03 -2UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
ESPAÇO AMOSTRAL: S
Conjunto de todos os resultados possíveis de
uma variável do fenômeno em observação
EVENTO : A
Sub-conjunto de resultados possíveis
1APr0SAPara
1SPr
0Pr
PROPRIEDADES:
FUNÇÃO PROBABILIDADE: Pr
Pr : S [ 0, 1 ]
Probabilidades
03 -3UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
BAPrBPrAPrBAPr
A
B
S
Probabilidade da União de Eventos:
REGRA DA ADIÇÃO
03 -4UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Experimento:
Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o
número da face superior.
Seja:
X = número da face superior do 1º dado
Y = número da face superior do 2º dado.
Exemplo 1 – Espaço Amostral
(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)
(2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)
(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)
(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)
(6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
6...1y;6... 1x|y) (x; : S Amostral Espaço
03 -5UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face
superior: ( X , Y). ESPAÇO AMOSTRAL S(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
EVENTOS:
A: Ocorrer 2 nos dois dados A = {(2,2)} Pr(A) = 1/36
B: Soma números igual a 4 B = {(1,3), (2,2), (3,1)} Pr(B) = 3/36 = 1/12
C: O 1º dado é metade do 2º C = {(1,2), (2,4), (3,6)} Pr(C) = 3/36 = 1/12
D: Sair números iguais D = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
E: Sair par no 1º dado E = {(2,1), (2,2), ..., (2,6), (4,1), ..., (4,6), ... , (6,6)}
F: Sair impar no 2º dado F = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,1), (2,3), (2,5), ..., (6,1), (6,2), (6,5)}
G: Ocorrer número de 1 a 6 G = S (espaço amostral)
H: Soma igual a 13 H = (conjunto vazio, evento impossível)
I: Soma >4 I = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,3), ..., (2,6), (3,2), ..., (6,1), (6,2), ..., (6,6)}
J: Soma menor que 5
K: Ocorrer 2 nos dois dados e a soma igual a 4
L: Sair números iguais ou a soma igual a 4
M: O 1º dado é metade do 2º e soma dos números é igual a 4
)}1,3(),2,2(),1,2(),3,1(),2,1(),1,1{( IJ
)}2,2{( BAK
)}6,6(),5,5(),4,4(),1,3(),2,2(),3,1(),1,1{( BDL
BCM
Exemplo 1 – Espaço Amostral
03 -6UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Num lote de 100 peças , temos :
20 Defeituosas
80 Não defeituosas
Escolhemos 2 peças , ao acaso:
– com reposição
– sem reposição
Consideremos os eventos :
A : {primeira peça é defeituosa} Pr(A) = ?
B : {segunda peça é defeituosa} Pr(B) = ?
Caso COM reposição: Caso SEM reposição:
Pr(A) = Pr(B) = Pr(A) = (imediato)
Pr(B) = ???
PROBABILIDADE CONDICIONADA
Pr(B/A) = Prob. do evento B, condicionada a
ocorrência do evento A = Pr(B dado A)
No exemplo, sem reposição :
99
19A|BPr
20
100
1
5
1
5
Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada
03 -7UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior:
Seja:: x1 = número 1º dado e x2 = número 2º dado.
ESPAÇO AMOSTRAL S
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Consideremos os eventos:
A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10}={(4,6),(5,5),(6,4)}
B = {(x1, x2) | x1 > x2} = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}
Pr(A) = 3/36 Pr(B) = 15/36 Pr(A B) = 1/36
Pr(A/B) = 1/15 Pr(B/A) = 1/3
Observe que o espaço amostral ficou reduzido:
INTERESSANTE: - essas relações não surgem apenas neste
exemplo, ao contrário, são gerais!!
B A
)Pr(
)Pr(
363
361
3
1)Pr(
)Pr(
)Pr(
3615
361
15
1)Pr(
A
BAAB
B
BABA
Pr(A)*)|Pr()Pr(ou Pr(B)*)|Pr()Pr( ABBABABA
Exemplo 1 – Probabilidade Condicionada
03 -8UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Num lote de 100 peças , temos : 20 defeituosas
80 não defeituosas
Escolhe-se 2 peças , ao acaso: com reposição
sem reposição
Considere os eventos : A={primeira peça é defeituosa}
B={segunda peça é defeituosa}
Pede-se : Pr(A) e Pr(B)
COM REPOSIÇÃO:
SEM REPOSIÇÃO:
5
1
100
20)Pr( A
)Pr()Pr()Pr( ABABB
SURPREENDENTE ?!!!
5
1
100
20)Pr( B
Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada
5
1
100
20)Pr( A
5
1
100
20)Pr( B
)Pr()/Pr()Pr()/Pr()Pr( AABAABB
5
1
495
99
5
4
99
20
5
1
99
19)Pr( B
03 -9UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados
Consideremos os eventos :
A ={(x1 , x2) | x1 é par}
B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6}
Observe : A , B são eventos independentes, não relacionadas :
“Saber que A ocorreu não fornece qualquer informação sobre a ocorrência de B ”
No exemplo :
Pr(A)=18/36=1/2 Pr(B)=12/36=1/3 Pr(A B)=6/36=1/6
Define-se :
A , B são eventos independentes
)Pr(2
1
1/3
1/6=
)Pr(
)Pr(=Pr(A/B) A
B
BA
6
1
3
1
2
1Pr(B)Pr(A)/A)Pr(A).Pr(B=Pr(B)Pr(A/B) = B)Pr(A
)Pr(3
1
1/2
1/6=
)Pr(
)Pr(=Pr(B/A) B
A
BA
Eventos Independentes
Pr(AB)=Pr(A).Pr(B)
03 -10UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Exemplo 3: Dado o circuito L R
1 2
Eventos : Ai : {chave i fechada}
E : {corrente passa de L para R}
Se Pr(Ai) = p e as chaves são independentes então
Exemplo 4: Lote de 10000 peças com 10% defeituosas.
