Download - Statistički testovi 1
![Page 1: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/1.jpg)
4 Testiranje statistickihhipoteza
1
![Page 2: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/2.jpg)
4.1. Statisticka hipoteza
Promatramo statisticko obiljezje X.
Statisticka hipoteza je (bilo koja) pretpostavka o
(populacijskoj) razdiobi od X.
Kazemo da je statisticka hipoteza jednostavna uko-
liko jednoznacno odreduje razdiobu od X. U suprot-
nom kazemo da je slozena.
2
![Page 3: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/3.jpg)
Primjeri.
• H1 : X ima normalnu razdiobu
→ slozena hipoteza
• H2 : X ∼ N(170,64)
→ jednostavna hipoteza
3
![Page 4: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/4.jpg)
4.2. Statisticki test
Neka je µ = E[X].
Na primjer, pretpostavimo da nas zanima je li tocna
hipoteza:
H0 : µ ≤ 50.
Preciznije, zelimo na osnovi realizacije slucajnog u-
zorka za X donijeti odluku hocemo li odbaciti ili ne
odbaciti tu hipotezu.
4
![Page 5: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/5.jpg)
Postupak donosenja odluke o odbacivanju ili ne odbaci-
vanju statisticke hipoteze zove se testiranje statistickih
hipoteza.
Primijetimo da uz osnovnu ili nul - hipotezu, npr.:
H0 : µ ≤ 50,
postoji njoj alternativna hipoteza:
H1 : µ > 50.
5
![Page 6: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/6.jpg)
Buduci da sve odluke bazirane na uzorcima iz po-
pulacije nisu 100% pouzdane, ni zakljucak (odluka)
statistickog testa nije 100% pouzdan.
Dakle, moze se dogoditi da je zakljucak testa pogresan.
Prema tome, imamo sljedecu situaciju:
6
![Page 7: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/7.jpg)
zakljucaktocno je ne odbaciti H0 odbaciti H0
H0√
pogresno! (I)H1 pogresno! (II)
√
Pogreska koju cinimo kada odbacujemo H0, a ona
je istinita, je pogreska prve vrste.
Pogreska koju cinimo kada ne odbacujemo H0, a
istinita je H1, je pogreska druge vrste.
7
![Page 8: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/8.jpg)
Test ce u potpunosti biti sproveden ako mozemo
procijeniti vjerojatnosti mogucih pogresaka u za-
kljucku testa.
Razumno je zahtjevati test kojemu se mogu kontroli-
rati vjerojatnosti obiju pogresaka. To nije moguce
jer smanjivanjem vjerojatnosti pogreske prve vrste
povecava se vjerojatnost pogreske druge vrste i o-
bratno.
8
![Page 9: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/9.jpg)
S druge strane, u velikoj vecini slucajeva moguce je
za zadanu razinu znacajnosti testa α (α ∈ 〈0,1〉)medu testovima kojima vjerojatnost pogreske prve
vrste ne prelazi broj α naci (konstruirati) test s naj-
manjom vjerojatnosti pogreske druge vrste.
9
![Page 10: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/10.jpg)
Neka je X1, X2, . . . , Xn slucajni uzorak za X i
X := (X1, X2, . . . , Xn).
Tada su realizacije x = (x1, x2, . . . , xn) tog uzorka
elementi od Rn.
Definicija. Test (hipoteze H0 u odnosu na alterna-
tivu H1) je preslikavanje τ : Rn → {0,1}.
Interpretacija. Ako je za realizaciju x uzorka X
τ(x) = 1, tada odbacujemo H0 u korist H1, a ako je
τ(x) = 0, tada ne odbacujemo H0 u korist H1.
10
![Page 11: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/11.jpg)
Tada je
C := τ−1(1) = {x ∈ Rn : τ(x) = 1}podrucje realizacija uzoraka za koje se H0 odbacuje
u korist H1.
C se naziva kriticno podrucje za test τ .
11
![Page 12: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/12.jpg)
Populacijska razdioba: X ∼ f(x|θ), θ ∈ Θ
Vjerodostojnost od θ: L(θ|x) =∏n
i=1 f(xi|θ)
Preslikavanje γ : Θ → [0,1] def. sa:
γ(θ) := Eθ[τ(X)] = Pθ(X ∈ C) =∫
C
L(θ|x) dx
zove se jakost testa τ .
Interpretacija. Ukoliko je θ1 vrijednost parametra za
koju je H1 istinito, jakost testa γ(θ1) je sposobnost
testa da odbaci H0 ako je H0 neistinita hipoteza.
12
![Page 13: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/13.jpg)
Neka su:H0: θ ∈ Θ0H1: θ ∈ Θ1.
Preslikavanje α : Θ0 → [0,1] def. sa:
α(θ) := γ(θ) = Pθ(X ∈ C)
je vjerojatnost pogreske 1. vrste.
