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Universität Augsburg
Klausur und Unterlagen
Klausur:
➢ „Spielregeln“: Wie Statistik I
➢ Nachholklausur im WS 2005 / 2006
Hilfreiche Unterlagen:
➢ Foliensatz∗
➢ Übungsaufgabensammlung
➢ Klausuraufgabensammlung
➢ Klausur Statistik II vom Wintersemester 2004 / 2005∗
∗) Download: www.wiwi.uni-augsburg.de/ibo, Rubrik „Downloads“
Literatur:
➢ Bamberg/Baur: Statistik, Oldenbourg, 12. Aufl. 2002
➢ Bamberg/Baur: Arbeitsbuch Statistik, Oldenbourg, 7. Aufl. 2004 (optional)
Statistik II 138
Statistik II
Sommersemester 2005
PD Dr. Michael Krapp
Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie
Universität Augsburg
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Gliederung
10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz
11. Grundlagen der induktiven Statistik
12. Punkt-Schätzung
13. Intervall-Schätzung
14. Signifikanztests
18. Stichprobenplanung
Statistik II 140
Universität Augsburg
Zusätzliche Veranstaltungen
Übung zu Statistik II Mittwoch 8:30 –10:00 HW 1001 Paul
Mittwoch 8:30 –10:00 FW 2101 Papatrifon
Mittwoch 10:15 –11:45 HW 1003 Krapp
Mittwoch 10:15 –11:45 FW 1109 Klein
Mittwoch 12:30 –14:00 HW 1003 Baur
Mittwoch 12:30 –14:00 FW 1106 Bamberg
Mittwoch 12:30 –14:00 FW 1109 Klein
Mittwoch 14:15 –15:45 HW 1004 Baur
Statistik II mit Excel – Grundkurs Mittwoch 14:15 –15:45 FW 2113 Paul
Mittwoch 16:00 –17:30 FW 2113 Paul
Statistik II mit Excel – Vertiefungskurs Mittwoch 17:45 –19:15 FW 2113 Paul
Übung zu Statistik I Mittwoch 17:45 –19:15 FW 1106 Klein/Papatrifon
Statistik II 139
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10.1 Gesetz der großen Zahlen
➢ Tschebyscheff-Ungleichung
P(|X− E(X)| = c) 5Var(X)
c2(93)
➢ angewandt auf X̄n = 1n
n∑
i=1Xi ergibt
P(|X̄n − µ| = c) 5σ2
n · c2
➢ Nun: n→ ∞ ⇒ Gesetz der großen Zahlen:
limn→∞
P(|X̄n − µ| = c) = 0 bzw. limn→∞
P(|X̄n − µ| 5 c) = 1 (95)
10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz 142
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Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz
➢ Gegeben: Zufallsvariablen X1, . . . ,Xn
• unabhängig und identisch verteilt (‚iid‘)
• E(Xi) = µ
• Var(Xi) = σ2
➢ Gesucht: Verhalten vonn∑
i=1
Xi bzw. X̄n =1
n
n∑
i=1
Xi
wenn n laufend erhöht wird.
➢ Beachte (vgl. Folie 125):
• E(X̄n) = µ
• Var(X̄n) = σ2
n
10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz 141
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10.2 Zentraler Grenzwertsatz
➢ BB S. 130: Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die mithilfe der Summe
von iid Zufallsvariablen gebildet werden, lassen sich für großes n mittels
der Normalverteilung hinreichend genau berechnen.
➢ Beispiel (Übungsaufgabe 47):
X1, X2, X3 in [0; 1] gleichverteilt; Z1 = X1, Z2 = X1+X2, Z3 = X1+X2+X3
z1
f(z1)
1
1z2
f(z2)
1
1 2z3
f(z3)
34
1 2 3
10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz 144
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10.1 Gesetz der großen Zahlen
0 50 100 150 200 250
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
n
x̄n
10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz 143
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10.2 Zentraler Grenzwertsatz
Beispiel (BB-Beispiel 61):
Xi ∼ B(1;p) ⇒ X =n∑
i=1Xi ∼ B(n;p) (Folie 93)
E(X) = np; Var(X) = np(1 − p) (Fig. 36)
⇒ P(
X−np√np(1−p)
5 x)
≈ Φ(x)
(Brauchbar, falls np = 5 und n(1 − p) = 5.)
10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz 146
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10.2 Zentraler Grenzwertsatz
➢ Approximativ gilt:n∑
i=1
Xi ∼ N(nµ;σ√n) (96)
➢ Standardisierung:
Yn =
n∑
i=1Xi − nµ
σ√n
=X̄n − µ
σ · 1√n
=X̄n − µ
σ
√n ∼ N(0; 1)
➢ Zentraler Grenzwertsatz:
P(Yn 5 x) −−−→n→∞
Φ(x) (97)
10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz 145
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Grundlagen der induktiven Statistik
➢ Vollerhebung of unmöglich, deshalb:
Beobachte Teilgesamtheit → schließe auf Grundgesamtheit
➢ Beispiel:
Warensendung von 1000 Stück; darunter M Stück Ausschuss.