Duas peças são extraídas, ao acaso , sem reposição.
Qual a probabilidade de ambas serem perfeitas?
Eventos : A:{primeira é perfeita} B:{segunda é perfeita}
Pede-se : Pr(A B)
Considerando A , B eventos independentes (em função do
tamanho do lote):
Generalizando:
“A1, A2 , ... , An são eventos mutuamente independentes
...
...
...
81,0)9,0(0,9=Pr(B)Pr(A)=B)Pr(A
80999,010000
90009999
8999=r(A)Pr(B/A)=B)Pr(A P
2p)2
Pr(A)1
Pr(A)2
A1
Pr(A Pr(E)
)2Pr()1Pr()21Pr( AAAA )Pr()1Pr()1Pr( nAnAnAnA
)3Pr()2Pr()1Pr()321Pr( AAAAAA
)Pr()2
Pr()1Pr()...21Pr( nAAAnAAA
Eventos Independentes
03 -11UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Retome o Exemplo 1 ( lançamento de 2 dados)
Eventos :
A : {(x1 , x2 ) | x1 é par}
B : {(x1 , x2 ) | x2 é ímpar}
C : {(x1 , x2 ) | (x1 e x2 são pares) ou (x1 e x2 são ímpares)}
A , B , C são eventos mutuamente independentes ?
Logo , A , B , C não são mutuamente independentes
8
1=Pr(C)Pr(B)Pr(A)0=C)BPr(A
Pr(C)Pr(B)4
1
36
9=C)Pr(B
Pr(C)Pr(A)4
1
36
9=C)Pr(A
Pr(B)Pr(A)4
1
36
9=B)Pr(A
2
1
36
18
36
9
36
9=B)APr(+)BPr(A=Pr(C)
2
1
36
18=Pr(B)=Pr(A)
Eventos Independentes
03 -12UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
“Probabilidade de uma particular causa (Bi) ,
dado que o evento A tenha ocorrido”
Considere a partição B1, B2 , ... , Bk :
)kPr(B)kPr(A/B+...+)1Pr(B)1Pr(A/B
)iPr(B)iPr(A/B
)kBPr(A +...+ )1BPr(A
A)iPr(B
Pr(A)
A)iPr(B=/A)iPr(B
B1
BK
B2
ABi
Teorema de Bayes
SBk
1i
i
03 -13UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Exemplo 5: Peças são produzidas por 3 fábricas (1,2,3) e
armazenadas num único depósito
Fábrica 1 produz o dobro da Fábrica 2
Fábrica 2 produz igual a Fábrica 3
Fábricas 1 e 2 produzem 2%de peças defeituosas
Fábrica 3 produz 4% de peças defeituosas
Uma peça é retirada do depósito , ao acaso.
Sabendo-se que a peça é defeituosa , qual a
probabilidade que seja da Fábrica 1?
Considere os eventos :
A : {peça defeituosa}
Bi : {peça Fábrica i , i =1, 2, 3 }
Pede-se: Pr(B1/A)
)3Pr()3/Pr()2Pr()2/Pr()1Pr()1/Pr(
)1Pr()1/Pr()/1Pr(
BBABBABBA
BBAAB
Teorema de Bayes
2
1)1Pr( B
4
1)2Pr( B
4
1)3Pr( B
02,0)1/Pr( BA 02,0)2/Pr( BA 04,0)3/Pr( BA
4,0)4/1()04,0()4/1()02,0()2/1()02,0(
)2/1()02,0()/1Pr(
AB
03 -14UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Eventos: A, B são EXCLUDENTES ?
• NÃO:
• SIM:
Eventos: A, B são INDEPENDENTES ?
• NÃO:
• SIM:
)Pr()Pr()Pr()Pr( BABABA
)Pr()Pr()Pr( BABA
0)Pr( BA
)Pr()/Pr()Pr()/Pr()Pr( BBAAABBA
)Pr()Pr()Pr( ABBA
)Pr()/Pr( BAB
)Pr()/Pr( ABA
Probabilidades
03 -15UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
BAPrBPrAPrBAPr
Método de Solução de Exercícios
Ler atentamente o enunciado!
Sacar o que está rolando ...
Qual é a pergunta?
Definir as variáveis !!!
X: .... A: .... B: ....
Utilizar a Teoria, as Fórmulas !!!
ii
XPrX)X(E
4. Resolver
Encontrar a resposta: Ex.: Pr(X>3)= ....
5. Analisar O valor encontrado é vazoável?
Não é absurdo? Ex.: Pr(X)<0 ou Pr(X)>1 nota ZERO!!!
Não é muito grande? Ou muito pequeno?
Comentar o resultado obtido
Explicitar a pergunta: Ex.: Pr(X>3)=?
3. ModelarEx.:
Aplicar as Fórmulas !!!
BPrBAPrBAPr
1. Entender
2. Simplificar