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Spezielle Relativitätstheorie
Vorlesung von
Prof. Dr. Cornelis (“Kees”) Dullemond
in Zusammenarbeit mit
Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke
Institut für Theoretische Astrophysik
Universität Heidelberg
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Die ersten Gedankenexperimente:
Zeit-Dilatation und Lorentz-Kontraktion
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Einsteins Gedanken-Experiment
Zug fährt mit einer Geschwindigkeit vzug in einen Bahnhof ein.
Achtung: Der Zug bremst nicht ab, sondern fährt mit konstanter Geschwindigkeit weiter.
Frage: Bewegt sich der Zug oder bewegt sich der Bahnhof?
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Einsteins Gedanken-Experiment
Zug
Bahnsteig
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Einsteins Gedanken-Experiment
Zug
Bahnsteig
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Einsteins Gedanken-Experiment
Zug
Bahnsteig
vx=vzug
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Einsteins Gedanken-Experiment
vx=vzug
L
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Einsteins Gedanken-Experiment
vx=vzug
x
y
L
Raum-Koordinaten(vom Bahnhof aus gesehen)
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Einsteins Gedanken-Experiment
vx=vzug
vx
vy
vy=vball,0
Geschwindigkeits-Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen)
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Einsteins Gedanken-Experiment
v‘x=0v‘x
v‘y
v‘y=vball,0
Geschwindigkeits-Koordinaten (vom Zug aus gesehen)
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Einsteins Gedanken-Experiment
L
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Einsteins Gedanken-Experiment
Jetzt mit einemLichtpuls(vom Zug aus gesehen)
L
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Einsteins Gedanken-Experiment
Jetzt mit einemLichtpuls(vom Bahnhof aus gesehen)
L
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Einsteins Gedanken-Experiment
vx=vzug
vx
vy
vy
Geschwindigkeits-Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen)
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Einsteins Gedanken-Experiment
Jetzt mit einemLichtpuls(vom Zug aus gesehen)
L
Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, zu welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera?
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Einsteins Gedanken-Experiment
Jetzt mit einemLichtpuls(vom Bahnhof aus gesehen)
L
Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, zu welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera?
Aufgabe: Berechne wie viel länger es vom Bahnhof aus gesehen dauert.
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Zeit-Dilatation
Jetzt mit einemLichtpuls(vom Bahnhof aus gesehen)
L
Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, an welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera?Die Person im Zug
ist jedoch völlig überzeugt, dass der Puls zum Zeitpunkt t‘=L/c ankommt! Also: seine Uhr läuft langsamer:
Problem: Denkt der Mensch im Zug nicht auch, dass unsere Uhr (am Bahnhof) langsamer als seine Uhr läuft??Antwort: Ja; aber dazu später...
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Zeit-Dilatation
Zug
Bahnsteig
Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1)
L
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Zeit-Dilatation
Zug
Bahnsteig
Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1)
L
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Zeit-Dilatation
Zug
Bahnsteig
Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1)
L
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Lorentzkontraktion
L
Wir ändern das Lichtpuls-Experiment leicht ab:
(vom Zug aus gesehen)Die Dauer ist nun:
vom Zug aus gesehen, und
vom Bahnhof aus gesehen
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Lorentzkontraktion
L
Nun drehen wir dieses Experiment, so dass der Lichtpuls in Fahrtrichtung des Zuges geht:
(vom Zug aus gesehen)Die Dauer ist nun:
vom Zug aus gesehen, und
vom Bahnhof aus gesehen
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Lorentzkontraktion
Aber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich
ist? Wenn wir dies ausarbeiten finden wir eine Inkonsistenz...
Aufgabe:(a) Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls den bewegten
Spiegel erreicht.(b) Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls wieder zurück bei
der (bewegte) Kamera ist.(c) Zeige, dass dies um den Faktor zu lange
dauert, im Vergleich zur o.g. Formel.
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Lorentzkontraktion
Aber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich
ist?
Lass uns dies aus Sicht des Bahnhofs berechnen. Zuerst: zu welchem Zeitpunkt t1 erreicht der Puls den Spiegel?
Und zu welchem Zeitpunkt t2 fällt der Puls in die Kamera?
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Lorentzkontraktion
Wir haben also ein Problem: Wir haben gerade ausgerechnet, dass die Dauer des Experiments
ist, aber wir wissen, dass es eigentlich
sein muss... Was ist los?
Henrik Lorentz kam zu dem Schluss, dass sich Längen in Fahrtrichtung verkürzen!
