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Stabilisierung linearer Systeme mitAusgangsruckfuhrung via Euler-Methode
Markus Mullergemeinsame Arbeit mit M. French (Southampton) und A. Ilchmann (Ilmenau)
Elgersburg-Workshop 2007
Elgersburg, 21. Februar 2007
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Gliederung
1 Einleitung
2 Theoretische Grundlagen
3 Ergebnisse
4 Zusammenfassung
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Systemklasse
Lineares System fur (A, b, c) ∈ Rn×n × Rn × R1×n und x0 ∈ Rn
x = Ax + bu , x(0) = x0
y = cx
(A, b, c) habe Relativgrad r ∈ {1, . . . , n},
⇐⇒ ∀ i ∈ {0, . . . , r−2} : cAib = 0 und cAr−1b 6= 0 ,
(A, b, c) habe stabile Nulldynamik
⇐⇒ (x, y, u) ≡ (x, 0, u) lost (A, b, c) ⇒ (x(t), u(t)) →t→∞
0 ,
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Normalform (Byrnes & Isidori)
(A, b, c) ⇐⇒
y(r) =r∑
i=1Riy
(i−1) + Sη + cAr−1bu
η = Ty + Qη ,
wobei (y, y(1), . . . , y(r−1), ηT ) := (V x)T mit V ∈ Rn×n
invertierbar.
stabile Nulldynamik ⇐⇒ spec(Q) ⊂ C−.
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Regler (Ableitungen)
Regler fur k = (k1, . . . , kr) ∈ R1×r
Ck : y 7→ u :=r−1∑i=0
ki+1y(i) ,
Geschlossener Regelkreis
dann ∃ k ∈ R1×r : (A, b, c) & Ck ist exponentiell stabiler Kreis.
Nachteil
Ableitungen des Ausgangs y mussen bekannt sein!
Frage
Ist (A, b, c) & Ck mit approximierten Ableitungen immer nochstabil?
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Regler (Ableitungen)
Regler fur k = (k1, . . . , kr) ∈ R1×r
Ck : y 7→ u :=r−1∑i=0
ki+1y(i) ,
Geschlossener Regelkreis
dann ∃ k ∈ R1×r : (A, b, c) & Ck ist exponentiell stabiler Kreis.
Nachteil
Ableitungen des Ausgangs y mussen bekannt sein!
Frage
Ist (A, b, c) & Ck mit approximierten Ableitungen immer nochstabil?
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Regler (Ableitungen)
Regler fur k = (k1, . . . , kr) ∈ R1×r
Ck : y 7→ u :=r−1∑i=0
ki+1y(i) ,
Geschlossener Regelkreis
dann ∃ k ∈ R1×r : (A, b, c) & Ck ist exponentiell stabiler Kreis.
Nachteil
Ableitungen des Ausgangs y mussen bekannt sein!
Frage
Ist (A, b, c) & Ck mit approximierten Ableitungen immer nochstabil?
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Regler (Ableitungen)
Regler fur k = (k1, . . . , kr) ∈ R1×r
Ck : y 7→ u :=r−1∑i=0
ki+1y(i) ,
Geschlossener Regelkreis
dann ∃ k ∈ R1×r : (A, b, c) & Ck ist exponentiell stabiler Kreis.
Nachteil
Ableitungen des Ausgangs y mussen bekannt sein!
Frage
Ist (A, b, c) & Ck mit approximierten Ableitungen immer nochstabil?
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Regler (Euler-Approximation)
Regler fur k = (k1, . . . , kr) ∈ R1×r und h > 0
CEulerk [h] : y 7→ u :=
r−1∑i=0
ki+1∆ih(y) ,
wobei
∆0h(y) = y
∆1h(y) = ∆h(y) =
1h
(y(·)− y(· − h)
)∆m
h (y) = ∆m−1h
(∆h(y)
).
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Gliederung
1 Einleitung
2 Theoretische Grundlagen
3 Ergebnisse
4 Zusammenfassung
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Definitionen 1
Operatoren
U , Y seien normierte Vektorraume.
P : U → Y , u1 7→ y1 = Pu1 , P (0) = 0 ,
C : Y → U , y2 7→ u2 = Cy2 , C(0) = 0 .
”gain“-Stabilitat
[P,C] heißt”gain“-stabil : ⇐⇒
ΠC//P := sup{‖(u2, y2)‖‖(u0, y0)‖
∣∣∣∣ (u0, y0) ∈ U × Y ,‖(u0, y0)‖ 6= 0
}< ∞ .
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Definitionen 1
Operatoren
U , Y seien normierte Vektorraume.