M ist unbekannt.
→ Zufällige Entnahme von n = 30 Stück („Stichprobe“).
Darunter 2 Stück Ausschuss.
Denkbare Zielsetzungen:
• Schätze M durch eine Zahl (z.B. 230 · 1000 = 66,67)
• Schätze ein Intervall für M (z.B. M ∈ [58; 84])
• Teste die Hypothese, dass M > 50 ist.
11. Grundlagen der induktiven Statistik 148
Universität Augsburg
10.2 Zentraler Grenzwertsatz
Beispiel (BB-Aufgabe 76):
X1, . . . ,X12 gleichverteilt in [0; 1] ⇒ E(Xi) = 12; Var(Xi) = 1
12 (Fig. 36)
Y =
12∑
i=1
Xi − 6
Mit (87), (88), (91), (92) folgt:
E(Y) =12∑
i=1E(Xi) − 6 = 12 · 1
2 − 6 = 0
Var(Y) =12∑
i=1Var(Xi) = 12 · 1
12 = 1
⇒ Y ∼ N(0; 1) (approximativ)
10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz 147
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11.1–11.2.2 Grundbegriffe
➢ Stichprobenergebnis:
n-Tupel der Realisationen der Stichprobenvariablen, (x1, . . . , xn).
➢ Stichprobenraum:
Menge aller möglichen Stichprobenergebnisse.
➢ Likelihoodfunktion:
• Verteilgungsklasse, der F (Vtlg. von G) angehört, ist bekannt; Vertei-
lungsparameter ϑ aber unbekannt (z.B. N(µ;σ)).
• Einfache Stichprobe X1, . . . ,Xn.
→ Die gemeinsame Dichte / Wahrscheinlichkeitsfunktion von X1, . . . ,Xn in
Abhängigkeit von ϑ, f(x1, . . . , xn|ϑ), heißt Likelihoodfunktion.
11. Grundlagen der induktiven Statistik 150
Universität Augsburg
11.1–11.2.2 Grundbegriffe
➢ Grundgesamtheit (G):
Menge aller relevanten Merkmalsträger.
➢ Verteilung von G:
F(x) = P(X 5 x) = W’keit, dass ein Merkmalsträger ausgewählt wird, der
beim untersuchten Merkmal maximal die Ausprägung x aufweist.
➢ Uneingeschränkte (reine) Zufallsauswahl:
Jedes Element von G hat die selbe Chance, ausgewählt zu werden.
➢ Stichprobenumfang (n):
Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe.
➢ Einfache Stichprobe:
Uneingeschränkte Zufallsauswahl und unabhängige Ziehung.
→ Alle Stichprobenvariablen X1, . . . ,Xn sind iid.
11. Grundlagen der induktiven Statistik 149
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Wichtige Stichprobenfunktionen (Fig. 38)
➢G
egeb
en:
•Ei
nfa
che
Stic
hp
rob
eX
1,.
..,Xn
•B
elie
big
eV
erte
ilun
g
•m
itE(Xi)
=µ
,Var
(Xi)
=σ
2
➠W
ich
tig
eSt
ich
pro
ben
fun
ktio
nen
:
➢H
erle
itu
ng
en:B
BS.
140
➢B
eso
nd
ers
wic
hti
ge
Zu
sam
men
hän
ge
...
11. Grundlagen der induktiven Statistik 152
Universität Augsburg
11.1–11.2.2 Grundbegriffe
Beispiel:
G ist B(1;p)-verteilt, p unbekannt; zu xi: fi(x) = px(1 −p)1−x (BB S. 99)
Einfache Stichprobe mit n = 2 ⇒ Likelihoodfunktion
f(x1, x2|p) = f1(x1) · f2(x2) (wegen Unabhängigkeit)
= px1(1 − p)1−x1 · px2(1 − p)1−x2 = px1+x2(1 − p)2−x1−x2
Stichprobenergebnis (0, 1) ⇒ f(0, 1|p) = p(1 − p) = p− p2
(Welcher Wert p passt „am besten“ zu (0, 1)?)
➢ Stichprobenfunktion:
Zufallsvariable V , die sich als Funktion der Stichprobenvariablen ergibt:
V = g(X1, . . . ,Xn), z.B. V = 1n
n∑
i=1Xi = X̄ (vgl. Folie 141)
11. Grundlagen der induktiven Statistik 151
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11.2.3 Testverteilungen
➀ Chi-Quadrat-Verteilung:
➢ Sind X1, . . . ,Xn iid N(0; 1)-verteilte ZV, so wird die Verteilung von
Z =
n∑
i=1
X2i
als Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet.
➢ Kurzschreibweise: Z ∼ χ2(n)
➢ Es gilt: E(Z) = n und Var(Z) = 2n
➢ Fraktile: Bis n 5 30 in Tabelle 5 (BB S. 322 ff.); ab n > 30 Näherung:
xα = 12 (x̃α +
√2n− 1)2
wobei x̃α das α-Fraktil der N(0; 1)-Verteilung ist.
