Download - Solusi Persamaan Diferensial
INTEGRAL, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002 63
Iwan Sugiarto dan Marcellus Mario
Solusi Persamaan Diferensial Solusi Persamaan Diferensial Eksak Tiga VariabelEksak Tiga Variabel
Intisari Tinjau persamaan diferensial eksak tiga variabel :
( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP Dalam tulisan ini akan dicari solusi dari persamaan diferensial eksak tiga variabel dan faktor integrasi.
Abstract
Consider exact differential equation of three variables: ( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP
In this paper, we will find the solution of exact diferential equation of three variables and integrating factors.
Diterima : 23 April 2002
Disetujui untuk dipublikasikan : 4 Mei 2002
1. Pendahuluan Persamaan diferensial orde satu (tiga variabel) yang berbentuk:
( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP disebut eksak apabila terdapat fungsi
( )zyxf ,, , sehingga ( ) ( ) ( ) ( )dzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxdf ,,,,,,,, ++=
Dalam tulisan ini akan diperkenalkan suatu metode untuk mencari solusi persamaan diferensial eksak baik dua
variabel maupaun tiga variabel dan bagaimana mencari faktor integrasi agar persamaan diferensial yang tak eksak menjadi eksak. Untuk persamaan diferensial eksak dapat dilihat bahwa berlaku hubungan :
yR
zQ
xR
zP
xQ
yP
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
,, .
2. PD Eksak dengan Tiga Variabel Pandang persamaan diferensial eksak berikut :
( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP ...................................(2.1)
Misalkan terdapat fungsi-fungsi : 2121 ,,, RRQQ sebagai berikut :
1. 21 QQQ += dengan 02 =∂
∂x
Q, 21 RRR += dengan 0,0 22 =
∂∂
=∂
∂y
Rx
R
2. ( ) 0,,01 =zyxQ dan ( )zyxRdyz
Qy
y
,,012
0
=∂
∂∫
64 INTEGRAL, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002
Maka solusi umum PD (2.1) adalah :
( ) CzyxF =,, dengan ∫∫∫ ++=z
z
y
y
x
x
dzRdyQPdxF000
22
Bukti: Untuk menunjukkan ( ) CzyxF =,, dengan ∫∫∫ ++=z
z
y
y
x
x
dzRdyQPdxF000
22
merupakan solusi PD di atas, cukup ditunjukkan Px
F=
∂∂
, QyF =
∂∂
dan Rz
F=
∂∂
.
• Akan ditunjukkan PxF =
∂∂
∫∫∫ ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂ z
z
y
y
x
x
dzRx
dyQx
Pdxxx
F
000
22
Karena 02 =∂
∂x
Q dan 02 =
∂∂
x
R , maka 00 ++=
∂∂
PxF
P= .
• Akan ditunjukkan QyF
=∂∂
∫∫∫ ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂ z
z
y
y
x
x
dzRy
dyQy
Pdxyy
F
000
22 02
0
++∂∂
= ∫ QQdxx
x
x
221
0
Qdxx
Qx
Qx
x∫ +
∂
∂+
∂∂
= 21
0
Qdxx
Qx
x∫ +
∂∂
= 21
0
Qdxx
Qx
x
+∂
∂= ∫
( ) ( ) 2011 ,,,, QzyxQzyxQ +−= 21 QQ += Q=
QyF =
∂∂∴
• Akan ditunjukkan RzF =
∂∂
∫∫∫ ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂ z
z
y
y
x
x
dzRz
dyQz
Pdxzz
F
000
22 ( ) 201 ,,0
RzyxRdxxRx
x
++∂∂
= ∫
( ) 20121
0
,, RzyxRdxx
RxRx
x∫ ++
∂∂
+∂
∂= ( ) 201
1 ,,0
RzyxRdxx
Rx
x
++∂
∂= ∫
( ) ( ) ( ) 201011 ,,,,,, RzyxRzyxRzyxR ++−= ( ) 21 ,, RzyxR += R=
Rz
F=
∂∂
∴
Jadi CdzRdyQPdxFz
z
y
y
x
x
=++= ∫∫∫000
22 merupakan solusi umum dari persamaan
diferensial eksak: ( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP
INTEGRAL, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002 65
Catatan: 1. Dalam pemilihan 00 ydanx harus diperhatikan kondisi: ( ) 0,,01 =zyxQ dan
( )zyxRdyz
Qy
y
,,012
0
=∂
∂∫ .Untuk mempermudah perhitungan, pilih 1Q dan 2Q
sehingga dapat diambil 0x dan 00 =y .
