảng sau:
Hãy sắp xếp thời gian cho các dây chuyền sản xuất sao cho thỏa mãn nhu cầu tối thiểu về các sản phẩm đồng thời tổng chi phí sản xuất là thấp nhất?
Sản phẩm Dây chuyền sản xuất Nhu cầu tối thiểu1 2 3 4
A 2 3 1 1 1.600
B 1 2 3 4 2.200
C 3 1 4 5 2.000
Chi phí (nghìn đồng)
100 70 80 120
2. Mô hình toán học của bài toán qui hoạch tuyến tính
2.1. Bài toán QHTT dạng tổng quát
Tìm véc tơ sao cho:
với các điều kiện
: gọi là hàm mục tiêu
Hệ (*) trên gọi là hệ ràng buộc
Các ràng buộc gọi là các ràng buộc về dấu.
),...,( 1 nxxX min(max)...)( 11 nn xcxcXf
31
21
11
,
(*),
,
Iibxa
Iibxa
Iibxa
i
n
jjij
i
n
jjij
i
n
jjij
)(Xf
)0(x 0 i ix
2.2. Bài toán QHTT dạng chính tắc
Tìm véc tơ sao cho:
với điều kiện
Trong đó
Chú ý: Mọi bài toán QHTT tổng quát đều có thể đưa được về bài toán QHTT dạng chính tắc.
),...,( 1 nxxX
min(max)...)( 11 nn xcxcXf
n1,...,i ,0
m1,...,i ,1
i
n
jijij
x
bxa
nmAr )(
2.3. Một số khái niệm- Phương án là véc tơ X thỏa mãn tất cả các ràng buộc của bài toán QHTT. Tập các phương án gọi là miền ràng buộc của bài toán.- Phương án cực biên là phương án X mà X là điểm cực biên của miền ràng buộc.- Phương án tối ưu là phương án mà hàm mục tiêu đạt giá trị
nhỏ nhất với bài toán min và lớn nhất với bài toán max.- Phương án cực biên tối ưu là phương án vừa cực biên vừa tối ưu.
Chú ý: Phương án X của bài toán QHTT dạng chính tắc là cực biên khi và chỉ khi hệ véc tơ cột tương ứng với các thành phần dương của phương án là độc lập tuyến tính.
jA
Ví dụ. Xét bài toán QHTT dạng chính tắc:
với điều kiện
Chứng tỏ rằng X=(0,5,4,0,0,11) là phương án cực biên của bài toán.
Chú ý: Nếu X là PACB của bài toán QHTT dạng chính tắc, các véc tơ cột ứng với các thành phần dương gọi là véc tơ cơ sở của phương án. Hệ véc tơ này gọi là hệ véc tơ cơ sở và tập chỉ số của cơ sở kí hiệu J
max75)( 5421 xxxxXf
1,...,6j ,0 x
108x 43x
12 24x
7 2x 3
j
6532
432
5321
xx
xx
xxx
jA
2.4. Một số tính chất
Tính chất 1. Nếu bài toán QHTT chính tắc có phương án thì có phương án cực biên và nếu có phương án tối ưu thì có phương án cực biên tối ưu.
Tính chất 2. Nếu bài toán QHTT có phương án và hàm mục tiêu của bài toán bị chặn (chặn dưới với bài toán Min và chặn trên với bài toán Max) thì bài toán có phương án tối ưu.
Chú ý. Từ tính chất 1 người ta thường xét tính giải được của bài toán QHTT chính tắc thông qua phương án cực biên theo các bước như sau:
Bước 1. Tìm PACB của bài toán.
Bước 2. Xây dựng công thức kiểm tra tính tối ưu của PACB. Nếu phương án chưa tối ưu thì chuyển sang bước 3.
Bước 3. Chuyển PACB sang một PACB khác tốt hơn.
Quá trình trên cứ tiếp tục lặp lại thì sau một số hữu hạn bước ta sẽ tìm được lời giải của bài toán.
3. Phương pháp giải bài toán QHTT
3.1. Bài toán QHTT dạng chính tắc đặc biệt
Nhận xét. Với bài toán trên thì là PACB của bài toán.
min...)( 2211 nn xcxcxcxf
mibnjx
bxaxa
bxaxa
bxax
ij
mnmnmmm
nnmm
nn
,...,1,0;,...,1,0
... x
....
... .... x
...xa ...
11m
221122
111m11m1
)0,...,0,,...,( 10 mbbX
3.2. Các định lý cơ bản
Giả sử , hệ véc tơ cơ sở , tập chỉ số cơ sở là và là PA bất kì.
Khi đó:
trong đó
: ước lượng thứ k (k=1,…,m).
Định lý 3.1. Nếu thì PACB là PACB tối ưu.
Định lý 3.2. Nếu tồn tại mà thì bài toán không giải được.