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Lorentzkontraktion
Statt L müssen wir Lvbhag (L vom Bahnhof aus gesehen) benutzen (aber nur für das Experiment in Fahrtrichtung!):
Und mit der Lorentzkontraktion
erhält man dann wieder die richtige Antwort:
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Lorentzkontraktion
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Leiter-Paradoxon der Lorentzkontraktion
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ladder_Paradox_GarageScenario.svg
Leiter bewegt sich,Garage steht still:
Garage bewegt sich,Leiter steht still:
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Relativitätsprinzip
• Galilei und Newton wussten schon, dass absolute Geschwindigkeiten keine physikalische Bedeutung haben, sondern nur relative Geschwindigkeiten: dies heißt Galilei-Invarianz.
• Wir kennen das: Im ICE bei 200 km/h kann man problemlos laufen, spielen, tanzen, als ob der Zug stillsteht.
• Problem: Die Lichtgeschwindigkeit scheint jedoch absolut zu sein. Wenn wir trotzdem fordern, dass eine bewegte Person dieselbe Lichtgeschwindigkeit misst, so erhält man Zeitdilatation und Lorentzkontraktion. Diese sehen aber asymmetrisch aus!
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Raum-Zeit Diagramme
![Page 31: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/31.jpg)
Raum-Zeit-Diagramme
Um einen besseren Blick zu bekommen, machen wir Bewegungdurch Raum-Zeit Diagramme ersichtlich. Traditionell: Raum horizontal und Zeit vertikal.
Beispiel: rennende Person
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Raum-Zeit-Diagramme
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Raum-Zeit-Diagramme
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Raum-Zeit-Diagramme
![Page 35: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/35.jpg)
Raum-Zeit-DiagrammeSupermarkt Wohnung Büro Lunchroom
„Weltlinie“
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Raum-Zeit-Diagramme
Deine Geburt
Deine Hochzeit
Die Hochzeit eines FreundesDie Geburt deines Kindes
„Ereignisse“
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Raum-Zeit-Diagramme: 2+1D
yx
t Etwas schwierigerum damit zu arbeiten...
![Page 38: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/38.jpg)
Raum-Zeit-Diagramme: 3+1D (=„4D“)
Noch schwierigerum damit zu arbeiten...
Sorry, Powerpointkann leider nochkeine 4-D Grafen
erstellen...
Versuchen Sie es in 30 Jahren wieder...
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Galilei InvarianzBahnhof Zug
Der Zug fährt aus dem Bahnhof raus...
![Page 40: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/40.jpg)
Galilei InvarianzBahnhof Zug
...oder der Bahnhof fliegt vom Zug weg...
Wer hat recht?
‘
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Galilei TransformationBahnhof Zug
Bahnhof und Zug haben eigeneZeitachsen
Das bedeutet: x=0 an t≠0 hat eine andere Bedeutung in den zwei Bezugssystemen
x=0
x‘=0
x‘=1x=
1
![Page 42: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/42.jpg)
Galilei TransformationBahnhof Zug
Wir können durcheine Koordinaten-Transformation vom (x,t) ins (x‘,t)-System wechseln.x‘=
0
x=0
x=1
x‘=1
‘
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Galilei TransformationBahnhof Zug
Bahnhof und Zug haben eigeneZeitachsen
Das bedeutet: x=0 an t≠0 hat eine andere Bedeutung für den zwei Bezugssystemen
x=0
x‘=0
x‘=1x=
1
![Page 44: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/44.jpg)
Galilei TransformationBahnhof Zug
Bahnhof und Zug haben eigeneZeitachsen
Das bedeutet: x=0 an t≠0 hat eine andere Bedeutung für den zwei Bezugssystemen
x=0
x‘=0
x‘=1x=
1
![Page 45: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/45.jpg)
Galilei TransformationBahnhof Zug
Wir können durcheine Koordinaten-Transformation vom (x,t) ins (x‘,t)-System wechseln.x‘=
0
x=0
x=1
x‘=1
‘
![Page 46: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/46.jpg)
Galilei TransformationBahnhof Zug
Wir können durcheine Koordinaten-Transformation vom (x,t) ins (x‘,t)-System wechseln.x‘=
0
x=0
x=1
x‘=1
‘
![Page 47: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/47.jpg)
Inertialsystem (inertiales Bezugssystem)Ein Koordinatensystem (x,t) ist ein Inertialsystem wenn eine geradlinige gleichförmige Bewegung als
geschrieben werden kann.