11. Grundlagen der induktiven Statistik 154
Universität Augsburg
Wichtige Stichprobenfunktionen (Fig. 38)
➢ E(
1n
n∑
i=1(Xi − X̄)2
)
= n−1nσ2, aber: E(S2) = σ2
➢ Auf Grund der jensenschen Ungleichung (Folie 120) gilt E(S) 5 σ. Grund:
E(S) = E(√S2) 5
√
E(S2) =√σ2 = σ,
da g(x) =√x konkav ist.
➢ Verschiebungssatz für S2:
S2 =n
n− 1
[
1
n
n∑
i=1
(Xi − X̄)2
]
=n
n− 1
[
1
n
n∑
i=1
X2i − X̄2
]
=1
n− 1
[
n∑
i=1
X2i − nX̄2
]
=1
n− 1
n∑
i=1
X2i −
n
n− 1· X̄2
11. Grundlagen der induktiven Statistik 153
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χ2-Verteilung (BB Tab. 5, S. 324)
11. Grundlagen der induktiven Statistik 156
Universität Augsburg
11.2.3 Testverteilungen
Beispiel: x0,975 aus . . .
• χ2(30): x0,975 = 46,98
• χ2(50): x̃0,975 = 1,96 ⇒ x0,975 = 12 (1,96 +
√99)2 = 70,92
11. Grundlagen der induktiven Statistik 155
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11.2.3 Testverteilungen
➁ t-Verteilung:
➢ Ist X ∼ N(0; 1), Z ∼ χ2(n), X, Z unabhängig, so wird die Verteilung von
T =X
√
1nZ
als t-Verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet.
➢ Kurzschreibweise: T ∼ t(n)
➢ Es gilt: E(T) = 0 und Var(T) = nn−2
➢ Fraktile:
• n > 30: verwende N(0; 1)-Fraktile; bis n 5 30: Tabelle 4 (BB S. 320 f.)
• Achtung: Nur α = 0,6 vertafelt. Ggfs. Symmetrie ausnutzen:
xα = −x1−α für α < 0,5
11. Grundlagen der induktiven Statistik 158
Universität Augsburg
Standardnormalverteilung (BB Tab. 3, S. 319)
11. Grundlagen der induktiven Statistik 157
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t-Verteilung (BB Tab. 4, S. 320)
11. Grundlagen der induktiven Statistik 160
Universität Augsburg
11.2.3 Testverteilungen
Beispiel: Bestimme folgende Fraktile für t(10) . . .
• x0,6 = 0,260
• x0,5 = 0
• x0,1 = −x0,9 = −1,372
11. Grundlagen der induktiven Statistik 159
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11.2.3 Testverteilungen
Beispiel: Bestimme x0,05 für F(2, 5):
F(5, 2): x̃1−0,05 = x̃0,95 = 19,30 ⇒F(2, 5): x0,05 = 1
x̃0,95= 1
19,30 = 0,052
11. Grundlagen der induktiven Statistik 162
Universität Augsburg
11.2.3 Testverteilungen
➂ F-Verteilung:
➢ Ist X ∼ χ2(m), Y ∼ χ2(n), X, Y unabhängig, so wird die Verteilung von
Z =1mX
1nY
als F-Verteilung mit den Freiheitsgraden m und n bezeichnet.
➢ Kurzschreibweise: Z ∼ F(m,n)
➢ Es gilt: E(Z) = nn−2 und Var(Z) =
2n2(n+m−2)
m(n−4)(n−2)2
➢ Fraktile:
• 0,95- und 0,99-Fraktile: Tabelle 6 (BB S. 325 f.); ggfs. interpolieren.
• Für 0,01- und 0,05-Fraktile:
xα = 1x̃1−α
mit x̃1−α aus F(n,m) (98)
11. Grundlagen der induktiven Statistik 161
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11.2.4 Verteilungen von Stichprobenfunktionen
Gegeben: Einfache Stichprobe X1, . . . ,Xn aus N(µ;σ)-Verteilung:
Stichprobenfunktion Verteilungn∑
i=1Xi N(nµ;σ
√n)
X̄ N(µ; σ√n)
X̄−µσ
√n N(0; 1)
1σ2
n∑
i=1(Xi − µ)2 χ2(n)
1σ2
n∑
i=1(Xi − X̄)2 = n−1
σ2 S2 χ2(n− 1)
X̄−µS
√n t(n− 1)
Bei bel. Verteilung von G sind X̄−µσ
√n und X̄−µ
S
√n approx. N(0; 1)-verteilt.
11. Grundlagen der induktiven Statistik 164
Universität Augsburg
F-Verteilung (BB Tab. 6, S. 325)
11. Grundlagen der induktiven Statistik 163
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12.1 Erwartungstreue und wirksamste Schätzfunktionen
➢ Eine Schätzfunktion Θ̂ = g(X1, . . . ,Xn) heißt erwartungstreu oder un-
verzerrt für ϑ, wenn unabhängig vom numerischen Wert von ϑ gilt:
E(Θ̂) = ϑ (99)
Gilt
limn→∞
E(Θ̂n) = ϑ
so heißt Θ̂n asymptotisch erwartungstreu für ϑ.