Định lý 3.3. Nếu với mỗi đều tồn tại ít nhất thì ta có thể xây dựng được PACB mới tốt hơn PACB đã cho.
mibi ,...,1,0 mAA ,...,1
mJ ,...,1 ),...,( 1 nxxX
n
mkkk xXfXf
10 )()(
m
ikikik cac
1
Jkk ,0 0XJkk ,0 miaik ,...,1,0
0k 0ika
3.3. Phương pháp đơn hình
Xét bài toán QHTT chính tắc đặc biệt ở dạng min, ta sẽ sử dụng phương pháp đơn hình sau để giải bài toán:
Bước 1. Lập bảng đơn hình ứng với PACB .
Bước 2. Kiểm tra dấu hiệu tối ưu của PACB
Nếu thì là phương án tối ưu. Ngược lại thì ta sẽ chuyển sang bước 3.
0X
Hệ số Cj
Ẩn cơ sở
Phương án
c1 c2 … cm cm+1 … cn
x1 x2 … xm xm+1 … xn
c1 x1 b1 1 0 … 0 a1m+1 … a1n
c2 x2 b2 0 1 … 0 a2m+1 … c2n
cm xm bm 0 0 … 1 amm+1 … amn
0 0 … 0 …)( 0Xf
1m n
Jkk ,0 0X
Bước 3. Kiểm tra tính không giải được của bài toán.
Nếu tồn tại mà thì bài toán không giải được.
Nếu với mỗi đều có it nhất một hệ số
thì ta chuyển sang bước 4.
Bước 4. Điều chỉnh PACB, lập bảng đơn hình mới. Chọn véc tơ đưa vào cơ sở: Giả sử khi đó
ẩn được đưa vào cơ sở là . Chọn véc tơ đưa ra khỏi cơ sở: Giả sử thì
ẩn đưa vào cơ sở là . Biến đổi bảng đơn hình mới:
- Chia dòng ứng với cho phần tử (phần tử trục).
- Lấy dòng r mới nhân với rồi cộng vào dòng i cũ ta sẽ được dòng i mới.
Jkk ,0 miaik ,...,1,0
Jkk ,0 0ika
sJk
kMax
sx
rs
r
is
i
a a
b
a
bMin
is
0
rx
rx rsa
)( rsa
Chú ý.
+) Nếu cho bài toán QHTT tổng quát ta phải đưa về dạng chính tắc đặc biệt rồi lập bảng đơn hình.
+) Đối với bài toán max ta đưa về bài toán min bằng cách đặt .
Ví dụ 3.1. Giải bài toán QHTT sau bằng phương pháp đơn hình.
với điều kiện
)()( XfXg
min2
132)( 4321 xxxxXf
4,...,1,0
10322
484
18222
432
432
4321
jx
xxx
xxx
xxxx
j
Ví dụ 3.2. Giải bài toán QHTT sau bằng phương pháp đơn hình:
với điều kiện
max23)( 532 xxxXf
5,...,1 ,0
102x 43
12 24
72 3
532
432
5321
jx
xx
xxx
xxxx
j
3.4. Giải bài toán chính tắc khi chưa biết phương án cực biên xuất phát
3.4.1. Thiết lập bài toán phụ
- Cho bài toán QHTT dạng chính tắc:
với điều kiện
- Xét bài toán phụ:
với điều kiện
min(max)...)( 11 nn xcxcXf
mjbx
bxa
ji
n
jijij
,...,1,0 n;1,...,i ,0
m1,...,i ,1
min...)( 21 mnnn xxxXh
mjbx
bxxaxa
bxxaxa
ji
mmnnmnm
nnn
,...,1,0 m;n1,...,i ,0
...
...
...
11
111111
Các biến gọi là các biến phụ của bài toán.
Chú ý. Bài toán ban đầu dạng max hoặc min thì bài toán phụ luôn ở dạng min.
3.4.2. Mối liên hệ giữa 2 bài toán
Định lý 3.4. Bài toán phụ luôn có PACB tối ưu và
Định lý 3.5. Nếu là phương án của bài toán chính tắc thì là phương án bài toán phụ.
Định lý 3.6. Nếu thì bài toán chính tắc không có phương án và do đó không có phương án tối ưu.
mnn xx ,...,1
0)(min Xh
),...,( 1 nxxX )0,...,0,,...,( 1 nxxX
0)(min Xh
Các bước giải bài toán QHTT
Bước 1. Đưa bài toán về dạng chính tắc.
Bước 2. Thiết lập bài toán phụ và giải
- Nếu bài toán phụ có PA tối ưu và thì kết luận bài toán chính không có phương án.
- Khi giải bài toán phụ các biến phụ bị loại hết khỏi cơ sở thì phương án trên bảng đơn hình là phương án tối ưu của bài toán ban đầu.
Chú ý.
+) Nếu ma trận A của bài toán chính tắc có véc tơ cột là véc tơ đơn vị (thành phần thứ i bằng 1) thì không cần cộng biến phụ vào dòng i .
+) Khi loại hết ẩn phụ ra khỏi ẩn cơ sở thì các hệ số của các ẩn phải ghi hệ số bài toán ban đầu.
0)(min Xh
kA
Ví dụ 3.3. Giải bài toán QHTT sau:
với điều kiện
min22
9
3
13
2
1)( 54321 xxxxxXf
5,1,0
245 3
16322
82
5321
54321
5431
jx
xxxx
xxxxx
xxxx
j