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nalVene T. Bogoslavov: Zbirka rešenih zadataka iz matematike 1 - racionalni izrazi
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a2b2 + c2¡ 2abc ¡ 25 = a2b2
¡ 2abc + c2¡ 25 = (ab ¡ c)2
¡ 52 = (ab¡ c¡ 5) (ab¡ c + 5)a2b2 + c2¡ 2abc ¡ 25 = a2b2
¡ 2abc + c2¡ 25 = (ab ¡ c)2
¡ 52 = (ab¡ c¡ 5) (ab¡ c + 5)
16m2¡ 9x2 + 12xy ¡ 4y216m2¡ 9x2 + 12xy ¡ 4y2
x2¡ 1¡ 2y ¡ y2 =x2¡ 1¡ 2y ¡ y2 =
a2¡ b2 + a¡ b = (a ¡ b) (a + b) + (a ¡ b) = (a ¡ b) (a + b + 1)a2¡ b2 + a¡ b = (a ¡ b) (a + b) + (a ¡ b) = (a ¡ b) (a + b + 1)
a2 + 2ab + b2¡ c2 = (a + b)2
¡ c2 = (a + b ¡ c) (a + b + c)a2 + 2ab + b2¡ c2 = (a + b)2
¡ c2 = (a + b ¡ c) (a + b + c)
x2¡ 2xy + y2
¡ 9 =x2¡ 2xy + y2
¡ 9 =
4¡ p2 + 2pq ¡ q2 = 4 ¡ (p2¡ 2pq + q2) = 22
¡ (p¡ q)2 = (2¡ p + q) (2 + p¡ q)4¡ p2 + 2pq ¡ q2 = 4 ¡ (p2¡ 2pq + q2) = 22
¡ (p¡ q)2 = (2¡ p + q) (2 + p¡ q)
x2¡ y2
¡ x + y =x2¡ y2
¡ x + y =
4a2¡m2
¡ 2a + m =4a2¡m2
¡ 2a + m =
a3 + a2¡ 4a¡ 4 = a2 (a + 1) ¡ 4 (a + 1) = (a + 1) (a2
¡ 4) = (a + 1) (a ¡ 2) (a + 2)a3 + a2¡ 4a¡ 4 = a2 (a + 1) ¡ 4 (a + 1) = (a + 1) (a2
¡ 4) = (a + 1) (a ¡ 2) (a + 2)
2x¡ 2y ¡ x2 + 2xy ¡ y2 =2x¡ 2y ¡ x2 + 2xy ¡ y2 =
m2 + 2mn + n2¡ x2 + 2xy ¡ y2 = (m + n)2
¡ (x2¡ 2xy + y2) =
= (m + n)2¡ (x¡ y)2 = (m + n¡ x + y) (m + n + x¡ y)
m2 + 2mn + n2¡ x2 + 2xy ¡ y2 = (m + n)2
¡ (x2¡ 2xy + y2) =
= (m + n)2¡ (x¡ y)2 = (m + n¡ x + y) (m + n + x¡ y)
ax¡ bx¡ a2 + 2ab¡ b2 =ax¡ bx¡ a2 + 2ab¡ b2 =
9 + 6a + a2¡ b2
¡ 2bc¡ c2 =9 + 6a + a2¡ b2
¡ 2bc¡ c2 =
x3¡ x2
¡ x + 1 =x3¡ x2
¡ x + 1 =
x2y2¡ x2
¡ y2 + 1 =x2y2¡ x2
¡ y2 + 1 =
b3 + ab2¡ 4a¡ 4b =b3 + ab2¡ 4a¡ 4b =
x4 + 2x3¡ x¡ 2 =x4 + 2x3¡ x¡ 2 =
a5¡ a3 + a2
¡ 1 =a5¡ a3 + a2
¡ 1 =
x5¡ x3 + 27x2
¡ 27 =x5¡ x3 + 27x2
¡ 27 =
7x3 + 2x2¡ 63x ¡ 18 = x2 (7x + 2)¡ 9 (7x + 2) = (7x + 2) (x2
¡ 9) = (7x + 2) (x ¡ 3) (x + 3)
p3x2¡ q3x2
¡ p3 + q3 = x2 (p3¡ q3)¡ (p3
¡ q3) = (x2¡ 1) (p3
¡ q3) == (x¡ 1) (x + 1) (p¡ q) (p2 + pq + q2)
a6¡ 1 = (a3)
2¡ 12 = (a3
¡ 1) (a3 + 1) = (a¡ 1) (a2 + a + 1) (a + 1) (a2¡ a + 1)
x3y3¡ x3
¡ y3 + 1 =
a3b2¡ a3 + 8b2
¡ 8 =
x3¡ x2y ¡ xy2 + y3 = x2 (x¡ y)¡ y2 (x¡ y) = (x¡ y) (x2
¡ y2) = (x¡ y) (x¡ y) (x + y) == (x¡ y)2 (x + y)
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nalVene T. Bogoslavov: Zbirka rešenih zadataka iz matematike 1 - racionalni izrazi