Das heißt, dass ein neues Koordinatensystem (x‘,t) welches von (x,t) abgeleitet ist durch
(mit C und u Konstanten) auch ein Inertialsystem ist, und zwar völlig gleichwertig.
![Page 48: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/48.jpg)
Weltlinie & Raumzeit-Geschwindigkeit
0 s
1 s
2 s
(Zeit)
(Raum)
vx
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RelativistischeRaum-Zeit-Diagramme
(„Minkowski-Diagramme“)
![Page 50: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/50.jpg)
Hermann Minkowski
"Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund′ an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.“(Hermann Minkowski, 80th Assembly of German Natural Scientists and Physicians, September 21, 1908)
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Minkowski Diagramme
Für die Gedankenexperimenteersetzen wir die t-Achse durch eine ct-Achse (also wir multiplizieren die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit).
Die Zeitache hat jetzt auch Dimension „meter“
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Lichtkegel
Jetzt bewegt sich Licht entlang diagonalen Linien mit ±45∘ Winkel
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Lichtkegel
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Mehrere Lichtkegel
Zwei Lichtpulse,unterschiedliche Orte
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Mehrere Lichtkegel
Zwei Lichtpulse,unterschiedliche Ort und Zeit
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Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel
Raumzeit-Geschwindigkeit für stillstehende Person
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Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel
Raumzeit-Geschwindigkeit für bewegende Person
t‘ ist die Zeit so wie die bewegte Person sie wahrnimmt.
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Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel
Dieser Raumzeit-Geschwindigkeitsvektorliegt immer auf der gestrichelte Linie.
Grund: Zeitdilatation! t‘ ist die Zeit so wie die bewegte Person sie wahrnimmt.
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Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel
t‘ ist die Zeit so wie der bewegender Mensch sie wahrnimmt.
Aufgabe: Zeige, dass dieser Raumzeit-Geschwindigkeitsvektor folgendermaßen aussieht:
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Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel
t‘ ist die Zeit so wie der bewegender Mensch sie wahrnimmt.
Aufgabe: Zeige, dass dies eine Hyperbel ist, d.h. dass die Zeit- und Raum-Komponente Vct bzw Vx folgende Gleichung befolgen:
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Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel
Die gestrichelte Hyperbel ist also die ct‘=1 Linie. Sie ist nicht horizontal (wie klassisch) sondern eine Hyperbel wegen der Zeit-Dilatation.
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Was ist „gleichzeitig“?
Das Prinzip der Uhren-Synchronisationund die Vermischung von
Raum und Zeit
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Aus dem Urpsrunglichen Paper von Albert Einstein (1905)
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Wie synchronisiert man Uhren?
Aufgabe: Überlegt euch eine Methode („protocoll“) womit man trotz Zeit-Verzögerung feststellen kann ob die Uhren synchron laufen.
Stellt euch vor, wir haben eine Mars-Kolonie mit der wir überRadio-Funk kommunizieren können. Wir wollen checken, ob dieUhr dort synchron mit unserer Uhr auf der Erde läuft. Aber: Licht (das Radio-Signal) braucht ca. 20 Minuten von Erde bis zum Mars, und ca. 20 Minuten wieder zurück (wie lange genau müssen wir noch vermessen). Wenn wir über Funk fragen: wie viel Uhr ist es bei euch, dann kommt die Antwort viele Minuten später, und damit ist die Information schon „veraltet“.
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Wie synchronisiert man die Uhren?Erde Mars
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Von vorbeifliegendem Raumschiff aus gesehenErde MarsFür den
Raumschiffpiloten bewegen sich Erde
und Mars
Man sieht: Die „Linie der synchronen Ereignisse“ ist nun gekippt!
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Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen!
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Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen!
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Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen!
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Zug-Bahnhof-Symmetrie wiederhergestellt?
Aufgabe: Beweise, dass das Längenverhältnis A/a dasselbe ist wie B/b, also dass A/a=B/b.
AB
ba
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Autobahnpolizei
A
Jeweils nur Auto „A“ messen:
A
Jeweils nur bei Blitzer „B“ messen:
B
B
Die Uhr „A“geht langsamer(Zeit-Dilatation)
Die Uhr gemessenvon Station „B“geht schneller!