P : U → Y , u1 7→ y1 = Pu1 , P (0) = 0 ,
C : Y → U , y2 7→ u2 = Cy2 , C(0) = 0 .
”gain“-Stabilitat
[P,C] heißt”gain“-stabil : ⇐⇒
ΠC//P := sup{‖(u2, y2)‖‖(u0, y0)‖
∣∣∣∣ (u0, y0) ∈ U × Y ,‖(u0, y0)‖ 6= 0
}< ∞ .
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Definitionen 2
V1
V2 {v1 ∈ V1 | ‖v1‖ = 1}~δ(V1,V2)
b
Gerichtete gap (Kato, 66)
~δ(V1,V2) := supv1∈V1,‖v1‖=1
dist(v1,V2) .
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Definitionen 3
Graphen
GP := {(u, Pu) | u ∈ U , Pu ∈ Y} ⊂ U × YGC := {(Cy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y
sind die Graphen von P bzw. C.
gap
δ(C1, C2) := max(~δ(GC1 ,GC2), ~δ(GC2 ,GC1)
),
heißt gap der Operatoren C1, C2 : Y → U .
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Definitionen 3
Graphen
GP := {(u, Pu) | u ∈ U , Pu ∈ Y} ⊂ U × YGC := {(Cy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y
sind die Graphen von P bzw. C.
gap
δ(C1, C2) := max(~δ(GC1 ,GC2), ~δ(GC2 ,GC1)
),
heißt gap der Operatoren C1, C2 : Y → U .
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Robustheit der Stabilitat
Satz (Georgiou & Smith, 97, IEEE TAC)
[P,C1] ist”gain“-stabil und ~δ(C1, C2) <
(ΠC1//P
)−1,
⇒[P,C2] ist
”gain“-stabil.
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Gliederung
1 Einleitung
2 Theoretische Grundlagen
3 Ergebnisse
4 Zusammenfassung
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Idee
Bekannt:
[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.
Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler
k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler
k [h]] ist”gain“-stabil.
Wir zeigen:
[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.
~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),
dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist
”gain“-stabil fur kleine h.
[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Idee
Bekannt:
[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.
Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler
k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler
k [h]] ist”gain“-stabil.
Wir zeigen:
[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.
~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),
dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist
”gain“-stabil fur kleine h.
[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Idee
Bekannt:
[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.
Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler
k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler
k [h]] ist”gain“-stabil.
Wir zeigen:
[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.
~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),
dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist
”gain“-stabil fur kleine h.
[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Idee
Bekannt:
[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.
Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler
k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler
k [h]] ist”gain“-stabil.
Wir zeigen:
[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.
~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),
dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist
”gain“-stabil fur kleine h.
[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Idee
Bekannt:
[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.
Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler
k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler
k [h]] ist”gain“-stabil.
Wir zeigen:
[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.
~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),
dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist
”gain“-stabil fur kleine h.
[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Idee
Bekannt:
[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.
Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler
k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler
k [h]] ist”gain“-stabil.
Wir zeigen:
[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.
~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),
dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist
”gain“-stabil fur kleine h.
[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Die gap
Satz
Fur k = (k1, . . . , kr) ∈ Rr und h > 0 gilt:
~δ(Ck, CEuler
k [h])≤ 2 h
r−1∑i=1
|ki+1| · i .
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
”gain“-Stabilitat
Folgerung
[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil und
0 < α := ΠCk//(A,b,c) < ∞ .
Sei h∗ := 1α
(2
r−1∑i=1
|ki+1| · i)−1
. Dann:
∀ h ∈ (0, h∗) : [(A, b, c), CEulerk [h]] ist
”gain“-stabil.
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Gliederung
1 Einleitung
2 Theoretische Grundlagen
3 Ergebnisse
4 Zusammenfassung
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Zusammenfassung und Ausblick
Mit Hilfe der”gap-metric“ haben wir gezeigt: lineare
Eingroßensysteme konnen durch Ruckfuhrung derEuler-approximierten Ableitungen des Ausgangssignalsstabilisiert werden.
Ist dies auch fur andere Approximationskonzepte moglich?
Gelingt eine ahnliche Aussage fur nichtlineare Regler?
Kann die Idee auch bei der Regelung nichtlinearer Systemezum Erfolg fuhren?
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Zusammenfassung und Ausblick
Mit Hilfe der”gap-metric“ haben wir gezeigt: lineare
Eingroßensysteme konnen durch Ruckfuhrung derEuler-approximierten Ableitungen des Ausgangssignalsstabilisiert werden.
Ist dies auch fur andere Approximationskonzepte moglich?
Gelingt eine ahnliche Aussage fur nichtlineare Regler?