12. Punkt-Schätzung 166
Universität Augsburg
Punkt-Schätzung
➢ Ein unbekannter Parameter ϑ der Verteilung von G (z.B. σ von N(10;σ))
soll auf Basis einer Stichprobe geschätzt werden.
➢ Schätzwert: ϑ̂
➢ Vorgehen: Verwendung einer Schätzfunktion
Θ̂ = g(X1, . . . ,Xn)
Beachte: Der Schätzwert ϑ̂ ist die Realisierung der ZV (!) Θ̂.
➢ Frage: Welche Stichprobenfunktion ist zur Schätzung geeignet?
➠ Kriterien für die Beurteilung/Konstruktion von Schätzfunktionen!
➢ Im Folgenden: Vorliegen einer einfachen Stichprobe, d.h. X1, . . . ,Xn iid.
12. Punkt-Schätzung 165
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12.1 Erwartungstreue und wirksamste Schätzfunktionen
➢ Von zwei erwartungstreuen Schätzfunktionen Θ̂, Θ̂ ′ für ϑ heißt Θ̂ wirk-
samer als Θ̂ ′, wenn unabhängig vom numerischen Wert von ϑ gilt:
Var(Θ̂) < Var(Θ̂ ′)
➢ Beispiel: Wegen
Var(Θ̂) = Var(X̄) = σ2
n< Var(Θ̂ ′) = Var
(
X1+X22
) (91),(92)= 1
4(σ2 + σ2) = σ2
2
(falls n > 2) ist Θ̂ wirksamer als Θ̂ ′.
12. Punkt-Schätzung 168
Universität Augsburg
12.1 Erwartungstreue und wirksamste Schätzfunktionen
➢ Beispiel:
Sind Θ̂ = X̄, Θ̂ ′ = X1+Xn2 , Θ̂ ′′ = 1
n−1
n∑
i=1Xi erwartungstreu für µ?
a) Θ̂: E(X̄) = µ (Fig. 38)
⇒ Θ̂ ist erwartungstreu.
b) Θ̂ ′: E(
X1+Xn2
) (87),(88)= 1
2[E(X1) + E(Xn)] = 12(µ+ µ) = µ
⇒ Θ̂ ′ ist erwartungstreu.
c) Θ̂ ′′: E(
1n−1
n∑
i=1Xi
)
(87),(88)= 1
n−1
n∑
i=1E(Xi) = 1
n−1
n∑
i=1µ = n
n−1 µ 6= µ
⇒ Θ̂ ′′ ist nicht erwartungstreu, aber wegen
limn→∞
(
nn−1 µ
)
= µ asymptotisch erwartungstreu.
➢ Welche der erwartungstreuen Schätzfunktionen Θ̂, Θ̂ ′ ist ‚besser‘?
12. Punkt-Schätzung 167
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12.1 Erwartungstreue und wirksamste Schätzfunktionen
Verteilung von G ϑ wirksamste e.treue Schätzfkt.
unbekannt µ X̄
B(1;p) p (= µ) X̄
Gleichverteilung in [0; 2a] a (= µ) n+12n · max{X1, . . . ,Xn}
N(µ;σ) (σ bekannt oder unbekannt) µ X̄
N(µ;σ), µ bekannt σ2 1n
n∑
i=1(Xi − µ)2
N(µ;σ), µ unbekannt σ2 S2
12. Punkt-Schätzung 170
Universität Augsburg
12.1 Erwartungstreue und wirksamste Schätzfunktionen
Allgemein: Diejenige Schätzfunktion, die die gerinste Varianz aller im Rah-
men eines bestimmten Schätzproblems erwartungstreuer Schätzfunktionen
besitzt, heißt die wirksamste Schätzfunktion.
Die Bestimmung der wirksamsten Schätzfunktion ist relativ schwierig.
12. Punkt-Schätzung 169
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12.2 Konsistente Schätzfunktionen
➢ Aus der Tschebyscheff-Ungleichung
P(|X− E(X)| = c) 5Var(X)
c2(93)
resultiert folgende hinreichende (nicht notwendige) Konsistenzbedingung:
(
limn→∞
)
E(Θ̂n) = ϑ und limn→∞
Var(Θ̂n) = 0
➢ Beispiel: Ist X̄n konsistent für µ?
Aus Fig. 38 folgt . . .
• E(X̄n) = µ, d.h. X̄n ist erwartungstreu für µ.
• Var(X̄n) = σ2
n−−−→n→∞
0, d.h. die Varianzen bilden eine Nullfolge.
⇒ X̄n ist konsistent für µ.
12. Punkt-Schätzung 172
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12.2 Konsistente Schätzfunktionen
➢ Eine Folge von Schätzfunktionen Θ̂n gemäß
Θ̂1 = g1(X1)
Θ̂2 = g2(X1,X2)
...
Θ̂n = gn(X1, . . . ,Xn)
heißt konsistent für ϑ, wenn für alle c > 0 gilt:
P(|Θ̂n − ϑ| = c) −−−→n→∞
0 (100)
(Die Wahrscheinlichkeit, ϑ deutlich zu verfehlen, geht gegen 0.)