ατ := supθ∈Θ0
α(θ)
je znacajnost testa τ . Kazemo da test ima razinuznacajnost α ukoliko mu je znacajnost manja ili jed-naka α.
13
![Page 14: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/14.jpg)
H0: θ ∈ Θ0
H1: θ ∈ Θ1.
Preslikavanje β : Θ1 → [0,1] def. sa:
β(θ) := 1− γ(θ) = Pθ(X /∈ C)
je vjerojatnost pogreske 2. vrste.
14
![Page 15: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/15.jpg)
Definicija. Kazemo da je test τ uniformno najjaci
ako za svaki drugi test τ ′ takav da je ατ ′ ≤ ατ , vrijedi
da je γτ ′(θ) ≤ γτ(θ) za sve θ.
Ukoliko postoji, kako naci uniformno najjaci test?
15
![Page 16: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/16.jpg)
Pretpostavimo da zelimo testirati:
H0: θ = θ0H1: θ = θ1
gdje su θ0 6= θ1 dvije vrijednosti parametra.
Nadalje, neka su
L(θ0|x) =n∏
i=1
f(xi|θ0), L(θ1|x) =n∏
i=1
f(xi|θ1)
vjerodostojnosti od θ0 i θ1.
16
![Page 17: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/17.jpg)
Lema. (Neyman, Pearson)Neka je k > 0 takav broj da za skup
C = {x ∈ Rn : L(θ0|x) ≤ kL(θ1|x)}vrijedi da je
∫C
L(θ0|x) dx = α za zadani α ∈ 〈0,1〉.Ako za neki drugi B ⊆ Rn vrijedi da je∫
B
L(θ0|x) dx ≤ α,
tada je nuzno∫
B
L(θ1|x) dx ≤∫
C
L(θ1|x) dx.
(Dokaz.)
17
![Page 18: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/18.jpg)
Interpretacija.
Test τ(x) := 1C(x) za C iz N-P leme je uniformno
najjaci test za testiranje jednostavne hipoteze H0 u
odnosu na jednostavnu alternativu H1.
18
![Page 19: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/19.jpg)
Primjer 4.1. Za varijablu X poznato je da je
X ∼ N(µ,9) i µ ∈ {13.8,15.0}.
Na osnovi uzorka za X duljine n = 70 treba testiratinul-hipotezu
H0 : µ = 15.0
u odnosu na alternativu
H1 : µ = 13.8
uz razinu znacajnosti od α = 5%.
19
![Page 20: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/20.jpg)
Konstrukcija testa sastoji se od odredivanja testne
statistike na osnovi cijih vrijednosti se donose od-
luke, i (slike) kriticnog podrucja koji je skup onih
mogucih vrijednosti testne statistike za koje se od-
bacuje H0 u korist H1. Takav skup takoder zovemo
kriticnim podrucjem.
(Izvod optimalnog (tj. uniformno najjaceg testa).)
20
![Page 21: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/21.jpg)
Dakle, za ovaj primjer, testna statistika (optimalnog)testa je
Z =X − 15.0
3
√70.
Kriticno podrucje uz uvjet da vjerojatnost pogreskeprve vrste bude jednaka α = 0.05:
P(Z ≤ −u |H0) = 0.05
ZH0∼ N(0,1) ⇒ u = z0.05 = (tablice) = 1.64
⇒ kriticno podrucje je interval 〈−∞,−1.64]
Dakle, H0 odbacujemo ako je z ≤ −1.64.
21
![Page 22: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/22.jpg)
Ako je z > −1.64 ne odbacujemo H0. U tom slucaju
je vjerojatnost pogreske druge vrste
β = P(Z > −1.64 |H1) =
= P(X − 13.8
3
√70 >
15.0− 13.8
3
√70− 1.64 |H1) =
= P(X∗ > 1.71) =
= 1−Φ(1.71) =
= 0.5−Φ0(1.71) =
= 0.0436.
22
![Page 23: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/23.jpg)
Jakost testa je
γ = P(Z ≤ −1.64 |H1) =
= 1− P(Z > −1.64 |H1) =
= 1− β = 1− 0.0436 =
= 0.9564.
23
![Page 24: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/24.jpg)
Zadatak 1. (jednostrani z-test)
Pokazite da je za X ∼ N(µ, σ20), gdje je σ2
0 poznato,uniformno najjaci test za testiranje hipoteza
H0 : µ = µ0H1 : µ < µ0,
na razini znacajnosti α, dan testnom statistikom
Z =X − µ0
σ0
√n
i kriticnim podrucjem z ≤ −zα.