2. PD eksak yang diberikan dapat dipisahkan menjadi dua atau lebih PD eksak, dan dikerjakan masing-masing. Penjumlahan dari solusi ini adalah solusi umum dari PD eksak awal.
Contoh : 1. Pandang persamaan diferensial berikut ini :
( ) ( ) ( ) 012222222222 =−+−+++− zdzyxyxydyzzxxdxzyz . Tulislah :
( )xzyzP 222 −= ; ( )yzzxQ 222 += ; ( )zyxyxR 12222 −+−=
22xyzyP =
∂∂
dan 22xyzx
Q=
∂∂
xzzxyzP
22 2 −=∂∂
dan xzzxyxR
22 2 −=∂∂
yzyzxzQ
22 2 +=∂∂
dan yzyzxyR
22 2 +=∂∂
PD di atas eksak, karena :yR
zQ
xR
zP
xQ
yP
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
,,
Ambil : 221 yzxQ = dan 2
2 yzQ = dengan 02 =∂
∂x
Q
( )zyxyxR 22221 +−= dan zR −=2 dengan 0,0 22 =
∂∂
=∂
∂y
Rx
R
Terlihat bahwa 0x dan 00 =y memenuhi kondisi berikut :
( ) 0,,01 =zyxQ dan ( )zyxRdyz
Qy
y
,,012
0
=∂
∂∫
Maka : ( ) ∫∫∫ −++−=zyx
zdzdyyzxdxzyzF00
2
0
222
Jadi solusi umum PD eksak: ( ) Czzyzxzyx =−+− 22222222
2
1
2. Pandang persamaan diferensial berikut ini :
( ) ( ) ( ) 0sincos =++−++ dzzxydyyexzdxyzye xx Tulislah :
yzyeP x += cos ; yexzQ x sin−= ; zxyR +=
zyeyP x +−=
∂∂
sin dan zyex
Q x +−=∂∂
sin
66 INTEGRAL, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002
yzP =
∂∂
dan yxR =
∂∂
xz
Q=
∂∂
dan xyR =
∂∂
PD diatas eksak karena : yR
zQ
xR
zP
xQ
yP
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
,, .
PD di atas dapat dipisah menjadi: PD eksak pertama:
0sincos =− ydyeydxe xx
yeP x cos= ; yeQ x sin−= ; 0=R
Ambil : yyeQ x sinsin1 +−= dan yQ sin2 −= dengan 02 =∂
∂x
Q.
01 =R dan 02 =R dengan 0,0 22 =∂
∂=
∂∂
yR
xR
Ambil 00 =x dan 00 =y maka kondisi berikut terpenuhi:
( ) 0,,01 =zyxQ dan ( )zyxRdyz
Qy
y
,,012
0
=∂
∂∫
∫∫ −=yx
x dyyydxeF00
1 sincos 1cos1coscoscos −=−+−= yeyyye xx
PD eksak kedua: ( ) 0=+++ dzzxyxzdyyzdx
yzP = ; xzQ = ; zxyR +=
Ambil : xzQ =1 dan 02 =Q dengan 02 =∂
∂x
Q.
xyR =1 dan zR =2 dengan 0,0 22 =∂
∂=
∂∂
yR
xR
Ambil 0x = 0 dan 00 =y maka kondisi berikut terpenuhi:
( ) 0,,01 =zyxQ dan ( )zyxRdyz
Qy
y
,,012
0
=∂
∂∫
∫∫ +=zx
zdzyzdxF00
22
2
1zxyz +=
Jadi solusi umum PD eksak: Czxyzye x =++ 2
2
1cos
3. Menentukan Faktor Integrasi PD Yang Tidak Eksak Tiga Variabel Misal PD ( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP tak eksak. Fungsi ( )zyx ,,µ
disebut faktor integrasi jika PD ( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzRzyxdyQzyxdxPzyx µµµ
menjadi eksak. Dalam tulisan ini akan dicari fungsi ( )zyx ,,µ tersebut.