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850b
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850c
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851a*
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851b*
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851c*
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852a*
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(x¡ y) (x2¡ z2)¡ (x¡ z) (x2
¡ y2) = (x¡ y) (x¡ z) (x + z)¡ (x¡ z) (x¡ y) (x + y) == (x¡ y) (x¡ z) (x + z ¡ x¡ y) = (x¡ y) (x¡ z) (z ¡ y)
b (b + 3) (b¡ 4)¡ (2b¡ 7) (b + 3) + b2¡ 9 = b (b + 3) (b¡ 4)¡ (2b¡ 7) (b + 3) + (b¡ 3) (b + 3) =
= (b + 3) (b2¡ 4b¡ 2b + 7 + b¡ 3) = (b + 3) (b2
¡ 5b + 4) = (b + 3) (b¡ 1) (b¡ 4)
(x¡ 3) (x2¡ x + 1) + (x¡ 3) (2x¡ 1)¡ (x¡ 3) (x2 + 4) =
(x + 1) (4x¡ 3)¡ (x + 1) (x2¡ 4)¡ (x + 1) (x2 + 2x¡ 3) =
5xn+2¡ 20xn = 5xn (x2
¡ 4) = 5xn (x ¡ 2) (x + 2)
anb3n¡ 4anbn =
12x3a+3¡ 27xa+1 = 3xa+1 (4x2a+2
¡ 9) = 3xa+1
³
22 (xa+1)2¡ 32
´
= 3xa+1
³
(2xa+1)2¡ 32
´
=
= 3xa+1 (2xa+1¡ 3) (2xa+1 + 3)
4a3n¡ 100an =
x4 + 4 = (x2)2+ 4x2 + 4¡ 4x2 = (x2 + 2)
2¡ 4x2 = (x2 + 2¡ 4x) (x2 + 2 + 4x) =
= (x2¡ 4x + 2) (x2 + 4x + 2)
x4 + 4y4 =
a4 + a2b2 + b4 =¡a2 + b2
¢2
| {z }
a4+2a2b2+b4
¡a2b2 = (a2 + b2¡ ab) (a2 + b2 + ab) = (a2
¡ ab + b2) (a2 + ab + b2)
1 + x2 + x4 =
x5 + x + 1 =
x8 + x4 + 1 =
x2 (y ¡ z) + y2 (z ¡ x) + z2 (x¡ y) =
(x + y + z)3¡ x3
¡ y3¡ z3 =
£(x + y + z)3
¡ x3¤¡ (y3 + z3) =
= ((x + y + z)¡ x)¡(x + y + z)2 + (x + y + z)x + x2
¢¡ (y + z) (y2
¡ yz + z2) == (y + z) (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + x2 + xy + xz + x2)¡ (y + z) (y2
¡ yz + z2) == (y + z) (3x2 + y2 + z2 + 3xy + 3xz + 2yz)¡ (y + z) (y2
¡ yz + z2) == (y + z) (3x2 + y2 + z2 + 3xy + 3xz + 2yz ¡ y2 + yz ¡ z2) = (y + z) (3x2 + 3xy + 3xz + 3yz) == 3 (y + z) (x2 + xy + xz + yz) = 3 (y + z) (x (x + y) + z (x + y)) = 3 (y + z) ((x + y) (x + z)) == 3 (x + y) (x + z) (y + z)
(x2 + 5x) (x2 + 5x + 10) + 24 =
(x2 + 7x) (x2 + 7x + 22) + 120x2+7x=y¡! y (y + 22) + 120 = y2 + 22y + 120 = (y + 10) (y + 12)
y=x2+7x¡!
(x2 + 7x + 10) (x2 + 7x + 12) = (x + 2) (x + 5) (x + 3) (x + 4) = (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5)