UniversitasGadjahMadaJurusanTeknikSipildanLingkunganProdiPascasarjanaTeknikSipil
StatistikaAnalisisDataTimeSeries
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
1
AnalisisDataTimeSeries• Acuan• Haan,C.T.,1982,Sta+s+calMethodsinHydrology,1stEd.,3rdPrin5ng,TheIowaStateUniv.Press,Ames,Iowa,USA.• Chapter14,pp275-288
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
2
DataTimeSeries• Timeseriesdata• Datayangdiperolehdarioperasi(observasi,pengukuran,eksperimen)urutmenurutwaktu
• Data5meseriesberupa• hasilobservasiataupengukuranpadawaktu-waktutertentu(diskrit)• hasilperata-rataanpadasuatuselangwaktu• hasilobservasiataupengukuransecaramenerus(kon5nu)
• Sekumpulan5meseriesadalahhimpunandarisejumlah5meserieshasilpengukuranvariabelyangsama• Timeseriestunggaldisebutrealisasi• Kelompok5meseriesberanggotasejumlahrealisasi
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
3
DataTimeSeries• Data5meseriesdapatberasalataubersusundari• peris5waataukejadianyangbersifatdeterminis5k• peris5waataukejadianyangbersifatstokas5k• campuranperis5waataukejadiandeterminis5k+stokas5k
• Data5meserieshidrologi• umumnyaberupadatakomponenstokas5kyangdisuperposisikanpadadatakomponendeterminis5k
• contoh• temperaturudaraharianmenunjukkanpolamusiman(komponendeterminis5k)danperubahanataufluktuasidaripolamusiman,yangbersifatrandom(acak)
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
4
DataTimeSeries
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
5
data5meserieshidrologi
komponenstokas5k
komponendeterminis5k
komponenperiodik
komponenloncatan
komponenpolakecenderungan
komponengabunganperiodik+pola+loncatan
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
6Contohdata5meseriesyangterdiridarikomponenstokas5kdandeterminis5k
DataTimeSeriesDeterministik• Pola,kecenderungan(trend)• PerubahanDASyangberlangsungselamabeberapatahunàmemunculkanperubahanpoladebitaliranpermukaan
• Perubahanlingkungansecaraalamiahdanperlahanatauperubahanlingkunganakibatulahmanusiadapatmenimbulkanperubahanpoladata5meseries
• Loncatan(jump)• Bencanaalam(gempa,kebakaranhutan)• Pembendunganaliransungaiolehdam
• Periodik• Faktorastronomis• Periodikyangbersifattahunan,bulanan,mingguan
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
7
SkalaWaktu• Diskrit• Datayangdiperolehdari
pengamatanataupengukuranpadawaktu-waktutertentuyangdipisahkanmenurutwaktuΔt
• Datayangdiperolehdaripengamatannilaiatauvariabelyangmerupakanfungsiwaktu,yangterjadipadawaktuΔt• hujanreratabulanan(Δt=1bulan)• debitpuncaktahunan(Δt=1tahun)• hujanharian(Δt=1hari)
• Kon5nu• Datayangdiperolehdari
pengamatanataupengukuransecaramenerus(kon5nu)• mukaairdariAWLR• curahhujandariARR
• Walaupundatakon5nu,tetapidalamanalisis,datadibacapadawaktu-waktutertentu• curahhujandibacaperselangwaktu
tertentu,misalse5ap5menit• curahhujandibacapadadatapuncak,
selangwaktuantardata5dakberaturan
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
8
AWLRdanARR
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
9Automa5cWaterLevelRecorder,AWLR
Automa5cRainfallRecorder,ARR
DataMukaAirSungai
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
10Automa5cWaterLevelRecorder,AWLR
Untukanalisis,datadibacase5apjam(Δt=1jam)atause5apmukaairekstrem(pasangter5nggidansurutterendah)
DataCurahHujan,ARR
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
11Automa5cRainfallRecorder,ARR
SkalaWaktu• Yangdibahaspadababini• Selangwaktukonstan,Δtkonstan• Data5meseries5dakselalumerupakanfungsiwaktu,namundapatpuladatahasilpengamatanataupengukurandalamfungsiyanglain,misalfungsijarak/ruang(spa+al)• datalebarsungaidise5aptampanglintang• lebarsungaiadalahvariabelrandom• jaraktampanglintangadalahvariabelruang
• Variabelrandomdalamdata5meseries• Variabelrandomkon5nu
• kedalaman(volume)hujanperhari• Variabelrandomdiskrit
• harihujan(1)danhari5dakhujan(0)perhari
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
12
ProsesStokastik• Prosesstokas5k: X(t)• pdfX(t): p(x;t)àperilakuprobabilis5kX(t)padawaktut
• Jikasifat-sifatsuatu5meseries5dakberubahterhadapwaktu,maka5meseriestersebutdisebutprosespermanen(sta+onary)• Timeseriespermanen: p(x;t1)=p(x;t2),t1≠t2• Timeseriestak-permanen: p(x;t1)≠p(x;t2)
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
13
ProsesStokastik• Sifat-sifat5meseriesdapatdiperolehdariataudidasarkanpada• realisasitunggalselamasuatuselangwaktuàdikenalsebagai+meaverageproper+es
• beberaparealisasipadawaktutertentuàdikenalsebagaiensembleproper+es
• Apabila+meaverageproper+es=ensembleproper+es,maka5meseriestsbmemilikisifatergodic
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
14
ProsesStokastik
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
15
!!