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Zurück zum Zug+Bahnhof-Beispiel
Zug
Bahnsteig
Das Kippen der Raum-Achse bedeutet, dass die Uhren im Zug vom Bahnhof aus gesehen nicht überall dieselbe Uhrzeit anzeigen. Dieses Beispiel: am t=0 standen sich D und d gegenüber und hatten beide dieselbe Uhrzeit. Wenige Zeit später sieht die Lage so aus:
A B C D E F G
a b c d e f g
Aufgabe: Erkläre diese Lage mit dem x-ct Diagramm. (1) Warum ist Uhr „d“ hinterher im Vergleich zu „D“? (2) Warum ist Uhr „b“ weiter als „D“? (3) Warum ist Uhr „a“ weiter als Uhr „g“?
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Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung
Wenn eine Ente im Wasser mit den Füssen wackelt, produziert sie Wellen. Solange die Ente nicht vom Platz bewegt, breiten die Wellen sich in allen Richtungen gleich aus:
Wenn die Ente aber vorwärts bewegt, so sieht sie sich plötzlich nicht mehr genau in der Mitte der Wellen:
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Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung
Die Ente kann also „messen“ dass sie bewegt, indem sie sieht dass sie nicht mehr in der Mitte der Welle ist.
Da aber die Lichtgeschwindigkeit auch für eine sich bewegende Person immer c ist, ist eine sich bewegende Person immer im Zentrum seiner Lichtwellen. Wie kann dies sein?
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Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung
a b
a≠b
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Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung
a
b
a=b
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Mit fast-Lichtgeschwindigkeitdurch Tübingen fahren...
![Page 78: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/78.jpg)
Intermezzo: Koordinatentransformationen,
Matrizen, Vektoren
![Page 79: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/79.jpg)
Die Lorentz-Transformation
![Page 80: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/80.jpg)
Zwei Inertialsysteme
![Page 81: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/81.jpg)
Das eine Inertial Koordinatensystem (blau)
![Page 82: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/82.jpg)
Das andere Inertial Koordinatensystem (grün)
![Page 83: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/83.jpg)
Beide Systeme (gesehen vom blauen)
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Beide Systeme (gesehen vom grünen)
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Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren
ct
x
Zeit-Vektoren
Licht-Vektoren
Raum-Vektoren
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Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren
ct
x
Lorentz-Koordinaten-Transformation zumBezugssystem mit v>0.
Wichtig: Zeit-Vektoren bleiben Zeit-Vektoren, Raum-Vektoren bleiben Raum-Vektoren und Licht-Vektoren bleiben Licht-Vektoren.
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Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren
ct
x
Lorentz-Vektor-Transformation (Beschleunigung)in positive Richtung.
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Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation
Eine allgemeine Raumzeit-Transformation kann man folgendermaßen schreiben:
Aufgabe: Beweise, dass wenn man fordert, dass Licht-Vektoren Licht-Vektoren bleiben (sie dürfen andere Länge erhalten, müssen aber Licht-Vektoren bleiben), dann folgt C=B und D=A.
Man erhält also:
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Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation
Wir wissen aus den vorherigen Transparenten, dass die Raumzeit-Geschwindigkeits Vektoren von einer sich bewegenden und einer stillstehenden Person folgendermaßen aussehen:
Aufgabe: Wenn man Vb aus Vs erhalten möchte indem man eine Lorentz-Transformation anwendet:
leite damit her, was A und B sind in Abhängigkeit von (v/c).
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Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation
Die Lorentz-Transformation hat also die folgende Form:
wo der Lorentzfaktor γ und die dimensionslose Geschwindigkeit β folgendermaßen definiert sind:
Aufgabe: Wenn man einen Vektor V mit β Lorentztransformiert, und danach mit –β Lorentztransformiert (was ja die Rücktransformation ist), dass man tatsächlich wieder den ursprunglichen Vektor V erhält, wie es sein muss.
![Page 91: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/91.jpg)
Lorentz-Kontraktion im x-ct-DiagrammZug-Ende Zug-Anfang
![Page 92: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/92.jpg)
Lorentz-Kontraktion im x-ct-Diagramm
Zwar wird die x-Komponente des Raumvektors größer, der Zug wird kürzer.
Zug-Ende Zug-Anfang
![Page 93: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/93.jpg)
Zukunft und Vergangenheit
![Page 94: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/94.jpg)
Was geschieht zuerst?
ct
xC
D
ct
x
A
B
Aufgabe: Kann man eindeutig feststellen ob Ereignis A oder ereignis B zuerst passiert? Und was mit Ereignis C oder D?