12. Punkt-Schätzung 171
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12.4 Das Maximum-Likelihood-Prinzip (ML-Prinzip)
➠ ML-Prinzip: Wähle ϑ̂ so, dass für alle möglichen ϑ-Werte gilt:
f(x1, . . . , xn|ϑ̂) = f(x1, . . . , xn|ϑ)
➢ Maximierung meist durch Nullsetzen der 1. Ableitung (2. Abl. < 0 prüfen!)
➢ Maximierung für . . .
• konkretes Stichprobenergebnis (z.B. (0, 1)) → ML-Schätzwert
• allgemeines Stichprobenergebnis (z.B. (x1, x2)) → ML-Schätzfunktion
➢ Die Maximierung der logarithmierten Likelihoodfunktion liefert dasselbe
Ergebnis, ist aber meist einfacher:
ln f(x1, . . . , xn|ϑ̂) = ln f(x1, . . . , xn|ϑ)
Grund: ln(x) wächst streng monoton mit x.
12. Punkt-Schätzung 174
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12.4 Das Maximum-Likelihood-Prinzip (ML-Prinzip)
➢ Gegeben:
• Ergebnis einer einfachen Stichprobe (x1, . . . , xn)
• Likelihoodfunktion (vgl. Folie 150) f(x1, . . . , xn|ϑ)
➢ Beispiel:
G ist B(1;p)-verteilt, p unbekannt; zu xi: fi(x) = px(1 −p)1−x (BB S. 99)
Einfache Stichprobe mit n = 2 ⇒ Likelihoodfunktion
f(x1, x2|p) = f1(x1) · f2(x2) (wegen Unabhängigkeit)
= px1(1 − p)1−x1 · px2(1 − p)1−x2 = px1+x2(1 − p)2−x1−x2
Stichprobenergebnis (0, 1) ⇒ f(0, 1|p) = p(1 − p) = p− p2
➢ Gesucht: Schätzwert ϑ̂, der ‚am besten zu (x1, . . . , xn) passt‘
12. Punkt-Schätzung 173
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Typische Vorgehensweise bei ML-Schätzung
b) Schätzfunktion:
Logarithmieren sinnvoll (um Produktregel usw. zu vermeiden)!
ln f(x1, x2|p) = (x1 + x2) ln(p) + (2 − x1 − x2) ln(1 − p)
∂∂p
ln f(x1, x2|p) = x1+x2p
− 2−x1−x21−p
!= 0
⇐⇒ (x1 + x2)(1 − p) = (2 − x1 − x2)p
⇐⇒ x1 + x2 = 2p⇒ p̂ = x1+x22
∂2
∂p2 ln f(x1, x2|p) = −x1+x2p2 − 2−x1−x2
(1−p)2 < 0
⇒ p̂ = 12 (x1 + x2) (= x̄) ist ML-Schätzfunktion (passt auch zu a).
Achtung: Lösung meist per Ableitung; es gibt aber Ausnahmen!
12. Punkt-Schätzung 176
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Typische Vorgehensweise bei ML-Schätzung
1. Likelihoodfunktion aufstellen: f(x1, . . . , xn|ϑ)
2. Likelihoodfunktion logarithmieren (optional): ln f(x1, . . . , xn|ϑ)
3. Erste Ableitung nullsetzen: ∂∂ϑ
[ln]f(x1, . . . , xn|ϑ)!= 0
4. Vorzeichen der zweiten Ableitung prüfen: ∂2
∂ϑ2 [ln]f(x1, . . . , xn|ϑ̂)?< 0
Im Beispiel auf Folie 173:
f(x1, x2|p) = px1+x2(1 − p)2−x1−x2 bzw. f(0, 1|p) = p− p2
a) Konkreter Schätzwert:
∂∂pf(0, 1|p) = 1 − 2p
!= 0 ⇒ p̂ = 1
2
∂2
∂p2 f(0, 1|p) = −2 < 0 ⇒ p̂ = 12 ist ML-Schätzwert
12. Punkt-Schätzung 175
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Maximum-Likelihood-Schätzfunktionen
Verteilung von G ϑ ML-Schätzfunktion
B(1;p) p (= µ) X̄
Exp(λ) µ X̄
Exp(λ) σ2 X̄2
P(λ) λ (= µ = σ2) X̄
N(µ;σ) (σ bekannt oder unbekannt) µ X̄
N(µ;σ), µ bekannt σ2 1n
n∑
i=1(Xi − µ)2
N(µ;σ), µ unbekannt σ2 1n
n∑
i=1(Xi − X̄)2
12. Punkt-Schätzung 178
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Klausuraufgabe 156 (gekürzt)
Ein bestimmtes Produkt wird von genau zwei Firmen A, B hergestellt. Jedes
der produzierten Stücke kann auf Grund äußerer Merkmale eindeutig einer
von zwei möglichen Güteklassen I, II zugeordnet werden. Bekannt ist, dass
die von Firma A (bzw. Firma B) erzeugten Stücke zu 35 % (bzw. zu 50 %) der
Güteklasse I entsprechen.
