Download - sumur potensial
-
8/17/2019 sumur potensial
1/22
SUMUR POTENSIAL Jurusan Fisika. Fakultas Sains dan Teknologi. Universitas airlangga.Surabaya
1. Aji Brahma (00! "#. $edy %ermana (00&101'0". Ayu )us*ita Sari (00&10#"!. Agus Setia*an (00&10#+",. -era hoirunisa (00'1001"&. Ayu /ovitasari (00'10111"'. $e*i Susilo*ati (00'10 ". Shahebul mam (00'1010#"
2009
S2/A3FSA
UA/TU2elom%ok ,
-
8/17/2019 sumur potensial
2/22
Bab 1
Pendahuluan
4ersamaan dasar yang se5ara umum menyatakan si6at %artikel dan
gelombang diusulkan dalam kerangka mekanika gelombang oleh
S5hrodinger dan mekanika matriks oleh 7eisenberg. 2enga5u %ada
%ersamaan S5hrodinger yang meru%akan di6erensial %arsial8 timbul
%ertanyaan yaitu menentukan solusi dari 6ungsi gelombang tia%
keadaan. Fungsi gelombang itu sendiri dide6e9nisikan sebagai kejadian
atau %robabilitas suatu keadaan. Jika 6ungsi gelombang sudah diketahui8
maka in6ormasi mengenai kemungkinan untuk menda%atkan %artikel yang
dideskri%sikan oleh da%at di5ari. Selain itu nilai nergi untuk tia%
keadaan da%at di5ari dengan menggunakan %ersamaan gelombang
tersebut.
4ada makalah ini8 ditinjau sebuah kasus untuk sebuah %artikel atau
:arah yang terjebak di dalam sebuah sumur %otensial dengan dinding
yang tak terhingga. $engan menggunakan %otensial yang ada %ada kasus
sumur %otensial8 akan di%eroleh %ersamaan gelombang. $ari %ersamaan
gelombang tersebut da%at di5ari nilai nergi untuk kasus sumur %otensial.
ita ketahui bersama bah*a %artikel %ada %otensial ini bebas 8 ke5uali%ada # batas ( ;
-
8/17/2019 sumur potensial
3/22
Bab 2Isi
2.1 Sumur !"ensial "a# berhin$$a%In&ni"e S'uare (ell)4ada kasus sumur %otensial8 kami akan meninjau sebuah %artikel bebas
dalam sebuah sumur %otensial tak hingga dengan %anjang a8 dan
%artikelnya ter%erangka% di dalamnya.
Gambar 1: Sumur Potensial Yang Tak Berhingga
2.1.1 *un$si +el!mban$
$ari gambar diatas8 da%at kita dituliskan %otensial %artikel bebas
terhada% x adalah >
4ersamaan S5hr?dinger untuk a x ≤≤0 adalah sebagai berikut>
$i%eroleh8
-
8/17/2019 sumur potensial
4/22
................(#.1"
dengan
2
2
2
2
2
mE
k
E m
k
=
=
Solusi dari %ersamaan (#.1" adalah > ( ) ikxikx Be Ae x += −ψ
atau da%at %ula ditulis>
@@.@..@@@@@@..
@@@@@@@@.. (#.#"
dari Boundary Condition atau syarat batasnya8 kita akan menentukan nilai
A dan B.
Syarat batas yang pertama > tidak mungkin %artikel ditemukan
atau berada %ada x < 0
( )
( ) ( )
( )
0
000cos
00sin0cos
00
==+
=⋅+⋅==
A
A
k Bk A
xψ
$engan mensubstitusikan A < 0 %ada %ersamaan (1.#" maka
solusinya menjadi>
@@@@@@@@@@@@@@.
(#."
-
8/17/2019 sumur potensial
5/22
Syarat batas yang kedua > tidak mungkin %artikel ditemukan atau
berada %ada x < a
( )
( ) 0sin
0
===
ka B
a xψ
arena B 0 ( jika B
( )
( ) ( )
π
π
nka
nka
ka
=
==sinsin
0sin
a
nk
π = @@@@@@@@@@@@..