Kann die Idee auch bei der Regelung nichtlinearer Systemezum Erfolg fuhren?
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Zusammenfassung und Ausblick
Mit Hilfe der”gap-metric“ haben wir gezeigt: lineare
Eingroßensysteme konnen durch Ruckfuhrung derEuler-approximierten Ableitungen des Ausgangssignalsstabilisiert werden.
Ist dies auch fur andere Approximationskonzepte moglich?
Gelingt eine ahnliche Aussage fur nichtlineare Regler?
Kann die Idee auch bei der Regelung nichtlinearer Systemezum Erfolg fuhren?
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Zusammenfassung und Ausblick
Mit Hilfe der”gap-metric“ haben wir gezeigt: lineare
Eingroßensysteme konnen durch Ruckfuhrung derEuler-approximierten Ableitungen des Ausgangssignalsstabilisiert werden.
Ist dies auch fur andere Approximationskonzepte moglich?
Gelingt eine ahnliche Aussage fur nichtlineare Regler?
Kann die Idee auch bei der Regelung nichtlinearer Systemezum Erfolg fuhren?
Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007
Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Definition gap (Georgiou & Smith, 97, IEEE TAC)
Menge OFur Ci : Y → U , i = 1, 2 seien die GraphenGCi = {(Ciy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y und
OC1,C2 := {Φ : GC1 → GC2 | Φ ist kausal, bijektiv, Φ(0) = 0} .
Gerichtete gap
~δ(C1, C2) := infΦ∈OC1,C2
supw∈GC1
\{0}
(‖(Φ− I)(w)‖
‖w‖
),
Nonlinear gap
δ(C1, C2) := max{~δ(C1, C2), ~δ(C2, C1)} .
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Definition gap (Georgiou & Smith, 97, IEEE TAC)
Menge OFur Ci : Y → U , i = 1, 2 seien die GraphenGCi = {(Ciy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y und
OC1,C2 := {Φ : GC1 → GC2 | Φ ist kausal, bijektiv, Φ(0) = 0} .
Gerichtete gap
~δ(C1, C2) := infΦ∈OC1,C2
supw∈GC1
\{0}
(‖(Φ− I)(w)‖
‖w‖
),
Nonlinear gap
δ(C1, C2) := max{~δ(C1, C2), ~δ(C2, C1)} .
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Definition gap (Georgiou & Smith, 97, IEEE TAC)
Menge OFur Ci : Y → U , i = 1, 2 seien die GraphenGCi = {(Ciy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y und
OC1,C2 := {Φ : GC1 → GC2 | Φ ist kausal, bijektiv, Φ(0) = 0} .
Gerichtete gap
~δ(C1, C2) := infΦ∈OC1,C2
supw∈GC1
\{0}
(‖(Φ− I)(w)‖
‖w‖
),
Nonlinear gap
δ(C1, C2) := max{~δ(C1, C2), ~δ(C2, C1)} .
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Delay-Differentialgleichung
(A, b, c) & CEulerk [h] ⇒
ddt
(ξη
)(t) = A0
k,h
(ξη
)(t) +
r−1∑j=1
Ajk,h
(ξη
)(t− jh) .
Fur Systeme mit r = 2 wurde die exponentielle Stabilitatdirekt gezeigt (Ilchmann & Sangwing, 04, SCL).
Fur hoheren Relativgrad ist ein Beweis nicht gelungen.
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Exponentielle Stabilitat
Definition (Kharitonov, 04)
Eine Delay-Differentialgleichung heißt exponentiell stabil
: ⇐⇒ ∀ ϕ ∈ Cpw([(1− r)h, 0], Rn) ∃ M,λ > 0 ∀ t ≥ 0 :
|x(t;ϕ)| ≤ Me−λt maxs∈[(1−r)h,0]
|ϕ(s)| .
Satz
∀ h ∈ (0, h∗) :
ddt
(ξη
)(t) = A0
k,h
(ξη
)(t) +
r−1∑j=1
Ajk,h
(ξη
)(t− jh)
ist exponentiell stabil.
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Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix
Exponentielle Stabilitat
Definition (Kharitonov, 04)
Eine Delay-Differentialgleichung heißt exponentiell stabil
: ⇐⇒ ∀ ϕ ∈ Cpw([(1− r)h, 0], Rn) ∃ M,λ > 0 ∀ t ≥ 0 :
|x(t;ϕ)| ≤ Me−λt maxs∈[(1−r)h,0]
|ϕ(s)| .
Satz
∀ h ∈ (0, h∗) :
ddt
(ξη
)(t) = A0
k,h
(ξη
)(t) +
r−1∑j=1
Ajk,h
(ξη
)(t− jh)
ist exponentiell stabil.
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