Aus der Produktion einer der beiden Firmen wurde eine einfache Stichprobe
vom Umfang 9 entnommen; alle 9 Stücke stammen also von ein und dersel-
ben Firma, wobei nicht erkennbar sei, von welcher. In der Stichprobe gehören
4 der 9 Stücke zu Güteklasse I.
Zu welcher Antwort auf die Frage nach der Herkunft der Stichprobe kommt
man nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip?
12. Punkt-Schätzung 177
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12.5 Bayes-Schätzfunktionen
➢ Gegeben:
• Ergebnis einer einfachen Stichprobe (x1, . . . , xn)
• Likelihoodfunktion (vgl. Folie 150) f(x1, . . . , xn|ϑ)
• Vorinformation über ϑ (Einschätzung eines Sachkundigen) in Form einer
a priori Dichte / Wahrscheinlichkeitsfunktion ϕ(ϑ)
Vorinformation
Stichprobe
Bayes-Schätzung
➠ a posteriori Dichte / Wahrscheinlichkeitsfunktion ψ(ϑ|x1, . . . , xn)
12. Punkt-Schätzung 180
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Maximum-Likelihood-Schätzfunktionen
Für die ML-Schätzung von σ (und anderem) ist folgender Satz hilfreich:
Ist h eine streng monotone Funktion (gleichgültig ob wachsend
oder fallend) und ist Θ̂ eine Maximum-Likelihood-Schätzfunktion
für den Parameter ϑ, so ist die Stichprobenfunktion h(Θ̂) ei-
ne Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für den transformierten
Parameter h(ϑ).
Beispiel:
• Ist Θ̂ ML-Schätzfunktion für σ2, so ist√Θ̂ ML-Schätzfunktion für σ.
• Ist G ∼ Exp(λ), so ist 1X̄
ML-Schätzfunktion für λ.
(λ = 1µ
= h(µ) mit h str. mon. fallend; ML-Schätzfkt. für µ: X̄⇒ h(X̄) = 1X̄
)
12. Punkt-Schätzung 179
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Vorgehensweise bei Bayes-Schätzung
1. Likelihoodfunktion aufstellen: f(x1, . . . , xn|ϑ)
2. a priori Dichte / Wahrscheinlichkeitsfunktion (ist bekannt): ϕ(ϑ)
3. a posteriori Dichte / Wahrscheinlichkeitsfunktion ermitteln: ψ(ϑ|x1, . . . , xn)
4. Lageparameter der a posteriori Verteilung berechnen, z.B.
• Modus
• Median
• Erwartungswert
12. Punkt-Schätzung 182
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12.5 Bayes-Schätzfunktionen
➢ Hilfsmittel: Formel von Bayes:
P(Aj|B) =P(B|Aj) P(Aj)
∑
i
P(B|Ai) P(Ai)(65)
wobei nun P(Aj|B) ersetzt wird durch ψ(ϑ|x1, . . . , xn)
P(B|Aj) ersetzt wird durch f(x1, . . . , xn|ϑ)
P(Aj) ersetzt wird durch ϕ(ϑ)
⇒ ψ(ϑ|x1, . . . , xn) =
f(x1, . . . , xn|ϑi)ϕ(ϑi)∑
j
f(x1, . . . , xn|ϑj)ϕ(ϑj)im diskreten Fall
f(x1, . . . , xn|ϑ)ϕ(ϑ)∞∫
−∞
f(x1, . . . , xn|ϑ)ϕ(ϑ) dϑim stetigen Fall
12. Punkt-Schätzung 181
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Klausuraufgabe 131
b) Ermitteln Sie das Maximum-Likelihood-Schätzergebnis für den Stimmenan-
teil der Wähler, die für den Bau stimmen.
c) Ermitteln Sie die a posteriori Wahrscheinlichkeitsfunktion für den Anteil der
Wählerstimmen für den Bau der Straße.
d) Geben Sie den a posteriori Erwartungswert des Stimmenanteils für den Bau
der Straße an.
12. Punkt-Schätzung 184
Universität Augsburg
Klausuraufgabe 131
In A-Stadt wird über den Bau einer neuen Straße durch eine Volksabstimmung
abgestimmt. Ein Fachmann schätzt den Anteil der Stimmen für den Bau der
Straße folgendermaßen ein:
Stimmenanteil für den Bau a priori Wahrscheinlichkeit für diesen Anteil
35 % 0,4
45 % 0,3
55 % 0,3
a) Geben Sie den a priori Erwartungswert des Stimmenanteils für den Bau der
Straße an.
Eine Wahlumfrage bei 120 (zufällig ausgewählten) wahlberechtigten Einwoh-
nern ergab 70 Stimmen für den Bau der Straße.
12. Punkt-Schätzung 183
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Intervall-Schätzung
➢ Wichtiger Spezialfall: Symmetrische Konfidenzintervalle
• Symmetrisch heißt nicht, dass die Dichte symmetrisch ist, sondern
• übereinstimmende W’keiten für Über-/Unterschreiten des KI, d.h.
