STATISTIKA LINGKUNGAN
DISTRIBUSI PROBABILITAS
PENGANTAR
• Bila serangkaian pengamatan atau kejadian bersama dengan probabilitasnya ditabelkan �distribusi probabilitas.
• Bila keseluruhan probabilitas dijumlahkan �• Bila keseluruhan probabilitas dijumlahkan �harganya akan = 1 atau 100%.
• Dua kelompok model distribusi probabilitas :
* diskrit
* kontinu
PENGANTAR
• Distribusi probabilitas yang diskrit � distribusi:
* binomial
* hypergeometric
* poisson (pendekatan binomial)
* geometric
* multinomial
• Distribusi probabilitas yang bersifat kontinu � distribusi:
* normal
* binomial (pendekatan dengan normal)
* uniform
* log normal
* gamma
DISTRIBUSI BINOMIAL
• merupakan distribusi probabilitas bila hanya ada dua
kemungkinan
• Persamaan distribusi:
( )( ) ( ) rnrppCnrP
−−= 1.)( ( )( ) ( ) rnr
r ppCnrP−
−= 1.)(
( )!!
!.
rnr
nCn r
−=
DISTRIBUSI BINOMIAL
• Rerata:
pn.=µ
• Simpangan baku:
( )ppn −= 1.σ
DISTRIBUSI POISSON
• merupakan distribusi probabilitas yang dilakukan terhadap satuan waktu atau ruang.
• Batasan yang digunakan:
* rerata kejadian (µ) adalah konstan untuk
setiap unit waktu atau ruangsetiap unit waktu atau ruang
* probabilitas lebih dari satu kejadian
dalam setiap satu titik atau ruang adalah
nol
* jumlah kejadian dalam setiap rentang waktu
atau ruang adalah bebas dari jumlah kejadian pada
rentang yang lain
DISTRIBUSI POISSON
• Persamaan yang digunakan adalah:
( ) ( )( )[ ] !xexPx µµ −=
P(x) = probabilitas pada sejumlah x
kejadian
µ = rerata jumlah kejadian per unit waktu
atau per unit ruang
e = konstanta dasar logaritma = 2,71828
DISTRIBUSI NORMAL
• Variabel acak kontinu � jumlah nilai yang tak berhingga � distribusi probabilitas kontinu.
• Distribusi probabilitas kontinu yang paling sering digunakan � distribusi normal (atau distribusi digunakan � distribusi normal (atau distribusi Gauss).
• Ciri distribusi normal :
- adanya rerata (μ)
- adanya simpangan baku (σ)
DISTRIBUSI NORMAL
• (a) μ sama, σ berbeda
DISTRIBUSI NORMAL
• (b) μ berbeda, σ sama
DISTRIBUSI NORMAL
Luas di bawah kurva normal
DISTRIBUSI NORMAL
TABEL DISTRIBUSI NORMAL
• Tabel distribusi normal berisi luas � dibatasi rerata dan
simpangan bakunya � ditandai dengan nilai Z.
• Nilai Z � perbedaan antara data (x) dengan rerata, dibagi
dengan simpangan baku atau :
� distribusi Z
( )σ
µ−=x
Z
DISTRIBUSI NORMAL
SKEMA KURVA NORMAL
DISTRIBUSI NORMAL
SKEMA KURVA NORMAL
• Rerata populasi = 50
• Simpangan baku = 20
• Posisi datum x = 75 adalah (75-50)/20 = 1,25 �
datum terletak 1,25 simpangan baku di kanan datum terletak 1,25 simpangan baku di kanan
reratanya
• Posisi datum x = 25 adalah (25-50)/20 = -1,25 �
datum terletak 1,25 simpangan baku di kiri
reratanya
DISTRIBUSI NORMAL
SKEMA KURVA NORMAL
• Rerata masa layan = 750 jam
• Simpangan baku = 80 jam
• Probabilitas mempunyai masa layan antara 750 jam sampai 830 jam adalah : 830 jam adalah :
Z = (830-750)/80 = 1,00 � dari tabel Z � luas = 0,3413 �probabilitas = 0,3413
DISTRIBUSI NORMAL
SKEMA KURVA NORMAL• Rerata masa layan = 750 jam
• Simpangan baku = 80 jam
• Probabilitas masa layan antara 790-870 jam:
Untuk 870 jam � Z = 1,50 � luas = 0,43320,4332
Untuk 790 jam � Z = 0,50 � luas = 0,1915
Probabilitas antara 790-870 jam = 0,4332 – 0,1915 = 0,2417
DISTRIBUSI NORMAL
SKEMA KURVA NORMAL
• Rerata masa layan = 750 jam
• Simpangan baku = 80 jam
• Probabilitas masa layan antara 730-850 jam:
Untuk 730 jam � Z = 0,25 �Untuk 730 jam � Z = 0,25 �luas = 0,0987
Untuk 850 jam � Z = 1,25 �luas = 0,3944
Probabilitasnya = 0,0987 + 0,3944 = 0,4931
DISTRIBUSI NORMAL
SKEMA KURVA NORMAL• Rerata masa layan = 750 jam
• Simpangan baku = 80 jam
• Probabilitas masa layan lebih dari 810 jam:
Untuk 810 jam � Z = 0,75 �luas = 0,2734luas = 0,2734
Area 0,2734 adalah antara 750 – 850
Area di kanan 750 � 0,50
Area diatas 810 � 0,50 –0,2734 = 0,2266