(#.!"
dengan mensubstitusikan %ersamaan (#.!" ke %ersamaan (#."
di%eroleh solusi>
( )
= xa
n B x π
ψ sin @.@@@@@@@.. (#.,"
Untuk menentukan nilai B melalui normalisasi.
( )
( ) ( )
10sin0
1sinsinsin
1sin
1sinsin
1
1
0
22
22
0
22
0
22
22
*
2
=+
+
=
+
+
=
=
⋅
=⋅
=
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
a
a
a
xa
n Bdx
xa
n Bdx x
a
n Bdx x
a
n Bdx
xa
n Bdx
xa
n
B xa
n
Bdx
x xdx
xdx
π
π π π
π
π π
ψ ψ
ψ
-
8/17/2019 sumur potensial
6/22
( ) 12
12
2cos1
1sin
2
0
2
0
22
=
=
−
=
∫
∫
a B
xa
n
dx B
xa
ndx B
a
a
π
π
a B
a B
2
22
=
=
Sehingga dida%atkan solusi ( ) = x
a
n
a x π ψ sin
2 @@@@.
(#.&"
ebih te%atnya solusi di atas dituliskan sebagai berikut>
( )
= xa
n
a x
n
π ψ sin
2
@@@@@@@@@@@@@ (#.'"
2.1.2. Ener$i
$ari %ersamaan > E m
k 2
2 2
=
dan dengan mensubstitusikan %ersamaan (#.!" ke %ersamaandiatas8 akan di%eroleh nilai energi sebesar>
2
2
2
2
1
2
=
=
a
n
m E
E m
a
n
π
π
2
222
2ma
n E
π =
-
8/17/2019 sumur potensial
7/22
ebih te%atnya ditulis
2
222
2ma
n E
n
π = @@@@@@@.. (#.1"
n< 18#88@
4ersamaan (#.1" meru%akan %ersamaan nergi untuk tia% keadaan
n.
etiga solusi %ertama untuk s%ektrum diskrit dalam sumur
%otensial adalah
-
8/17/2019 sumur potensial
8/22
Se%erti yang telah dise%akati8 %ersamaan s5hrodinger yang tidak
bergantung *aktu telah menghasilkan sebuah set solusi tak berhingga
untuk setia% integer n.%lot gambar diatas terlihat hanya sebagai
gelombang berdiri %ada benang yang %anjangnya . yang memba*a
energi terendah yang disebut ground statesC yang lainnya8 yang memiliki
energi yang meningkat sebanding dengan nilai 8 disebut e;5ited state.
Sebagai gabungan 6ungsi (;" hanya memiliki bebera%a kom%onen yang
%enting dan menarik>
1. 2ereka se5ara bergantian gena% dan ganjil dengan menga5u %ada
%usat sumber %otensial (
6ungsi gena% ketika
5osinus dan 6ungsi ganjil ketika sinus.
-
8/17/2019 sumur potensial
9/22
2. Selama energinya dinaikkan 8 setia% state memilki satu lagi node
( 5os nol" berturutDturut . tidak memiliki8 memiliki satu8
memiliki #8 dan seterusnya.3. mereka saling orthogonal ditunjukkan bah*a>
Eatatan bah*a argumen ini tidak bekerja jika m
-
8/17/2019 sumur potensial
10/22
)i sini ti!ak !ibuktikan secara sem#urna tentang %ungsi ta#i !eret
%ourier untuk %aktan$a !a#at !i#erluas !engan cara $ang !isebut theorema
Dirichlet. )engan #erluasan koe%isien &+n( !a#at !ie,aluasi untuk #emberian f (x)
!engan meto!e $ang !isebut %ourier trick !imana kita !a#at mengeks#loitasi
orthonormalitas !ari #erkalian antara !ua #ersamaan tersebut $aitu #ersamaan
2.2 !engan * !an !iintegralkan:
Untuk n=m8 koe9sien m %ada luasan f (x)
m%at kom%onen diatas sangat mem%engaruhi8 dan mereka tidak
ganjil %ada sumur %otensial tak berhingga. 4ernyataan %ertama
benar ketika %otensialnya meru%akan 6ungsi gena%. 4ernyataan
kedua adalah %ernyataan yang umum8 tan%a menghiraukan bentuk
%otenisial. rtogonalitas juga 5uku% umum.