Xi =1T
Xi (t)dt0
T
∫
Xi =1n
Xi (t j )j=1
n
∑
!!X(t)= 1
mXi (t)
i=1
m
∑ X(t)= X(t)p(x;t)dx−∞
∞
∫
+meaverageproper+esrealisasike-iselamaselangwaktu0s.d.T
ensembleaveragepadawaktut
ProsesStokastik
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
16
!!X(t)= X(t+ τ), ∀ t dan τ prosesstokas5kbersifatpermanenuntuknilairerata(sta+onaryinthemean,first-ordersta+onary)
!!Cov(X(t),X(t+ τ))= 1
mXi (t)−X(t)( ) Xi (t+ τ)−X(t+ τ)( )
i=1
m
∑ kovarianX(t)danX(t+τ)jikaτ=0àvarian5meseries
Jikaprosesstokas5kmemilikisifatpermanen(sta+onary)untuknilaireratadankovarian,maka5meseriestsbmemilikisifatsecond-ordersta+onary.
ProsesStokastik• Untuk5meseriesyangbersifatergodic• nilaireratawaktu(+meaveragemean)samadengannilaireratabersama(ensembleaverage)
• haldiatasberlakupulauntuknilai-nilaireratawaktuyanglain,5dakhanyamean
• Olehkarenaitu• sifat-sifatprosesrandom(stokas5k)permanendapatdiukurdaridatahistoristunggal(realisasitunggal)
• kadang,data5meseriesrealisasitunggaldipecahmenjadibeberapa5meseriespendek
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
17
ProsesStokastik
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
18
• Untuksuatuprosesrandomdenganrealisasitunggal,i=1
!!
Xi =1T
Xi (t)dt0
T
∫
Xi =1n
Xi (t j )j=1
n
∑
!!
Cov(Xi (t),Xi (t+ τ))=1
T − τXi (t)−Xi( ) Xi (t+ τ)−Xi( )dt
0
T−τ
∫
Cov(Xi (t),Xi (t+ τ))=1
n−1Xi (t j )−Xi( ) Xi (t j + τ)−Xi( )
j=1
n
∑
nilairerata,realisasitunggal,variabelrandomkon5nu
nilairerata,realisasitunggal,variabelrandomdiskrit
varrandomkon5nu
varrandomdiskrit
Autokorelasi• Yangdibahasadalah5meseriesergodic,sehinggahanyadiperlukanrealisasitunggal,i=1saja
• Autokorelasi(autocorrela+on),ρ(τ)
• Untukτ=0,makaρ(τ)=1karenaCov(X(t),X(t+τ))=Var(X(t))• Jikaτkecil,makaρ(τ)posi5fJikaτbertambahbesar,makaρ(τ)nega5f
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
19
!!ρ(τ)=
Cov X(t),X(t+ τ)( )Var X(t)( )
Autokorelasi
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
20
• Plotfungsiautokorelasivsselangwaktuτdisebutkorelogram
stokas5k stokas5k+periodik
Autokorelasi• Korelogram• bergunauntukmengetahuijikadatayangberurutantersebutindependent
• jikakorelogrammenunjukkanadanyakorelasiyangkuatantaraX(t)danX(t+τ),makadata5dakindependent
• Autokorelasidengandemikian• menunjukkan“memori”prosesstokas5k• jikaρ(τ)=0,prosesdikatakan5dakmemilikimemoriterhadapkejadiansebelumt–τ
• padaprinsipnyauntuksebagianbesarprosesrandom,ρ(τ)haruslahsamadengannoluntukτbesar
• jikaρ(τ)untukτbesarmenunjukkansuatupolayang5daksamadengannol,makahalinimengindikasikansuatukomponendeterminis5k
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
21
Autokorelasi• Untukskalawaktudiskrit,fungsiautokorelasimenjadiρ(k),kadalahjumlahselangwaktuyangmemisahkanX(t)danX(t+τ)
• Hubunganantaraτdank
• Δtadalahpanjangselangwaktu,misal1hari,1bulan,1tahun,dsb.