P(Vu > ϑ) = P(Vo < ϑ) = α2 (103)
➢ Wichtig: Eine Verkleinerung von α bewirkt eine Vergrößerung des KI.13. Intervall-Schätzung 186
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Intervall-Schätzung
➢ Für einen unbekannten Verteilungsparameter ϑ soll auf Basis einer Stich-
probe ein Intervall geschätzt werden.
➢ Verwendung der Stichprobenfunktionen Vu, Vo, so dass Vu 5 Vo und
P(Vu 5 ϑ 5 Vo) = 1 − α (102)
stets gelten.
[Vu;Vo] heißt Konfidenzintervall (KI) für ϑ zum Konfidenzniveau 1−α.
➢ Beachte: Das Schätzintervall [vu; vo] ist Realisierung der ZV (!) Vu, Vo.
➠ Irrtumswahrscheinlichkeit α (klein, i.d.R. α 5 0,1)
➢ Frage: Welche Konfidenzintervalle sind zur Schätzung geeignet?
➠ Hängt von Verteilung von G sowie vom unbekannten Parameter (µ, σ2) ab!
➢ Im Folgenden: Einfache Stichprobe X1, . . . ,Xn mit E(Xi) = µ, Var(Xi) = σ2
13. Intervall-Schätzung 185
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13.1.1 KI für µ bei Normalverteilung mit bekanntem σ2
➢ Vorgehensweise:
➢ Grund für N(0; 1)-Verteilung: Betrachte z.B. Vu = X̄− σc√n
:
Vu > µ ⇐⇒ X̄− σc√n> µ ⇐⇒ X̄−µ
σ
√n > c
X̄−µσ
√n ∼ N(0; 1) (vgl. Folie 164)
13. Intervall-Schätzung 188
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Überblick Intervallschätzung (BB S. 172)
13. Intervall-Schätzung 187
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13.1.1 KI für µ bei Normalverteilung mit bekanntem σ2
Beispiel (BB-Beispiel 73):
Normalverteilung mit σ = 2,4
(x1, . . . , x9) = (184,2; 182,6; 185,3; 184,5; 186,2; 183,9; 185,0; 187,1; 184,4)
Gesucht: KI für µ zum Konfidenzniveau 1 − α = 0,99
1. 1 − α = 0,99
2. N(0; 1): c = x1−α2= x1−0,01
2= x0,995 = 2,576 (Tab. 3; Interpolation)
3. x̄ = 19 (184,2 + · · · + 184,4) = 184,8
4. σc√n
= 2,4·2,576√9
= 2,06
5. KI = [184,8 − 2,06; 184,8 + 2,06] = [182,74; 186,86]
Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist µ ∈ [182,74; 186,86].
13. Intervall-Schätzung 190
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13.1.1 KI für µ bei Normalverteilung mit bekanntem σ2
13. Intervall-Schätzung 189
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Intervalllänge
➢ Im Fall 13.1.1 gilt offenkundig
L = Vo − Vu =2σc√n
(106)
➢ Welcher Stichprobenumfang n sichert eine vorgegebene (Maximal-)Länge L?
(106) nach n auflösen! ⇒
n =
(
2σc
L
)2
(107)
➢ Eine Halbierung von L erfordert eine Vervierfachung von n!
➢ Im BB-Beispiel 73: L = 4 ⇒
n =(
2·2,4·2,5764
)2= 9,556 ⇒ n = 10
13. Intervall-Schätzung 192
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Wichtige Fraktilswerte
Wichtige N(0; 1)-Fraktilswerte:
α xα
0,9 1,281552
0,95 1,644854
0,975 1,959964
0,99 2,326348
0,995 2,575829
(I.d.R. genügen drei Nachkommastellen.)
13. Intervall-Schätzung 191
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13.1.2 KI für µ bei Normalverteilung mit unbekanntem σ2
Beispiel (BB-Aufgabe 92):
Wie BB-Beispiel 73 (vgl. Folie 190), jedoch σ unbekannt.
1. 1 − α = 0,99
2. t(8): c = x1−α2= x1−0,01
2= x0,995 = 3,355 (Tab. 4)
3. x̄ = 19 (184,2 + · · · + 184,4) = 184,8
s =√
18 [(184,22 + · · · + 184,42) − 9 · 184,82] = 1,31
4. sc√n
= 1,31·3,355√9
= 1,47
5. KI = [184,8 − 1,47; 184,8 + 1,47] = [183,33; 186,27]
Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist µ ∈ [183,33; 186,27].
13. Intervall-Schätzung 194
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13.1.2 KI für µ bei Normalverteilung mit unbekanntem σ2
➢ Vorgehensweise:
➢ Zu Schritt 2: Falls n− 1 > 30 wird die N(0; 1)-Verteilung verwendet.
13. Intervall-Schätzung 193
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13.1.3 KI für µ bei beliebiger, insb. dichotomer Verteilung
Beispiel (BB-Beispiel 74):
Poisson-Verteilung mit λ (= µ = σ2) unbekannt.