4ada %osisi diam untuk sumur %otensial tak berhingga dijelaskan >
$a%at di%astikan bah*a solusi yang %aling umum %ada %ersamaan
S5hrodinger adalah kombinasi linier dari %osisi diam.
4enyelesaian akhir %ersamaan ini da%at diungka%kan dengan
%ada metode ini orthonormalisasi 6ungsi
tersebut mengijinkan %enggunaan metode 6ourier trik untuk
menentukan koe9sien sesungguhnya>
-
8/17/2019 sumur potensial
11/22
2.2.Sumur P!"ensial berhin$$a %*ini"e S'uare (ell)
Berikut ini kita %elajari %artikel yang bergerak di sumur %otensial dengan
kedalama berhingga.
4otensial system diberikan oleh>
dengan demikian 8 %ersamaan Shrodinger system ini diberikan oleh
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@..4ers#.#1
dan
@@@@@@@@@@@@@@@@@@%ers#.##
- <
0
; <
Da
; < a
0
-o
1 #
-
8/17/2019 sumur potensial
12/22
Analisa terhada% system ini dibedakan antara energy %artikel G0 dan
energy H0.
A.,eadaan "eri#a" Ener$i ne$a"i-e
Untuk energy negative8 dengan kuantitas %ositi68maka %ers
#.#1 dan #.## menjadi
$engan
Solusi untuk daerah (1" dan (" yaitu daerah
$engan A8B88dan F konstantaDkonstanta. Sedangkan solusi untuk daerah
(#"
Selanjutnya tentukan konstantaDkonstanta A8F8E dan $ dengan
menera%kan syarat kontinuitas di ;
-
8/17/2019 sumur potensial
13/22
2emberikan
Sedangkan
2emberikan
$engan 5ara yang seru%a8kontinuitas di ;
-
8/17/2019 sumur potensial
14/22
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@.%ers#.'
A
-
8/17/2019 sumur potensial
15/22
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@...%ers #.!#
$engan 5ara seru%a8 untuk solusi jenis kedua #.' dida%atkan
%ers #.!a
$an
%ers
#.!b
edua solusi #.!# dan #.!b menyiratkan bah*a hanya k diskrit
tertentu yang memenuhi. 7arga tersebut bisa di%eroleh melalui
%endekatan gra9k berikut
2isalkan8irisan antara
@energy yang
di%erbolehkan
%ers #.!!
$ari gambar diatas atau dari %ers. #.!1 tam%ak bah*a jumlah
energy yang di%eroleh berhingga. $ari gambar8jika sama
dengan satu nilai8 ka berada dalam interval maka
ada (/K1" irisan. $engan kata lain ada (/K1" tingkat energy diskrit jika
atau jika
-
8/17/2019 sumur potensial
16/22
%ers#.!,
$engan demikian8sedikitnya ada satu keadaan terikat untuk
sedangkal a%a%un sumur %otensial8yaitu jika ke5il sekali sehingga
/ ynag memenuhi adlah nol.
Fungsi igen dan 4aritas. Berikut ini kita lihat %erilaku 6ungsi
gelombang untuk setia% energy n. nergi n dengan n
-
8/17/2019 sumur potensial
17/22
Fungsi eigen ini anti simetri terhada% titik asal
Fungsi gelombang yang memenuhi si6at #.! ini disebut 6ungsi
eigen %aritas ganjil.