(µ0 je zadani broj, z je vrijednost od Z)
24
![Page 25: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/25.jpg)
Zadatak 2. (jednostrani z-test, 2. put)
Pokazite da je za X ∼ N(µ, σ20), gdje je σ2
0 poznato,uniformno najjaci test za testiranje hipoteza
H0 : µ = µ0H1 : µ > µ0,
na razini znacajnosti α, dan testnom statistikom
Z =X − µ0
σ0
√n
i kriticnim podrucjem z ≥ zα.
(µ0 je zadani broj, z je vrijednost od Z)
25
![Page 26: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/26.jpg)
Zadatak 3. (dvostrani z-test)
Neka je X ∼ N(µ, σ20), gdje je σ2
0 poznato. Je li testhipoteza
H0 : µ = µ0H1 : µ 6= µ0,
dan testnom statistikom
Z =X − µ0
σ0
√n
i kriticnim podrucjem |z| ≥ zα/2 (na razini znacajnostiα), uniformno najjaci?
(µ0 je zadani broj, z je vrijednost od Z)
26
![Page 27: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/27.jpg)
Primijetimo da nam je u primjeru 4.1. racun bioolaksan jer su obje hipoteze (osnovna i alternativna)bile jednostavne. U praksi to nije slucaj.
Na primjer, ako za X ∼ N(µ,9) zelimo testirati
H0 : µ ≥ 15H1 : µ < 15,
onda su obje hipoteze slozene.
Pretpostavimo da je testna statistika ista kao u pri-mjeru 4.1:
Z =X − 15
3
√n.
27
![Page 28: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/28.jpg)
I kriticno podrucje je istoga oblika kao u primjeru
4.1: 〈−∞,−u]. Odredimo u > 0 t.d. je za zadanu
razinu znacajnosti α
P(Z ≤ −u |µ = 15 + δ) ≤ α za sve δ ≥ 0
⇔ P(X − µ
3
√n ≤ −u− δ
3
√n) ≤ α za sve δ ≥ 0
⇔ Φ(−u− δ
3
√n) ≤ α za sve δ ≥ 0.
Buduci da je za sve δ ≥ 0, Φ(−u− δ3√
n) ≤ Φ(−u),
u odredimo tako da je Φ(−u) = 0.5−Φ0(u) = α.
28
![Page 29: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/29.jpg)
Dakle, konstrukcija kriticnog podrucja je ista ako
originalnu (slozenu) hipotezu H0 zamijenimo sa (jed-
nostavnom) hipotezom
H0: µ = 15,
odnosno, ako testiramo
H0 : µ = 15H1 : µ < 15.
Dakle, sada smo problem testiranja sveli na z-test
opisan u zadatku 1.
29
![Page 30: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/30.jpg)
U pravilu, za nul-hipotezu uvijek se uzimaju jednos-
tavne hipoteze ili hipoteze koje jednoznacno odreduju
razdiobu testne statistike.
U interpretaciji, za nul-hipoteze uzimamo one hipoteze
za koje zelimo kontrolirati vjerojatnost da cemo ih
odbaciti ako su istinite, odn. vjerojatnost pogresaka
prve vrste.
30
![Page 31: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/31.jpg)
Primjer 4.2. (Primjer 1.4.) Kockar je optuzen da je
koristio namjestenu kocku. Koju osnovnu hipotezu
koristi statisticar kada sprovodi odgovarajuci test za
sud?
31
![Page 32: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/32.jpg)
H0: Kocka je simetricna.
Trebamo kontrolirati vjerojatnost da cemo pogrijesiti
ako odbacimo H0, tj. da se proglasi krivim nevini
covjek.
32
![Page 33: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/33.jpg)
Primjer 4.3. Tvornica je proizvela novu seriju pado-
brana. Kontrolor kvalitete mora statistickim meto-
dama (statisticki test) odluciti hoce li padobrane
propustiti na trziste ili ne. Koju hipotezu treba uzeti
za osnovnu?
33
![Page 34: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/34.jpg)
H0: Padobran nije ispravan.
34
![Page 35: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/35.jpg)
4.3 Testovi omjera vjerodostojnosti
Neka je X1, X2, . . . , Xn slucajni uzorak za X i neka
je populacijska gustoca od X: f(x|θ), θ ∈ Θ.
Cilj: konstrirati test za testiranje
H0 : θ ∈ Θ0H1 : θ ∈ Θ1.
35
![Page 36: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/36.jpg)
Neka je x = (x1, x2, . . . , xn) opazeni uzorak.
Vjerodostojnost:
L(θ|x) =n∏
i=1
f(xi|θ), θ ∈ Θ
Pretpostavimo da postoje:
θ0 = θ0(x) ∈ Θ0 i θ = θ(x) ∈ Θ
t.d. da vrijedi
L(θ0|x) = maxθ∈Θ0
L(θ|x), L(θ|x) = maxθ∈Θ
L(θ|x).