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
22
!τ =k Δt
Autokorelasi• Jikaρ(k)=0untuksemuak≠0• prosesdisebutsebuahprosesrandommurni• halinimenunjukkandatasalinglinearlyindependent
• Jikaρ(k)≠0untuksejumlahk≠0• datayangterpisahkΔtadalahdependent• prosesdisebutsebuahprosesrandom
• Jikasebuah5meseriesbersifattakpermanen(nonsta+onary)• ρ(k)≠0untuksemuak≠0karenaadanyakomponendeterminis5k• Jikakomponendeterminis5k5dakdihilangkanterlebihdulu,makakita5dakdapatmenentukansampaiseberapajauhρ(k)≠0akandipengaruhiolehkomponendeterminis5k
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
23
AnalisisSpektral• Autokorelasi• Timeseriesdalamdomainwaktu
• Analisisspektral• Timeseriesdalamdomain
frekuensi• Timeseries• Sampeldarisuatupopulasiyang
dicirikanolehkeragamandalamsuatuspektrumfrekuensikon5nu
• Sampelrandomdarisuatuprosesmenurutwaktu,temporal(atauruang,spa+al)yangtersusundarioskilasisemuafrekuensiyangmungkinterjadi
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
24
AnalisisSpektral• Analisisspektral• Spektrumkeragaman(avariancespectrum)àmembagikeragaman(variance)menjadisejumlahrentangfrekuensi
• Variabelyangumumnyadipakaidalamanalisisadalahkerapatanspektral(spectraldensity)
• Spectraldensity• jumlahvarianperrentangfrekuensi
• Beberapais5lah,variabel• Frekuensi,f[T−1]• Frekuensisudut(angularfrequency),ω[radT−1]• Periode,Tataup[T]• Spectraldensity,S
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
25!!
ω=2πT=2πp=2πf
S( f )= S(ω)2π
AnalisisSpektral
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
26
!!S( f )= ρ(τ)exp −i 2πf τ( )dτ
−∞
∞
∫ =2 ρ(τ)cos 2πf τ( )dτ0
∞
∫
§ Hubunganantarafungsikerapatanspektraldanfungsiautokorelasi
§ TransformasiFourier
!!ρ(τ)= S( f )cos 2πf τ( )d f
−∞
∞
∫
§ Untukτ=0,ρ(0)=1dancos(0)=1yangmenunjukkanbahwa:
!!S( f )d f
−∞
∞
∫ =1 S(f)dapatdipandangsebagaiprobabilitydensityfunc+on(pdf)yangmemberikankontribusiterhadapvariantakberdimensi(normalizedvariance)dalamrentangfrekuensidarif1s.d.f2.
AnalisisSpektral
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
27
!!ρ(τ)=
Cov X(t),X(t+ τ)( )Var X(t)( )
• KontribusiterhadapvarianyangdiberikanolehS(f)
!!S( f )d f
f1
f2
∫
• JikaautokorelasidihitungsbgCov(X(t),X(t+τ)),makaρ(0)=Var(X(t))
Ingat:autokorelasi
AnalisisSpektral• Data5meserieshidrologi• Umumnyaberupatabelvariabelsebagaifungsiwaktu• Selangwaktuadalahdiskrit,bukankon5nu• Olehkarenaitu
• Spektralharusdisesuaikanuntukmengakomodasikansejumlahdiskritfrekuensi;kepadafrekuensiinilahvarianakandidistribusikan
• UntukdatayangdiukurpadaselangwaktuΔtseragam• Oskilasidatayangmemilikifrekuensiter5nggiyangdapatmemberikaninformasi
mengenaidatatsbadalahoskilasidatayangmemilikifrekuensisbb:
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
28!!fN =
12Δt
FrekuensiNyquist
AnalisisSpektral• Kerapatanspektralsampel• dihitungdenganmemakair(k)danintegrasipersamaanS(f)
• madalahjumlahmaksimumlagkorelasi{jumlahmaksimumselangwaktuuntukmenghitungr(k)}
• msebaiknya5dakmelebihi10%s.d.25%jumlahdatapadasampel• persamaandiatasdipakaiuntukmenghitungkerapatanspektralsampeluntukfrekuensi:
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
29
!!
ˆ!S ( f )=Δt r(0)+2 r(k)cos(2πkfΔt)+r(m)cos(2πmfΔt)k=1
m−1
∑&
'((
)
*++
!f =
k fNm
AnalisisSpektral• Nilaikerapatanspektralsampeltersebutperludihaluskan• Nilaies5masikerapatanspektraladalah:
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
30
!!S(0)=0.5 ˆ!S (0)+ ˆ!S ( fN m)( )
!!S( fN )=0.5 ˆ!S ((m−1) fN m)+ ˆ!S ( fN )#
$%&
!!
S(kfN m)=0.25 ˆ!S ((k −1) fN m)+0.5 ˆ!S (k fN m)+0.25 ˆ!S ((k+1) fN m)
k =1,2,...,m−1
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
31
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
32
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
33
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
34
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
35
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
36
13-Sep
-16
h2p://is5
arto.staff.ugm.ac.id
37