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Raum versus Zeit; Zukunft und Vergangenheit
Meine Zukunft
Meine Vergangenheit
Ereignisse die „räumlich getrennt“
von mir sind
Ereignisse die „räumlich getrennt“
von mir sind
![Page 96: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/96.jpg)
Wenn man schneller als Licht reisen könnte...
Jetzt machenwir eine Lorentz-Transformation
![Page 97: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/97.jpg)
Wenn man schneller als Licht reisen könnte...
Jetzt machenwir eine Lorentz-Transformation
![Page 98: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/98.jpg)
Wenn man schneller als Licht reisen könnte...
Und reisen wiedermit über-Licht-Geschwindigkeit (diesmal sogar noch etwas schneller) zurück.
Jetzt treffen wir uns selbst... Hallo, wie geht es mir?
Also reisen mit überlicht-Geschwindigkeit führt zu Absurditäten...
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Lorentz-Transformationen an anderen Stellen
Lorentz-Transformationzentriert auf dem unteren(roten) Ereignis:
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Lorentz-Transformationen an anderen Stellen
Lorentz-Transformationzentriert auf dem oberen(grünen) Ereignis:
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Weltlinie und Eigenzeit
x
ct
ct‘=1
ct‘=2
ct‘=3
ct‘=4
ct‘=5
ct‘=6
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Zwillingsparadoxon
x
ct
Aufgabe: Löse dieses Paradoxon.
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Und jetzt... E=mc2
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Energie-Impuls-Vektor
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Energie-Impuls-VektorDoppel so große Masse
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Energie-Impuls-Vektor
Für ganz kleine Geschwindigkeiten (v<<c und γ≈1) müsste etwas rauskommen was wir aus der Newtonschen Dynamik kennen, sonst wäre relativistische Dynamik nicht vereinbar mit dem, was wir aus dem täglichen Leben kennen.
Aus der Newtonschen Dynamik kennen wir Impuls und Energie:
Die Raumkomponente von P (P1) wird für v<<c tatsächlich der Newtonsche Impuls.
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Energie-Impuls-Vektor
Die Zeitkomponente von P (P0) ist etwas kniffliger. Zunächst würde man sagen, dass im Limes v<<c:
Dies bringt uns aber nicht viel. Lasst uns etwas genauer nach der Lorentzfaktor γ schauen:
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Energie-Impuls-Vektor
Man kann dies für v<<c annäheren mit:
Aufgabe: Probiere es mit dem Taschenrechner aus, zum Beispiel, verifiziere, dass folgendes ungefähr gilt:
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Energie-Impuls-Vektor
Also kann man P0 folgendermaßen annäheren (für v<<c):
Aufgabe: Argumentiere jetzt warum es nahe liegt, dass Masse offenbar Energie entspricht, und zwar Emasse=mc2.
Offenbar gilt also:
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Energie-Impuls-Vektor
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Energie-Impuls-Vektor von Licht
Ene
rgie
des
Pho
tons
Impuls desPhotons
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Umwandlung von Ruhemasse in Licht(Zerfall eines Elementarteilchens in zwei Photonen)
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Umwandlung von Ruhemasse in Licht(Zerfall eines Energiezustandes eines Teilchen in zwei Photonen)
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Beschleunigung einer Rakete...
...und die erste Hinweise wieGravitation funktionieren könnte!
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Wenn sich eine Rakete beschleunigt...
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Wenn sich eine Rakete beschleunigt...
![Page 117: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/117.jpg)
Je weiter unten: desto mehr „Schwerkraft“
1 kg
1 kg
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Kommt bekannt vor...
1 kg
1 kg
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Je weiter unten: desto langsamer die Uhren
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Je weiter unten: desto langsamer die Uhren
![Page 121: Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/55204d7d49795902118cd4bf/html5/thumbnails/121.jpg)
Rindler Modell eines „schwarzen Lochs“
Ereign
is-Hor
izont
Ereignis-Horizont
Um nicht in das „schwarze Loch“ zu fallen, muss man ständig beschleunigen.
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Rindler Modell eines „schwarzen Lochs“
Ereign
is-Hor
izont Um nicht in das
„schwarze Loch“ zu fallen, muss man ständig beschleunigen.
Wenn man nicht beschleunigt, geht man irgendwann durch den Horizont, und kann niemals wieder zurück in den „normalen“ Raum.
Ereignis-Horizont
Achtung: richtige schwarze Löcher sind komplizierter. Aber das Konzept „Ereignis-Horizont“ wird mit dem Rindler-Modell gut beschrieben!