(x1, . . . , x40) = (3; 8; . . . ; 6)
Gesucht: KI für λ zum Konfidenzniveau 1 − α = 0,9
1. 1 − α = 0,9
2. N(0; 1) : c = x1−α2= x1−0,1
2= x0,95 = 1,645 (Folie 191)
3. x̄ = 140 (3 + 8 + · · · + 6) = 6,5
σ̂ =√x̄ =
√6,5 = 2,55 (da σ2 = λ)
4. σ̂c√n
= 2,55·1,645√40
= 0,66
5. KI = [6,5 − 0,66; 6,5 + 0,66] = [5,84; 7,16]
13. Intervall-Schätzung 196
Universität Augsburg
13.1.3 KI für µ bei beliebiger, insb. dichotomer Verteilung
➢ Voraussetzung: n > 30, bzw. falls G dichotom: 5 5n∑
i=1xi 5 n− 5
➢ Vorgehensweise:
➢ Zu Schritt 3: Manchmal kann ein anderer Schätzwert σ̂ sinnvoller sein.
13. Intervall-Schätzung 195
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13.2 KI für σ2 bei Normalverteilung
➢ Vorgehensweise, falls µ unbekannt:
➢ Falls µ bekannt:• Schritt 2: Ersetze χ2(n− 1) durch χ2(n).
• Schritte 3 und 4: Ersetze (n− 1) s2 durchn∑
i=1(xi − µ)2.
13. Intervall-Schätzung 198
Universität Augsburg
Intervalllänge
➢ Falls σ bekannt ➠ verwende (107).
➢ Sonst hängt L = 2σ̂c√n
(wegen σ̂) vom Stichprobenergebnis ab.
➠ n kann i.A. nicht ermittelt werden.
➢ Ausnahme: Obere Schranke d für σ̂ ist bekannt, d.h. σ̂ 5 d gilt immer.
L 52dc√n
⇐⇒ n =
(
2dc
L
)2
➢ Beispiel:
G ∼ B(1;p) ⇒ σ̂ =√
x̄(1 − x̄) =√x̄− x̄2
x̄ ∈ [0; 1] ⇒ x̄− x̄2 maximal bei x̄ = 12
⇒ x̄− x̄2 5 12 −
(
12
)2= 1
4
⇒ σ̂ 5√
14 = 1
2 = d
⇒ n =(
cL
)2 x̄
x̄− x̄2
0,5
14
•
13. Intervall-Schätzung 197
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Unsymmetrisches KI bei Binomialverteilung
Voraussetzung: G ∼ B(1;p) mit 5 5n∑
i=1xi 5 n− 5
a) Überschätzung vermeiden (z.B. kleine Partei nahe 5 %-Hürde):
1. Ein Konfidenzniveau 1 − α wird festgelegt.
2. Das (1 − α)-Fraktil c der N(0; 1)-Verteilung wird bestimmt.
3. Das Stichprobenmittel x̄ und σ̂ =√
x̄(1 − x̄) werden errechnet.
4. Der Wert vo = x̄+ σ̂c√n
wird berechnet.
5. Als Ergebnis der Intervall-Schätzung wird [0; vo] angegeben.
b) Unterschätzung vermeiden (z.B. Anteil militanter Demonstranten):Wie oben, aber . . .
4. Der Wert vu = x̄− σ̂c√n
wird berechnet.
5. Als Ergebnis der Intervall-Schätzung wird [vu; 1] angegeben.
13. Intervall-Schätzung 200
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13.2 KI für σ2 bei Normalverteilung
Beispiel:
G ∼ N(2;σ); (x1, . . . , x5) = (1; 1,5; 2,5; 3; 2)
Gesucht: KI für σ2 zum Konfidenzniveau 1 − α = 0,99
1. 1 − α = 0,99
2. χ2(5) : c1 = xα2
= x0,005 = 0,41; c2 = x1−α2= x0,995 = 16,75
3.5∑
i=1(xi − µ)2 = (1 − 2)2 + (1,5 − 2)2 + (2,5 − 2)2 + (3 − 2)2 + (2 − 2)2 = 2,5
4. vu = 2,516,75 = 0,15; vo = 2,5
0,41 = 6,10
5. KI = [0,15; 6,10]
(Extrem groß, da n klein.)
13. Intervall-Schätzung 199
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Unsymmetrisches KI bei Binomialverteilung
Beispiel:
Eine Umfrage unter 200 Erstwählern hat einen mittleren Stimmenanteil von
4,5 % für eine bestimmte Partei ergeben. Bestimmen Sie ein unsymmetrisches
Konfidenzintervall für den erwarteten Stimmenanteil dieser Partei zum Konfi-
denzniveau 95 %.
n = 200; x̄ = 0,045 ⇒200∑
i=1xi = 200 ·0,045 = 9 ∈ [5; 200−5] ⇒ Vorauss. erfüllt
1. 1 − α = 0,95
2. N(0; 1) : c = x1−α = x0,95 = 1,645 (Folie 191)
3. x̄ = 0,045; σ̂ =√
0,045 · (1 − 0,045) = 0,21
4. vo = 0,045 + 0,21·1,645√200
= 0,07
5. KI = [0; 0,07]
13. Intervall-Schätzung 201