INTEGRAL, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002 67
Misal ∫=++ cdzbdyadx
eµ , dengan a berupa fungsi konstan atau fungsi a(x), b berupa fungsi konstan atau fungsi b(y), dan c berupa fungsi konstan atau fungsi c(z). Karena persamaan diferensial : ( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzRzyxdyQzyxdxPzyx µµµ adalah eksak maka:
• ( ) ( )
xQ
yP
∂∂
=∂
∂ µµ atau
xQ
xQ
yP
yP
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ µ
µµ
µ
µµµµ QaxQ
PbyP
+∂∂
=+∂∂
atau QaxQ
PbyP
+∂∂
=+∂∂
PbQaxQ
yP
−=∂∂
−∂∂
• ( ) ( )
x
R
z
P
∂∂
=∂
∂ µµ atau
xR
x
R
zP
z
P
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ µ
µµ
µ
µµµµ RaxR
PczP +
∂∂=+
∂∂
atau RaxR
PczP +
∂∂=+
∂∂
PcRaxR
zP −=
∂∂−
∂∂
• ( ) ( )
yR
zQ
∂∂
=∂
∂ µµ atau
yR
yR
zQ
zQ
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ µ
µµ
µ
µµµµ RbyR
QczQ
+∂∂
=+∂∂
atau RbyR
QczQ
+∂∂
=+∂∂
QcRbyR
zQ
−=∂∂
−∂∂
Kita bagi menjadi tiga kasus, yaitu:
• Kasus 1: Untuk 0=a dan xQ
yP
b∂∂
=∂∂
⇒= 0
PcxR
zP −=
∂∂−
∂∂
atau QcyR
zQ
−=∂∂
−∂∂
( )Q
yR
zQ
PxR
zP
zc−
∂∂−
∂∂
=−
∂∂−
∂∂
=
Jadi faktor integrasi ( )∫=
dzzceµ (fungsi dari z)
• Kasus 2: Untuk 0=b dan yR
zQ
c∂∂
=∂∂
⇒= 0
QaxQ
yP
=∂∂
−∂∂
atau RaxR
zP =
∂∂−
∂∂
68 INTEGRAL, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002
( )R
xR
zP
QxQ
yP
xa ∂∂−
∂∂
=∂∂−
∂∂
=
Jadi faktor integrasi ( )∫=
dxxaeµ (fungsi dari x)
• Kasus 3: Untuk 0=a dan xR
zP
c∂∂=
∂∂⇒= 0
PbxQ
yP −=
∂∂−
∂∂
atau RbyR
zQ =
∂∂−
∂∂
( )R
y
R
z
Q
Px
Q
y
P
yb∂∂
−∂∂
=−
∂∂
−∂∂
=
Jadi faktor integrasi ( )∫=
dyybeµ (fungsi dari y)
Contoh: Tinjau PD: ( ) ( ) ( ) 01222222 =−+−+++− dzyxyxydyzzxxdxzzy
Tulislah :
( )xzzyP −= 2 ; ( )yzzxQ += 2 ; ( )12222 −+−= yxyxR
xyzyP
2=∂∂
dan xyzxQ
2=∂∂
xxyz
P−=
∂∂ 2 dan xxy
x
R22 2 −=
∂∂
yyxz
Q+=
∂∂ 2 dan yyx
yR
22 2 +=∂∂
Terlihat PD diatas tak eksak. Akan ditentukan faktor integrasi PD sehingga menjadi
eksak. Karena xQ
yP
∂∂
=∂∂
maka :
( )P
xR
zP
zc−
∂∂−
∂∂
=
( )( )xzzxy
xxyxxy−−
−−−=2
22 22
( )xzzxyxxy
−−+−=
2
2
INTEGRAL, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002 69
( )11
2
2
−−=
yzy
z
1=
Jadi faktor integrasi ( )
zeee zdzzdzzc
==∫=∫= ln1
µ sehingga menjadi PD eksak:
( ) ( ) ( ) 012222222222 =−+−+++− zdzyxyxydyzzxxdxzyz
4. Kesimpulan
Solusi persamaan diferensial eksak baik dua variabel maupaun tiga variabel dapat dicari melalui teorema diatas. Begitupun faktor integrasi suatu persamaan diferensial juga dapat dicari sehingga persamaan diferensial menjadi eksak. 5. Daftar Pustaka
1. Ross, S., “Differential Equation” , 3rd.ed.( John Wiley & Sons, 1984 )
2. Purcell, Edwin J., “Kalkulus dan Geometri Analitik”, Jilid 2, Erlangga, 1994.
3. BoyceW.E. and DiPrima R.C.: “Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems”, John Wiley & Sons,Inc,New York, 1992.
6. Penulis Iwan Sugiarto adalah dosen Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Katolik Parahyangan, Bandung. Marcellus Mario adalah mahasiswa angkatan 1999 program studi Matematika FMIPA, Universitas Katolik Parahyangan.