Bab ,esimulan
-
8/17/2019 sumur potensial
18/22
Untuk sumur %otensial tak berhingga8 da%at kita dituliskan %otensial
%artikel bebas terhada% x adalah >
4ersamaan S5hr?dinger untuk a x ≤≤0 adalah sebagai berikut>
$i%eroleh %ersamaan gelombang8
................(#.1"
dengan
2
2
2
2
2
mE k
E m
k
=
=
$engan solusi dari %ersamaan (#.1" adalah > ( ) ikxikx Be Ae x
+=
−ψ
atau da%at %ula ditulis>
@@.@..@@@@@@..
@@@@@@@@.. (#.#"
dari Boundary Condition atau syarat batasnya8 kita akan menentukan nilai
A dan B.
Syarat batas yang pertama > tidak mungkin %artikel ditemukan
atau berada %ada x < 0
Syarat batas yang kedua > tidak mungkin %artikel ditemukan atau
berada %ada x < a
-
8/17/2019 sumur potensial
19/22
$engan mensubstitusikan %ersamaan (#.!" ke %ersamaan (#."
di%eroleh solusi>
( )
= xa
n B x π
ψ sin @.@@@@@@@.. (#.,"
Untuk menentukan nilai B melalui normalisasi dida%atkan nilai B>
a B
a B
2
22
=
=
Sehingga dida%atkan solusi ( )
= xa
n
a
x π
ψ sin2
@@@@.
(#.&"
ebih te%atnya solusi di atas dituliskan sebagai berikut>
( )
= xa
n
a x
n
π ψ sin
2
@@@@@@@@@@@@@ (#.'"
2.2 Ener$i
$ari %ersamaan > E m
k 2
2 2
=
dan dengan mensubstitusikan %ersamaan (#.!" ke %ersamaan
diatas8 akan di%eroleh nilai energi sebesar>
2
222
2ma
n E
π =
n< 18#88@
4ersamaan (#.1" meru%akan %ersamaan nergi untuk tia% keadaann.
-
8/17/2019 sumur potensial
20/22
Sebagai gabungan 6ungsi (;" hanya memiliki bebera%a
kom%onen yang %enting dan menarik>
•
2ereka se5ara bergantian gena% dan ganjil dengan menga5u%ada %usat sumber %otensial (
6ungsi gena%
ketika 5osinus dan 6ungsi ganjil ketika sinus.
• Selama energinya dinaikkan 8 setia% state memilki satu lagi node
( 5os nol" berturutDturut . tidak memiliki8 memiliki satu8
memiliki #8 dan seterusnya.
• mereka saling orthogonal ditunjukkan bah*a>
• Persamaan tersebut lengka# $ang berarti baha %ungsi $ang lain $aitu %&'( !a#at
!in$atakan sebuah kombinasi liniern$a:
m%at kom%onen diatas sangat mem%engaruhi8 dan mereka tidak
ganjil %ada sumur %otensial tak berhingga. 4ernyataan %ertama
benar ketika %otensialnya meru%akan 6ungsi gena%. 4ernyataan
kedua adalah %ernyataan yang umum8 tan%a menghiraukan bentuk
%otenisial. rtogonalitas juga 5uku% umum.
4enyelesaian akhir %ersamaan ini da%at diungka%kan dengan
%ada metode ini orthonormalisasi 6ungsi
tersebut mengijinkan %enggunaan metode 6ourier trik untuk
menentukan koe9sien sesungguhnya>
-
8/17/2019 sumur potensial
21/22
Untuk sumur %otensial berhingga8 da%at kita dituliskan %otensial %artikel
bebas terhada% x adalah >
4ersamaan Shrodinger system ini diberikan oleh
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@..4ers#.#1
dan
@@@@@@@@@@@@@@@@@@%ers#.##
Analisa terhada% system ini dibedakan antara energy %artikel G0 danenergy H0.
-
8/17/2019 sumur potensial
22/22
/a"ar Pus"a#a
Lasioro*i5:8 Ste%henD#000. Quantum Physics. Third dition. University o62innesota
LriMths8 $avid. J. Introduction to Quantum Mechanics. 1++,. 4renti5e
hall8in5.
4ur*anto8 Agus. Fisika uatum. #00&. Lava 2edia