36
![Page 37: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/37.jpg)
Definicija. Omjer vjerodostojnosti je funkcija:
x 7→ λ(x) :=L(θ0|x)
L(θ|x).
Test za testiranje nevedenih hipoteza kojemu je kri-
ticno podrucje oblika
C = {x ∈ Rn : λ(x) ≤ c},za neku realnu konstanu c < 1, zovemo testom om-
jera vjerodostojnosti (engl. likelihood ratio test ili
LR-test).
37
![Page 38: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/38.jpg)
Zadatak 4. (dvostrani z-test)
Neka je X1, X2, . . . , Xn slucajni uzorak za X s nor-
malnom populacijskom distribucijom N(µ, σ20) (σ2
0 je
poznato). Odredite test omjera vjerodostojnosti za
testiranje nul-hipoteze H0: µ = µ0 u odnosu na
dvostranu alternativu H1: µ 6= µ0.
38
![Page 39: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/39.jpg)
Zadatak 5. (t-test) Neka je X1, X2, . . . , Xn slucajni
uzorak za X s normalnom populacijskom distribuci-
jom N(µ, σ2) (oba parametra su nepoznata). Odre-
dite test omjera vjerodostojnosti za testiranje nul-
hipoteze H0: µ = µ0 u odnosu na
(a) jednostranu alternativu H1: µ < µ0;
(b) jednostranu alternativu H1: µ > µ0;
(c) dvostranu alternativu H1: µ 6= µ0.
39
![Page 40: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/40.jpg)
4.4 Test o ocekivanju normalno distribuirane
populacije (t-test)
Neka je X1, . . . , Xn slucani uzorak za X ∼ N(µ, σ2).
Zelimo testirati hipoteze o parametru µ (σ2 je nepoz-
nat).
Od sada pa nadalje, neka µ0 oznacava neki unaprijed
zadani broj.
40
![Page 41: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/41.jpg)
Razlikujemo tri slucaja:
(1) : (2) : (3) :
H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0H1 : µ > µ0 H1 : µ < µ0 H1 : µ 6= µ0
Alternative u (1) i (2) su jednostrane
→ jednostrani testovi
dok je alternativa u (3) dvostrana
→ dvostrani test.
41
![Page 42: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/42.jpg)
U sva tri slucaja, testna statistika je jednaka:
T =X − µ0
S
√n
H0∼ t(n− 1)
Kriticna podrucja se razlikuju.
Neka je α zadana razina znacajnosti.
42
![Page 43: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/43.jpg)
(1):
H0 : µ = µ0H1 : µ > µ0
P(T ≥ tα(n− 1) |H0) = α
⇒ kriticno podrucje:
[tα(n− 1),+∞〉
43
![Page 44: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/44.jpg)
(2):
H0 : µ = µ0H1 : µ < µ0
P(T ≤ −tα(n− 1) |H0) = α
⇒ kriticno podrucje:
〈−∞,−tα(n− 1)]
44
![Page 45: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/45.jpg)
(3):
H0 : µ = µ0H1 : µ 6= µ0
P(|T | ≥ tα/2(n− 1) |H0) = α
⇒ kriticno podrucje:
〈−∞,−tα/2(n− 1)] ∪ [tα/2(n− 1),+∞〉
45
![Page 46: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/46.jpg)
Primjer 4.4. (Primjer 3.13)U svrhu istrazivanja toksicnosti jedne vrste plijesnina urod kukuruza, mjeri se kolicina toksicne tvari umg. Uzorak od 9 ekstrakata te plijesni:
1.2, 0.8, 0.6, 1.1, 1.2, 0.9, 1.5, 0.9, 1.0
Pretpostavka je da mjereno obiljezje ima normalnurazdiobu.Iz uzorka je izracunano: x = 1.02 i s = 0.28.
Uz 5% znacajnosti testirajte
H0 : µ = 1.00H1 : µ > 1.00.
46
![Page 47: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/47.jpg)
Jednostrani t-test:
Testna statistika: T = X−1.00S · 3
Kriticno podrucje: [t0.05(8),+∞〉 = [1.86,+∞〉
Vrijednost testne statistike:
t =x− 1.00
s· 3 =
1.02− 1.00
0.28· 3 = 0.214
47
![Page 48: Statistički testovi 1](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012311/589199171a28ab3d4f8b4aa0/html5/thumbnails/48.jpg)
Buduci da je t = 0.214 < 1.86, tj. t ne pripada
kriticnom podrucju, ne odbacujemo H0 u korist al-
ternative.
Preciznije, uz znacajnost od 5%, ne odbacujemo
pretpostavku da je µ manje ili jednako od 1.00, odn.
ne mozemo tvrditi da je ocekivana kolicina toksicne
tvari u ekstraktu plijesni veca od 1.00.
48