Download - Strömung realer Flüssigkeiten Laminare Strömung Hagen-Poiseuillesches Gesetz Stokessches Gesetz
Strömung realer Flüssigkeiten
Laminare Strömung
Hagen-Poiseuillesches Gesetz
Stokessches Gesetz
Inhalt
• Strömung idealer Flüssigkeiten – Die Kontinuitätsgleichung – Die Gleichung von Daniel Bernoulli
• Strömung realer Flüssigkeiten– Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung– Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz – Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes
• Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz
Die reale Flüssigkeit
• Bei Bewegung gibt es Reibung zwischen den Teilchen– innerhalb des Mediums– zwischen Medium und Wänden
Beachte: Trotz konstanter Kraft ist die Geschwindigkeit konstant!
Die laminare Strömung
D
Ein Objekt in Höhe D bewege sich mit der Geschwindigkeit vo
• Die angrenzende Schicht der Flüssigkeit bewegt sich auch mit vo,
• Die am Boden des Gefäßes anliegende Schicht steht still• In den dazwischen liegenden Schichten verändert sich die
Geschwindigkeit linear mit dem Abstand zu den Grenzen
vo
Geschwindigkeit der „Lamellen“ bei laminarer Strömungvo
Einheit
1 m/sGeschwindigkeit einer Lamelle im Abstand x vom Boden
vo 1 m/s Geschwindigkeit des Objekts
x 1 m Abstand der Lamelle zum Boden
xD
vxv 0)(
x
D
Gradient der Geschwindigkeitvo
x
D
Einheit
1 m/s Gradient der Geschwindigkeit
vo 1 m/s Geschwindigkeit des Objekts
D 1 m Abstand des Objekts vom Boden
D
v
dx
dv 0
Kraft zur Bewegung bei laminarer Strömung
1 N Newtonsche Gleichungdx
dvAF
Die Kraft gegen die Reibung ist proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit
vo
x
D
Einheit
1 N
Kraft zur Bewegung einer Schicht in einer Strömung mit Geschwindigkeitsgradient dv/dx
1 N·s/m2 Viskosität der Flüssigkeit
1 m2 Fläche der Schicht
Die Newtonsche Gleichung
dx
dvAF
A
„Newtonsche Flüssigkeiten“: Flüssigkeiten, in denen dieses Kraftgesetz gilt
Nicht „Newtonsche Flüssigkeiten“: z. B: Polymere und Dispersionen
Aussage der Newtonschen Gleichung für die Reibung in viskosen Medien:
In viskosen Medien ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit
• Folge: – Eine beliebig kleine Kraft führt zum „Kriechen“ – Bei konstanter Antriebskraft stellt sich - bei
genügend langer Fahrbahn - eine konstante Geschwindigkeit ein
Anwendung der Newtonschen Gleichung:
• Strömung in einem Rohr– Hagen-Poiseuillesches Gesetz
• Fallgeschwindigkeit einer Kugel in einem viskosen Medium– Stokessches Gesetz
Strömung in einem Rohr
Druckkraft
Reibungskraft
r
l
Die Druckkraft ist im Gleichgewicht mit der Reibungskraft
Parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil im Rohr
p1 p2
Zur Herleitung: Die Reibungskraft der Mantelfläche bei Bewegung des Zylinderrings aus Flüssigkeit mit Geschwindigkeit v ist gleich der Druckkraft auf die Stirn-Fläche des Rings (vgl. http://www.uni-tuebingen.de/uni/pki/skripten/mechanik.html Abschnitt Hydro- u. Aerodynamik…)
drr
Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz
Einheit
1 m3/sDefinition der Volumenstromstärke
1 m3/s
Die Volumenstromstärke in einem Rohr nimmt mit der vierten Potenz des Radius zu
421
8R
l
ppI
dt
dVI
Versuch zur laminaren Strömung
• Linearer Druckabfall in Strömungsrichtung bei laminarer Strömung zwischen den Wänden
Versuch zum Hagen-Poiseuilleschen Gesetz
• In der Strömung durch ein Rohr wird das Parabel-förmige Geschwindigkeitsprofil der Flüssigkeit durch „Verziehen“ eines Fadens aus gefärbter Flüssigkeit sichtbar
Das Stokessche Gesetz
Die Kugel fällt nach einiger Zeit mit konstanter Geschwindigkeit: Gleichförmige Bewegung, also kräftefrei
Versuch zum Stokesschen Gesetz
• Fall von Kugeln unterschiedlichen Durchmessers in Glyzerin. Man erkennt, dass sich nach kurzer Beschleunigung eine vom Radius abhängige, konstante Geschwindigkeit einstellt
Das Stokessche Gesetz
Einheit
1 NReibungskraft auf eine Kugel
1 N·s/m2 Viskosität
1 m Radius der Kugel
1 m/s Geschwindigkeit
vrF 6rv
Weshalb fällt die Kugel – trotz Gravitation - kräftefrei?
• Nach unten zieht die Schwerkraft
• Entgegen der Bewegungsrichtung steht die Reibungskraft
• Konstant bleibt die Geschwindigkeit - d.h. der Fall ist kräftefrei - wenn die Reibungskraft gleich der Schwerkraft ist
Kräfte beim Fall in ein viskoses Medium : Schwerkraft, Trägheitskraft, Reibungskraft
Kräfte Gleichgewicht beim Fall in viskosen Medien
Einheit
1 NReibungskraft auf eine Kugel
1 N Schwerkraft
1kgMasse einer Kugel, Dichte ρ, Radius r
1 m/sGleichgewicht zwischen Reibungs- und Schwerkraft
1 m/sKonstante Fall-End-Geschwindigkeit
vrF 6
334 rm
gmF
3346 grr
9
2 2gr
Fall im viskosen Medium
Nicht alle Körper fallen gleichschnell• Bei gleicher Form fallen schwere Körper
schneller • Bei gleicher Dichte fallen große Körper schneller• Körper fallen mit konstanter Geschwindigkeit,
das heißt kräftefrei, wenn die Reibungskraft gleich der Schwerkraft ist
Zusammenfassung
• Bei der Strömung realer Flüssigkeiten gibt es Reibung
• Laminare Strömung• Newtonsche Gleichung: Reibungskraft
proportional zu– Gradient der Geschwindigkeit im Medium– Viskosität– Fläche der bewegten Lamelle
• „Newtonsche Flüssigkeit“: Kraft zur Bewegung proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit
• Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz • Reibungskraft auf eine Kugel ist proportional zur
Geschwindigkeit: Das Gesetz von Stokes– Konstante End-Geschwindigkeit beim Fall in viskosen
Medien
finis